BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 5. 3. HARAPAN MATEMATIK 3.1 Rataan peubah acak Misalkan dua mata uang setangkup dilantun, peubah acak X menyatakan banyaknya muncul muka. Ruang samapel percobaan tersebut adalah : T = {M M, M B, BM, BB}, dan P (X = 0) = P (BB) =
1 4
P (X = 1) = P (BM ) + P (M B) = 12 , dan P (X = 2) = P (M M ) = 14 , Rataan peubah acak X , dapat ditentukan dengan 0. 41 + 1. 12 + 2. 14 = 1, ini disebut dengan Rataan peubah acak X atau rataan distribusi peluang X dan ditulis sebagai µx atau cuma µ Rataan ini sering juga disebut dengan harapan matematik atau nilai harapan peubah acak X dan dinyatakan dengan E(X) Defenisi 3.1 Misalkanlah X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f (x). Nilai harapan atau rataan X ialah P µ = E(X) = x xf (x) bila X diskret, dan R∞ µ = E(X) = −∞ xf (x)d(x) bila X kontinu. Contoh 3.1 Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog. Contoh 3.2 Dalam suatu permainan seorang mendapat Rp 5.000,00 bila dalam lantunan 3 uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar Rp 3.000,00 bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya. Contoh 3.3 Misalkan X peubah acak yang menyatakan umur dalam jam sejenis bola lampu. Fungsi padat peluangnya diberikan 20000
,x>100
x3 f (x) = {0,xlainnya
Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tadi. Teorema 3.1 1
Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang F (x). Rataan atau nilai harapan peubah acak g(X) adalah µg(x) = E[g(X)] = Σg(x)f (x) bila X diskret, dan µg(x) = E[g(X)] =
R∞ −∞
g(x)f (x)dx
bila X kontinu Contoh 3.4 Banyaknya mobil X, yang masuk ke suatu pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 - 14.00 mempunyai distribusi peluang : x
4
5
6
7
8
9
P (X = x)
1 12
1 12
1 4
1 4
1 6
1 6
Misalkan g(X) = 2X −1 menyatakan upah, dalam ribuan rupiah para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut. Contoh 3.5 Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi padat x3
,−1<x<2
3 f (x) = {0,xlain Hitunglah nilai harapan g(x) = 4X + 3
Defenisi 3.2 Bila X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f (x, y) maka nilai harapan peubah acak g(X, Y ) adalah µg(X,Y ) = E[g(X, Y )] = Σx Σy g(x, y)f (x, y) bila X dan Y diskret, dan R∞ R∞ µg(X,Y ) = E[g(X, Y )] = −∞ −∞ g(x, y)f (x, y) bila X dan Y kontinu. Contoh 3.6 Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan seperti tabel dibawah ini
2
f (x, )
x=0
x=1
x=2
Jumlah baris
y=0
3 28
9 28
3 28
15 28
y=1
3 14
3 14
y=2
1 28
Junlah lajur
5 14
3 7 1 28
15 28
3 28
1
Hitunglah nilai harapan g(X, Y ) = XY Tugas 5 3.1 Nomor 2,5,13,16,20 1. Didtribusi peluang peubah acak diskret X adalah 3 1 x 3 3−x f (x)= ( ) (4) , x = 0,1,2,3. x 4 Hitunglah E(X) 2. Distribusi peluang X, banyaknya cacat per 10 m serat sintetis dalam satu gulungan dengan lebar sama, berbentuk x
0
1
2
3
4
f(x)
0,41
0,37
0,16
0,05
0,01
Cari rata-rata banyaknya cacat per 10 m serat tadi. 3. Fungsi padat pengukuran yang telah disandi suatu jenis barang tertentu adalah 4 2
π(1+x ) f (x) = {0,xlain
,0<x<1
Hitunglah E(X) 4. Misalkan X menyatakan hasil yang muncul bila suatu dadu yang setangkup dilantunkan. Hitunglah µg(X) = 3X 2 + 4 5. Suatu peubah acak kontinu X mempunyai fungsi padat −x
,x>0 f (x) = {e0,xlain
Hitunglah nilai harapan g(X) = e
2x 3
3.2 Variansi dan kovariansi 3
Keragaman suatu peubah acak X diperoleh dengan mengambil g(X) = (X−µ)2 . Rataan ini disebut dengan variansi peubah acak X atau variansi distribusi peluang X dan dinyatakan dengan V ar(X) atau lambang σx2 atau σ 2 . Defenisi 3.3 Misalkan peubah X peubah acak dengan distrubusi peluang f (x) dan rataan µ. Variansi X adalah σ 2 = E[(X − µ)2 ] = Σx (x − µ)2 f (x) bila X diskret, dan σ 2 = E[(X − µ)2 ] =
R∞ −∞
(x − µ)2 f (x)dx
bila X kontinu. Akar positip variansi, σ disebut simpangan baku X Contoh 3.7 Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A x
1
2
3
f (x)
0,3
0,4
0,3
dan untuk kantor B x
0
1
2
3
4
f (x)
0,2
0,1
0,3
0,3
0,1
Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B lebih besar dari pada variansi kantor A. Teorema 3.2 Variansi peubah acak X adalah σ 2 = E(X 2 ) − µ2 Contoh 3.8 Permintaan mingguan coca cola, dalam ribuan liter, pada suatu jaringan pemasaran daerah, merupakan peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang 2(x−1),1<x<2
f (x) = {0,xlainnya
Cari rataan dan variansi X. Defenisi 3.4 Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f (x, y). Kovariansi X dan Y adalah σXY = E[(X − µX )(Y − µY ) = Σx Σy (x − µx )(y − µy )f (x, y) bila X dan Y diskret, dan
4
σXY = E[(X − µX )(Y − µY )] = bila X dan Y kontinu
R∞ R∞ −∞ −∞
(x − µx )(y − µy )f (x, y)
Teorema 3.3 Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataan, masing-masing, µX dan µY diberikan oleh σXY = E(XY ) − µX µY Contoh 3.9 Banyaknya isi balpoint biru X dan banyaknya yang merah Y , bila 2 isi balpoin dipilih secara acak dari suatu kotak tertentu, telah diberikan contoh 3.6 dengan distribusi peluang gabungan berikut f (x, )
x=0
x=1
x=2
Jumlah baris
y=0
3 28
9 28
3 28
15 28
y=1
3 14
3 14
y=2
1 28
Junlah lajur
5 14
3 7 1 28
15 28
3 28
1
Cari kovariansi X dan Y . Tugas 5b 3.2 Nomor 2,3,4,11 3.3 Rataan dan variansi dari kobinasi linear peubah acak Teorema 3.4 Bila a dan b tetapan, maka E(aX + b) = aE(X) + b Bukti Menurut defenisi nilai harapan, R∞ R∞ R∞ E(aX + b) = −∞ (ax + b)f (x)dx = a −∞ xf (x)dx + b −∞ f (x)dx = aE(X) + b Akibat 1 Bila diambil a = 0 maka E(b) = b Akibat 2 Bila diambil b = 0 maka E(aX) = aE(X)
5
Contoh 3.10 Dengan menggunakan teorema kerjakan kembali contoh 3.4 Teorema 3.5 Jumlah nilai harapan atau selisih sua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan tersebut, yaitu E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)] Contoh 3.11 Pembelian mingguan teh botol, dalam ribuan liter, dari suatu agen daerah berbentuk suatu peubah acak kontinu g(X) = X 2 + X − 2, bila X mempunyaui fungsi padat 2(x−1),1<x,2
f (x){0,xlain
Cari nilai harapan g(X) = X 2 + X − 2 Teorema 3.6 E[g(X, Y ) ± h(X, Y )] = E[g(X, Y )] ± E[h(X, Y )] Teorema 3.7 Misalkan X dan Y dua peubah acak yang bebas. Maka E(XY ) = E(X)E(Y ) Contoh 3.12 Misalkan X dan Y peubah acak bebas dengan distribusi gabungan x(1+3y 2 )
,0<x<2,0
4 f (x) = {0,xlain Periksa apakah E(XY ) = E(X)E(Y ) sepertin teorema 3.7 dipenuhi.
Teorema 3.8 Bila a dan B tetapan, maka σaX+b = a2 σx2 = a2 σ 2 Teorema 3.9 Bila X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f (x, y), maka 2 2 σaX+bY = a2 σX + b2 σY2 + 2abσXY Contoh 3.13 2 Bila X dan Y peubah acak dengan variansi σX = 2, σY2 = 4, dan kovariansi σXY = −2, carilah variansi peubah acak Z = 3X − 4Y + 8 3.4 teorema Chebyshev Teorema 3.10 Peluang setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit 1 − k12 , yaitu P (µ − kσ < X < µ + kσ) ≥ 1 − k12
6
Contoh 3.14 Suatu peubah acak X mempunyai rataan µ = 8, variansi σ 2 = 94, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a. P (−4 < X < 20), dan b. P (|X − 8| ≥ 6). Tugas 5c 3.3 dan 3.4 Nomor 3,5,10,14,16 Soal Ulangan Nomor 7
7
