MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 1

DISTRIBUSI KONTINU • • •

Uniform Normal Gamma & Eksponensiall MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar September 2010 By NN 2008

DISTRIBUSI UNIFORM  Distribusi

 f.k.p:

f(x)

kontinu yang paling sederhana

X ~ U (a,b)  1 , a xb  f(x) =  b  a 0 , x lainnya Rataan :

a

MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu

 Notasi:

Variansi : b

b-a 2 (b - a ) 2 Var ( X )  12 E[ X ] =

2

DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS) Karl Friedrich Gauss 1777-1855

- Banyak digunakan Aproksimasi Binomial Teorema limit pusat rataan

1  x   

 1 f ( x)  e 2   2

 = 3.14159…

2

,<x<- Simpangan baku /standar deviasi


Penting dipelajari  Notasi: X ~ N ( , 2)  f.k.p: 

e = 2.71828…

• N(0,1) disebut normal standar (baku)

MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar

3

1

KURVA NORMAL Modus tunggal


Titik belok

Titik belok Simetri terhadap x=

Total luas daerah di bawah kurva =1

Peluang X di sekitar 1, 2,, dan 33

http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif

4

Pengaruh  dan  Kurva normal dengan  yang sama

1 < 2 < 3

2

Kurva normal dengan g y yang g sama

3  parameter skala




 1 < 2 < 3

 parameter lokasi





5



LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL P (  X  )  1 X ~ N(,)

P (z1 < Z < z2)

P(a < X < b)

X ~ N(,)

Z ~ N(0,1)

z1 =

a -m s





0

z26=

b-m s

2

MENGHITUNG PELUANG NORMAL Sulit !!! Harus dihitung secara numerik

1. Cara langsung

2.

1  x   

 1 e 2  2 a 

2

dx

Dengan tabel normal standar P (Z  z)

N(0,1)


b

P ( a  X  b)  

7

ARTI TABEL NORMAL 

Misal Z ~ N(0,1) dan z  R, -3,4  z  3,4 z





1 2

e  x / 2 dx 2

P(Z  z) DITABELKAN untuk -3.4  z  3.4


P( Z  z ) 

P(Z  z )

8

MEMBACA TABEL NORMAL P(Z  1,24 ) MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu

9


3

Hitung P (0  Z  1,24 ) P(0  Z  1,24 ) = P(Z  1,24 ) - P(Z  0 ) MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu

= 0,8925 – 0,5 = 0,3925 P(Z  1,24 )

P(Z  0 )

10

CONTOH SOAL (1) MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu

Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam. http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-atthe-factory-factory.jpg

Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam

http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg

11

JAWAB:

:

s 834  800   778  800 P (778  X  834)  P  Z   40 40  

 P (0,55  Z  0,85)  P ( Z  0,85)  P ( Z , 0,55)  0,8023  0, 2912  0,5111


Misal X = umur bola lampu X ~ N (800,40) X -m Dengan transformasi Z =

12


4

CONTOH SOAL (2) MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu

Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal. Dari 1000 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt?

13

JAWAB:

 1  P ( Z  1,5)  1  0,9332  0, 0668


Misal X = tegangan voltmeter X ~ N (40, 2) X -m Dengan transformasi Z = s X  43   P( X  43)  P  Z   2    P ( Z  1,5)

Banyaknya voltmeter yang tegangannya lebih dari 43 volt adalah 1000 unit x 0,0668  69 unit 14

APROKSIMASI BINOMIAL DENGAN NORMAL Jika n   maka B(n,p)  N (,)

B (6;0,2)

np(1  p)

B (15;0,2)

Semakin besar n, binomial semakin dekat ke normal



dimana  = np dan  =

15

5

CONTOH SOAL (3)

http://www.bratachem.com/abate/imag es/demam.jpg

Bila diketahui ada 100 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh a. tepat 30 orang b. kurang dari 30 orang


Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4.

16

JAWAB:

a Peluang bahwa a. banyaknya pasien yang sembuh tepat 30 orang adalah:

P( X  30)  P (29,5  X  30,5)


Misal X = banyaknya pasien yang sembuh X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4 Rataan:  = np = 100 x 0,4 = 40 Variansi:   np (1  p )  40  0, 6  4,899

30,5  40   29,5  40  P Z 4,899   4,899  P (2,14  Z  1,94)  P ( Z  1,94)  P ( Z  2,14)  0, 0262  0, 0162  0, 01

17

JAWABAN LANJUTAN:

29 5  40  29,5  P( X  30)  P  Z  4,899    P ( Z  2,14)  0, 0162


b. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah:

18


6

DISTRIBUSI GAMMA  

 f ( x)   ( )   0    0 dan   0 

, x lainnya

() disebut fungsi gamma 

( )   y  1e  y dy 0


Notasi X ~ Gamma(,) f.k.p  1 x 1e  x /  , 0  x  

dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika  > 1  E[X] =  dan Var(X) = 2  Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu  Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial,19 khi kuadrat, Weibull, dan Erlang

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL  Keluarga

 e   x f ( x)   0

,0  x   , x lainnya

• E[X] = 1/ 


distribusi gamma (1, 1/)  Notasi: X ~ Exp ()  f.k.p p

• Var(X) = 1/ 2 • Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan 20

CONTOH

http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/

Bila seseorang tiba tiba-tiba tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu: a. lebih dari 10 menit b. antara 10 sampai 20 menit



Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 6 detik/orang.

Pag e 21

7

JAWAB: Misalkan X = lama pembicaraan telepon Dik. X ~ exp(1/10) sehingga Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu . Jadi, a. P ( X  10)  1  P ( X  10) 10

 1   101 e  x /10 dx  1  0, 368  0, 632


f ( x)  101 e  x /10

0

20

b.

P (10  X  20) 



1 10

e  x /10 dx  0, 233

22

10

REFERENSI  Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu


Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.  Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., Ed , 2007. 2007  Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

23


8

MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 1

Recommend Documents