BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 2. 1 PELUANG 1.3 Menghitung titik sampel Teorema 1.1 (Kaedah pencacahan) Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sam dengan n1 n2 cara. Contoh 1.4 Berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sepasang dadu dilantunkan sekali? Contoh 1.5 Suatu perusahaan menawarkan bagi calon pembeli pilihan rumah gaya luar berbentuk tradisional, spanyol, kolonial, dan modern di daerah pusat kota, pantai, dan bukit.Dalam berapa banyak pilihan seorang pembeli dapat memesan rumah ? Contoh 1.6 Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapt terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi, dan soto, bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto ? Contoh 1.7 Berapa banyak bilangan genap yang terdiri atas tiga angka 1,2,5,6 dan 9 bila tiap angka itu hanya boleh digunakan sekali ? Teorema 1.2 Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1 n2 ...nk . Defenisi 1.3 Suatu permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. Teorema 1.3 Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!. Teorema 1.4 Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah n Pr
=
1
n! (n−r)!
Contoh 1.8 Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang T . Jawab Banyak seluruh titik sampel 20! 20! 20 P2 = (20−2)! = 18! = 20.19 = 380 Teorema 1.5 (Teorema Permutasi Melingkar ). Banyaknya permutasi n benda berlainan disusun melingkar adalah (n − 1)! Teorema 1.6 Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua , ... , nk berjenis ke k adalah : n! n1 !n2 !...nk !
Contoh 1.9 Suatu lampu hias , dihias dengan 9 bola yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola itu bila 3 diantaranya bewarna merah, 4 kuning, dan 2 biru ?. Jawab 9! Banyaknya susunan yang berlainan ada 3!4!2! = 1260 cara. Contoh 1.10 Berapa banyak cara untuk menampung 7 petinju dalam 3 kamar hotel, bila 1 kamar hotel bertempat tidur 3 sedang 2 lainnya punya 2 tempat tidur. Teorema 1.7 Banyaknya kombinasi dari n benda yang berlainan diambil sebanyak r sekaligus adalah (nr ) =
n! r!(n−r)!
Contoh 1.11 Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, carilah banyaknya panitia 3 orang yang dapat dibuat yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan Jawab Tugas 2 1.3 No.3,12,15,23,28 1. Bila suatu percobaan terdiri atas pelantunan suatu dadu dan kemudian mengambil satu huruf secara acak dari ke-26 alfabet, ada berapa titik dalam ruang sampel. 2. Berapa banyak permutasi yang berbeda dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata merdeka. 3. Seorang pemborong hendak membangun 9 rumah dengan rancangan yang berbeda. Dengan berapa carakah dia dapat menempatkan rumah tersebut di suatu jalan bila tersedia 6 petak pada satu pihak jalan dan 3 petak pada pihak lain. 2
4. Dengan berapa carakah 5 pohon yang berlainan dapat ditanam pada suatu lingkaran?. 5. Sembilan orang pergi ke gunung dengan tiga mobil, masing-masing dapat membawa 2,4, dan 5 penumpang. Berapa carakah dapat dibuat untuk membawa kesembilan orang tersebut ke gunung?. 1.4. Peluang Suatu Kejadian Untuk menentukan peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan Peluang dan dinyatakan dengan P (A). Defenisi 1.4 Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅), dan P (T ) = 1 Contoh 1.12 Sebuah mata uang dilantunkan dua kali. Berapa peluang bahwa paling sedikit muncul muka sekali? Jawab Ruang sampel percobaan ini adalah : T = {M M, M B, BM, BB} Bila mata uang tersebut setangkup, maka tiap hasil mempunyai kemungkinan muncul yang sama. A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul, maka A = {M M, M B, BM } dan P (A) = 41 + 14 + 14 = 34 Teorema 1.8 Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah n P (A) = N Contoh 1.13 Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi, dan 3 rasa coklat. Bila seorang mengambil satu permen secara acak, carilah peluang mendapatkan a. satu rasa jeruk b. satu rasa kopi atau coklat. Contoh 1.14 Dalam setangan pemain poker terdapat 5 kartu, hitunglah peluangnya mendapat 2 as dan 3 jack 1.5 Aturan Penjumlahan Teorema 1.9 Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka 3
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Akibat 1 Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Contoh 1.15 Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila dua dadu dilantunkan? Tugas 2b 1.4 dan 1.5 No. 3, 5, 8, 15, dan 16 1. Suatu kotak berisi 500 amplop, 75 diantaranya berisi uang Rp 100, 150 berisi Rp 25, dan 275 berisi Rp 10. Sebuah amplop dijual seharga Rp 25. Tuliskanlah ruang sampel untuk ketiga macam jumlah uang dan berilah peluang pada tiap titik sampel, kemudian hitunglah peluang bahwa amplop pertama berisi uang kurang dari Rp 100. 2. Bila A dan B dua kejadian yang saling terpisah dengan P (A) = 0, 3 dan P (B) = 0, 5 hitunglah a. P (A ∪ B); b. P (A0 ) c. P (A0 ∩ B). Petunjuk : Buat diagram Venn dan isi peluang berbagai daerah. 3. Bila suatu permutasi dari kata putih diambil secara acak, cari peluang bahwa permutasi itu a. berawal dari huruf mati; b. berakhir dengan huruf hidup c. huruf mati dan huruf hidup bergantian 4. Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajar matematika, 69 belajar sejarah, 35 belajar matematika dan sejarah. Bila seorang siswa dipilih secara acak, hitunglah peluangnya; a. dia belajar matematika atau sejarah; b. dia tidak belajar keduanya c. dia belajar sejarah tapi tidak matematika. 5. Kembali pada pentingnya penjagaan kesehatan yang disarankan pada penelitian di California di Soal 30 halaman 31, misalkan bahwa dari 500 mahasiswa tingkat terakhir suatu universitas ternyata 210 merokok, 258 minum minuman beralkohol, 216 makan antara jadwal makan, 122 merokok dan minum minuman beralkohol, 97 merokok dan makan antara jadwal makan dan minum minuman beralkohol, 97 merokok dan makan antara jadwal makan, dan 52 melakukan ketiga kebiasaan yang menganggu kesehatan tersebut tadi. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak di universitas tersebut, berapa peluang bahwa mahasiswa itu a. merokok tapi tidak minum minuman beralkohol 4
b. makan antara jadwal makan dan minum minuman beralkohol tapi tidak merokok? c. tidak merok dan tidak makan antara jadwal makan? 1.6 Peluang Bersyarat Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P (B|A) Pandanglah kejadian B mendapatkan suatu kuadrat murni bila sebuah dadu dilantunkan. Jadi B = {1, 4}. Dadu dibuat sedemikian rupa sehingga bilangan genap dua kali lebih besar dari peluang munculnya bilangan ganjil. Jadi P (B) = 39 = 13 . Sekarang misalkan diketahui bahwa lantunan dadu menghasilkan bilangan lebih besar dari 3. Jadi ruang sampel yang dihadapi telah mengecil menjadi A = {4, 5, 6}. Maka B|A = {4} P (B|A) = 25 , atau P (B|A) =
2 5
=
2 9 5 9
=
P (A∩B) P (A)
Defenisi 1.5 Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P (B|A), ditentukan oleh P (B|A) =
P (A∩B) P (A) ,
bila P (A) > 0.
Kejadian Bebas Defenisi 1.5 Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P (B|A) = P (B) dan P (A|B) = P (A). Jika tidak demikian A dan B tak bebas. 1.7 Aturan perkalian Teorema 1.10 Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) Contoh 1.15 Misalkan kita mempunyai kotak berisi 20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tam,pa memgembalikan yang pertama kedalam kotak), berpakah peluang kedua sekering itu cacat ? Jawab Misalakan A kejadian bahwa sekering pertama cacat dan B kejadian bahwa yang kedua cacat. Tafsirkan A ∩ B sebagai kejadian bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. 5
Jadi P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) =
5 4 20 . 19
4 = 14 . 19 =
1 19
Contoh 1.16 Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dann kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tampa melihatnya ke kantong kedua. Berapa peluangnya sekarang mengambil bola hitam dari kantong kedua ?. Teorema 1.11 dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P (A ∩ B) = P (A)P (B) Contoh 1.17 Dua dadu dilantukan dua kali. Berapa peluangnya mendapat jumlah 7 dan 11 dalam dua kali lantunan?. Teorema 1.12 Bila dalam suatu percobaan, kejadian A1 , A2 , ...., Ak dapat terjadi, maka P (A1 ∩ A2 ... ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |(A1 ∩ A2 )...P (Ak |A1 ∩ A2 ... ∩ AK ) Bila kejadian A1 , A2 , ...., Ak bebas, maka P (A1 ∩ A2 ... ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )...P (Ak ) Tugas 2c 1.6 dan 1.7 No. 3, 5, 6, 14, 19 1. Sampel acak 200 orang dewasa dikelompokkan menurut jenis kelamin dan pendidikan Pendidikan
Pria
wanita
SD
38
45
SM
28
50
PT
22
17
Bila seorang diambil secara acak dari kelompok ini, cari peluangnya dia seorang a. pria, bila diketahui pendidikannya SM; b. yang tidak berpendidikan PT, bila diketahui dia wanita. 2. Dari 100 mahasiswa diketahui, 42 ikut kuliah matematika, 68 ikut kuliah psikologi, 54 ikut kuliah sejarah, 22 ikut kuliah matematika dan sejarah, 25 ikut kuliah matematika dan psikologi, 10 ikut ketiga kuliah, dan 8 tidak ikut satu pun dari ketiganya. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak, cari peluangnya bahwa 6
a. seseorang yang ikut psikologi mengambil ketiga kuliah b. seseorang yang tidak ikut psikologi mengikuti sejarah dan matematika 3. Dua dadu dilantunkan. bila diketahui bahwa satu dadu memunculkan 4, berapkah peluang bahwa a. yang kedua muncul 5? b. jumlah keduanya lebih besar dari 7? 4. Suatu kantong berisi 4 bola putih dan 3 bola hitam, sedangkan kantong kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. satu bola diambil dari kantong kedua tampa melihatnya dan dimasukkan ke kantong pertama. Berapakah sekarang peluang mengambil sebuah bola dari kantong pertama bewarna putih? 5. Satu tas berisi 2 botol (kecil) aspirin dan 3 botol obat masuk angin. Tas kedua berisi 3 botol aspirin, 2 botol obat masuk angin dan 1 botol obat rematik. Bila 1 botol diambil secara acak dari setiap tas, cari peluangnya bahwa a. kedua botol berisi obat masuk angin b. tidak ada botol yang berisi obat masuk angin c. kedua botol berisi obat yang berlainan
7
