BAHAN AJAR STATISTIKA MATEMATIKA 2 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 10
7. PENAKSIRAN ( Taksiran Interval untuk rataan, varian dan proporsi) 7.1 Pendahuluan Pada pembahasan sebelumnya adalah meletakkan dasar untuk menarik kesimpulan dari parameter-parameter populasi dari data percobaan. Sebagai contoh, teorema limit pusat memberi informasi tentang distribusi sampel X distribusinya mengandung rataan dari populasi. Jadi setiap kesimpulan yang ditarik mengenai µ dari suatu rata-rata sampel yang diamati haruslah tergantung pada pengetahuan distribusi sampelnya. 7.2 Inferensi Statistika Inferensi statistik dapat dibagi dalam dua bagian besar yaitu penaksiran dan pengujian hipotesis. 7.3 Metode penaksiran klasik Nilai x suatu statistik X, dihitung dari suatu sampel ukuran n, merupakan suatu taksiran parameter populasi µ Contoh 7.1 Tunjukkan bahwa S 2 merupakan penaksir tak bias parameter σ 2 Kendatipun S 2 merupakan penaksir tak bias σ 2 , tetapi sebaliknya S suatu penaksir σ yang bias dan bias itu menjadi tak bearti bila sampelnya besar. Defenisi 7.1 Dari semua penaksir tak bias yang mungkin di buat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien. Penaksir tak bias yang paling efisien sekalipun jarang akan menaksir parameter populasi µ dengan tepat. Memang benar bahwa ketelitian meningkat bila sampelnya membesar, tetapi masih tetap tidak beralasan mengharapkan suatu taksiran titik dari suatu sampel tertentu akan tepat sama dengan parameter populasi yang hendak ditaksir. Dalam banyak hal kita akan lebih menyukai menentukan suatu selang yang kedua ujungnya kita harapkan akan mengapit nilai parameter yang sesungguhnya. Selang seperti ini disebut taksiran selang. 7.4 Menaksir rataan Penaksir titik rataan populasi µ diberikan oleh statistik X. Sekarang pandang taksiran selang µ. P (−zα/2 < Z < zα/2 ) = 1 − α bila Z =
X−µ √ σ/ n
1
Jadi P (−zα/2 <
X−µ √ σ/ n
< zα/2 ) = 1 − α
atau P (X − zα/2 √σn < µ < X + zα/2 √σn ) = 1 − α bila α = 0, 05, diperoleh selang kepercayaan 95%. Dan bila α = 0, 01, diperoleh selang kepercayaan 99%. Contoh 7.2 Rataan nilai sampel acak 36 mahasiswa tingkat sarjana adalah 2,6. Hitunglah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana. Anggap bahwa simpangan baku populasi 0,3. Teorema 7.1 µ maka dengan kepercayaan (1 − α)100% galatBila x dipakai untuk menaksir √ nya akan lebih kecil dari zα/2 σ n Teorema 7.2 Bila x dipakai untuk menaksir µ, maka dengan kepercayaan (1 − α)100% galatnya akan lebih kecil dari suatu bilangan g yang ditetapkan sebelumnya asal saja ukuran sampel n=(
zα/2 σ 2 g )
Contoh 7.3 Berapa besar sampel diperlukan pada contoh 7.2 bila ingin percaya 95& bahwa taksiran untuk µ meleset kurang dari 0,05?. Sering kita ingin menaksir rataan populasi padahal variansi tidak diketahui. Telah diketahui sebelumnya bila ada suatu sampel acak dari suatu distribusi normal maka peubah acak T =
X−µ √ S/ n
sehingga kita akan dapatkan P (X − tα/2 √Sn < µ < X + tα/2 √Sn ) Contoh 7.4 Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8, 10,2, 10,4, 9,8, 10,0, 10,2, dan 9,6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu bila distribusinya dianngap hampir normal. 7.5 Galat Baku Taksiran titik Telah diketahui σx2 =
σ2 n
Jadi simpangan baku dari X atau galat baku dari X. Sehingga batas kepercayaan untuk µ berbentuk x ± tα/2 √sn = x ± tα/2 galatbakux 2
7.6 Batas Toleransi Jika rataan µ dan variansi σ tidak diketahui, batas toleransi diberikan x ± ks, k ditentukan sedemikian rupa sehingga dapat ditegaskan 100(1−γ)% kepercayaan bahwa batas tersebut mengandung paling sedikit 1 − α proporsi pengukuran 7.1 Menaksir selisih dua rataan Bila ada dua populasi masing-masing dengan rataan µ1 dan µ2 dan variansi σ12 dan σ22 , maka penaksir titik untuk selisih µ1 dan µ2 diberikan oleh statistik X1 − X2 Menurut teorema pada bab 6, dapat diharapkan distribusi sampel X 1 −X 2 akan berdistribusi hampir normal dengan rataan µx1 −x2 = µ1 − µ2 dan simpangan p baku σx1 −x2 = (σ12 /n1 ) + (σ22 /n2 ), Jadi dengan peluang 1 − α peubah normal baku 2 )−(µ1 −µ2 ) √ 1 −X Z = (X 2 2 (σ1 /n1 )+(σ2 /n2 )
peluangnya adalah P (−zα/2 < Z < zα/2 ) = 1 − α ganti Z pada rumus diatas, maka diperoleh : q 2 q 2 σ σ2 σ (x1 − x2 ) − zα/2 n11 + n22 < µ1 − µ2 < (x1 + zα/2 n11 +
σ22 n2
dengan n1 = banyak sampal populasi pertama dan n2 = banyak sampel pada populasi kedua. Contoh 7.5 Suatu ujian kimia yang telah dibakukan diberikan pada 50 siswa wanita dan 75 siswa pria. Nilai rata-rata wanita 76, sedangkan murid pria mendapat nilai rata-rata 82. Carilah selang kepercayaan 96% untuk selisih µ1 − µ2 , bila µ1 menyatakan rataan nilai semua siswa pria dan µ2 rataan nilai semua siswa wanita yang mungkin akan mengikuti ujian ini. Anggap simpangan baku populasi unntuk wanita dan pria, masing-masing 6 dan 8. Bila variansinya tidak diketahui dan kedua distribusi hampir normal, maka distribusi t kembali harus digunakan seperti sampel tunggal. q q (x1 − x2 ) − tα/2 sp n11 + n12 < µ1 − µ2 < (x1 + x2 ) − tα/2 sp n11 + n12 Contoh 7.6 Dalam makalah ”Macro invertebrate Community Structure as an Indicator of Acid Mine Pollution” yang diterbitkan di Journal of Environmental Pollution (Vol.6,1974), disajikan laporan mengenai penelitian yang dilakukan di Cane Creek, Alabama, untuk menentukan hubungan antara paremeter fisiokimia yang terpilih dengan ukuran yang berlainan dari struktur kelompok makroinvertebrata. Satu segi dari peneltian itu ialah penilaian dari keefektifan. Suatu indeks keragaman spesies makroinvertebrata seharusnya menunjukkan sistem perairan yang tidak terganngu, sedangkan indeks keragaman yang rendah menunjukkan sistem perairan yang terganggu. Dua stasion sampling yang bebas dipilih untuk tujuan penelitian ini, satu dititik
3
muara pembuangan asam tambang dan satu lagi dihulu. Sebanyak 12 sampel bulanan diambil dari station muara, data indeks keragaman spesiesnya menghasilkan nilai rataan x1 = 3, 11 dan simpangan baku s1 = 0, 771, sedangkan dari satsion hulu diambil 10 sampel bulanan dengan nilai rataan indeks x2 = 2, 04 dan simpangan baku s2 = 0, 448. Buat selang kepercayaan 90% untuk selisih rataan populasi dari kedua stasion, anggap kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama. Bila variansi populasi yang tidak diketahui mungkin sekali tidak sama. q 2 q 2 s2 s2 s s (x1 − x2 ) − tα/2 n11 + n22 < µ1 − µ2 < (x1 + tα/2 n11 + n22 Contoh 7.7 Suatu penelitian mengenai ”Nutrient retention and Macroinvertebrata Community Response to Swage Stress in a Stream Ecosystem” yang dilakukan oleh departement of zoology di Virginia Polytechnic Institute dan State University tahun 1980 menaksir selisih banyaknya bahan kimia ortofosfor yang diukur pada dua station yang berlainan di sungai james. Ortofosfor diukur dalam mg per liter. Lima belas sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel dari stasion 2. Ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ostofosfor 3,84 mg per liter dan simpangan baku 3,07 mg per liter, sedangkan ke 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar ostofosfor 1,49 mg per liter dan simpangan baku 0,8 mg per liter. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan variansi berbeda. Pengamatan berpasangan √ √ d − tα/2 s d n < µD < d + tα/2 s d n Contoh 7.8 Dalam makalah ’Essential Elements in Fresh and Canned Tomatoers”, yang diterbitkan di Journal of Food Science (Jilid 46,1981), kandungan unsur penting ditentukan dalam tomat segar dan kalengan menggunakan spektrofotometer penyerapan atom. Kandungan tembaga dalam tomat segar dibanding dengan kandungan tembaga tomat yang sama setelah di kalengkan dicatat dan hasilnya seperti beriku Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tomat segar 0,066 0,079 0,069 0,076 0,071 0,087 0,071 0,073 0,067 0,062
Tomat kaleng 0,085 0,088 0,091 0,096 0,093 0,095 0,079 0,078 0,065 0,068
4
di 0,019 0,009 0,022 0,020 0,022 0,008 0,008 0,005 -0,002 0,006
7.8 Menaksir proporsi Penaksir titik untuk proporsi P dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistik Pˆ = X n dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi proporsi sampel pˆ = nx akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p.Menurut teorema limit pusat, untuk n cukup besar, distribusi pˆ hampir normal dengan rataan µpˆ = E(ˆ p) = E( X p =
np n
=p
=
pq n
dan variansi σp2 = σ 2x = n
2 σx n2
=
npq n2
Sehingga dalam selang kepercayaan besar untuk p, hampiran selang kepercayaan (1 − α)100% untuk parameter binomial p adalah q q ˆq ˆq ˆ + zα/2 pˆ Pˆ − zα/2 pˆ < p < P n n Contoh 7.9 Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televisi dikota hamilton, Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv bewarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki tv bewarna di kota tersebut. 7.9 Menaksir selisih dua proporsi. Diketahui Pˆ1 − Pˆ2 masing-masing berdistribusi hampir normal dengan µpˆ1 −pˆ2 = p1 − p2 dengan variansi σpˆ1 −pˆ2 = pn1 q11 +
p2 q2 n2
ganti p1 , p2 , q1 , dan q2 dengan taksiran pˆ1 = qˆ2 = 1 − pˆ2 , sehingga
x1 n1 ,
pˆ2 =
x2 n2 ,
qˆ1 = 1 − pˆ1 , dan
Selang kepercayaan sampel besar untuk p1 − p2 q q (ˆ p1 − pˆ2 ) − zα/2 pˆn1 q1ˆ1 + pˆn2 q2ˆ2 < p1 − p2 < (ˆ p1 − pˆ2 ) + zα/2 pˆn1 q1ˆ1 +
pˆ2 qˆ2 n2
Contoh 7.10 Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dari 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru yang cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara. 7.10 Menaksir variansi Taksiran selang untuk σ 2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistik X2 =
(n−1)S 2 σ2
sehingga Untuk selang kepercayaan untuk σ 2 5
(n−1)S 2 ) X2α/2
< σ2 <
(n−1)S 2 ) X21−α/2
Contoh 7.11 Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4, 46,1, 45,8, 47,0, 46,1, 45,9, 45,8, 46,9, 45,2, dan 46,0. Carilah selang kepercayaan 95% untuk variansi semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal. 7.11 Menaksir Nisbah dua variansi Selang kepercayaan untuk
σ12 σ22
s21 1 s22 fα/2 (v1 ,v2
<
σ12 σ22
<
s21 f (v , v s22 α/2 1 2
Contoh 7.12 Suatu selang kepercayaan untuk perbedaan rataan kadar ortofosfor, diukur dalam mg per liter, pada dua stasion di sungai James telah dihitung pada contoh yang lalu, dengan menganggap kedua variansi populasi normal dan tidak sama. Tugas pertemuan 10 Statistik Matematika 2 1. 7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,dan 7.6 halaman 279 nomor 10 2. 7.7 halaman 291 nomor 6 3. 7.8 dan 7.9 Halaman 300-302 Nomor 15 4. 7.10 dan 7.11 Halaman 307 Nomor 7
6
