Pendugaan Parameter 1
Pendahuluan
• Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel, Misal : x 1. digunakan sebagai penduga bagi µ 2. s digunakan sebagai penduga bagi σ $ p atau p digunakan sebagai penduga bagi π 3. • Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter. • Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval ☺ Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t) ☺ Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri) ☺ Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan = 1-α ☺ α kemudian akan dibagi ke dua sisi, α/2 di atas batas atas dan α/2 di bawah batas bawah • Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t ☺
Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175) Nilai α dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain: Selang kepercayaan 90 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 9 α = 10 % → α/2 = 5 % → z5% = z0.05 = 1.645 Selang kepercayaan 95 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 95% α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 Selang kepercayaan 99 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 99% α=1%→
α/2 = 0.5 %
z 0.5% = z 0.005 = 2.575
Contoh Distribusi z untuk SK 95 % Nilai z ini diketahui dari luas daerah tidak terarsir ini dalam Tabel Normal (z)
Luas = 0.95 × ½ = 0.4750. Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025 """
-z0.025 = -1.96
Luas = 0.5
Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025
"""
z0.025 = 1.96
1
☺
Selang Kepercayaan dengan Distribusi t (Tabel hal 177) Nilai α (dan tentu saja α/2) sudah diterakan dalam Tabel. Perhatikan derajat bebas (db). Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai α/2 (Tabel hal 177) Misal : Selang kepercayaan 95 %; db = 13 → 1 - α = 95% α = 0.5 % → α/2 = 2.5 % t tabel (db=13;α/2 = 2.5%) = 2.160 Contoh Distribusi t untuk SK 95 % ; db = 13 Nilai t ini diketahui dari nilai α/2 dan db dalam Tabel t
Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025 """
-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160
Luas = 0.5
Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025
"""
-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160
Selang Kepercayaan yang baik? Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi. Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalah Tidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya. Contoh 1: Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semua selang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik? A. B. C. D.
Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahun Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahun Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahun Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun
Jawab : D, karena................................
2
• Bentuk Umum Selang Kepercayaan Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas • Untuk Sampel Berukuran Besar : Statistik - ( zα /2 ×Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( zα /2 × Std Error Sampel) atau Parameter = Statistik ± ( zα /2 ×Standard Error Sampel) • Untuk Sampel Berukuran Kecil : Statistik - ( t ( db;α / 2 ) × Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( t ( db;α / 2 ) ×Std Error Sampel) atau Parameter = Statistik ± ( t ( db;α / 2 ) × Standard Error Sampel) 2.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata
2.1.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel besar (n ≥30)
• Nilai simpangan baku populasi (σ) diketahui • Jika nilai simpangan baku populasi σ tidak diketahui → gunakan simpangan baku sampel (s) Selang Kepercayaan 1 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi adalah :
σ σ x - zα 2 × < µ < x + zα 2 × n n Jika σ tidak diketahui, dapat digunakan s • Ukuran Sampel bagi pendugaan µ Pada Derajat Kepercayaan (1-α) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah
n=
[ ] zα/2 ×σ 2 Ε
n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling) jika σ tidak diketahui, gunakan s E : error maksimal → selisih x dengan µ; E dinyatakan dalam persen (%)
3
Contoh 2: Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku = 0.3. a.
Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 x = 2.6s = 0.3 s s x - z 0.025 × < µ < x + z0.025 × n n 0.3 0.3 2.6 - 1.96 × ) < µ < 2.6 + 1.96 × ) 36 36 < µ < 2.6 + 0.098 < µ < 2.698
2.6 - 0.098 2.502
b.
Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z0.5% = z0.005 = 2.575 (selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)
c.
Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidak lebih dari 6 %? E = 6 % = 0.06
s = 0.3
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96
n=
d.
[ ] [ zα /2 σ 2 Ε
=
] = (9.8) = 9604 .
1.96 × 0.3 2 0.06
2
= 97
Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidak lebih dari 6 %? (Kerjakan sebagai latihan)
4
2.2.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel kecil (n < 30) dan nilai simpangan baku populasi (α) tidak diketahui → gunakan simpangan baku sampel (s)
Selang Kepercayaan 2 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ adalah :
x - t ( db;α 2 ) ×
s < µ < x + t ( db;α 2 ) × n
s n
db = derajat bebas = n-1 Contoh 3: 9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standar deviasi 1.8 hari. Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun untuk seluruh mahasiswa! Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % = 0.025 = 10 s = 1.8 db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; α/2 =0.025) = 2.306 x
x - t ( db ;α 2 ) ×
s < n 18 . 10 - 2.306 × < 9 10 - 1.3836 < 8.6164 <
µ < x + t ( db;α 2 ) ×
s n 18 . µ < 10 + 2.306 × 9 µ < 10 + 1.3836 µ < 11.3836
3.
Pendugaan Beda 2 Rata-rata
3.1
Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besar dan nilai ragam populasi 2 2 2 2 ( σ1 dan σ 2 ) diketahui dan jika nilai ragam populasi ( σ1 dan σ 2 ) tidak 2 2 diketahui → gunakan ragam sampel ( s1 dan s2 )
5
Selang Kepercayaan 3 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi
x1 - x2 2
- z α 2 ×
µ1 − µ2 adalah :
σ 12 σ 2 2 < µ1 - µ2 + n1 n2
2
2
<
x1 - x2 + z α 2 ×
σ 12 σ 2 2 + n1 n2
2
tidak diketahui → gunakan s1 dan s2 σ1 dan σ 2 Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 Contoh 4: 64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikan dengan ragam = 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka makan 28 kg ikan dengan ragam = 7. Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris x1 = 48 x2 = 28 x1 − x2 = |48 - 28| = 20 n1 = 64 n2 = 56 2 2 s1 = 8 s2 = 7 Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 x1 - x2
- z α 2 ×
σ 12 σ 2 2 < µ1 - µ2 + n1 n2
<
x1 - x2 + z α 2 ×
σ 12 σ 2 2 + n1 n2
8 7 8 7 < µ1 − µ2 < 20 + 196 20 - 196 . × + . × + 64 56 64 56 20 - 0.98 < |µ1 − µ 2 | < 20 + 0.98 19.02 < |µ1 − µ 2 | < 20.98 3.2.
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil 2 2 dan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( σ1 ≠σ 2 ) dan tidak diketahui → gunakan ragam sampel (s12 dan s22 )
6
Selang Kepercayaan 4 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:
s12 s2 2 < x1 - x 2 - t ( db;α 2 ) × + n n 1 2 2
µ1 - µ2 <
s12 s2 2 der x1 - x 2 + t ( db;α 2 ) × + n n 1 2
2
(s1 n1+ s2 n2) 2 ajat bebas (db) =
2
2
(s1 n1) 2 (n1 − 1) + (s2 n2) 2 (n2 − 1)
db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling) Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 Contoh 5: 12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter ( x 2 = 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s22 = 16 ) 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter ( x1 = 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s12 = 25 ) Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung : a.
derajat bebas bagi distribusi t 2
db = = b.
2
2
(s1 n1) 2 (n1 − 1) + (s2 n2) 2 (n2 − 1) ( 2.5 + 1333 . )2
. ) [(2.5) 9] + [(1333 2
( 2510 + 1612) 2
2
(s1 n1+ s2 n2) 2
2
]
11
=
=
[(
25
10
] [
) 2 (10 − 1) + (1612) 2 (12 − 1)
]=
14.6944... 14.6944... = = 17.165 = 18 [ 0.6944] + [ 01616 0.8560... . ...]
Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = 18 Nilai t (db = 18; α/2 = 0.005) = 2.878
7
s12 s2 2 < µ1 - µ2 < x1 - x2 - t ( db;α 2 ) × + n n 2 1
s12 s2 2 x1 - x2 + t ( db;α 2 ) × + n n 2 1
25 16 25 16 < µ1 - µ2 < 36 − 22 + 2.878 × + + 36 − 22 - 2.878 × 10 12 10 12 14 - 5.53 < |µ1 − µ 2 | < 14 + 5.63 8.37 < |µ1 − µ 2 | < 19.63
3.3
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil 2 2 dan nilai kedua ragam populasi sama ( σ1 =σ 2 ) dan tidak diketahui 2 → gunakan ragam sampel gabungan (sgab )
Selang Kepercayaan 5 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:
x1 - x2 - t (db;α 2 ) × sgab × s
2 gab
1 1 + < µ1 - µ2 < x1 - x2 + t (db;α 2 ) × sgab × n1 n2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22 = dan n1 + n2 − 2
2 sgab = sgab
dan derajat bebas (db) =
1 1 + n1 n2
n1 + n2 − 2
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 Contoh 6: 12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter ( x 2 = 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s22 = 16 ) 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter ( x1 = 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s12 = 25 ) Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung : a. b. c a.
derajat bebas Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampel Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris. db = n1 + n2 − 2 = 10 +12 - 2 = 20
8
b.
s
2 gab
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22 (9 × 25) + (11 × 16) 401 = = 20.05 = = 20 20 n1 + n2 − 2
2 sgab = sgab = 20.05 = 4.477...
c.
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = 20 Nilai t (db = 20; α/2 = 0.005) = 2.845
1 1 1 1 x1 - x2 - t (db;α 2) × sgab × + < µ1 - µ2 < x1 - x2 + t (db;α 2) × sgab × + n1 n2 n1 n2 1 1 < + 36 − 22 - 2.845 × 4.477...× 10 12 14 - 5.45 8.55 3.4
< <
1 1 µ1 - µ2 < 36 − 22 + 2.845 × 4.477...× + 10 12 |µ1 − µ 2 | < 14 + 5.45 |µ1 − µ 2 | < 19.45
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampelsampel kecil
Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan. Selang Kepercayaan 6: Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:
s s d − t db;α / 2 × d < µ1 − µ2 < d + t db;α / 2 × d n n derajat bebas (db) = n-1 Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2 x1 n: banyak pasangan data di : x1i- x2i: selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n
9
d
:
rata-rata dI
d =
2 d
:
ragam nilai d
sd
:
simpangan baku d
s
Contoh 7:
Nama A B C D
i
n
∑ (d =
− d )2 n −1
2 d
s
i
sd = sd2
Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.
Banyak Produk yang rusak Shift malam Shift Pagi (x1) (x2) 10 3 15 5 9 4 12 2
di
d
(di - d )
(di - d )²
7 10 5 10 Σ di=32
8 8 8 8
-1 2 -3 2
1 4 9 4 Σ(di - d )²=18
n=4
sd2 =
∑d
d =
∑ (d
−d) 18 = =6 n −1 3 2
i
dan
∑d n
i
=
32 =8 4
sd = sd2 = 6 = 2.449...
Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah: Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = n-1 = 4-1 = 3 Nilai t (db = 3; α/2 = 0.005) = 5.841
s s d − t db;α / 2 × d < µ1 − µ2 < d + t db;α / 2 × d n n 2.449... 2.449... 8 − 5.841 × < µ1 − µ2 < 8 + 5.841 × 4 4
8 − 7.15... < µ1 − µ2 < 8 + 7.15.. 0.85 < µ1 − µ < 1515 .
10
4.
Pendugaan Proporsi
• Pengertian proporsi π = proporsi populasi p = proporsi "sukses" dalam sampel acak 1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak Misal : kelas "sukses" → "menyukai seafood" kelas "gagal" → "tidak menyukai seafood" 4.1
Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar
Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakan Distribusi z. Selang Kepercayaan 7: Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π adalah :
p - zα 2 ×
p×q < π < p + zα 2 × n
p×q n
ingat→ 1 - p = q • Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsi Ukuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-α) dengan Error (galat) maksimal= E
zα2 /2 × p × q n= E2
n di ceiling!
n : ukuran sampel E : error maksimal → selisih p dengan π Contoh 8: Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood. a.
Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai seafood
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96 p = 160/500 = 0.32 q = 1 - p = 0.68
11
p - zα 2 ×
p×q < π < p + zα × n 2
p×q n
0.32 × 0.68 0.32 × 0.68 < π < 0.32 + 1..96 × 0.32 - 1..96 × 500 500 0.28 < b.
π < 0.36
Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2% 196 z2 × p × q . 2 × 0.32 × 0.68 n = α /2 2 = = 2089.8304 = 2090 E 0.02 2
4.2.
Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar
Selang Kepercayaan 8 Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi p1 - p2 - zα 2 ×
π 1 − π 2 adalah :
p1 × q1 p2 × q2 < π1 - π2 < p1 - p2 + zα × + n1 n2 2
p1 × q1 p2 × q2 + n1 n2
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan p1 > p2 Contoh 9: Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p2 =0.70) Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru ( q1 = 0.25 ) Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabaya yang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru. kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru. p2 = 0.70 q1 = 0.25
→ →
q 2 = 1 − p2 = 1 - 0.70 = 0.30 p1 = 1 − q1 = 1 - 0.25 = 0.75
p1 − p2 = |0.75 - 0.70| = 0.05 Selang kepercayaan 90 % → α = 10 % → α/2 = 5 % → z5% = z0.05 = 1.645
12
p1 - p2 - z α 2 ×
p1 × q1 p2 × q 2 < π1 - π 2 + n1 n2
< p1 - p2 + z α 2 ×
p1 × q1 p2 × q 2 + n1 n2
0.75 × 0.25 0.7 × 0.3 0.75 × 0.25 0.7 × 0.3 < π 1 - π 2 < 0.05 + 1.645 × 0.05 - 1.645 × + + 800 1000 800 1000 0.05 - (1.645 × 0.02108...) < π1 - π 2 < 0.05 + (1.645 × 0.02108...) 0.05 - 0.03467... < π1 - π 2
< 0.05 + 0.03467...
0.01532... < π1 - π 2 < 0.08467... selesai
13
