KAJIAN METODE BOOTSTRAP DALAM MEMBANGUN SELANG KEPERCAYAAN DENGAN MODEL ARMA (p,q)

KAJIAN METODE BOOTSTRAP DALAM MEMBANGUN SELANG KEPERCAYAAN DENGAN MODEL ARMA (p,q) Oleh : Ratna Evyka E.S.A 1206 100 043 Dosen Pembimbing : Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Dra. Laksmi Prita W, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2011 Abstrak Data yang berukuran kecil tidak dapat di ramalkan secara langsung tetapi hal ini dapat disiasati dengan menggunakan teknik resampling, salah satu metode yang bisa digunakan dalam teknik resampling adalah metode resampling Bootstrap. Metode bootstrap ini merupakan suatu metode resampling untuk mengestimasi probabilitas suatu statistik dengan mendapatkan sampel baru 𝑥 ∗ = (𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥3∗ ). Metode ini bagus sekali untuk ukuran data sampel yang relatif kecil. Dari hasil resampling tersebut dapat dianalisa selang kepercayaan dan model time series yang sesuai untuk digunakan dalam metode Bootstrap, serta digunakan untuk mendapatkan peramalan data untuk beberapa periode ke depan. Studi kasus dalam tugas akhir ini adalah meramalkan jumlah penjualan baju koko Dannis Collection pada ∗ periode yang akan datang. Hasil analisis menunjukkan bahwa selang kepercayaan untuk 𝑥𝑖,𝑗 adalah ∗ 𝑥𝑖,𝑗

± 𝑧𝛼

𝑁 𝑗=1

2

∗ 𝑥 𝑖∗−𝑥 𝑖,𝑗

𝑁−1 𝑛𝑁

2

dengan model terbaik untuk peramalan penjualan Dannis Collection adalah

ARMA (10,10). Kata kunci: Selang Kepercayaan, Estimasi, Resampling Bootstrap, ARMA(p,q) umum dalam resampling data adalah dengan menggunakan metode Bootstrap. Metode Bootstrap diciptakan oleh Bradley Efron pada tahun 1979. Metode Bootstrap ini merupakan suatu metode resampling untuk mengestimasi probabilitas suatu statistik dengan mendapatkan sampel baru 𝑥 ∗ = (𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥3∗ ). Metode ini bagus untuk ukuran data sampel yang relatif kecil (n<30). Untuk memperkirakan suatu nilai pada periode yang akan datang diperlukan suatu ilmu yang bernama forecasting (peramalan). Forecasting merupakan suatu proses analisis untuk meramalkan apa yang akan terjadi pada masa mendatang berdasarkan situasi dan kondisi yang terjadi sekarang dan masa lalu. Perspektif pada peramalan sama beragamnya dengan pandangan setiap kelompok metode ilmiah yang

1. Pendahuluan Angka penjualan suatu produk memegang peranan penting dalam suatu proses produksi. Angka penjualan dan produksi suatu produk memiliki keterkaitan satu sama lain. Angka penjualan suatu produk dapat memberikan gambaran bagi produsen untuk mengetahui dan memperkirakan seberapa besar produk tersebut diproduksi untuk beberapa periode yang akan datang. Akan tetapi keterbatasan data (n<30) merupakan masalah yang sering dihadapi sehingga akan mempersulit peramalan untuk periode yang akan datang. Maka perlu dilakukan langkah-langkah untuk mengantisipasi masalah tersebut. Salah satunya adalah dengan cara resampling data yg sedikit tersebut agar mudah untuk untuk diramalkan. Salah satu metode

1

dianut oleh pengambil keputusan. Untuk data yang belum stasioner perlu dilakukan transformasi terlebih dahulu, trasformasi yang biasa dipakai adalah transformasi Box-Cox. Dengan data yang telah stasioner bisa didapatkan estimasi parameter dan selang kepercayaan untuk parameter ARMA(p,q). Dalam tugas akhir ini digunakan metode resampling Bootstrap untuk memperoleh selang kepercayaan untuk parameter model ARMA(p,q) dengan studi kasus memprediksi jumlah penjualan baju koko dari Dannis Collection untuk periode yang akan datang.

1 𝜃 ± 𝑧𝛼 2 𝑆𝑒 = 𝜃 ± 𝑧(𝛼 2) 𝑁−1

𝐿 𝜃, 𝑋 =

𝑥2

𝑃 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 = 𝐹 𝑥2 − 𝐹𝑥1 ) = 𝑥1

Korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t (𝑍𝑡 ) dengan pengamatan pada waktu ke-t+k (𝑍𝑡+𝑘 ) yang dipisahkan oleh lag k, sehingga persamaan ACF dapat dirumuskan sebagai berikut: 𝐶𝑜𝑣(𝑍𝑡 , 𝑍𝑡+𝑘 ) , 𝑘 = 1,2, … 𝜌𝑘 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡+𝑘 ) Untuk mengukur keeratan hubungan 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡+𝑘 setelah dependensi linear dalam varian 𝑍𝑡+𝑘 , … . , 𝑍𝑡+𝑘−1 dihilangkan [Wei, 1990] disebut Partial Autocorrelation Function (PACF) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: ρk+1 − kj=1 ∅kj − ρk−1+j ∅k+1,k+1 = 1 − kj=1 ∅kj ρj ∅k+1,j = ∅kj − ∅k+1,k+1 ∅k,k+1−j k = 1,2, … ; j = 1,2, … , k − 1 dengan : ∅ : fungsi autokorelasi parsial

𝜃𝑖

𝑁

(𝜃𝑖 − 𝜃 )2 𝑖=1

Sedangkan taksiran standar error bootstrap adalah: 1

𝑁 𝑖=1 (𝜃𝑖

− 𝜃 )2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Probabilitas selang kepercayaan dengan selang kepercayaan sebesar 1 − 𝛼 100% untuk 𝑝 adalah: 𝑃(𝑝1 < 𝑝 < 𝑝2 = 1 − 𝛼 (2.2)

𝑖=1

(𝑁−1)

(2.1)

Probablitas bahwa nilai variabel acak 𝑥 berada dalam batas 𝑥1 dan 𝑥2 adalah:

Jika diasumsikan estimator 𝜃 adalah distribusi normal dengan mean 𝜃 dan varian 𝜍 2 maka sampel varian untuk bootstrap adalah:

𝑆𝑒 =

𝑓( 𝑥𝑖 , 𝜃) 𝑖=1

𝑁

1 𝑁−1

𝑖=1

𝑛

Metode bootstrap adalah prosedur pengambilan sampel baru secara berulang sebanyak N sampel baru dari data asal berukuran 𝑛, dimana untuk sebuah sampel baru dilakukan pengambilan titik sampel dari data asal dengan cara satu persatu sampai n kali dengan pengembalian. Misalkan terdapat data asal berukuran 𝑛, yaitu 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) maka dengan metode bootstrap akan diperoleh sampelsampel baru berukuran n sebagai berikut (Efron, 1993): ∗ ∗ ∗ ∗ Sampel ke-1, 𝑋 ∗1 = (𝑥11 , 𝑥21 , 𝑥31 , … , 𝑥𝑛1 ) ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ Sampel ke-2, 𝑋 = (𝑥12 , 𝑥22 , 𝑥32 , … , 𝑥𝑛2 ) ..... ..... ∗ ∗ ∗ ∗ Sampel ke-N, 𝑋 ∗𝑁 = (𝑥1𝑁 , 𝑥2𝑁 , 𝑥3𝑁 , … , 𝑥𝑛𝑁 ) Jika di berikan ∅𝑁 𝑋 = ∅𝑁 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) yang ditetapkan sebagai estimator dari sampel (𝑁) ∗ ∗ ∗ ∗ 𝑋(𝑛 ) = (𝑥1𝑁 , 𝑥2𝑁 , 𝑥3𝑁 , … , 𝑥𝑛𝑁 ), dengan parameternya adalah 𝜃 maka didapat estimasi mean untuk bootstrap adalah:

𝑆2 =

(𝜃𝑖 − 𝜃 )2

Untuk estimasi parameter dengan menggunakan MLE meliputi dua tahap, yaitu mengkontruksi fungsi Likelihood dan memperoleh fungsi Likelihood tersebut. Misalkan 𝑥 adalah variabel random dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝜃) merupakan himpunan parameter yang tidak diketahui dan untuk setiap 𝑥𝑖 saling independen maka pengkontruksian fungsi Likelihood dapat dinyatakan dengan: 𝐿 𝜃, 𝑋 = 𝑓 𝑥1 , 𝜃 𝑓 𝑥2 , 𝜃 𝑓 𝑥3 , 𝜃 … 𝑓 𝑥𝑛 , 𝜃

2. Metode Resampling Bootstrap

1 𝜃 = 𝑁

𝑁

1 2

Selang

kepercayaan mean bootstrap 100 1 − 𝛼 % dengan 𝛼 = 0,05 untuk mean adalah:

3. Model Time Series Bentuk-bentuk umum model time series adalah sebagai berikut:

2

1. Autoregressive (AR) Model untuk Autoregressive (AR) adalah: Zt = ∅1 Zt−1 + ∅2 Zt−2 + ⋯ + ∅p Zt−p + ɑ𝑡

1. Uji White noise Pengujian yang digunakan untuk mengetahui apakah residual bersifat white noise digunakan statistik uji Ljung-Box. Hipotesa 𝐻0 : 𝜌1 = 𝜌2 = … = 𝜌𝑘 = 0 (residual bersifat white-noise) 𝐻1 : minimal ada 𝜌𝑘 ≠ 0 (residual tidak bersifat white-noise)

(3.1)

dengan : Zt :besarnya pengamatan (kejadian) pada waktu ke-t ɑ𝑡 : nilai kesalahan (error) pada waktu ke-t ∅1 , ∅2 … , ∅p : parameter auturegresive

Statistik uji:

2. Moving Average (MA) Model untuk Moving Average (MA) adalah: 𝑍𝑡 = 𝜇 + ɑ𝑡 − 𝜃1 ɑ𝑡−1 − 𝜃2 ɑ𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 (3.2) dengan: 𝜇 : nilai konstan 𝜃1 , … , 𝜃𝑞 : parameter-parameter Moving Average ɑ𝑡 : nilai kesalahan pada saat 𝑡 − 𝑞

𝐾

𝑄 =𝑛 𝑛+2 𝑘 =1

dengan: 𝐾 : lag maksimum yang diuji 𝑛 : banyak pengamatan 𝜌𝑘 : ACF residual pada lag ke-𝑘 Daerah kritis 2 2 𝐻0 ditolak jika 𝑄 > 𝜒𝛼,𝐾−𝑝 −𝑞 atau 𝑃 𝜒 > 2 𝜒𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝛼 0,05 di mana 𝐾 adalah lag maksimum yang diuji, 𝑝 adalah jumlah parameter AR, dan 𝑞 adalah jumlah parameter MA.

3. Autoregressive Moving Average (ARMA) Model Autoregressive Moving Average merupakan model campuran dari model autoregressive dan moving average. Bentuk umum model ARMA (p,q) menurut Wei (1994) adalah: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜙1 Zt−1 + ⋯ + 𝜙𝑝 Zt−p + ɑ𝑡 − (3.3) 𝜃1 ɑ𝑡−1 − ⋯ − 𝜃𝑞 ɑ𝑡−𝑞

2. Uji Normalitas Untuk mengetahui residual berdistribsi normal dilakukan pengujian dengan menggunakan statistik uji Kolmogorov–Smirnov yaitu: Hipotesa 𝐻0 : 𝐹 𝑥 = 𝐹0 𝑥 (Residual berdistribusi normal) 𝐻1 : 𝐹 𝑥 ≠ 𝐹0 𝑥 (Residual tidak berdistribusi normal)

3.1 Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Model ARMA yang baik adalah model yang menunjukkan bahwa penaksiran parameternya signifikan. Secara umum, misalkan 𝜃 adalah suatu parameter pada model ARMA dan 𝜃 adalah nilai taksiran dari parameter tersebut, serta 𝑆𝐸(𝜃) adalah standart error dari 𝜃, maka uji kesignifikanan parameternya dapat dilakukan dengan hipotesa sebagau berikut : Hipotesa : 𝐻𝑜 ∶ 𝜃 = 0 (paremeter tidak signifikan) 𝐻1 ∶ 𝜃 ≠ 0 (parameter signifikan)

Statistik uji 𝑠𝑢𝑝 𝐷= 𝑆 𝑥 − 𝐹0 𝑥 𝑥 dengan: 𝑆 𝑥 : fungsi peluang komulatif yang dihitung dari data sampel 𝐹0 𝑥 : fungsi peluang komulatif distribusi yang dihipotesakan 𝐹 𝑥 : fungsi distribusi yang belum diketahui 𝑠𝑢𝑝 : nilai supremum untuk semua 𝑥

Statistik uji : 𝑡=

𝜌𝑘2 𝑛−𝑘

𝜃 𝑆𝐸 (𝜃 )

Daerah kritis : 𝐻0 ditolak jika 𝑡 > 𝑡𝛼 2 ,𝑛−𝑝−𝑞 Atau 𝐻0 ditolak jika P-value < 𝛼

Daerah kritis H0 ditolak jika 𝐷 ≥ 𝐷𝛼,𝑛 atau 𝑃 𝐷 > 𝐷𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝛼 0,05 dengan 𝛼 = 5%

3.2 Pemeriksaan Diagnostik Model Pemeriksaan diagnostik pada residual meliputi uji asumsi white noise (independen dan identik) dan berdistribusi normal.

3

<

Estimasi yang dilakukan menggunakan dua metode yaitu Maximum Likelihood Estimation dan Unbiassed Estimator.

3.3 Kriteria Pemilihan Model Terbaik Untuk menentukan model terbaik dari beberapa model yang memenuhi syarat tersebut dapat digunakan beberapa kriteria antara lain kriteria In-sampel (AIC dan SBC) dan Outsampel (MSE dan MAPE ). 1. AIC (Akaike’s Information Criterion) AIC (Akaike’s Information Criterion) adalah kriteria pemilihan model dengan mempertimbangkan jumlah parameter dalam model. Kriteria AIC dirumuskan sebagai berikut (Wei, 1990): 𝐴𝐼𝐶 = 𝑛 ln 𝜍𝑎2 + 2𝑀 dengan: 𝑛 : banyaknya residual 2 𝜍𝑎 : estimasi dari varian residual (𝜍𝑎2 ) 𝑀 : jumlah parameter dalam model

1. Maximum Likelihood Estimation Estimasi parameter menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) meliputi dua tahap yaitu mengkontruksi fungsi likelihood 𝐿 𝜑, 𝑍 , dan memperoleh nilai estimator 𝜑 yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut. Mean dari sampel asli adalah: 𝑛 1 𝑥𝑖 (5.1) 𝑥= 𝑛 𝑖=1 Berdasarkan (2.1) pengkontruksian fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan: 𝐿 𝜃, 𝑋 = 𝑓 𝑥1 , 𝜃 𝑓 𝑥2 , 𝜃 𝑓 𝑥3 , 𝜃 … 𝑓 𝑥𝑛 , 𝜃 𝑛

𝐿 𝜃, 𝑋 =

2. SBC (Schwartz,s Bayesian Criterion) SBC (Schwartz’s Bayesian Criterion) adalah kriteria pemilihan model dengan mempertimbangkan jumlah parameter dalam model yang digunakan untuk sampel yang kecil. Nilai-nilai SBC ditentukan dengan cara: 𝑆𝐵𝐶 𝑀 = 𝑛 ln 𝜍𝑎2 + 𝑀 ln 𝑛 3. MSE (Mean Square Error) Kriteria MSE dirumuskan sebagai berikut: 2 𝑛 𝑡=1 𝑍𝑡 − 𝑍𝑡 𝑀𝑆𝐸 = 𝑛 dengan 𝑛 adalah banyaknya residual. 4. MAPE (Mean Absolute Percentage Error) Kriteria MAPE dirumuskan sebagai berikut: 𝑍𝑡 − 𝑍𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑍𝑡 𝑀𝐴𝑃𝐸 = × 100% 𝑛 dengan 𝑛 menyatakan banyaknya residual.

𝑓( 𝑥𝑖 , 𝜃)

(5.2)

𝑖=1

dengan 𝑥𝑖 saling independen dan 𝑓 𝜃, 𝑥 adalah fungsi probabilitas. Karena data pengamatan pada resampling Bootstrap saling independent untuk setiap hasil resampling, maka pengkontruksian fungsi likelihood dinyatakan dengan: 𝑁

𝐿 𝜇, 𝜍

2

1

=

𝑒−

𝑥 𝑖∗−𝜇

2

(2𝜍 2 𝑛)

2𝜋 𝜍 2 𝑛 Diasumsikan resampling berdistribusi normal 𝑥𝑖∗ ~𝑁 𝜇, 𝜍 2 maka rata-rata tiap resampling 𝑥𝑖∗ juga berdistribusi normal ∗ 2 𝑥𝑖 ~𝑁(𝜇, 𝜍 𝑛) Sehingga pdf dari 𝑥𝑖∗ adalah 2 1 ∗ 2 𝑓 𝑥𝑖∗ ; 𝜇, 𝜍 2 = 𝑒 − 𝑥 𝑖 −𝜇 (2𝜍 𝑛) 2 2𝜋 𝜍 𝑛 𝑗 =1

dan pdf dari Likelihood adalah: 𝑁

𝐿 𝜇, 𝜍

4. Metodelogi Penelitian Metode yang digunakan pada tugas akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah: 1. Studi Literatur 2. Pengumpulan Data 3. Estimasi Parameter dari metode Bootstrap. 4. Membangun Selang Kepercayaan 5. Peramalan 6. Penarikan Kesimpulan dan Penulisan Laporan Tugas Akhir.

2

1

=

2𝜋 𝜍 2

𝑗 =1

ln 𝐿 𝜇, 𝑣 = −

𝑁 2

ln 2𝜋 + ln

𝑛 𝜍2 𝑛

𝑒− −

2

𝑥 𝑖∗−𝜇

𝑛 2𝜍 2

𝑁 𝑗 =1

(2𝜍 2 𝑛)

𝑥𝑖∗ − 𝜇

2

(5.3)

Kemudian, persamaan (5.3) diturunkan terhadap 𝜇 sehingga diperoleh persamaan berikut: 𝜕 ln 𝐿 𝜇, 𝜍 2 𝑛 =− 2 𝜕𝜇 2𝜍 𝑁

𝑗 =1 𝑁 ∗ 𝑗 =1 𝑥𝑖

5. Hasil

𝜇=

4

2 𝑥𝑖∗ − 𝜇 𝑗=1

𝑁

𝑥𝑖∗ + 𝑛

−𝑛

𝑁

𝑁

𝜇 =0 𝑗 =1

2

=0

𝜇=

𝑥𝑖𝑗∗

11 = 𝑛𝑁

𝑁

𝑛

Pengujian kedua dilakukan untuk menguji apakah terdapat error pada saat 𝐸 𝜍 2 = 𝜍 2 ,maka dengan menggunakan persamaan (5.5) maka pengujian Unbiassed Estimatornya adalah:

𝑥𝑖𝑗∗ 𝑖=1 𝑗 =1

Pengujian kedua adalah untuk varian: ln 𝐿 𝜇, 𝑣 = −

𝑁 2

ln 2𝜋 + ln

𝜍2 𝑛

−

𝑛 2𝜍 2

𝑁 𝑗 =1

𝑥𝑖∗ − 𝜇

2

(5.4)

11 𝜍 = 𝑛𝑁

persamaan (5.4) diturunkan terhadap 𝜍 2 sehingga diperoleh persamaan berikut: 𝑁 𝜕 ln(𝜇, 𝜍2 ) 𝑁𝑛 𝑛 =− + 𝑥𝑖∗ − 𝜇 2 = 0 𝜕𝑣 2 𝜍2 2(𝜍 2 )2

𝐸 𝜍2

𝑗=1

𝑛𝑁 𝑛 = 2 2𝜍 2(𝜍 2 )2

𝑁

𝑗 =1

11 =𝐸 𝑛𝑁

2

𝐸 𝜍

2

𝑗=1

11 = 𝐸 𝑛𝑁

𝑁

𝑥∗𝑖

𝜍2𝑁 =

−𝜇

2

𝐸 𝜍2 =

𝑗 =1 𝑁 𝑗=1

𝑥𝑖∗ − 𝜇 2 𝜍 = 𝑁 ∗ 𝑁 2 𝜍2 𝑗=1 𝑥𝑖 − 𝜇 = (5.5) 𝑛 𝑁𝑛 2. Unbiassed Estimator Pengujian dengan dengan menggunakan unbiassed estimator akan didapatkan bukti seberapa besar kesalahan atau error dari estimator tersebut. Pertama akan dilakukan untuk menguji apakah terdapat error pada saat ∗ = 𝜇.. Dengan rumus dasar ekspektasi 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 sebagai berikut: Pengujian Unbiassed Estimatornya adalah: 2

𝜇 = 𝑥𝑖𝑗∗ =

11 𝑛𝑁

∗ 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 =𝐸

𝐸

∗ 𝑥𝑖,𝑗

∗ 𝐸 𝑥𝑖,𝑗

𝑛

𝐸 𝜍

2

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

2

𝑗 =1 𝑁

𝑗 =1 𝑁 ∗ 2 ∗ ) + (𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖∗2 − 2𝑥𝑖∗ 𝑥𝑖,𝑗 𝑗 =1 𝑁

𝑁

𝑥𝑖∗2

+

𝑗 =1

𝑁 ∗ 2𝑥𝑖∗ 𝑥𝑖,𝑗

𝑗 =1

∗ 2 (𝑥𝑖,𝑗 )

+ 𝑗 =1

𝑁 ∗ 2 ∗ 2 + 𝑁𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖∗2 − 2𝑁𝑥𝑖,𝑗 𝑗 =1

11 ∗ 2 𝐸 𝑁𝑥𝑖∗2 − 𝑁𝑥𝑖,𝑗 𝑛𝑁 𝑁 ∗ 2 𝐸 𝜍2 = 𝐸(𝑥𝑖∗ )2 − 𝐸(𝑥𝑖,𝑗 ) 𝑛𝑁 Karena 𝜍 2 = 𝐸(𝑥𝑖∗ )2 − 𝐸(𝑥𝑖∗ ) 2 maka: 𝐸 𝜍2 =

𝑁

1 𝜍 2 + 𝐸(𝑥𝑖∗ ) 𝑛

𝐸 𝜍2 = 𝑥𝑖𝑗∗

𝐸 𝜍2 =

𝑖=1 𝑗 =1 𝑛

11 𝐸 𝑛𝑁

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

𝐸 𝜍2 =

𝑖=1 𝑗 =1 𝑛 𝑁

11 = 𝐸 𝑁𝑛

11 𝐸 𝑛𝑁

11 = 𝐸 𝑛𝑁

2

𝐸 𝜍2 =

𝑥𝑖𝑗∗

11 𝑁𝑛

𝑁

𝑁

𝑥𝑖∗ − 𝜇

2

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

2

𝑁

2

−

𝜍2 ∗ ) − 𝐸(𝑥𝑖,𝑗 𝑁

2

1 2 𝜍2 𝜍 + 𝜇2 − − 𝜇2 𝑛 𝑁

1 2 𝜍2 1 𝑁𝜍 2 − 𝜍 2 𝑁−1 2 𝜍 − = = 𝜍 (4.6) 𝑛 𝑁 𝑛 𝑁 𝑛𝑁

Sehingga 𝜍 2 adalah estimator bias dari 𝜍 2 , untuk menjadikan tak biasa maka menggunakan persamaan (5.6) akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: 𝑁−1 2 𝐸 𝜍2 = 𝜍 𝑛𝑁 𝑁 𝜍2 = 𝐸 𝜍2 𝑛𝑁 − 1 𝑛𝑁 𝜍2 = 𝐸 𝜍2 𝑁−1 ∗ 𝑁 2 𝑛𝑁 𝑗=1 𝑥𝑖 − 𝜇 𝜍2 = 𝐸 𝑁𝑛 𝑁−1

𝑥𝑖𝑗∗ 𝑖=1 𝑗 =1

11 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = 𝐸 𝑥11 + 𝑥21 + ⋯ + 𝑥𝑛1 + 𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑁 𝑛𝑁

Karena setiap data dalam resampling Bootstrap bersifat independen maka: 11 ∗ ∗ 2 ∗ 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 = 𝐸 𝑛𝑥𝑖1 + 𝑛𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝑛𝑥𝑖𝑁 𝑛𝑁 11 ∗ ∗ 2 ∗ 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 = 𝐸 𝑛 𝑥𝑖1 + 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝑥𝑖𝑁 𝑛𝑁 11 ∗ 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 = 𝐸(𝑛𝑁𝑥𝑖𝑗∗ ) 𝑛𝑁 11 ∗ 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 = 𝑛𝑁𝜇 𝑛𝑁 ∗ 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 = 𝜇

1 𝜍 =𝐸 𝑁−1

𝑁

𝑥𝑖∗ − 𝜇

2

5

𝑗=1

2

1

Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝜇

2

𝑁 ∗ 𝑗 =1 𝑥𝑖 2

𝑁−1

adalah estimator unbiassed untuk 𝜍

1

𝑁 𝑗 =1

𝑁−1 2

𝑥𝑖∗ − 𝜇

2

series dan box-cox. Untuk data penjualan Dannis Collection. bentuk plot time series dan box-cox dapat dilihat pada Gambar 1 dan Gambar 2.

−

dan

biasanya dinotasikan dengan

Time Series Plot of Resampling 2750

𝑆 .

2500

2250

∗ = 𝑥𝑖,𝑗

11 𝑁𝑛

𝑁

C1

5.1 Selang Kepercayaan ∗ dan 𝑠 Dalam metode Bootstrap, 𝑥𝑖,𝑗 merupakan rata-rata dan simpangan dari populasi dengan 𝜍 2 yang tidak diketahui, maka selang kepercayaan 1 − 𝛼 100% untuk 𝜇 adalah sebagai berikut:

2000 1750

1500 1

15

30

45

60

75 Index

90

105

120

Box-Cox Plot of Resampling

𝑥𝑖𝑗∗

Lower C L

Upper C L

340

Lambda (using 95,0% confidence)

330

𝑗 =1 𝑖=1

320 310

𝜍=𝑆=

𝑍=

StDev

𝑁

2

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

2,28

Lower C L Upper C L

0,85 3,90

Rounded Value

2,00

300 290 280 270

𝑗=1

260

Limit -5,0

−𝜇

𝑛𝑁 Sehingga selang kepercayaannya adalah: 2

< 𝑍 < 𝑧𝛼

2

<

= 1−𝛼

2

∗ 𝑥𝑖,𝑗 −𝜇 < 𝑧𝛼 𝜍 𝑛𝑁

2

-2,5

0,0 Lambda

2,5

5,0

Gambar 2 Plot Box-Cox Dari plot box-cox pada Gambar 2 diperoleh rounded value 𝜆 = 2, maka data penjualan Dannis Collection ini belum stasioner dalam varian, sehingga diperlukan transformasi dengan 𝑧 ′ = 𝑧 2 , sehingga plot time series dan plot box-cox dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4:

𝜍

𝑃 −𝑧𝛼

Estimate

250

∗ 𝑥𝑖,𝑗

𝑃 −𝑧𝛼

150

Gambar 1 Plot Time Series

𝑛

1 𝑁−1

135

= 1−𝛼

Time Series Plot of Transformasi 8000000

2

∗ 𝑥𝑖,𝑗 −𝜇

<

𝑁 𝑗=1

𝑥𝑖∗

7000000

< 𝑧𝛼 2

∗ 𝑥𝑖,𝑗

− 𝑁 − 1 𝑛𝑁

2

= 1−𝛼

Transformasi

𝑃 −𝑧𝛼

6000000 5000000 4000000 3000000

𝑃 −𝑧𝛼

𝑁 𝑗 =1 2

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

𝑁 − 1 𝑛𝑁

2

<

∗ 𝑥𝑖,𝑗

− 𝜇 < 𝑧𝛼

𝑁 𝑗 =1 2

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

2 2000000 1

𝑁 − 1 𝑛𝑁

=1−𝛼 ∗ P 𝑥𝑖,𝑗 − zα 2

𝑥∗𝑖 − 𝑥∗𝑖,𝑗 𝑁 − 1 𝑛𝑁

𝑁 𝑗=1

15

30

45

60

75 Index

90

105

<𝜇

Upper C L Lambda

𝑥∗𝑖

2 − 𝑥∗𝑖,𝑗

𝑁 − 1 𝑛𝑁

Estimate

1,14

Lower C L Upper C L

0,31 1,93

Rounded Value

1,00

2000000

1500000

Sehingga selang kepercayaan untuk 𝜇 adalah: ± 𝑧𝛼

(using 95,0% confidence)

2500000

StDev

𝑁 𝑗=1

=1−α

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

150

Box-Cox Plot of Transformasi Lower C L

∗ < 𝑥𝑖,𝑗 + zα 2

𝑁 𝑗=1

135

Gambar 3 Plot Transformasi Time Series

2

3000000

∗ 𝑥𝑖,𝑗

120

Limit 1000000 -5,0

2

-2,5

0,0 Lambda

2,5

5,0

Gambar 4 Plot Transformasi Box-cox Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa rounded value 𝜆 = 1, sehingga data penjualan Dannis Collection telah stasioner dalam varian. Langkah berikutnya yang harus dilakukan

𝑁 − 1 𝑛𝑁 5.2 Peramalan data Penentuan suatu data stasioner atau tidak dalam varian, perlu dilakukan dengan plot time 2

6

Pengujian signifikan parameter dari model dalam Tabel 4.1 dengan menggunakan uji tstudent dengan 𝛼 = 5%

adalah pengidentifikasi plot ACF dan PACF untuk menduga atau mengestimasi model awal peramalan data penjualan Dannis Collection. Plot ACF dan plot PACF ditunjukkan pada Gambar 5 dan Gambar 6.

Uji Signifikansi Parameter 𝝓1 Hipotesa: 𝐻0 ∶ 𝜙1 = 0 (parameter tidak signifikan) 𝐻0 ∶ 𝜙1 ≠ 0 (parameter signifikan) Statistik Uji: −0.25343 𝜙1 = = −2.63 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 0.09651 𝑠𝑑(𝜙1 ) 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑡𝛼 2 ,𝑛−𝑝−𝑞−1 = 𝑡0.025,109 = 1,98 Karena 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =< .0001 < 0,05 maka 𝐻0 ditolak artinya parameter 𝜙1 signifikan.

Autocorrelation Function for Transformasi (with 5% significance limits for the autocorrelations)

1,0 0,8

Autocorrelation

0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

1

10

20

30

40

50

60

70 80 Lag

90

100 110 120 130 140

Gambar 5 Plot ACF

Uji Signifikansi Parameter 𝜇 Hipotesa: 𝐻0 ∶ 𝜇 = 0 (parameter tidak signifikan) 𝐻0 ∶ 𝜇 ≠ 0 (parameter signifikan)

Partial Autocorrelation Function for Transformasi (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Partial Autocorrelation

0,2

0,0

Statistik Uji: 5393182.8 𝜇 = = 72.45 74444.1 𝑠𝑑(𝜇 ) 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑡𝛼 2 ,𝑛−𝑝−𝑞−1 = 𝑡0.025,109 = 1,98 Karena 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =< .0001 < 0,05 maka 𝐻0 ditolak artinya parameter 𝜇 signifikan. 𝑡𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =

-0,2

1

10

20

30

40

50

60

70 80 Lag

90

100 110 120 130 140

Gambar 6 Plot PACF Dari hasil output minitab yang ditunjukkan pada Gambar 4.5 dan Gambar 4.6, maka plot ACF (Gambar 4.5) dapat diketahui bahwa tidak ada lag yang keluar dari batas sedangkan plot PACF (Gambar 4.6) dapat diketahui ada dua lag yang keluar dari batas yaitu lag 10 dan 44 berarti ada dua parameter yang signifikan.

5.2.2 Diagnoctic Checking Ada dua asumsi yang harus dipenuhi dalam menentukan kecukupan model, yaitu residual bersifat white noise dan berdistribusi normal. Pengujian asumsi residual white noise dapat dilakukan dengan menggunakan uji Ljung-Box dengan 𝛼 = 5% sebagai berikut:

5.2.1 Estimasi dan Uji Signifikansi Setelah melakukan pemeriksaan terhadap plot ACF dan PACF langkah selanjutnya adalah mengidentifikasikan kesignifikanan model dengan menggunakan software SAS. Maka untuk sementara model yang diduga adalah ARMA(44,0). Tabel 1 Estimasi Parameter Data Penjualan Dannis Collection Model ARMA(44,0) Param Estimasi Standart T P-value eter Error hitun g -0.25343 0.09651 -2.63 0.0096 𝜙1 5393182.8 74444.1 72.45 <.0001 𝜇

Hipotesa: 𝐻0 ∶ 𝜌1 = ⋯ = 𝜌𝑘 = 0 𝐻1 : minimal ada satu 𝜌𝑗 ≠ 0, dengan 𝑗 = 1, 2, … 𝐾 Statistik Uji Ljung-Box: 𝐾

𝑄 = 𝑛(𝑛 + 2) 𝑘=1

2

𝜌𝑘 , 𝑛−𝑘

𝑛>𝑘

Untuk 𝐾 = 6 maka: 6

𝑄 = 150 150 + 2 𝑘=1

7

𝜌𝑘 2 , 𝑛>𝑘 150 − 𝑘

(−0,153)2 (0,146)2 + 150 − 2 150 − 1 (−0,126)2 (0,058 )2 + + 150 − 3 150 − 4 2 ( 0,027) (0,036)2 + + 150 − 5 150 − 6

Probability Plot of (44,0) Normal

99,9

95 90

Q

DF

10,21 19,58 24,78 33,26 37,57

5 11 17 23 29

2 𝜒𝛼−𝐾−𝑝 −𝑞

11,07 19,68 27,59 35,17 42,56

10138 1076385 150 0,077 0,037

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0,1

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 -4 -3 -2 -1

= 10,21 2 2 𝜒𝛼−𝐾−𝑝 −𝑞 = 𝜒0.05,4 = 11,07 Dengan cara yang sama seperti perhitungan 𝑄 di atas maka untuk 𝐾 = 6, 12, 18, 24, 30 hasil 𝑄 yang diperoleh dapat dilihat pada Tabel 2. Karena untuk setiap nilai 𝐾 nya menghasilkan 2 nilai 𝑄 <𝜒0.05,4 atau P-value >0,05 maka 𝐻0 diterima artinya residual white noise. Tabel 2 Uji Residual White Noise ARMA(44,0) Sedangkan pengujian asumsi distribusi normal dapat dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov dengan 𝛼 = 5%. Pengujian ini dapat dilakukan melalui hipotesa sebagai berikut: Hipotesa: 𝐻0 ∶ 𝐹 𝛼𝑡 = 𝐹0 (𝛼𝑡 ) (residual berdistribusi normal) Lag (K) 6 12 18 24 30

Mean StDev N KS P-Value

99

Percent

= 22800

0

0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 10 20 30 40

RESIDUAL

Gambar 7 Plot Kenormalan Residual ARMA (44,0) 5.2.3 Overfitting Selanjutnya dilakukan overfitting untuk melihat kemungkinan model-model yang lain, sehingga didapat model yang signifikan pada Tabel 3. Sedangkan model yang memenuhi uji residual white noise dan uji kenormalan residual dapat dilihat pada Tabel 4 dan Tabel 5. Tabel 3 Estimasi dan Uji Signifikansi Model ARMA (10,10)

Pvalue 0,0696 0,0515 0,0997 0,0767 0,1322

([10,44 ],10) (0,44)

Par ame ter 𝜙1 𝜃1 𝜇 𝜙1 𝜙2 𝜃1 𝜇 𝜃1 𝜇

Estimasi

Standart Error

t hitung

P-value

0,79631 0,90359 5394231,0 0,46270 -0,29486 0,63480 5393159,7 0,30839 5394890,7

0,21795 0,17026 59328,5 0,21709 0,09677 0,19703 46539,6 0,09426 69045,6

3,65 5,31 90,92 2,13 -3,05 3,22 115,88 3,27 78,14

0,0004 <.0001 <.0001 0,0347 0,0027 0,0016 <.0001 0,0013 <.0001

Tabel 4.4 Uji Residual White Noise 2 Model Lag Q Pkeputusan 𝜒𝛼−𝐾−𝑝 −𝑞 ARMA value (10,10) 6 7,94 9,49 0,0936 12 13,96 19,68 0,1750 White 18 19,08 27,59 0,2644 Noise 24 25,92 35,17 0,2552 30 27,98 42.56 0,4657

𝐻1 ∶ 𝐹 𝛼𝑡 ≠ 𝐹0 (𝛼𝑡 ) (residual tidak berdistribusi normal) Statistik Uji: 𝐷 = 𝑠𝑢𝑝 𝑆 𝛼𝑡 − 𝐹0 x𝛼𝑡 =0,076912 𝛼𝑡 𝐷𝛼,𝑛 = 𝐷0.05,150 =0,072342 Karena 𝐷 > 𝐷0.05,150 maka 𝐻0 ditolak artinya model tidak berdistribusi normal. Hal ini sesuai dengan hasil yang ada pada Gambar 7 yaitu Pvalue < 0,05 yang berarti tidak berdistribusi normal.

Tabel 4.5 Uji Kenormalan Residual Model P-value Keputusan Kesimpulan ARMA (10,10) >0.1500 𝐻0 diterima Berdistribusi normal Berdasarkan Tabel 3, Tabel 4 dan Tabel 5 model ARMA(10,10) memenuhi kecukupan model maka dapat disimpulkan bahwa model ARMA(10,10) adalah model yang terbaik.

8

Model yang diperoleh selanjutnya akan digunakan meramalan data untuk 12 bulan yang akan datang mulai bulan Nopember 2010Oktober 2011, hasil peramalannya disajikan dalam Tabel 6. Tabel 6 Hasil Peramalan Perio de 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162

Data Peramalan

L95

2262,434 2332,92 2305,145 2302,623 2410,9 2274,96 2354,209 2330,563 2314,039 2325,943 2274,808 2330,811

1724,385 1815,877 1780,053 1776,786 1915,028 1740,786 1843,148 1812,849 1791,556 1806,905 1737,048 1809,769

∗ 𝑥𝑖,𝑗

U95

2695,128 2754,564 2731,08 2728,952 2820,912 2705,651 2772,617 2752,568 2738,591 2748,657 2707,797 2755,013

Untuk mean: 𝜇 = 𝑥𝑖𝑗∗ Untuk varian: 𝑥𝑖∗ − 𝜇 𝜍 = 𝑁 b. Unbiassed Estimatior

2

2

Daftar Pustaka [1] Efron Bradley, 1994. The Jackknife, The Bootstrap and The Other Resampling Plans, Department of Statistics Stanford University. [2] Makridakis, W. M. G. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi kedua. Bina Rupa Aksara. Jakarta. [3] Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S. 2003. Analisis Time Series. Surabaya: Jurusan Statistik ITS. [4] Wei, W.W.S. 1990. “Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods”. United State of America : Addison-Wesley Publishing Company. 52.

6. Penutup Hasil yang diperoleh dari pembahasan di atas adalah: 1. Metode resampling Bootstrap dilakukan dengan pengestimasian dengan dua metode yaitu Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Unbiassed Estimation menghasilkan : a. Maximum Likelihood Estimation

𝑁 𝑗=1

∗ 𝑥𝑖∗ − 𝑥𝑖,𝑗

𝑁 − 1 𝑛𝑁 2. Rata-rata penjualan baju koko Dannis Collection untuk 12 bulan ke depan adalah 2319 . Saran yang dapat diberikan pada penelitian selanjutnya adalah menggunakan parameter lain seperti ARIMA atau Regresi, sehingga hasilnya bisa dibandingkan untuk mengetahui keakuratan hasilnya.

Dari Tabel 6 dapat diketahui bahwa nilainilai dari data hasil ramalan tepat berada diantara nilai batas bawah untuk 𝛼 = 0,05 (L95) dan batas atas untuk 𝛼 = 0,05 (U95).

2

± 𝑧𝛼

𝑁 𝑗=1

2

Untuk mean tidak terdapat error ∗ pada saat 𝐸 𝑥𝑖,𝑗 =𝜇 Untuk varian terdapat eror pada saat 1 ∗ 2 𝐸 𝜍 2 = 𝜍 2 sebesar 𝑁−1 𝑁 𝑗 =1 𝑥𝑖 − 𝜇 dari hasil pengstimasian secara MLE dan Unbiassed estimation didapatkan selang ∗ kepercayaan 1 − 𝛼 100% dengan 𝑥𝑖,𝑗 dan 𝑠 yang merupakan rataan dan simpangan dari suatu populasi dengan 𝜍 2 yang tidak diketahui adalah:

9