Metode Statistika Statistika Inferensia: Pendugaan Parameter (Selang Kepercayaan)
Pengantar ¡
¡
Seringkali kita tertarik dengan karakteristik umum dari suatu populasi à parameter Misalnya saja berapa rata-rata pendapatan penduduk Indonesia, berapa persen yang berada di bawah garis kemiskinan, apakah metode pengobatan baru lebih efektif dibandingkan dengan metode lama.
Pengantar ¡
¡
Pada kasus-kasus ini kita berbicara mengenai suatu penduga bagi paramater Klasifikasi penduga: l l
Penduga titik Penduga selang
Selang Kepercayaan Bagi Rata-rata Populasi ¡
¡
¡ ¡
Untuk menggambarkan karakteristik umum suatu populasi yang diukur dalam skala rasio, bisa digunakan rata-ratanya (µ). Seringkali untuk mempelajari suatu populasi digunakan sebagian anggotanya saja (contoh). Sehingga informasi besarnya x (statistik) digunakan untuk menduga µ (parameter). Namun untuk menduga µ dapat pula digunakan median ataupun modus contoh. à perlu pemilihan penduga
¡
Sifat-sifat penduga yang diinginkan l l l
Takbias Efisien Konsisten
Tak Bias ¡
Takbias berarti nilai harapan penduga sama dengan parameter yang diduga. Penduga merupakan penduga yang takbias bagi µ, sedangkan median dan modus merupakan penduga yang berbias. Hal ini berarti apabila proses penarikan contoh diulang-ulang dan untuk setiap contoh tersebut dihitung -nya, maka ratarata dari tadi akan sama dengan µ, sedangkan rata-rata median dan modus tidak.
Efisien ¡
Efisiensi penduga ditunjukkan oleh besarnya ragam penduga tersebut. Makin kecil ragam suatu penduga makin efisien penduga tersebut. Secara teori, di antara penduga yang takbias, merupakan penduga dengan ragam paling kecil.
Konsisten ¡
Konsisten berarti dengan makin besarnya ukuran contoh maka ragam penduga makin kecil
¡
¡
Untuk menduga rata-rata populasi (µ) digunakan rata-rata contoh (x ). Rata-rata contoh dikatakan sebagai penduga titik bagi µ.
¡
Penduga x sering tidak memuaskan l l
Terpengaruh oleh adanya pencilan Kemungkinan besar nilai tidak sama dengan µ. à tingkat kepercayaan kecil ¡ à dikembangkan penduga dalam bentuk selang nilai dengan tingkat kepercayaan tertentu (penduga selang). ¡
Pendugaan Terhadap Nilai Tengah Satu Populasi ¡
¡
Dari Sebaran Penarikan Contoh x ∼ Normal (µ,σ2/n). Konsep sebaran normal : l
¡
P(-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1- α
X −μ Z= σ/ n
X− μ Sehingga P(-Zα/2 < σ/ n < Zα/2) = 1-α l SK (1-α) 100% bagi µ adalah:
X ± t α/2,n -1σ / n
¡
¡
Nilai ± Zα/2 σ/√n dinamakan sebagai selang kepercayaan (1-α)x100% bagi µ. Apabila σ tidak diketahui dan digunakan s à sebaran t-student l
SK (1- α) 100% bagi µ adalah
X ± t α/2, n -1 s / n
Teladan ¡
¡
Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan menyebar normal dengan simpangan baku 1,5 dl. Tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% bagi rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin ini, bila suatu contoh acak 36 gelas mempunyai isi rata-rata 22.5 dl. Seorang ahli hendak menentukan waktu yang diperlukan untuk membuat tiga lubang pada suatu penjepit logam. Berapa besar contoh yang diperlukan agar ia percaya 95% bahwa rata-rata contohnya berada dalam 15 detik dari nilai tengah yang sesungguhnya? Anggap bahwa dari penelitian terdahulu diketahui bahwa σ=40 detik.
Pendugaan Terhadap Proporsi Satu Populasi ¡
¡
Dari Sebaran Binomial pˆ ∼ Normal (p, p(1-p)/n) Dari konsep mengenai sebaran normal P(-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1- α pˆ − p Z= p(1 − p)/n
¡
Sehingga P(-Zα/2 = 1- α
pˆ − p < < Zα/2) p(1 − p)/n
¡
SK (1-α)100% bagi p adalah: pˆ ± Zα/2 p(1 − p)/n
¡
Nilai p biasanya diduga oleh dugaannya
Teladan ¡
¡
Dari suatu contoh acak 1000 rumah di sebuah kota, ditemukan bahwa 628 rumah menggunakan pemanas gas alam. Buat selang kepercayaan 98% bagi proporsi rumah-rumah di kota ini yang menggunakan pemanas gas alam. Berapa besarnya ukuran contoh pada latihan no.1 di atas apabila kita ingin percaya 95% bahwa proporsi contoh yang diperoleh akan terletak dalam jarak yang tidak lebih daripada 0.05 dari proporsi populasi yang sebenarnya
