MODUL XI SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN Taksiran suatu parameter populasi dapat diberikan berupa taksiran titik atau berupa taksiran selang.
Taksiran titik suatu parameter populasi θ merupakan nilai tunggal θ suatu statistik Θ. Sebagai contoh, nilai x suatu statistik X , dihitung dari suatu ukuran n, merupakan taksiran titik parameter populasi µ . Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik
≡
penaksir.
Taksiran selang untuk µ dari suatu populasi ialah suatu selang yang berbentuk ˆ . Biasanya µ ˆ = X , µˆ 1 < µ < µˆ 2 , di mana µˆ 1 & µˆ 2 tergantung pada nilai statistik µ
dengan kata lain µˆ 1 & µˆ 2 tergantung pada X . Atau µˆ 1 = x − k dan µˆ 2 = x + k , dengan k ditentukan dari distribusi sampel X . Catatan :
parameter adalah konstanta dari suatu distribusi yang nilainya tertentu tapi tidak
diketahui, misalnya µ & σ 2 .
perbedaan sampel (berlainan) memberikan nilai X
yang berbeda, ini
mengakibatkan penaksiran selang bagi parameter µ berbeda pula. ˆ dapat ditentukan µˆ 1 & µˆ 2 , sedemikian Misalkan dari suatu distribusi sampel µ
sehingga P = ( µˆ 1 < µ < µˆ 2 ) = 1 − α . Maka dengan peluang (1 − α ).100 % ini, sampel acak yang diambil akan menghasilkan suatu selang yang mengandung µ . Contoh : Misalkan P = ( µˆ 1 < µ < µˆ 2 ) = 0.95 . Artinya, yang dihitung berdasarkan sampel acak yang diambil, disebut selang kepercayaan 95%, dengan kata lain kita percaya 95% bahwa selang yang dihitung mengandung parameter yang sesungguhnya dari populasi.
A. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI NORMAL
Perhatikan gambar di atas. Selang kepercayaan (1 − α ). 100 % adalah selang pada daerah yang diaksir, yaitu antara − zα / 2 dan zα / 2 . Misalkan ambil α = 0.05 = 5% , maka 1 − α = 95% . Jadi, selang kepercayaan 95% adalah selang antara − z 2,5% dan z 2,5% . Nilai ± zα / 2 dinamakan nilai kritis dan diambil dari tabel normal. Di bawah ini beberapa
nilai kritis z untuk beberapa nilai
α yang sering digunakan.
α
Nilai zα / 2
1% = 0.01
-2.57
5% = 0.05
-1.96
10% = 0.10
-1.64
B. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI T Perhatikan gambar di bawah ini
Penggunaannya sama dengan selang kepercayaan pada distribusi normal. Nilai t dapat dilihat dari tabel t, dengan v menyatakan derajat kebebasan dan 1 − α menyatakan berapa persen selang kepercayaan yang diinginkan. Perhatikan besarnya v
untuk data yang berasal dari 1 populasi : v = n - 1
untuk data yang berasal dari 2 populasi yang saling bebas atau tidak berpasangan : v = n1 + n2 − 2 .
C. PERINTAH-PERINTAH MINITAB UNTUK SELANG KEPERCAYAAN
81
Z INTERVAL K %
σ C1 . . . C2
(1 ≤ n ≤ 100 )
Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi dengan nilai σ 2 diketahui. Bentuk selang tersebut adalah :
( x − zα / 2 (σ / n) ,x + zα / 2 (σ / n) ) Di mana : x = mean data n = ukuran sampel z = nilai dari tabel normal untuk K %
T INTERVAL K % C1 . . . C2 (1 ≤ n ≤ 100 )
Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi dengan σ 2 tidak diketahui, atau data berasal dari populasi berpasangan dengan
σ 1 2 dan σ 2 2 tidak diketahui. Bentuk selang tersebut adalah :
( x − t n− 2,α / 2 (s / n ) , x + tn− 2,α / 2 (s / n ) ) Di mana : x = mean data s = standar deviasi sampel n = ukuran sampel t = nilai dari tabel t untuk K % dan derajat kebebasan (n-1) D. CONTOH SOAL 1.
Sebuah mesin menghasilkan potongan logam berbentuk
silinder. Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya : 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 dan 1.03. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal. Jawab:
82
MTB > set C1 DATA > 1.01 0.97 1.03 1.04 0.99 0.98 0.99 1.01 1.03 DATA > end MTB > tinterval 99.0 C1 N MEAN STDEV SEMEAN 99.0 PERCENT C.I C1 9 1.00556 0.02455 0.00818 (0.97809, 1.03302) 2.
Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua
perusahaan film. Waktu (menit) Perusahaan A
103
94
110
87
98
88
Perusahaan B
97
82
123
92
175
118
Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa waktu putar berdistribusi hampir normal. Jawab: MTB > read C1 C2 DATA > 103 97 DATA > 94 82 DATA > 110 123 DATA > 87 92 DATA > 98 175 DATA > 88 118 DATA > end MTB > let C3 = C2 – C1 MTB > tinterval 90 C3 N MEAN C3 6 -17.8
STDEV 32.5
SEMEAN 13.3
90.0 PERCENT C.I (-44.6, 8.9)
E. LATIHAN 1.
Ambil sampel acak sebanyak 100, dari distribusi normal baku,
dan tentukan selang kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Lakukan juga untuk sampel dari N(0, 4) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda simpulkan! Buat juga perhitungannya secara manual untuk selang kepercayaan 90% dgn N(0, 4). (Gunakan tabel normal) 2.
Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat
sebanyak 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2 dan 9.6 liter. Carilah selang
83
kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu, bila distribusinya dianggap hampir normal. Lakukan pula perhitungan secara manual. (Gunakan tabel t)
3.
Suatu perusahaan menyatakan bahwa sejenis diet baru akan
menurunkan berat badan seseorang rata-rata 4.5 kg dalam 2 minggu. Berat tujuh wanita yang menggunakan diet ini dicatat sebelum dan sesudah jangka waktu 2 minggu. 1 58.5 60.0
Berat sebelum Berat sesudah
2 60.3 54.9
3 61.7 58.1
4 69.0 62.1
5 64.0 58.5
6 62.6 59.9
7 56.7 54.4
Hitung selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat, dan perhatikan apakah pernyataan perusahaan tersebut benar? Anggap distribusi berat hampir normal. 4.
Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian 9 universitas
untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas padi. Tiap varietas ditanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dlm kg per detik sbb:
Varietas A Varietas B
1 38 45
2 23 25
3 35 31
Universitas 4 5 41 44 38 50
6 29 33
7 37 36
8 31 40
9 38 43
Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis, anggap bahwa distribusi hasil hampir normal. Jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya. (Gunakan tabel t)
84
SELANG KEPERCAYAAN
1 POPULASI
σ 2 diketahui dr pop. normal
2 POPULASI
σ 2 tdk diketahui (n < 30)
berpasangan ( n1 = n 2 )
σ 1 , σ 2 2 tdk diketahui 2
(n ≥ 30 )
σ2
σ2 = s2
X
X
distribusi normal
σ d = sd 2
D = X1 − X 2
distribusi t | µ |< x ± t n −1,α / 2 ( s /
2
distribusi t n)
| µ |< d ± t n −1,α / 2 ( s d /
n)
| µ |< x ± zα / 2 (σ / n )
85
