Metode Statistika (STK211) Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable and Probability Distribution)
Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015 1
Konsep Peubah Acak (Random Variable) • Peubah acak merupakan suatu fungsi (function) yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). • Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.
• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN pada bilangan riil. 2
• Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut: a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6} Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: X = munculnya sisi dadu yang bermata genap = {0, 1}
Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Daerah fungsi S1 . S2 . S3 . S4 . S5 . S6.
Wilayah fungsi X(ei) .0 .1
3
Tipe Peubah Acak • Diskret Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable) Misalkan X = banyaknya komputer yang terjual dalam seminggu di toko A.
• Kontinu Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable) Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval Misalkan X = tinggi badan (cm) Contoh lain : berat (kg, g, dsb), waktu (jam, menit, dsb)
4
Peubah Acak Diskret
5
• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret • Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut • Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1 • Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut • Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya. 6
Kembali ke ilustrasi pelemparan sebutir dadu yang setimbang SEBARAN PELUANG (probability distribution) adalah pemetaan setiap nilai peubah acak dengan nilai peluangnya. Untuk kasus pelemparan sebutir dadu di atas dapat dijabarkan sebagai berikut: p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 Sisi yang muncul Kejadian Peluang kejadian X
S1
S2
S3
S4
S5
S6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
0
1
0
1
0
Tabel Sebaran Peluang bagi X: x
0
1
P(X=x)
1/2
1/2
X
0
1
1
7
Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.25) hlm. 164 Toss two fair coins and let x equal the number of heads observed. Find the probability distribution for x.
8
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret • Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.
• Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut: n
( X ) xi p ( xi ), jika X p.a diskret i 1
9
Sifat-sifat nilai harapan: • Jika c konstanta maka E(c ) = c • Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X)
• Jika X dan Y peubah acak maka E(X+Y) = E(X) + E(Y)
E(X-Y) = E(X) - E(Y)
10
Ragam Peubah Acak • Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut: V(X) = E(X-E(X))2 = E(X2) – [E(X)] 2 tunjukkan ! • Sifat-sifat dari ragam Jika c konstanta maka V(c ) = 0 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2 V(X) Jika X dan Y peubah acak maka, V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y) Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0 11
Contoh: • Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawah ini: Nilai peubah Acak X
X
0
1
2
3
4
5
P(X=xI)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Xip(xi)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah: E(X) = [(0)(1/6)+(1)(1/6) +(2)(1/6) +(3)(1/6) +(4)(1/6) +(5)(1/6)]
= 0 + 1/6 + 232/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 12
Lanjutan: Nilai peubah Acak X X
0
1
2
3
4
5
P(X=xI)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Xip(xi)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
• Ragam p.a X adalah: V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = [(02)(1/6)+(12)(1/6) +(22)(1/6) +(32)(1/6) +(42)(1/6) +(52)(1/6)] - (15/6)2 = 55/6 - 225/36 = 105/36 13
Berdasarkan E(X) dan V(X) tersebut tentukan: a. E(2X) b. E(4 - 3X) c. V(2X) d. V(4 – 3X)
14
Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167 An electronics store sells a particular model of computer notebook. There are only four notebooks in stock, and the manager wonders what today’s demand for this particular model will be. She learns from the marketing department that the probability distribution for x, the daily demand for the laptop, is as shown in the table. Find the mean, variance, and standard deviation of x. Is it likely that five or more customers will want to buy a laptop today?
15
Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167
E(X) = μ
mean (nilai harapan)
V(X) = σ2 variance (ragam) 16
Beberapa sebaran peluang diskret yang banyak digunakan: • Bernoulli • Binomial
• Poisson
17
Sebaran Peluang Bernoulli Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal Misal, p=peluang sukses, dan q=peluang gagal, maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:
P(x,p) = pxq(1-x);
x=0,1
dimana q = 1-p
E(X) = p;
Var(X) = pq = p(1-p) 18
Seseorang pemain akan melakukan lemparan bebas. Misalkan peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80%, maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%
Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.
19
Sebaran Peluang Binomial Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:
P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x); x=0,1,2,…,n dimana C(n,x) = n!/(x!(n-x)!) E(X) =np
q = 1-p var(X)=np(1-p) 20
Percobaan Binomial
21
22
Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas x=3
3 P( X 3) p 3 (1 p)33 3
x=2
3 2 P( X 2) p (1 p)32 2
G G S
x=1
3 P( X 1) p1 (1 p)31 1
G
x=0
3 P( X 0) p 0 (1 p)30 0
S
S
S
G
S
S
S
S
G
S
G
S
S G G
G S G
G
G
Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p
23
Ilustrasi : Mendenhall (Example 5.4) hlm. 188
24
Latihan Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu (7 hari), hitunglah: a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu? b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?
25
Peubah Acak Kontinu
26
• Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu • Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang (probability density function)
• Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1 • Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut 27
Beberapa sebaran peluang kontinu yang banyak digunakan • Normal • Weibull
• Gamma • Beta
28
Sebaran Peubah Acak Kontinu
29
Sebaran Normal Bentuk sebaran simetrik Mean, median dan modus berada dalam satu titik Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai berikut: 2 1 x
1 2 f ( x, , ) e 2 2
Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal: b p(a x b) f ( x)dx F (b) F (a) a
Peubah acak X dengan mean (E(X) = ) dan ragam ( V(X) = 2) menyebar normal sering dituliskan sebagai berikut : X ~ N (, 2) 30
Sebaran Normal
31
Bentuk sebaran normal dengan berbagai nilai ragam Variable ragam 1 ragam 3 ragam - 5 ragam -10
60 50
Percent
40 30 20 10 0
-36
-24
-12
0 Data
12
24
36
Semakin besar ragam dari sebaran normal maka semakin landai bentuk sebarannya 32
Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu • Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjang • Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:
( X )
x f ( x )dx, jika X p.a kontinu i
i
33
Sebaran Normal Baku (Standard Normal) • Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda perhitungan peluang akan sulit • Lakukan transformasi dari X N( , 2) menjadi peubah acak normal baku Z N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi
Z
X
• Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku
34
Cara penggunaan tabel normal baku Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua) Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z
Nilai Z
0.00
0.01
0.02
0.03
-2.6
0.005
0.005
0.004
0.004
-2.5
0.006
0.006
0.006
0.006
-2.4
0.008
0.008
0.008
0.008
P(Z < -2.42)=0.008 35
Ilustrasi : Mendenhall, hlm. 226-230
36
Latihan (1) Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2. Hitunglah, a. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm? b. Curah hujan di kota Bogor antara 17 mm sampai 31 mm? c. Curah hujan di kota Bogor di atas 37 mm? d. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut! 37
Diketahui X menyebar Normal dengan E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm
(a) P( x < 15) = ....
Jadi P(x < 15) = P(z < -2) = 0.0228
38
Diketahui X menyebar Normal dengan E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm (b) P(17 < x < 31) = ....
Jadi P(17 < x < 31) = P(-1.60 < z < 1.20) = P(z < 1.20) - P(z < -1.60) = 0.8849 - 0.0548 = 0.830 39
Diketahui X menyebar Normal dengan E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm (d) P(x > a) = 10% = 0.10
P(z > z1) = 0.10 1 – P(z < z1) = 0.10 P(z < z1) = 0.90 z1 = 1.28
40
Latihan (2) Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara acak: a. Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta? b. Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta sampai 3,2 juta?
c. Jika 23% orang mempunyai gaji tertinggi, tentukan batas bawah dari range tersebut! 41
PR/Tugas (2) – Persiapan UTS Dikumpulkan di Dept Statistika, pada hari Selasa minggu depan sebelum jam 10.00
Catatan : m = (digit ke-8) + (digit ke-9) dari NIM Misal NIM : G84130075 m = 7 + 5 = 12 1. Mendenhall (Exercise 4.42), hal. 155 tetap 2. Mendenhall (Exercise 4.62), hal. 157 smokers : 20% + m% 3. Mendenhall (Exercise 4.86), hal. 170 percentage : 52% + m% 4. Mendenhall (Exercise 5.96), hal. 217 successful : 80% + m% 5. Mendenhall (Exercise 6.10), hal. 234 tetap
6. Mendenhall (Exercise 6.18), hal. 234 st.dev : 0.15 + 0.m 42
Terima Kasih Materi ini bisa di-download di: kusmans.staff.ipb.ac.id
43
