0
DATA DAN ANALISIS DATA. PENDAHULUAN Data dan informasi ilmiah yang termaktub dalam khasanah pengetahuan dan ilmu semata-mata merupakan hasil rekayasa manusia yang semula diawali kekaguman manusia terhadap lingkungan di sekitarnya . Kekaguman ini menimbulkan keinginan manusia untuk mengetahui dan selanjutnya bagaimana alam dapat dikuasai manusia. Fenomena dan kejadian alam dapat dipelajari karena lazimnya hal-hal yang terjadi secara alamiah akan berlangsung menurut hukum keteraturan dan konsistensi. Lazimnya suatu "Ilmu" disusun berdasarkan pengalaman manusia dari hasil pengamatan manusia terhadap alam, semula menghubungkan satu fenomena satu dengan lainnya yang bilamana diketahui manusia disebut pengetahuan (knowledge). Pengamatan adalah suatu tindakan manusia dalam usaha memahami suatu kejadian (gejala), dan dari hasil pengamatannya manusia berusaha menarik kesimpulan umum (generalisasi). Pada prinsipnya ada dua pokok kegiatan mental manusia yang memungkinkan tersusunnya ilmu pengetahuan, yaitu (1) pengamatan, dan (2) inferensia. Keduanya merupakan komponen dari metoda penelitian ilmiah (scientific research). Scientific research: kegiatan manusia yang membutuhkan kecer dikan (astute), pengamatan atau persepsi obyektif dan dan daya evaluasi dan generalisasi yang tajam. Tujuan dari penelitian ilmiah adalah untuk memperoleh pengertian terhadap suatu fenomena atau proses dalam penyelidikan spesifik untuk dapat memprediksikan dengan akurat mengenai apa yang terjadi dalam proses itu sendiri atau memodifikasikan proses atau dalam mengembangkan proses baru seperti metoda produksi (teknologi) yang lebih efisien. Dilihat dari segi metodologi, seluruh ilmu pengetahuan didasarkan pada: (1). Pengamatan dan pengalaman manusia yang terus menerus; dan pengumpulan data yang sistematis. (2). Analisis yang digunakan dalam bentuk berbagai cara, antara lain: (a). Analisis langsung (direct analysis), (b). Analisis perbandingan (comparative analysis), (c). Analisis matematis dengan meng gunakan model matematis. (3). Penyusunan model-model atau teori, serta pemuatan peramalan-peramalan dengan menggunakan model itu. (4). Penelitian-penelitian untuk menguji ramalan-ramalan tersebut, hasilnya mungkin benar atau mungkin salah. Proses penelitian juga dapat diartikan sebagai usaha manusia yang dilakukan secara sadar dan terencana dengan pentahapan proses secara sistematik untuk : (1) memecahkan masalah dan menjawab pertanyaan praktis di lapang, atau (2) menambah khasanah ilmu penge tahuan, baik berupa penemuan teori-teori baru atau penyempurnaan yang sudah ada.
1
Dengan demikian penelitian juga dapat digunakan sebagai tolok ukur kemajuan suatu negara, karena melalui penelitian inilah ilmu pengetahuan dan teknologi baru dapat dihasilkan. Secara umum penelitian (research), dalam pengertian umum dapat dibedakan antara survai (survey) atau studi kasus (case study) di satu pihak dan penelitian (experiment) di pihak lain. Untuk dapat melaksanakan penelitian secara baik, diperlukan penguasaan yang memadai tentang metode penelitian itu sendiri, baik yang menyangkut pengetahuan teoritikal, ketrampilan dalam praktek dan juga pengalaman-pengalaman. Lebih dari itu, cara pelaksanaan penelitian yang baik saja sering dirasa belum mencukupi bila kita tidak berhasil menyebar luaskan dan meyakinkan akan kegunaan hasil penelitian tersebut kepada masyarakat, melalui publikasi-publikasi dan pertemuan ilmiah. Sementara orang seringkali mencampur-adukkan pengertian "metode penelitian" dan "metodologi penelitian". Metodologi penelitian membahas konsep teoritik berbagai metode, kelebihan dan kelemahannya, serta pemilihan metode yang akan digunakan dalam suatu penelitian. Sedangkan "metode penelitian" mengemukakan secara teknis tentang metode-metod yang dipakai dalam suatu penelitian. Seringkali metodologi penelitian diperkenalkan dalam maknanya yang teknis belaka, misalnya langsung membahas tentang populasi, teknik sampling, merumuskan masalah, mendisain dan merancang instrumen kuantifikasi data, dan sebagainya. Selain itu, banyak peneliti telah tenggelam pada berbagai teknik sampling, teknik instrumentasi, teknik analisis, tanpa menyadari bahwa dia telah menjadi penganut filsafat ilmu tertentu. Pengguna metodologi seperti biasnaya akan cenderung menolak cara-cara kerja lainnya sebagai spekulatif, subyektif, dan sebagainya. Sebaliknya para penganbut filsafat ilmu yang berbeda memberi cap "bohong", "munafik" pada lanbgkah-langkah kerja penelitian yang memulai tulisannya dengan "alasan pemilihan judul", dan lainnya. Mereka ini lupa atau tidak tahu bahwa ada metodologi penelitian berbeda yang menggunakan dasar filsafat ilmu yang lain, yang memang menuntut langkah kerja seperti itu. Berdasarkan uraian di atas maka seyogyanya seorang peneliti mengetahui dan menyadari bahwa dia menggunakan landasan filsafat ilmu yang mana untuk metodologi penelitian yang digunakannya; sehingga dia menyadari kelebihan dan kelemahan metodologi yang digunakannya, dan sadar pula bahwa ada metodologi epenelitian lain yang menggunakan landasan filsafat ilmu yang berbeda. Metodologi penelitian merupakan ilmu yang mempelajari metode-metode penelitian, ilmu tentang alat-alat untuk penelitian. Di lingkungan filsafat, logika dikenal sebagai ilmu tentang alat untuk mencari kebenaran, dan kalau disusun secara sistematis, metodologi penelitian merupakan bagian dari logika. Kita mengenal lima macam model logika, yaitu (1) logika formal Aristoteles, (2) Logika matematika deduktif, (3) Logika matematika induktif, (4) Logika matematik probabilistik, dan (5) Logika reflektif. Logika formal Aristoteles berupaya menyusun struktur hubungan antara sejumlah proposisi. Untuk membuat generalisasi, logika Aristoteles mengaksentuasikan pada prinsip-prinsip relasi formal antar proposisi. Proposisi merupakan penegasan tentang relasi antar jenis , proposisi juga dapat dimaknakan sebagai hubungan antar konsep.
2
Logika matematika deduktif membangun konstruksi pembuktian kebenaran mendasarkan pada proposisi-proposisi kategorik seperti Logika tradisional Aristoteles. Bedanya ialah kalau Logika Aristoteles mendasarkan pada kebenaran formalnya, sedangkan Lohgika Matematik deduktif mendasrakan pada kebenaran materiil. Logika Aristoteles menguji kebenaran formal dari proposisi khusus (yang disebut sebagai premis minor) berdasar kebenaran proposisi universal (disebut sebagai premis mayor). Kontradiksi antar keduanya berarti premis minor ditolak. Konstruksi keseluruhan pembuktiannya menggunakan silogisme: bahwa kalau a termasuk dalam b dan b dalam c, maka a termasuk dalam c. Logika matematik deduktif menguji kebenaran materiil kasus berdasarkan dalil, hukum, teori, atau proposisi umum universal lain. Logika Aristoteles menuntut dipenuhi syarat formal, logika matematika deduktif melihat kebenaran materiil. Proposisi universal dikenal dengan nama-nama: asumsi, aksioma, postulat, teori, dan tesis. Asumsi merupakan proposisi universal yang "self evident" benar dan tidak memerlukan pembuktian. Aksioma merupakan pernyataan tentang sejumlah sesuatu yang mempunyai hubungan tertentu dan benar; kebenaran ini kalau perlu dapat dibuktikan. Setara dengan "aksioma", dalam ilmu-ilmu sosial dikenal istilah "postulat". Tesis merupakan pernyataan yang telah diuji kebenarannya lewat evidensi, mungkin berlandaskan empoiris, atau berdasarkan argumentasi tergantung pada teori yang dianut. "Teori" merupakan suatu konstruksi pernyataan yang integratif yang didalamnya terkandung asumsi, aksioma/postulat, sejumlah tesis, dan sejumlah proposisi. Teori yang valid memuat lebih banyak tesis daripada proposisi. Logika matematik induktif dapat dibedakan menjadi dua, yaitu logika matematika induktif kategorik dan logika matematik probabilistik. Keduanya membangun generalisasi secara induktif berdasarkan empiri. Logika kategorik menetapkan kebenaran dengan penetapan yang implisit dan eksplisit terhadap ketegorisasi yang ditetapkan; sedangkan Logika probabilistik menamplkan proposisi universal relatif yang memberi peluang atas kemungkinan benar dan salah dalam proposisinya. Untuk menguji dan memperoleh kebenaran logika reflektif bergerak mondarmandir antara induksi dan deduksi. Untuk hal-hal yang deterministik digunakan logika reflektif kategorik, sedngkan untuk hal-hal yang indeterministik digunakan logika reflektif probabilistik.
POPULASI DAN SAMPEL Dalam suatu penelitian survei, sumber informasi diperlukan untuk menjawab permasalahan penelitian. Sumber informasi ini dapat dibedakan menjadi sumber informasi utama (primair) dan sumber informasi pendukung (sekunder). Sumber informasi utama lazimnya juga dikenal sebagai "POPULASI". Dalam konteks ini "populasi" diartikan sebagai himpunan semua hal yang ingin diketahui, dan biasanya juga disebut sebagai "universum'. Populasi ini dapat berupa lembaga, individu,
3
kelompok, dokumen, atau konsep. Dalam penentuan populasi ada empat faktor yang harus diperhatikan, yaitu (a) Isi, (b) satuan, (c) cakupan (skope), dan (d) waktu. Suatu teladan adalah : ISI SATUAN CAKUPAN WAKTU
Semua murid yang berumur 14 tahun Yang bersekolah di SLTP Di Jawa Timur Pada tahun 1995.
Populasi juga dapat diartikan sebagai jumlah keseluruhan unit analisis yang ciri-cirinya akan diduga (akan dianalisis). Dalam konteks ini dapat dibedakan antara POPULASI TARGET dan POPULASI SURVEI. Populasi target adalah populasi yang telah kita tentukan sesuai dengan permasalahan penelitian, dan hasil penelitian dari populasi ini akan disimpulkan. Populasi survei merupakan populasi yang terliput dalam penelitian. Secara ideal kedua populasi ini sehatrusnya identik, tetapi pada kenyataannya seringkali berbeda. SAMPEL atau CONTOH adalah sebagian dari populasi yang diteliti/diobservasi dan dianggap dapat menggambarkan keadaan atau ciri populasi. Dalam teknik penarikan sampel dikenal dua jenis, yaitu penarikan sampel probabilita dan non probabilita. Sampel probabilita adalah teknik poenarikan sampel dimana setiap anggota populasi diberi/disediakan kesempatan yang sama untuk dapat dipilih menjadi sampel. 1. Sampel Probabilita
(1).
(2).
(3).
(4).
Ada empat macam cara yang lazim: Penarikan sampel Secara Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Sampel acak sederhana adalah sampel ayang diambil sedemikian rupa sehingga anggota populasi mempunyai kesempatan/peluang yang sama untuk dipilih menjadi sampel. Penarikan Sampel Sistematis (Systematic Random Sampling) Metode pengambilan sampel dimana anggota sampel dipilih secara sistematis dari daftar populasi. Daftar populasi harus berada dalam keadaan acak atau membaur. Penarikan Sampel Stratifikasi (Stratified Random Sampling) Apabila kita akan mengkaji hubungan antar variabel, atau kita melibatkan variabel bebas dan variabel tidak bebas (terikat), maka diperlukan metode penarikan sampel berlapis atau berstrata. Suatu kriteria yang jelas harus ditetapkan untuk membatasi strata. Penarikan sampel dari setiap strata dapat dilakukan secara pro porsional atau tidak proporsional. Keuntungan dari cara penarikan sampel ini adalah (a) semua ciri populasi yang heterogen dapat terwakili, (b) dapat dikaji hubungan antar strata, atau memban dingkannya. Penarikan Sampel Secara Bergerombol (Cluster Sampling) Dalam praktek seringkali kita tidak mempunyai daftar populasi yang lengkap. Dalam kondisi seperti ini diperlukan "POPULASI MINI" yang sifat dan
4
karakternya sama dengan seluruh POPULASI. Populasi mini seperti ini disebut CLUSTER atau GEROMBOL. Setelah cluster ditetapkan, barulah memilih sampel secara acak. Kelemahan cara ini adalah sulit mengetahui bahwa setiap gerombol menggambarkan sifat populasi secara tuntas. 2. Sampel Tidak Probabilita (1). Penarikan Sampel Secara Kebetulan (Accidental Sampling) Peneliti dapat memilih orang atau responden yang terdekat dengannya, atau yang pertama kali dijumpainya dan seterusnya. (2). Penarikan Sampel Secara Sengaja (Purposive Sampling) Peneliti telah menentukan responden menjadi sampel penelitiannya dengan anggapan atau menurut pendapatnya sendiri. (3). Penarikan Sampel Jatah (Quota SAmpling) Populasi dibagi menjadi ebberapa strata sesuai dengan fokus pene litian. Penarikan sampel jatah dilakukan kalau peneliti tidak mengetahui jumlah yang rinci dari setiap strata populasinya. Dalam kondisi ini peneliti menentukan jatah untuk setiap strata yang kurang-lebih seimbang. (4). Penarikan Sampel Bola Salju (Snowball Sampling) Bola salju dibuat dengan menggulung salju yang bertebaran di atas rumput, dari sedikit menjadi banyak dan besar. Pertama kali ditentukan satu atau beberapa responden untuk diwawancarai, sehingga berperan sebagai titik awal penarikan sampel. Responden selanjutnya ditetapkan berdasarkan petunjuk dari responden sebelumnya. Cara ini sering digunakan dalam penelitian-penelitian pemasaran.
PREPOSISI PENELITIAN 1. Konsep dan Variabel KONSEP adalah merupakan ide-ide, penggambaran hal-hal atau benda-benda atau gejala sosial, yang dinyatakan dalam istilah atau kata. Konsep dapat dibentuk dengan jalan abstraksi atau generalisasi. ABSTRAKSI adalah proses menarik intisari dari ide-ide, hal-hal, benda-benda, atau gejala sosial. Sedangkan GENERALISASI adalah menarik kesimpulan umum dari sejumlah ide- ide, hal-hal, benda-benda, atau gejala sosial yang khusus. Ciri dari suatu konsep adalah bersifat umum. Contoh yang mudah dipahami adalah konsep "meja", "kursi", "masyarakat", "organisasi", "asimilasi", "kebahagiaan" dan lainnya. Konsep ber-fungsi untuk menyederhanakan pemikiran terhadap ide-ide, hal-hal, benda-ben-da, atau gejala sosial. Dalam konteks ini konsep harus didefinisikan dengan jelas dan tegas. Definisi merupakan pernyataan yang dapat mengartikan atau memberi makna suatu istilah atau konsep tertentu. Tiga hal pokok dalam membuat definisi adalah (1)
5
apa yang mendefinisikan sebaiknya tidak mengandung istilah atau konsep yang didefinisikan, atau mengandung istilah sinonim, atau istilah yang erat bergantung pada apa yang didefinisikan; (2) definisi tidak dirumuskan dalam kalimat negatif, dan (3) definisi sebaiknya dalam bahasa yang sederhana dan jelas serta terperinci agar mudah dimengerti oleh orang lain dan komunikatif. Dalam penelitian empiris, konsep yang abstrak harus dapat diubah menjadi suatu konsep yang lebih konkrit agar dapat diamati dan diukur. KOnsep yang lebih konkrit ini lazim dikenal sebagai VARIABEL, yaitu suatu konsep yang mempunyai variasi nilai. Misalnya konsep "BADAN" dan variabel "BERAT BADAN". 2. Jenis Preposisi Preposisi adalah suatu pernyataan yang terdiri dari satu atau lebih dari satu konsep atau variabel. Preposisi yang hanya terdiri atas satu konsep atau variebal disebut UNIVARIAT. Preposisi yang menyangkut hubungan antara dua konsep atau variabel disebut BIVARIAT, dan lebih dari dua konsep atau variabel disebut MULTIVARIAT. Beberapa jenis preposisi yang lazim digunakan adalah Aksioma, Postulasi, Teori, Hipotesis, dan Generalisasi Empiris.
Jenis Preposisi
Bagaimana dibuat
Generalisasi Empiris Hipotesis Teori Postulasi Aksioma.
Dibuat dari data Dibuat secara deduksi atau dari data Dibuat dari aksioma atau postulasi Dianggap benar Benar berdasarkan definisi
Dapat langsung diuji atau tidak ya ya ya tidak tidak
3. Teori dan Jenis Teori Suatu teori berusaha untuk menjawab pertanyaan "mengapa" dan "bagaimana". Teori adalah serangkaian konsep dalam bentuk preposisi-preposisi yang saling berkaitan, bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang suatu gejala. Untuk melihat apakah suatu teori dirumus kan secara baik dapat dievaluasi melalui hal-hal (a) dapat diuji, (b) satuan analisis, (c) kesederhanaan, (d) dapat menjelaskan atau memprediksi suatu gejala. 4. Sekala Variabel Ciri-ciri atau karakteristik dari nilai variabel pada dasarnya dapat dibedakan menjadi empat tingkatan skala, yaitu SEKALA NOMINAL, SEKALA ORDINAL, SEKALA INTERVAL, DAN SEKALA RASIO. Sekala Nominal hanya sekedar membedakan satu kategori dengan kategori lainnya dari suatu variabel. Dasar perbedaannya adalah penggo longan yang tidak saling tumpang tindih antar kategori. Sekala ordinal mempunyai sifat membedakan
6
dan mencerminkan adanaya tingkatan. Misalnya jenjang kepangkatan meliter "Mayor", "Kapten", "Letnan". Sekala interval mempunyai sifat membedakan, mempunyai tingkatan dan mempunyai jarak yang pasti antara satu kategori dengan kategori lainnya. Misalnya variabel "umur". Sekala rasio mempunyai sifat membedakan, mempunyai tingkatan dan jarak, dan setiap nilai variabel diukur dari suatu keadaan atau titik yang sama (titik nol mutlak). Misalnya variabel "berat badan", keadaan tanpa bobot dapat dipakai sebagai titik nol mutlaknya. Sifat Sekala Membedakan ( =; #) Urutan (<;>) Jarak (+; -) Nol mutlak (x; :)
Nominal ya -
Ordinal ya ya -
Interval ya ya ya -
Rasio ya ya ya ya
Dalam penelitian, selain "sekala" kita lazim mengenal istilah "indeks", yaitu ukuran gabungan untuk suatu variabel. Dari beberapa variabel kita menggabungkannya dengan cara etertentu untuk megukur suatu variabel atau konsep baru. Dalam proses penggabungan ini dapat digunakan pembobot yang sama atau berbeda untuk setiap variabel yang digabungkan. Dalam penggabungan ini dapat digunakan cara (1) Summated Rating, (2) Sekala Likert, dan (3) Sekala Guttman. Summated Rating: yaitu suatu cara pengelompokkan variabel dengan sekedar menjumlahkan skor dari nilai sejumlah variabel yang akan dikelompokkan. Sekala Guttman atau Sekalogram: sekala yang bersifat unidimensional dan pernyataan/pertanyaan/variabel yang tercakup dalam sekala ini mempunyai bobot yang berbeda. Sekala Likert: suatu ukuran gabungan yang berusaha untuk mengurangi akibat dari ukuran yang multidimensional, dengan tujuan untuk memperoleh ukuran yang unidimensional. 5. Pengukuran Variabel Indikator adalah hal-hal yang digunakan sebagai kriteria untuk menunjukkan dan mengukur suatu konsep. Misalnya konsep "status sosial ekonomi" mempunyai indikatro-indikator "pendidikan", "peker-jaan", dan "penghasilan". Operasionalisasi konsep: upaya untuk men-jabarkan pengertian suatu konsep yang abstrak dengan menu-runkannya pada tingkatan yang lebih konkrit, dengan bantuan beberapa variabel sebagai indikator yang dapat menunjukkan dan mengukur konsep tersebut.
7
Dunia konsep (abstrak)
-------------------- X -------------------------
Operasionalisasi
Dunia nyata/ empiris konkrit
X1
X1.1 X1.2
X2
X2.1 X2.2
X3
X3.1
X3.2
Keterangan: X = Status sosial ekonomi X1 = Pendidikan; X2 = pekerjaan; X3 = penghasilan X1.1 = jenjang pendidikan terakhir X1.2 = lama waktu pendidikan X2.1 = jenis pekerjaan utama; X2.2 = jenis pek. sampingan X3.1 = jumlah penghasilan utama; X3.2 = jumlah penghasilan sampingan X1,X2, dan X3 adalah indikator untuk X X1.1 dan X1.2 adalah indikator untuk X1. Definisi operasional merupakan petunjuk tentang suatu variabel yang diukur, sangat membantu dalam komunikasi antara peneliti. Misalnya, "Penduduk yang tergolong miskin adalah mereka yang mempunyai tingkat pengeluaran senilai kurang dari 320 kg beras per kapita per tahun untuk penduduk pedesaan dan 480 kg untuk perkotaan." 6. Hubungan antar variabel Hubungan antara variabel berdasarkan sifat hubungannya dapat dibedakan menjadi hubungan simetris dan hubungan asimetris; berdasar kan jumlah variabel yang terlibat menjadi bivariat dan multivariat; berdasar kan bentuk hubungannya menjadi linear dan tidak linear; berdasarkan kondisi hubungannya menjadi hubungan yang perlu, hubungan yang cukup dan hubungan yang perlu dan cukup. Kaitan antara teori dengan hipotesis dan konsep dengan variabel dapat diabstraksikan sbb:
8
. Teori Tingkatan KONSEP <-----------------------------> KONSEP teori | | | | | | | | | | | | | | | | Tingkatan Hipotesis empiris VARIABEL <---------------------------> VARIABEL
Dalam hubungan antar variabel seringkali ditemukan adanya variabel antara sbb:
Variabel bebas
Variabel antara
Var tidk bebas
X --------------------------> Z ------------------> Y
Variabel bebas X1 Variabel antara
Var tdk bebas
Z -------------------------------- > Y Variabel bebas X2
Variabel kontrol: variabel yang berperan mengontrol hubungan antara dua variabel, yaitu hubungan semu atau sejati. Hubungan semu adalah hubungan antara dua variabel yang hanya ada dalam data, tetapi secara logika sebenarnya tidak ada hubungan. Hubungan ini ada karena terdapat variabel ke tiga yang berhubungan secara positif dengan kedua variabel.
9
Ada-tidaknya kebun binatang X
Y
hubungan positif
Tingkat kejahatan
hubungan positif Z Besar-kecilnya kota
7. Validitas (Keabsahan) dan Reliabilitas (keterandalan) Dalam usaha untuk memperoleh kejelasan tentang konsep atau hubungan antar konsep yang sedang diteliti, langkah penting yang harus dilakukan adalah mengadakan pengukuran. Dalam konteks pengukuran inilah muncul masalah keabsahan dan keterandalan. "Apakah anda betul mengukur apa yang hendak anda ukur?" Suatu penelitian disebut valid (absah) apabila peneliti memang menukur konsep yang digunakan dalam penelitiannya sesuai dengan apa yang hendak diukur dan konsep itu diukur secara tepat. Dengan kata lain keabsahan menyatakan tingkat kesesuaian antara konsep dan hasil pengukuran atau antara konsep dengan kenyataan empiris. Keterandalan mencerminkan kecepatan dan kemantapan alat ukur dalam mengukur suatu konsep, sehingga yang dipermasalahkan adalah kesesuaian antara hasil-hasil pengukuran di tingkatan kenyataan empiris.
10
BEBERAPA METODE ANALISIS DATA
1. Pendahuluan Tujuan pokok suatu penelitian adalah untuk menjawab per-tanyaan dan hipotesis. Untuk itu peneliti merumuskan hipotesis, mengumpulkan data, memproses data, membuat analisis dan interpretasi. Analisis data belum dapat menjawab pertanyaan penelitian. Setelah data dianalisis dan diperoleh informasi yang lebih sederhana, hasil analisis tersebut harus diinterpretasi untuk mencari makna dan implikasi dari hasil-hasil analisis tersebut. Dalam proses analisis data, peneliti menggolongkan, meng-urutkan, dan menyederhanakan data. Tujuan analisis data ini adalah untuk menyederhanakan data ke dalam bentuk yang lebih mudah dibaca dan diinterpretasi. Dalam proses analisis ini seringkali digunakan metode-metode statistik. Dengan menggunakan metode statistik ini dapat diperbandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil yang terjadi secraa kebetulan. Sehingga peneliti mampu menguji apakah hubungan yang diamatinya memang betul-betul terjadi karena hubungan sistematis antara variabel yang diteliti atau hanya terjadi secara kebetulan. Proses analisis data tidak berhenti sampai sekian. Hasil analisis harus dapat diinterpretasikan, artinya diadakan "interferensia" tentang hubungan yang diteliti. Peneliti melakukan inbterferensi ini dalam usaha untuk mencari makna dan implikasi yang lebih luas dari hasil-hasil penelitiannya. Interpretasi dapat dilakukan menurut pengertian yang sempit, hanya melibatkan data dan hubungan-hubungan yang diper-olehnya. Interpretasi juga dapat dilakukan dalam makna yang lebih luas, openeliti berupaya membandingkan hasil penelitiannya dengan hasil-hasil peneliti lain serta menghubungkan kembali hasil inferensinya dengan teori. Beberapa teknik analisis data untuk penelitian sosial dapat diabstraksikan seperti Tabel 1.
11
Tabel 1. Beberapa teknik analisis data Vriabel terpe ngaruh Nominal Dikotomi
Dikotomi
Variabel Pengaruh Nominal Ordinal Politomi
1.Uji perbedaan
1. Kruskal-Wallis
2.Chi-Square
2.Analisis ragam dua arah Friedman
Politomi
3.Uji ketepatan Fisher 4. Koefisien Phi 1. Chi Squarw
Ordinal
2. Kendall 1.Mann-Whitney
1.Rank-order correlation 2.Kendall 3. Gamma 4. Koefien Konkordan
1.Analisis ragam
2.Uji beda nyata
3.Uji tanda
4.Uji M & Uji-U 5.Analisis klasifikasi silang
Regresi ganda logistik Analisis determinan
1. Chi Square 2. Kendall
2.SmirnovKolmogorov
Interval
Interval
Analisis ragam dengan korelasi inter-kelas Regresi ganda peubah dumy Analisis klasi fikasi ganda Analisis klasifikasi silang
Mengubah var. ordinal menjadi nominal dan pakai analisis determinan atau regresi berganda logistik atau Ubah var interval menjadi ordinal dan analisis nonparametrik 1.Korelasi & regresi
2.Korelasi dan regresi berganda
3.Path analisis
4.Regresi parsial
12
Pengertian dan makna "analisis data" dalam hal ini menyangkut berbagai aktivitas menghimpun, menata, menghitung, mengevaluasi, dan menginter pretasikan data untuk mendapatkan informasi yang dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan yang dihadapi. Sedangkan penafsiran hasil analisis data merupakan tahap selanjutnya dari proses analisis untuk sampai kepadfa kesimpulan. Dengan demikian analisis data dan interpretasi hasilnya merupakan dua macam proses yang tidak dapat dipisah-pisahkan. Oleh karena itu bobot informasi atau kesimpulan yang diperoleh sangat tergantung pada kejelian penafsiran dan ketajaman dalam menganalisis data. Atau data yang dianalisis belum memenuhi syarat yang diperlukan (tidak lengkap). 2. Dasar-dasar Aljabar Banyak teknik pengambilan keputusan dan metode analisis didasarkan pada aljabar. Oleh karena itu tidak ada salahnya kalau pada kesempatan ini kita kaji kembali beberapa prinsip aljabar. 2.1. Peubah dan konstante Peubah dalam konteks matematik merupakan suatu "entity" yang dapat dinyatakan sebagai salah satu dari beberapa nilai numerik. Pada kenyataannya peubah ini mempunyai nilai-spesifik yang dapat berubah-ubah. Konsep tentang konstante jelas berbeda dengan konsep peubah seperti di atas. Suatu konstante dapat dikonsepsikan sebagai "a fixed numeral". Dengan demikian harus dapat membedakan antara konstante dengan "nilai tertentu" dari suatu peubah. 2.2. Operasi Dasar Matematika Penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pemang katan kadangkala disebut sebagai operasi matematika. Suatu ekspresi tunggal dapat mewakili beberapa operasi matematik, baik secara implisit maupun secara eksplisit. Urutan penyelesaian operasi mate-matik sangat penting dan harus meng ikuti aturan yang telah disepakati bersama. Aturan mengenai urutan penyelesaian operasi matematika adalah : Pemangkatan, Perkalian dan pembagian, dan Penambahan dan pengurangan. 2.3. Persamaan Banyak orang mungkin telah mengetahui dan memahami makna dari tanda " = ". Suatu pernyataan matematika yang mengandung tanda ini disebut "persamaan". Pada hakekatnya "persamaan" ini dapat menyatakan hubungan fungsional antara ruas kiri dan ruas kanan. Dengan demikian nilai dari peubah di ruas kiri dapat dihitung kalau nilai peubah di ruas kanan diketahui. Proses ini dikenal sebagai evaluasi fungsi atas dasar nilai-nilai tertentu dari peubah-peubah di ruas kanan. Ada simbol matematika khusus yang digunakan untuk menya takan suatu fungsi. Misalkan I = f(p,r,t), menyatakan hubungan fungsional antara I dengan p, r, dan t. 2.4. Peubah Dependent dan Independent Dalam suatu hubungan fungsional dapat dibedakan antara peubah dependent dan independent. Nilai dari peubah dependent tergantung pada nilai-nil;ai dari
13
peubah independent-nya. Untuk mengevaluasi suatu fungsi, nilai dari peubah independent-nya harus diketahui lebih dahulu. 2.5. Ketidak-samaan Suatu ketidak-samaan dapat mengandung salah satu dari dua hubungan, yaitu (i) hubungan lebih besar dari ( dengan simbol > ), atau (ii) hubungan lebih kecil dari (dengan simbol < ). Perluasan dari konsepsi ini adalah pemaduan tanda "sama dengan" ke dalam simbol ketidak-samaan. 2.6. Eksponen Ekspresi m5 mempunyai makna bahwa peubah m nilainya ditingkatkan lima kali dengan jalan saling mengalikan sesamanya, yaitu m x m x m x m x m. Angka 5 dalam ekspresi matematik ini disebut eksponen. Sehubungan dengan konsepsi ini ada lima macam aturan penting, yaitu: 1. X0 = 1 , (X = nilai dari peubah, atau konstante) 2. X1 = X 3. X2 x X3 = X2+3 = X5 4. Xa x Yb = Xa Yb 5. X-a = 1/Xa 2.7. Menggrafikkan Hubungan Aljabar Dalam banyak kasus ternyata grafik dapat digunakan untuk mengekspresikan hubungan aljabar. 2.7.1. Menggrafikkan Hubungan Fungsional Sarana lain untuk menyatakan suatu hubungan fungsio-nal adalah grafik. Dengan melihat grafik inibiasanya orang akan lebih mudah dan lebih cepat memperoleh informasintentang perilaku hubungan fungsional yang diwakilinya. Suatu fungsi aljabar : r = 14 t dapat digrafikkan menjadi seperti Gambar 4.1. 2.7.2. Fungsi-fungsi linear Suatu fungsi yang grafiknya berupa garis lurus disebut fungsi linear. Fungsi ini mempunyai konstante yang menyatakan kecepatan naiknya nilai fungsi (peubah dependent) kalau peubah dependent-nya berubah. 2.7.3. Fungsi-fungsi Kurvilinear Fungsi ini grafiknya berupa garis lengkung. Slope dari grafik ini tidak konstan. Salah satu bentuk fungsi ini adalah fungsi kuadratik, misalnya : Y = 4 X2 + 2 X - 3 yang dapat digrafikkan seperti Gambar 2. 2.7.4. Fungsi Linear tidak homogen (piecewise linear) Fungsi ini dalam beberapa hal menyerupai fungsi linear dan dalam hal-hal lainnya menyerupai fungsi kurvi-linear. Fungsi ini dicirikan oleh grafik yang tersusun atas segmen-segmen yang jelas bedanya, setiap segmen berupa garis linear,
14
dan semua segmen-seghmen ini mempunyai slope yang berbeda. Grafik dari fungsi ini disajikan dalam Gambar 3.
3. Kalkulus Diferensial Kalkulus diferensial dapat digunakan untuk menentukan kecepatan perubahan nilai suatu fungsi relatif terhadap perubahan peubah independen. 3.1. Derivatif Pada kenyataannya istilah "diferensial" menyatakan perbedaan yang terjadi pada nilai suatu fungsi sebagai akibat dari perubahan nilai peubah independent-nya. Alat yang dapat digunakan untuk menentukan perbedaan tersebut adalah "derivative". Derivatif suatu fungsi merupakan formula spesial yang dapat diperoleh melalui proses diferensiasi. Proses ini melibatkan penggunaan aturan-aturan tertentu guna memodifikasi terma-terma dalam fungsi orisinilnya. Aturan ini didasarkan atas suatu skema klasifikasi yang telah disepakati bersama dalam kalkulus diferensial. Suatu notasi matematik yang sering digunakan untuk menya takan suatu derivatif ialah rasio. Pembilang dari rasio ini adalah fungsi atau peubah dependent (y), sedangkan penyebutnya peubah independent (x). Notasi rasio ini telah lazim dituliskan sebagai dY/dX. 1. 2. 3. 4. 5.
f(X) = C ............... dC/dX = 0 f(X) = Xn ............... dXn/dX = nXn-1 f(X) = CXn ............... dCXn/dX = C (dXn/dX) Y=f1(X) = ef2(X) .... dY/dX = ef2(X)(df2(X)/dX) Y=fo(X)= f1(X) + f2(X) ...........dY/dX=df1(X)/dX + df2(X)/dX
3.2. Nilai Ekstrim dari suatu Fungsi Nilai ekstrim dari suatu fungsi seringkali sangat penting dalam proses pengambilan keputusan. Tiga macam nilai ekstrim yang telah populer adalah minimum, maksimum dan titik belok. Langkah-langkah yang lazim digunakan untuk mendapatkan nilai ekstrim adalah: (1). Menentukan apakah nilai ekstrim dari suatu fungsi adalah maksimum atau minimum (2). Menentukan berapa nilai peubah independent yang menyebabkan fungsi mencapai nilai ekstrim. (3). Menentukan apakah suatu fungsi mempunyai nilai ekstrim. 3.3. Derivatif Parsial Banyak fungsi mempunyai banyak peubah independent, dan fungsi seperti ini dikenal dengan fungsi multivariate (fungsi peubah ganda). Seringkali kita perlu mengetahui kecepatan perubahan fungsi peubah ganda terhadap perubahan salah satu dari peubah-peubah independent-nya, sehingga kita harus melakukan proses diferensiasi parsial. Hasil dari proses ini disebut derivatif parsiil.
15
Aturan yang berlaku dalam diferensiasi parsiil serupa dengan diferensiasi biasa, hanya saja harus diperhatikan bahwa peubah independent yang tidak terlibat diperlakukan sebagai konstante. Prosedur untuk menemukan nilai ekstrim pada fungsi univariate dapat diadopsi untuk fungsi multivariat sbb: (1). diferensiasi secara parsiil terhadap peubah tertentu, (2). tetapkan derivatif parsial sama dengan nol dan selesaikan untuk peubah yang bersangkutan, (3) evaluasi fungsi orisinal pada nilai ini untuk menentukan nilai-ekstrimnya. 4. Aljabar Matriks Aljabar matriks, yang kadangkala juga disebut dengan aljabar linear, terdiri atas seperangkat aturan untuk melaksanakan operasi matematik atas sekelompok angka-angka sebagai kesatuan tunggal dan bukan atas angka-angka secara individual. Secara struktural angka-angka tersebut harus disusun secara runtut hingga membentuk suatu matriks, terdiri atas baris horisontal dan kolom vertikal. Secara teoritis, angka tunggal dapat dipandang sebagai suatu matriks yang terdiri atas satu baris dan satu kolom. Pada kenyataannya tatanan paling sederhana yang dianggap sebagai matriks adalah terdiri atas (1) satu baris dan beberapa kolom atau (2) satu kolom dan beberapa baris. Istilah "vektor" seringkali juga digunakan sebagai namakhusus bagi salah satu dari ke dua tipe matriks ini, yaitu vektor baris atau vektor kolom. Beberaspa contoh bentuk matriks: A=¦ 1 2 3 4 5 ¦ M = ¦ 1 ¦ ¦2¦ ¦3¦ ¦4¦
N = ¦ 1 3 6 12¦ ¦4 8 9 3 ¦ ¦ 9 3 1 21¦ ¦ 22 7 9 5 ¦
Operasi matematika seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dapat diimplementasikan pada matriks.
5. Linear Programming (Programasi linear), LP LP merupakan suatu model yang dapat digunakan dalam banyak macam persoalan pengambilan keputusan, terutama dalam pemecahan masalah pengalokasian sumberdaya yang terbatas secara optimal. Masalah timbul kalau seseorang harus memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumberdaya yang sama sedangkan jumlah total sumberdaya tsb terbatas. Kadangkala kata "programming" di sini dikacaukan dengan "computer programming". Meskipun pada kenyataannya penyelesaian problem LP tanpa komputer sangat sulit, namun sebenarnya makna "programming" dalam LP ini adalah penetapan suatu program yang berarti "rencana". Dengan demikian kata "planning" dapat menjadi substitute kata "programming". "Linear" menyatakan makna bahwa setiap unit sumberdaya, atau input, yang dilibatkan dalam "rencana" tersebut mempunyai kontribusi yang sama dengan unit-unit lain dari input yang sama tanpa memperhatikan volume atau taraf operasinya. Demikian juga setiap unit output mempunyai nilai yang sama tanpa memperhatikan taraf operasinya sehingga
16
dapat dijumlahkan langsung. Salah satu contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan model LP adalah pendistribusian bahan bakar dari beberapa pusat depot ke beberapa tempat stasiun pengisian bahan bakar dalam rangka untuk meminimumkan total biaya transportasinya. Berbagai persoalan perencanaan menu gizi bagi formulasi pakan ternak juga dapat diselesaikan dengan model LP. Dalam memformulasikan model LP diperlukan ekspresi matematik yang dapat digunakan untuk mmenyatakan (1) fungsi tujuan yang akan dicapai, dan (2) fungsi pembatas atau fungsi kendala dalam penggunaan sumberdaya atau input untuk mencapai tujuan. Model LP ini selalu dirumuskan sedemikian rupa sehingga ekspresi tujuan (fungsi tujuan) dapat dimaksimumkan atau dimini-mumkan dalam proses penemuan penyelesaian (solution). Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memfor mulasikan problem LP melibatkan langkah-langkah berikut: 1. Identifikasi tujuan akhir dari pengambil keputusan dan kemudian rumuskan secara verbal 2. Identifikasi kendala sumberdaya yang ada dalam upaya mencapai tujuan akhir 3. Identifikasi peubah-peubah keputusan yang terkait dengan fungsi kendala dan fungsi tujuan 4. Identifikasi koefisien dari peubah-peubah yang terkait dengan fungsi tujuan, dan formulasikan fungsi tujuan secara matematik 5. Identifikasi koefisien dari peubah-peubah yang terkait dengan konsumsi/ penggunaan sumberdaya atau input, dan total jumlah sumberdaya yang tersedia. Formulasikan fungsi kendala secara matematik. Prosedur penyelesaiannya serupa dengan menyelesaikan sepe rangkat persamaan linear simultan. Teknik khusus yang sering digu nakan didasarkan pada prosedur algoritme simpleks. Biasanya ada banyak sekali "penyelesaian, solution" yang layak bagi suatu sistem LP, tetapi hanya ada satu penyelesaian (optimal) yang diharapkan dapat memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan. Model LP dapat diselesaikan secara numerik dan secara grafik. Maksimumkan Fungsi tujuan: Z = 3X1 + 5X2 dengan menghadapi fungsi kendala: 1. 2 X1 <= 8 2. 3 X2 <= 15 4. X1, X2 >= 0 3. 6 X1 + 5 X2 <= 30 Daerah layak pada Gambar 4 menunjukkan bagian yang memenuhi "persyaratan" yang ditetapkan oleh ke empat fungsi kendala, yaitu daerah dimana kombinasi (X1,X2) memenuhi persyaratan. Langkah selanjutnya ialah mencari suatu titik (kombinasi X1 dan X2) yang terletak di dalam daerah layak yang dapat memaksimumkan nilai Z. Hal tersebut di atas dapat dilakukan dengan jalan meng-gambarkan fungsi tujuan atau dengan membandingkan nilai Z pada setiap alternatif. alam gambar di atas, garis dari fungsi tujuan dapat digeser ke arah kanan di dalam kisaran daerah layak hingga mencapai nilai Z yang sebesar-besarnya.
17
6. Prinsip Dasar Statistik Banyak model-model kuantitatif mengasumsikan bahwa data yang relevan dapat ditentukan dengan pasti. Data seperti ini secara teknis disebut "deterministik", sedangkan data yang tidak dapat ditentukan secara pasti disebut "probabilistik" atau stokastik". Suatu peubah yang nilainya tidak dapat diperkirakan dengan pasti disebut "peubah acak". Kadangkala kita perlu membedakan antara peubah acak diskrit dengan peubah acak kontinyu. 6.1. Peluang subyektif dan obyektif Dalam fenomena-fenomena stokastik, perihal yang penting ialah bagaimana menentukan besarnya peluang yang terkait dengan suatu outcome dari peubah acak. Penentuan peluang ini dapat dilakukan berdasarkan "feeling" dari peneliti sehingga disebut peluang subyektif, atau berdasarkan pengalaman/outcome obyektif yang terjadi sebelumnya sehingga disebut peluang obyektif. Masalah peluang ini sangat penting artinya dalam kejadian-kejadian yang berulang. Sehingga seringkali kita kenal istilah "distribusi frekuensi", yang pada hakekatnya menyatakan setiap nilaidari suatu peubah acak dan frekuensinya masing-masing (Tabel 4). 6.2. Nilai Harapan Nilai harapan dari suatu peubah acak pada hakekatnya merupakan rataan terboboti dari semua nilai yang mungkin terjadi. Pembobot bagi setiap nilai peubah adalah peluangnya masing-masing. Tabel 4. Teladan distribusi frekuensi _________________________________________________________ Kode Nomer Banyaknya hari Peluang munculnya munculnya nomer kode nomer _________________________________________________________ 152 2 0.067 155 3 0.100 159 7 0.233 160 8 0.266 163 5 0.167 164 3 0.100 167 2 0.067 _________________________________________________________ 30 1.00 _________________________________________________________ Teladan sederhana adalah berikut ini: Jumlah kendaraan Peluang 2 0.20 3 0.80 ----------1.00
18
Nilai harapan dari peubah acak (jumlah kendaraan yang terjual dalam suatu hari) adalah (0.2 x 2 + 0.8 x 3) atau = 2.8 kendaraan. Nilai ini memerlukan interpretasi hati-hati. 6.3. Variasi dan Analisis Ragam Variasi di antara berbagai nilai yang mungkin terjadi dari suatu peubah acak seringkali disebut "dispersi". Ukuran besarnya dispersi dari suatu peubah acak disebut "ragam, variance". Pada dasarnya ragam ini merupakan rata-rata kuadrat simpangan dari suatu peubah acak terhadap nilai rata-ratanya (mean). Akar kuadrat dari ragam disebut "simpangan baku", yang kegunaan utamanya terletak pada kemampuannya untuk mengekspresikan dispersi dalam bentuk unit ukuran orisinalnya. Model dasar dari analisis ragam mengasumsikan sejumlah tertentu faktor independen atau efek-efeknya yang ditambahkan kepada rataan, mampu mendefinisikan situasi praktis yang dimodel. Dengan demikian suatu eksperimen sederhana dengan t perlakuan dan diulang r kali dapat didefiniskan dengan model: Yij = µ + ßi + j + ij dimana µ adalah rata-rata; ß adalah pengaruh ulangan ke-i (i = 1 - r); adalah pengaruh perlakuan ke-j (j = 1 - t), dan adalah kesalahan acak yang tersebar normal dan independen dengan rataan nol dan ragam 2.
7. Korelasi Secara umum dapat dikatakan bahwa "korelasi" merupakan peralatan statistik yang mengukur kekuatan hubungan antara dua peubah atau lebih. Dengan demikian dikenal dua macam korelasi, yaitu korelasi sederhana dan korelasi majemuk atau berganda. Ukuran dari korelasi tersebut adalah (i) koefisien-korelasi (r) yang nilai numeriknya berkisar antara -1 dan +1, dan (ii) koefisien determinasi (r2). Koefisien determinasi yang merupakan kuadrat dari koefisien korelasi pada hakekatnya menyatakan sebagian (persentase) dari total variasi (peubah 1) yang dapat diterangkan oleh variasi peubah 2. Jadi nilai r2 = 0.846 atau 84.6% menyataan bahwa 84.6% dari variasi peubah 1 dapat dijelaskan oleh variasi peubah 2, sedangkan 15.4% dari total variasi disebabkan olah faktor lainnya..
8. Regresi Dalam permasalahan pengelolaan dan menejemen seringkali dijumpai kegiatan peramalan, pendugaan, perkiraan, dan lainnya. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk maksud-maksud ini adalah regresi. Metode analisis ini sangat
19
tepat kalau peubah yang diramal secara logis "dependent" terhadap peubah lainnya ("independent"). Misalnya ada ketergantungan logis antara "sales" dan "biaya perjalanan salesmen". Apabila peubah independent-nya hanya satu maka disebut regresi sederhana , dan apabila peubah independent-nya lebih dari satu maka disebut regresi-berganda. Dalam rangka untuk dapat mengimplementasikan regresi ini ada dua kriteria yang harus diperhatikan, yaitu (i) apakah ada peubah lain yang mempunyai hubungan "prasyarat" logis dengan peubah dependent, dan (ii) apakah bentuk hubungan logis tersebut linear atau non-linear. Untuk dapat menjawab kriteria pertama tersebut kita harus menguasai landasan teoritis yang melatar-belakangi permasalahan yang dihadapi. Hubungan logis yang menjadi prasyarat tersebut dapat berupa fubungan fungsional atau hubungan sebab-akibat. Sedangkan bentuk hubungan antara dua peubah dapat dilihat dengan menggunakan diagram pencar yang melukiskan titik-titik data (Gambar 5). Hubungan antara dua peubah tersebut di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matematis sbb: 1. Model regresi linear: Y = a + b X 2. Model regresi non linear: 2.1. Kuadratik : Y = a + bX + c X2 2.2. Eksponensial : Y = a (ecX) atau Y = a (e-cX) 2.3. Asimtotis : Y = a - b(e-cX) 2.4. Logistik : Y = a / (1+b rX). Grafik hubungan-hubungan tersebut dilukiskan dalam Gambar 6. Model regresi yang melibatkan lebih dari satu peubah in-dependent dinamakan model regresi berganda, salah satu contoh yang populer adalah Regresi Linear Berganda. Dua macam penggunaan yang sangat penting dari model regresi ini ialah (i) membangun persamaan yang melibatkan beberapa peubah independent (Xi) yang dapat digunakan untuk menduga perilaku peubah independent (Y), dan (ii) menemukan peubah-peubah independent (Xi) yang berhubungan dengan peubah Y, mengurutkan tingkat kepen tingannya, dan menginterpretasikan hubungan- hubungan yang ada. Model matematikanya adalah: Y = a + b1X1 + b2X2 + ........ + bn Xn dimana: Y = peubah independent X1 = peubah independent pertama X2 = peubah independent ke dua Xn = peubah independent ke n a = intercept b1, b2, bn, ....... = koefisien regresi.
20
9. Teori Permainan Teori permainan (game theory) merupakan pendekatan matematik untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan. Teori ini dikembangkan untuk menganalisis proses pengambilan keputusan dari situasi-situasi persaingan yang bebeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Misalnya para pimpinan pemasaran bersaing dalam memperebutkan pangsa pasar, yang semuanya terlibat dalam usaha untuk memenangkan permainan. Kepentingankepentingan yang bersaing dalam permainan disebut para "pemain". Diasumsikan bahwa setiap pemain mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas dan rasional. Model-model teori permainan ini dapat diklasifikasikan menurut jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, serta jumlah strategi yang digunakan dalam permainan. Telada berikut adalah Permainan dua- pemain-jumlah-nol "(2 person zero sum game)". Matriks pay-off nya disajikan dalam Tabel 6.
Tabel 6. Matriks pay-off Permainan Dua-Pemain Jumlah-Nol _________________________________________________________ Pemain B Pemain A -------------------------------------B1 B2 B3 _________________________________________________________ A1 6 9 2 A2 8 5 4 _________________________________________________________
(1).
(2).
(3). (4).
Beberapa hal dapat dijelaskan berikut ini: Angka-angka dalam matriks pay-off (matriks permainan) menunjukkan haslhasil (atau pay off) dari berbagai strategi permainan. Hasil-hasil ini dapat dinyatakan sebagai ukuran efektivitas seperti jumlah uang, persentase pangsa pasar, atau utilitas. Dalam teladan ini, bilangan positif dapat menunjukkan keuntungan bagi pemain baris (maximizing player) dan merupakan kerugian bagi pemain kolom (minimizing player). Kalau pemain A menggunakan strategi A1 dan pemain B memilih strategi B2, maka hasilnya ialah A memperoleh keuntungan 9 dan B mengalami kerugian 9. Asumsinya bahwa matriks permainan diketahui oleh kedua pemain. Strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana dari seorang pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain lawannya. Aturan permainan melukiskan kerangka dimana para pe-main memilih strateginya masing-masing. Nilai permainan adalah hasil yang diperkirakan per-mainan dimana kedua pemain menggunakan strateginya yang paling baik atau optimal. Suatu
21
permainan disebut "adil" apabila nilainya nol, dimana tidak ada pemain yang memperoleh keuntungan atau kemenangan. (5). Suatu strategi dominan apabila setiap pay-off dalam strategi adalah supe-rior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alter-natif. (6). Strategi optimal adalah rangkaian kegiatan atau ren- cana yang menyeluruh, yang menyebabkan seorang pemain dalam posisi yang paling mengun tungkan tanpa memperhatikan kegiatan para lawannya. (7). Tujuan dari model permainan adalah menidentifikasikan strategi atau ren-cana optimal bagi setiap pemain. Dalam teladan di atas, strategi optimal bagi A adalah A2; dan strategi optimal bagi B adalah B3. Berdasarkan uraian di atas, konsep teori permainan sangat penting dalam masalah-masalah: (1). Pengembangan suatu kerangka untuk analisis pengambilan kepu-tusan dalam kondisi persaingan (dan juga kerjasama) (2). Penguraian suatu metode kuantitatif yang sistematis yang memungkinkan para pemain memilih strategi yang rasional dalam upaya mencapai tujuan (3). Gambaran dan penjelasan tentang fenomena situasi persaingan atau konflik, seperti tawar-menawar dan perumusan koalisi.
10. Teori Keputusan Dalam dunia nyata, para pengambil kebijakan seringkali diha-dapkan pada kelangkaan informasi yang diperlukan untuk menentukan keputusan. Dalam perihal akurasi dan variabilitas informasi tersebut pada hakekatnya dapat diklasifikasikan menjadi tiga kategori, yaitu "kepastian (certainty), risiko (risky), dan ketidakpastian (uncertainty)." Model-model keputusan dengan informasi yang pasti (certainty) menunjukkan bahwa setiap rangkaian kegiatan mempunyai hasil tertentu yang tunggal. Modelini tergolong deterministik. Model keputusan dengan keadaan risiko (model stokastik) mengandung adanya keacakan. Risiko menggambarkan informasi yang mengidentifikasikan bahwa setiap rangkaian keputusan mempu-nyai sejumlah kemungkinan hasil dan peluang terjadinya. Model keputusan dengan keadaan ketidak-pastian menunjukkan bahwa peluang terjadinya hasil dari keputusan-kepu tusan tidak dapat ditentukan. Tujuan dari teori keputusan a.l. adalah untuk memaksi mumkan (atau meminimumkan) "benefits" (atau cost) rata-rata jangka panjang berbagai keputusan yang menghadapi kondisi risiko. Sedangkan pengambilan keputusan pada kondisi ketidak-pastian dikaji dalam teori permainan. 10.1. Konsep-konsep Dasar Model keputusan yang umum terdiri atas komponen-komponen: (1). Keadaan dasar: sekumpulan kejadian acak yang mungkin dapat mempe ngaruhi hasil keputusan
22
(2). Peluang-peluang yang berkaitan dengan keadaan dasar (3). Keputusan: sekumpulan kegiatan yang mungkin diambil oleh pengambil keputusan (4). Pay off. Sekumpulan benefit atau cost yang mungkin dapat dihasilkan dari keputusan dan keadaan dasar yang acak. 10.2. Kriteria keputusan Keputusan optimal yang dapat diambil tergantung pada sasaran yang ingin dicapai oleh pengambil keputusan. Beberapa macam kriteria yang sering digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan sasaran adalah : (1). Kriteria Nilai Harapan Nilai harapan dari suatu peubah acak X adalah samadengan penjumlahan semua nilai X yang mungkin terjadi dikalikan dengan peluangnya masing-masing. Konsepsinya adalah memilih keputusan yang mempunyai pay-off yang maksimum atau biaya yang minimum. (2). Kriteria Pohon Keputusan Dalam hal keputusan yang berurutan, pohon keputusan merupakan suatu peralatan pemodelan konseptual dan skematik yang ampuh. Pohon keputusan adalah representasi skematik dari suatu masalah keputusan. (3). Kriteria ragam Besar-kecilnya risiko diukur dengan ragam; semakin besar ragam berarti semakin tidak seragam atau dengan kata lain risikonya semakin besar. Kriteria yang diguakan adalah: Maksimumkan E(Z) - K . Ragam (Z) dimana E(Z) adalah hasil yang diharapkan dari kegiatan Z, sedangkan K adalah pembobot yang mencerminkan kepekaan seseorang terhadap risiko. Semakin tidak senang risiko berarti nilai K semakin besar. (4). Kriteria Maximax. Keputusan yang dipulih adalah yang menghasilkan pay-off paling besar tanpa mempedulikan keadaan dasar yang seharusnya dipilih. (5). Kriteria Maximin Keputusan yang dipilih adalah yang mempunyai maksimum dari pay- off yang minimum. Kriteria ini agak pesimistik. (6). Kriteria peluang maksimum Seseorang seharusnya memilih keputusan optimal atau landasan keadaan dasar yang paling sering terjadi (modus). (7). Kriteria Laplace Dalam kondisi tidak tersedia bukti atau data yang kuat, maka setiap keadaan dasar dianggap mempunyai peluang yang sama besar. Oleh karena itu, seseorang harus memilih keadaan dasar yang mempunyai benefit rata-rata tertinggi. 11. Analisis Jaringan Kerja Analisis jaringan kerja juga sering dikenal dengan istilah "network planning atau network analysis". Analisis ini sering digunakan untuk perencanaan, penyelenggaraan dan evaluasi proyek-proyek kegiatan. Dua metode yang telah
23
populer adalah "PERT (Programme Evaluation and Review Technique) dan CPM (Critical Path Method)". Metode PERT menganggap bahwa proyek terdiri atas peristiwa-peristiwa yang susul-menyusul, sedangkap CPM menganggap proyek terdiri atas kegiatankegiatan yang saling berhubungan membentuk lintasan-lintasan tertentu. Visualisasi suatu proyek menurut kedua metode ini adalah berupa diagram network. Beberapa simbol yang lazim digunakan dalam diagram network adalah (i) anak panah, yang melambangkan kegiatan, (ii) lingkaran, yang melambangkan peristiwa dan (iii) anak panah terputus-putus, yang melam bangkan hubungan antara dua peristiwa. Diagram network merupakan visualisasi proyek berdasarkan analisis jaringan kerja, biasanya diagram ini terdiri atas simbol kegiatan, simbol peristiwa, dan simbol hubungan antar-peristiwa. Diagram ini menyatakan logika ketergantungan antar kegiatan yang ada dalam proyek dan menyatakan urutan peristiwa yang terjadi selama penyelenggaraan proyek. Salah satu implementasi metode analisis ini ialah dalam analisis waktu, analisis sumberdaya, dan analisis biaya pada suatu proyek.
13. Data Enumerasi Salah satu metode untuk analisis data enumerasi adalah "chi-kuadrat". Data enumerasi lazimnya melibatkan peubah-peubah diskrit yang lebih mengarah kepada ciri kualitatif daripada kuantitatif. Dengan demikian data berupa jumlah individu yang tergolong ke dalam kelas-kelas tertentu. Misalnya, suatu populasi diambil contohnya dan kemudian dihitung banyaknya individu jantan dan betina dari contoh tersebut. Dalam suatu populasi atau dalam suatu contoh, individu dapat diklasifikasikan menurut beberapa peubah. Misalnya penduduk di suatu kampung dapat dikelompokkan atas dasar kebiasaan merokok, dan kemudian dikelompokkan lagi berdasarkan kerentanan terhadap penyakit kanker. Berdasarkan kriteria di atas maka dapat disusun tabel dua arah seperti Tabel 7. Tabel 7. Tabel kontingensi dua arah
Rentan Kanker Tidak rentan kanker Jumlah
Perokok
Tidak merokok
Jumlah
200 180 380
300 310 610
500 490 990
Dengan data seperti di atas kita dapat melakukan analisis lebih lanjut untuk mengetahui apakah ada hubungan antara kebiasaan merokok dengan kerentanan terhadap penyakit kanker. Kriteria uji Chi-kuadrat dapat dihitung dan kemudian dibandingkan dengan nilai Chi-kuadrat dalam tabel standar. Teladan lain misalnya hasil percobaan pemberian pakan kepada tikus (Tabel 8) Data ini dapat dianalisis untuk mengetahui pengaruh bahan pakan terhadap kehidupan tikus, atau untuk mengetahui apakah sebenarnya peluang tikus untuk
24
hidup sama besar setelah diberi kedua macam bahan pakan tersebut. Data binomial dalam tabel yang dimensinya lebih dari dua mengisyaratkan problematik statistik dan interpretasinya yang rumit. Suatu teladan sederhana berikut ini adalah hasil percobaan pemberian pakan konsentrat terhadap kesehatan tubuh dua jenis kelinci (Tabel 9). Tujuan dari percobaan ini adalah untuk mengetahui apakah pengaruh konsentrat terhadap kesehatan tubuh kelinci jenis A berbeda dengan jenis B. Untuk menjawab pertanyaan tersebut data dapat dianalisis dengan menggunakan teknikteknik Chi-kuadrat . Kriteria uji dapat dikembangkan dengan melibatkan peluang di masing-masing "Cel" dari tabel kontingensi. Tabel 8. Tabel kontingensi dua arah (Hasil percobaan pemberian pakan pada tikus) _________________________________________________________ Perlakuan pakan Jumlah tikus yang: Hidup Mati Total _________________________________________________________ Kaldu standar 8 12 20 Campur penisilin 48 62 110 _________________________________________________________ Total 56 74 130 ______________________________________________________
14. Data Multivariate Dalam perihal-perihal tertentu ternyata para pakar telah membuat pembedaan antara "variable" dan "variate". Suatu "variable" adalah "kuantita yang mempunyai nilai berbeda untuk individu yang berbeda, atau mempunyai nilai berbeda untuk individu yang sama pada kondisi yang berbeda". Sedangkan suatu "variate" didefinisikan sebagai "suatu kuantita yang dapat mempunyai salah satu nilai dari gugus nilai tertentu yang mempunyai frekuensi relatif atau peluang tertentu". "Variate" ini kadangkala juga dipandang sebagai peubah-acak, tetapi harus dipandang bukan hanya nilainya saja, tetapi juga harus dilibatkan fungsi peluangnya. Tabel 9. Tabel kontingensi tiga arah _________________________________________________________ Kelinci A Kelinci B Total Sehat Sakit Sehat Sakit _________________________________________________________ Kelinci A 12 15 20 10 57 Kelinci B 15 15 18 20 68 _________________________________________________________ Total 27 30 38 30 125 _________________________________________________________ Dalam bidang ekologi atau ilmu lingkungan, seringkali suatu model analisis harus mampu menangkap perilaku lebih dari satu variate. Model-model seperti ini secara kolektif disebut "multivariate", dan teknik analisisnya disebut "multivariate analysis". Pada hakekatnya analisis ini adalah analiis data multi variate dalam
25
pengertian bahwa setiap anggota mempunyai nilai-nilai p variates. Teladan data seperti ini disajikan dalam Tabel 10.
Tabel 10. Karakteristik tanah dari beberapa lokasi _________________________________________________________ No. Kadar Fosfor Nitrogen Kepadatan Kerikil Tanah air _________________________________________________________ 1 68 15 2.1 45 15 2 72 10 1.8 56 21 3 72 12 2.2 44 26 4 65 22 2.1 50 18 5 60 15 2.3 49 20 6 45 17 3.1 30 21 7 50 22 2.8 42 23 8 70 28 2.5 29 18 9 76 21 2.1 43 10 10 54 23 1.9 50 6 _________________________________________________________ 14.1. Model-model deskriptif Model-model ini tidak melibatkan pendugaan variate degan menggu-nakan variate lainnya. (a). Analisis Komponen Utama ("Principal Component Analysis, PCA") Model ini merupakan bentuk yang cukup sederhana untuk mempelajari variasi multivariate. Analisis ini dapat digunakan untuk menganalisis data yang memenuhi syarat sbb: 1.
2. 3.
1. 2. 3. 4. 5.
Untuk setiap individu unit contoh diukur dan dicatat peubah- peubah yang sama. Dengan demikian semua pengukuran harus dilakukan untuk setiap individu unit pengamatan, Peubah-peubah yang dipilih untuk analisis harus kontinyu atau kalau diskrit maka intervalnya harus cukup kecil sehingga dapat dianggap kontinyu Tidak ada manipulasi peubah orisinal untuk membentuk peubah baru yang juga dilibatkan dalam analisis. Metode analisis ini dilakukan untuk mencapai tujuan : Pemeriksaan korelasi antara peubah-peubah yang separate Reduksi dimensi variabilitas yang diekspresikan oleh unit-unit sampling individual hingga menjadi paling sedikit tetapi masih bermakna Eliminasi peubah-peubah yang sumbangan informasinya kecil Pemeriksaan pengelompokkan unit-unit sampling yang paling informatif Penentuan pembobot obyektif bagi peubah-peubah dalam rangka untuk menyusun indeks variasi
26
6.
Identifikasi unit-unit samling yang meragukan asal-usulnya Metode analisis ini pada hakekatnya melibatkan ekstraksi eigenvalue dan eigenvector dari matriks koefisien korelasi peubah-peubah orisinalnya.
(b). Analisis Gerombol ("cluster analysis") Analisis ini pada hakekatnya melibatkan berbagai macam teknik untuk menemukan struktur dari gugusan data yang sangat kompleks. Persyaratan database sama dengan analisis PCA. Tujuannya tidak lain adalah untuk mengelompokkan unit-unit data atau peubah ke dalam gerombol-gerombol (kelompok) sehingga elemen-elemen dalam suatu gerombol mempunyai derajat "asosiasi alamiah" yang cukup tinggi, dan gerombol yang satu berbeda dengan gerombol lainnya. Hasil analisis gerombol ini dapat disajikan dalam bentuk dendrogram seperti Gambar 17.
14.2. Model Prediktif (a). Fungsi diskriminan Model klasik Fisher tentang fungsi diskriminan berkaitan dengan permasalahan bagaimana mendiskriminasikan antara dua kelompok "a priori", dimana setiap individu anggota dalam kelompok mempunyai beberapa peubah yang telah diukur. Model ini menyediakan fungsi linear dari pengukuran setiap peubah sedemikian rupa sehingga individu dapat dimasukkan ke dalam salah satu kelompok dengan tepat. Fungsi diskriminan ini ditulis sbb: z = a1x1 + a2x2 + .......+ amxm dimana a adalah vektor koefisien diskriminan dan x adalah vektor pengukuran yang dilaukan pada individu yang harus dimasukkan ke dalam salah satu kelompok. (b). Canonical Variate Kalau kelompok (gerombol) yang dilibatkan lebih dari dua, maka analisis di atas perlu dikembangkan lebih lanjut dengan membentuk lebih dari satu fungsi diskriminan. Metode analisis seperti ini dikenal dengan nama "Canonical variate". Dengan demikian tujuannya adalah menderivasikan seperangkat fungsi deskriminan yang berbentuk: d = a1x1 + a2x2 + a3x3 + ............. + apxp dimana a1,a2,a3, ..... ap adalah koefisien deskriminan yang dihitung sedemikian rupa untuk meminimumkan konfuse di antara satu gerombol dengan gerombol lainnya.
27
16. Statistik Non-Parametrik Dalam penelitian seringkali kita menghadapi data yang distribusinya tidak mudah atau sulit sekali diketahui. Untuk ini kita memerlukan statistik distribusibebas, sehingga kita memerlukan pro-sedur analisis yang tidak tergantung pada distribusi tertentu. Statistik non parameterik membandingkan distribusi dan bukan membandingkan parameter. Beberapa keuntungan dari statistik non-parameterik ini adalah: (1). Kalau dimungkinkan untuk membuat asumsi yang lemah mengenai sifat distribusi data maka statistik non-parametrik sangat sesuai. Statistik ini digunakan untuk sekelompok besar distribusi bukan untuk distribusi tunggal, (2). Kadangkala dimungkinkan untuk bekerja sedikit lebih banyak daripada mengkategorisasikan data karena skala pengukurannya sangat lemah/tidak memadai. Dalam hal ini, uji non-parametrik dapat dilakuan. Pada kesempatan lain, kategorisasi merupakan cara untuk mengumpulkan data yang banyak secara cepat, datanya sedemikian banyaknya sehingga diperlukan uji non parametrik, (3). Kalau dimungkinkan untuk me-ranking data, maka teredia prosedur-prosedur non-parametrik, (4). Karena statistik non-parametrik menggunakan data enumerasi, ranking, atau tanda dari perbedaan untuk observasi yang berpasangan, maka seringkali dapat lebih cepat dan mudah digunakan. Efisiensi teknik-teknik non-parametrik dibandingkan dengan metode parametrik ternyata snagat tinggi untuk sampel kecil ( n < 10), efisiensi menurun kalau jumlah sampel semakin besar.
16.1. Uji X2 Goodness of Fit Seringkali kita ingin mengetahui bukan parameter dari distribusi yang diasumsikan melainkan ingin mengetahui bentuk distribusinya. Dengan kata alain kita ingin menguji hipotesis bahwa sampel data berasal dari suatu distribusi tertentu. Kriteria uji X2 adalah: (Observasi - Harapan) 2 X = ---------------------------(Harapan) Kriteria ini sesuai untuk data yang tersebar dalam kategori. Tidak diperlukan skala untuk mendefinisikan kategori, meskipun ada sekala dan dapat digunakan. Peluang diperlukan untuk menghitung nilai-nilai harapan, peluang ini dapat diperoleh dari teori atau diduga dari data. 16.2. Uji Kolmogorov-Smirnov: Sampel Tunggal Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai distribusi kontinyudengan parameter-parameter tertentu. Uji ini dianggap konservatif, yaitu
28
bahwa, P(tolak Ho|Ho benar) < nilai tabel, kalau parameter-parameter diestimasi. Uji ini juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis mengenai distribusi diskrit. 16.3. Uji Tanda Dalam uji ini, kita berhubungan dengan median dan bukan dengan mean (rata-rata). Uji tanda ini didasarkan pada tanda-tanda dari perbedaan di antara nilainilai yang berpasangan. Ini berarti bahwa uji ini juga dapat digunakan kalau observasi yang berpasangan diranking secara sederhana. Untuk menguji hipotesis nol bahwa setiap perbedaan berasal distribusi peluang yang mempunyai median 0 maka kriteria uji yang dapat digunakan adalah:
X2 =
(Observasi - Harapan) ----------------------------(Harapan)
Formula berikut ini sesuai untuk menguji Ho: p = 0.5 : (n1-n2)2 X2 = ------------n1 + n2 dimana nilai-nilai n1 dan n2 adalah banyaknya tanda plus dan minus. Uji ini mempunyai kerugian karena tidak mamapu mendeteksi informasi mengenai besarnya perbedaan. Sehingga tidak memungkinkan untuk mendeteksi penyimpangan dari hipotesis nol kalau banyaknya pasangan observasi kurang dari enam. Untuk pasangan observasi lebih dari 20, uji ini sangat berguna. 16.4. Uji Rank Wilcoxon Uji ini merupakan pengembangan dari Uji-Tanda dalam upaya untuk mendeteksi perbedaan-perbedaan riil pada perlakuan yang berpasangan. Tahapan dalam prosedur ini adalah: (1). Menyusun Rank perbedaan-perbedaan di antara nilai-nilai yang berpasangan mulai terkecil hingga terbesar tanpa memperhatikan tandanya. (2). Memberi tanda pada Rank sesuai dengan perbedaan orisinalmnya (3). Menghitung jumlah Rank positif T+ dan menjumlah rank negatif T-. Ini berhubungan dengan persamaan T+ + T- = n(n+1)/2. Pilihlah di antara T+ dan T- yang secara numerik lebih kecil, dan ini disebut dengan T. (4). Membandingkan jumlah yang diperoleh pada tahap (3) dengan nilai kritis. Uji signifikasi dapat dilakukan dengan n sama dengan ba-nyaknya pasangan: Z = (T - µT)/µT, n(n+1) n(n+1)(2n+1) µT = -----------------, µ T = µ -----------------4 24
29
. 16.5. Uji Kolmogorov-Smirnov: Dua Sampel Untuk menguji dua sampel independen dan menguji hipotesis nol bahwa mereka berasal dari distribusi yang identik. Kalau sampel-sampel tersebut adalah Y11, ...... Y1n1 dan Y21, .... Y2n2, maka kita mempunyai Ho: F1(Y) = F2(Y), dimana Fi adalah benar tetapi fungsi distribusi kumulatifnya tidak spesifik. Kriteria uji mensyaratkan bahwa dua fungsi distribusi sampel dibandingkan. Ini berarti kita mencari perbedaan numerik maksimum di antaranya. Langkah-langkah prosedurnya adalah: (1). Ranking semua observasi bersama-sama (2). Tentukan fungsi-fungsi distribusi komulatif dari sampel, Fn(Y1) dan Fn(Y2) (3). Hitunglah |Fn(Y1) - Fn(Y2)| pada masing-masing nilai Y (4). Carilah D dan bandingkan dengan nilai kritis. Kalau H1: F1(Y) > F2(Y) maka kriteria ujinya adalah: D+ = |Fn(Y1) - Fn(Y2)| untuk Fn(Y1) > Fn(Y2) Kalau H1: F1(Y) < F2(Y) maka kriteria ujinya adalah: D- = |Fn(Y1) - Fn(Y2)| untuk Fn(Y1) < Fn(Y2)
16.6. Uji Wilcoxon-Mann-Whitney: Dua Sampel Uji Wilcoxon ini dikembangkan untk menguji lokasi dua sampel independen yang ukurannya sama. Uji ini diperluas oleh Mann dan Whitney untuk sampel yang ukurannya tidak sama. Uji untuk observais yang tidak berpasangan adalah sebagai berikut, untuk n1 < n2: (1). Susun Rank observasi dari kedua sampel bersama-sama mulai dari terkecil hingga terbesar, (2). Tambahkan Rank-rank untuk sampel yang lebih kecil, sebutlah ini dengan T (3). Hitunglah T' = n1(n1 + n2 + 1)-T, , nilai yang ingin anda peroleh untuk sampel yang lebih kecil kalau observasi telah diranking dari terbesar hingga terkecil. (Ini bukan jumlah rank-rank untuk sampel lainnya). (4). Bandingkanlah jumlah rank yang lebih kecil dengan nilai tabel. Kalau tidak tersedia tabel uji, dapat digunakan formula berikut: Z = (T-µT)/_T, n1(n1+n2+1) n1n2 (n1+n2+1) µT = ------------------ , µ T = µ -------------------2 12
30
Bandingkanlah nilai Z-hitung dengan Z-tabel. 16.7. Uji Median Uji ini dapat digunakan untuk menguji dua sampel independen. Ia menguji hipotesis nol bahwa dua distribusi kontinyu mempunyai median bersama. Prosedurnya adalah: (1). Urutkanlah dua sampel dari terkecil hingga terbesar. (2). Carilah mediannya (3). Untuk setiap sampel, amatilah banyaknya observasi-observasi yang lebih besar dari median (4). Gunakan dua besaran ini dan dua ukuran sampel untuk melengkapi tabel kontingensi 2 x 2. (5). Ujilah signifikansinya dengan X2 dengan satu derajat bebas kalau ukuran kedua sampel lebih besar dari 10. 16.8. Uji Kruskal-Wallis: k - Sampel Kruskal dan Wallis telah mengembangkan suatu kriteria uji berdasarkan atas rank-rank yang sesuai untuk rancangan acak lengkap. Untuk k = 2, setara dengan uji Wilcoxon-Mann-Whitney. Kalau untuk uji rank yang lainnya, kita asumsikan abwha semua populasi yang disampel adalah kontinyu dan identik, kecuali hanya lokasinya. Hipotesis nol adalah bahwa semua populasi mempunyai lokasi sama. Prosedurnya adalah sbb: (1). Susun Rank semua observasi bersama-sama dari yang terkecil hingga terbesar. (2). Jumlahkanlah rank-rank untuk setiap sampel (3). Hitunglah kriteria uji dan bandingkanlah dengan nilai tabel.
Kriteria uji adalah: 12 R i2 H = ---------- ---- - 3(n-1) n(n+1) i ni Di sini ni adalah banyaknya observasi dalam sampel ke i, dimana i = 1, .... k, n = _ni, dan Ri adalah jumlah rank untuk sampel ke i. H tersebar seperti X2 dengan derajat bebas k-1 ka;lau ni tidak terlalu kecil. 16.9. Uji Friedman: Klasifikasi Dua Arah Rancangan percobaan yang banyak digunakan adalah Acak Kelompok dengan lebih dari dua ulangan. Friedman telah mengusulkan uji berikut ini: (1). Susunlah rank perlakuan-perlakuan dalam setiap ulangan dari terkecil hingga terbesar (2). Carilah jumlah rank untuk setiap perlakuan
31
(3). Ujilah hipotesis nol bahwa populasi-populasi di dalam suatu ulangan adalah identik melawan hipotesis alternatif bahwa paling tidak satu perlakuan berasal dari populasi yang mempunyai perbedaan lokasi pada satu arah. Kriteria uji yang digunakan adalah: 12 2 Xr = ------------ ri2 - 3b(t+1) bt(t+1) i dengan derajat bebas t-1, dimana t adalah banyaknya perlakuan, b adalah banyaknya ulangan, dan ri adalah jumlah rank untuk perlakuan ke i. Perhatikan bahwa 12 dan 3 adalah konstante yang tidak tergantung pada ukuran eksperimen. Kriteria uji ini mengukur homogenitas t jumlah-jumlah dan tersebar seperti X2. 16.10. Koefisien Korelasi Rank Spearman Koefisien korelasi, r, dapat digunakan untuk distreibusi normal bivariate, suatu distribusi yang tidak terlalu lazim. Koefisien korelasi rank Spearman berlaku untuk data dalam bentuk rank. Dapat dapat dihimpun sebagai rank-rank atau dapat diranking setelah observasi pada sekala lain. Ia mengukur korespondensi antara rank-rank, sehingga tidak memerlukan ukuran korelasi linear. Prosedurnya adalah: (1). Rankinglah observasi untuk setiap variabel (2). Carilah perbedaan dalam rank-rank untuk observasi berpasangan. Misalnya di = perbedaan untuk pasangna ke i (3). Estimasilah rho dengan formula: 6 di2 rs = 1 - --------------(n-1) n (n+1) dimana rs adalah koefisien korelasi rank Spearman dan n adalah banyaknya perbedaan d. (4). Kalau pasangan sangat banyak, estimasi dapat diuji dengan menggunakan kriteria: n-2 t = rs ------1 - rs2 tersebar seperti t - Student dengan derajat bebas n-2.
16.11. Uji Olmstead-Tukey: Asosiasi Uji ini digunakan untuk asosiasi dua variabel kontinyu, dan lazim disebut sebagai uji jumlah-kuadrat. Nilai-nilai ekstrim seringkali menjadi indikator terbaik
32
dari asosiasi antara variabel dan uji ini memberinya pembobot khusus. Perhitungannya sbb: (1). Plot observasi yang berpasangan (2). Gambarkanlah median untuk setiap variabel (3). Mulailah dari bagian atas, hitung ke bawah banyaknya observasi (dengan menggunakan sumbu Y) yang nampak, hingga perlu melintasi median vertikal. Catatlah angka ini bersama dengan tanda kuadrannya. (4). Ulangilah seperti tahap (3) dari kanan, dengan menggunakan median horisontal (5). Ulangilah dari bawah dan dari kiri (6). Hitunglah jumlah kuadran dan bandingkanlah dengan nilai- nilai tabel.
Kalau banyaknya pasangan ganjil, setiap median melalui suatu titik yang agaknya berbeda. Misalnya saja titik ini (Xm,Y) dan (X,Ym). Untuk menghitung jumlah kuadran, gantilah dua pasangan ini dengan pasangan tunggal (X,Y), sehingga akan meghasilkan jumlah pasangan yang genap. Pengujian dilakukan dengan jalan membandingkan jumlah kuadran dengan nilai tabel.
DAFTAR PUSTAKA Agrawal, R.C. dan E.O. Heady. 1972. Operations Research Methods for Agricultural Decisions. The Iowa State University Press, Ames. France, J. dan J.H.M. Thornley. 1984. Mathematical Models in Agriculture. A Quantitative Approach to Problems in Agriculture and Related Sciences. Butterwoths, London. Frenkiel, F.N. dan Goodall, D.W. 1976. Simulation Modelling of Environmental Problems. John Wiley and Sons New York, USA. Nasendi, B.D. dan Affendi Anwar. 1985. Program Linear dan Variasinya. PT. Gramedia, Jakarta. Nasoetion, A.H. 1988. Metode Statistik Untuk Penarikan Kesimpulan, Gramedia. Ott, W.R. 1978. Environmental Indices. Theory and Practice.Ann Arbor Science Publishers Inc., Michigan. Pangestu Subagyo, Marwan Asri, dan T. Hani Handoko. 1986. Dasar-dasar Operations Research. BPFE Yogyakarta. Tubagus Haedar Ali. 1990. Jakarta.
Prinsip-prinsip Network Planning. PT Gramedia,
van Roermund, H.; W.H. Nugroho dan Leo Stroosnijder. 1987. Introduction to Modelling and Theory of Crop Growth Simulation. Communication Soil Science Unibraw No. 16. Jurusan Tanah FAPERTA Unibraw, Malang. Wischmeier, W.H. dan D.D. Smith. 1960. A Universal Soil Loss Equation to Guide Conservation Farm Planning. 7th. Int. Congr. Soil Sci. Vol. 1: 418-425. .
