STK 211 Metode Statistika
PENGUJIAN HIPOTESIS
Pendahuluan ●
Dalam mempelajari karakteristik populasi sering telah memiliki hipotesis tertentu. – –
●
pemberian DHA pada anak-anak akan menambah kecerdasannya atau pemberian vaksin polio akan mengurangi jumlah anak-anak yang menderita penyakit ini
Diperlukan pengumpulan data –
Apakah data mendukung hipotesis tersebut
Pendahuluan ●
Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk yaitu: – –
H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang umumnya ingin kita tolak H1 / HA (hipotesis alternatif): pernyataan lain yang akan diterima jika H0 ditolak
Kesalahan dalam Keputusan ●
Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahan yaitu: – –
●
Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0 benar Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahal H1 benar
Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagai berikut: –
P(salah jenis I) = P(tolak H0 | H0 benar) = α
–
P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) = β
T o la k H T e rim a H
0
0
H 0 benar
H 0 sa la h
P e lu a n g sa la h je n is I (T a ra f n y a ta ; α )
K u a sa p e n g u jia n (1 -β)
T in g k a t k e p e rc a y a a n (1 -α)
P e lu a n g sa la h je n is II (β)
Efek α dan β ●
Teladan : Andaikan suatu perusahaan A akan menerima dari suplier apabila produknya minimal mengandung 55% zat X. Untuk meyakinkan maka diambil 9 contoh (dgn asumsi simpangan baku sebesar 2%).
●
Sisi suplier : Ingin semua diterima
●
Dengan μ=65% hampir semua kiriman suplier diterima.
●
Kondisi ini tentu tidak menguntungkan suplier. Bagaimana apabila kriteria β diturunkan?
.
●
●
Terlihat bahwa apabila beta diperkecil dgn kondisi yg lain tetap → Tidak menguntungkan sisi konsumen Bagaimana supaya menurunkan keduanya?
●
Untuk menurukan kedua-duanya secara simultan → hanya ada satu cara yaitu dengan meningkatkan banyaknya contoh
Sampel berukuran 25 diambil secara acak dari populasi normal(µ;σ2 = 9). Hipotesis yang akan diuji, H0 : µ = 15 H1 : µ = 10 Tolak H0 jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 12.5 Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ?
Jawab: P(salah jenis I) = P(tolak H0|µ = 15) = P(z ≤ (12.5-15)/(3/√25)) = P(z ≤ - 4.167 ) ≅ 0 P(salah jenis II) = P(terima H0|µ = 10) = P(z ≥ (12.5-10)/(3/√25)) = P(z ≥ 4.167 ) = 1 - P(z ≤ 4.167 ) ≅ 0
●
●
●
Sayangnya kita tahu bahwa parameter populasi sering kali tidak diketahui Sehingga dalam pengujian hipotesis hanya nilai salah jenis I (α) yang dapat dikendalikan. Akan timbul pertanyaan : –
Berapa nilai α yang digunakan?
Tergantung resiko keputusan yang akan diambil
STK 211 Metode Statistika Pengujian Hipotesis: - Nilai Tengah Populasi - Selisih Dua Nilai Tengah Populasi
Langkah-langkah dalam Pengujian Hipotesis (1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji Ada dua jenis hipotesis: – Hipotesis sederhana Hipotesis nol dan hipotesis alternatif sudah ditentukan pada nilai tertentu vs H1 : µ = µ1 •H0 : µ = µ0 vs H1 : σ2 = σ12 •H0 : σ2 = σ02 vs H1 : P = P1 •H0 : P = P0
– Hipotesis majemuk Hipotesis nol dan hipotesis alternatif dinyatakan dalam interval nilai tertentu b.1. Hipotesis satu arah H1 : µ < µ0 • H0 : µ ≥ µ0 vs • H0 : µ ≤ µ0 vs
H1 : µ > µ0
b.2. Hipotesis dua arah vs H1 : µ ≠ µ0 • H0 : µ = µ0
(2). (3). (4).
Tetapkan tingkat kesalahan/Peluang salah jenis I/taraf nyata α Deskripsikan data sampel yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll) Hitung statistik ujinya Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diuji TELADAN H0: µ = µ0 maka maka statistik ujinya bisa tstudent atau normal baku (z) atau
th =
x − µ0 s/ n
zh =
x − µ0
σ/ n
(5) Tentukan batas kritis atau daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) TELADAN H1: µ < µ0 Tolak H0 jika th < -t(α; db)(tabel) H1: µ > µ0 Tolak H0 jika th > t(α; db)(tabel) H1: µ ≠ µ0 Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db)(tabel)
(6).Tarik keputusan dan kesimpulan
Pengujian Nilai Tengah Populasi Kasus Satu Populasi – Suatu contoh acak diambil dari satu populasi Normal berukuran n – Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ sebesar nilai tertentu, katakanlah µ0
Populasi X~N(µ,σ2)
Acak
Uji µ
Sampel
• Hipotesis yang dapat diuji: Hipotesis satu arah: vs H1 : µ < µ0 • H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ > µ0 • H0 : µ ≤ µ0 Hipotesis dua arah: vs H1 : µ ≠ µ0 • H0 : µ = µ0
• Statistik uji:
– Jika ragam populasi (σ2) diketahui :
zh =
x − µ0
σ/ n
– Jika ragam populasi (σ2) tidak diketahui :
th =
x − µ0 s/ n
• Daerah kritis pada taraf nyata (α) – Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang sedang dikaji – Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) dan statistik uji yang digunakan. Teladan di bawah untuk statistik uji T. H1: µ < µ0 Tolak H0 jika th < -t(α; db=n-1)(tabel) H1: µ > µ0 Tolak H0 jika th > t(α; db=n-1)(tabel) H1: µ ≠ µ0 Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db=n-1)(tabel)
•
TELADAN Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkan perusahaan tersebut mendapat ijin ?
• Hipotesis yang diuji: H0 : µ <= 50 vs H1 : µ > 50
• Statistik uji: th= (55-50)/√(4.2/20)=10.91
• Daerah kritis pada taraf nyata 0.05 Tolak H0 jika th > t(0,05;db=19) = 1,729
• Kesimpulan: Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.
Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi µ ??? µ 1
2
Kasus Dua Sample Saling Bebas – Setiap populasi diambil sampel acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama) – Pengambilan kedua sampel saling bebas – Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ1 sama dengan parameter µ2
Populasi I X~N(µ1,σ12)
Populasi II X~N(µ2,σ22)
Acak dan saling bebas
Sampel I (n1)
Sampel II (n2)
• Hipotesis – Hipotesis satu arah: H0: µ1- µ2 ≥δ0 vs H1: µ1- µ2 <δ0 H0: µ1- µ2 ≤ δ0 vs H1: µ1- µ2 >δ0 – Hipotesis dua arah: H0: µ1- µ2 =δ0 vs H1: µ1- µ2 ≠δ0
• Statistik uji: – Jika ragam kedua populasi diketahui katakan σ12 dan σ22 : ( x1 − x 2 ) − δ 0 zh = σ (x −x ) – Jika ragam kedua populasi tidak diketahui: 1
( x1 − x 2 ) − δ 0 th = s ( x1 − x2 ) n1 + n2 − 2; σ 12 = σ 22 db = 2 2 dbefektif ; σ 1 ≠ σ 2
s ( x1 − x2 )
2
1 1 2 2 s + ; σ = σ g 1 2 n1 n2 = 2 2 s1 s 2 2 2 + ; σ ≠ σ 1 2 n n 2 1
• Daerah kritis pada taraf nyata (α) – Pada prinsipnya sama dengan kasus satu sampel, dimana daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) H1: H1: µ1- µ2 <δ0 Tolak H0 jika th < -t(α; db)(tabel) H1: µ1- µ2 >δ0 Tolak H0 jika th > t(α; db)(tabel) H1: µ1- µ2 ≠δ0 Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db)(tabel)
Teladan •
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah : Persh. A
30
35
50
45
60
25
45
45
50
40
Persh. B
50
60
55
40
65
60
65
65
50
55
–
Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%
Jawab: – Rata-rata dan ragam kedua sampel: 30 + 35 + + 40 x1 = = 42,5 10 50 + 60 + + 55 x2 = = 56,5 10
s =
n∑ x − ( ∑ xi )
s =
n∑ x 22 − ( ∑ xi )
2 1
2 2
2 1
2
n(n − 1)
n(n − 1)
2
10(19025) - (425) 2 = = 106.94 10(9) 10(32525) - (565) 2 = = 66.94 10(9)
– Perbandingan kekuatan karton • Hipotesis: – H0: µ1= µ2 vs H1: µ1≠µ2
• Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan σ12 ≠ σ22 )
( x2 − x1 ) − ( µ 2 − µ1 )
56,5 − 42,5 − 0 th = = = 3,36 2 2 66,94 / 10 + 106,94 / 10 ( s2 / n2 ) + ( s1 / n1 ) ( s12 / n1 + s22 / n2 ) 2 (10.34 2 / 10 + 8.182 / 10) 2 db = 2 = 2 2 2 ( s1 / n1 ) /( n1 − 1) + ( s2 / n2 ) /( n2 − 1) (10.34 2 / 10) 2 / 9 + (8.182 / 10) 2 / 9 = 17,10 ≈ 17
• Daerah kritis pada taraf nyata 10%: Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740
• Kesimpulan: Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat daripada karton A
Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Berpasangan µ1 ??? µ2
Kasus Dua Sample Saling Berpasangan – Setiap populasi diambil sampel acak berukuran n (wajib sama) – Pengambilan kedua sampel berpasangan, ada pengkait antar kedua sampel (bisa waktu, objek, tempat, dll) – Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ1 sama dengan parameter µ2
Populasi I X~N(µ1,σ12)
Populasi II X~N(µ2,σ22)
Acak dan berpasangan
Sampel I (n)
Sampel II (n) Pasangan 1
Pasangan … Pasangan n
• Hipotesis –Hipotesis satu arah: H0: µ1- µ2 ≥δ0 vs H1: µ1- µ2 <δ0 atau H0: µD ≥δ0 vs H1: µD<δ0 H0: µ1- µ2 ≤ δ0 vs H1: µ1- µ2 >δ0 atau H0: µD ≤ δ0 vs H1: µD>δ0 –Hipotesis dua arah: H0: µ1- µ2 =δ0 vs H1: µ1- µ2 ≠δ0 atau H0: µD = δ0 vs H1: µD≠δ0
• Statistik uji: Gunakan t atau z jika ukuran contoh n besar
th =
d −δ0 s/ n
Dimana d adalah simpangan antar pengamatan pada sampel pertama dengan sampel kedua Pasangan
1
2
3 …
n
Sampel 1 (X1)
x11
x12
x13
x1n
Sampel 2 (X2)
x21
x22
x23
x2n
D = (X1-X2)
d1
d2
d3
dn
• Daerah Kritis: (lihat kasus satu sampel)
• Ilustrasi
Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Berat Badan
Peserta 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sebelum (X1)
90
89
92
90
91
92
91
93
92
91
Sesudah (X2)
85
86
87
86
87
85
85
87
86
86
D=X1-X2
5
3
5
4
4
7
6
6
6
5
Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!
Jawab: • Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka: • Hipotesis:
H0 : µD ≥ 5 vs H1 : µD < 5 • Deskripsi: d=
∑ di n
n∑ d − ( ∑ d i ) 51 2 = = 5,1 s d = n(n − 1) 10 s d = 1,43 = 1,20
• Statistik uji:
2 i
2
10(273) − (51) 2 = = 1,43 10(9)
d − µd d − µd 5,1 − 5 t= = = = 0,26 sd sd 1,20 / 10 n
• Daerah kritis pada α=5% Tolak H0, jika th < -t(α=5%,db=9)=-1.833
• Kesimpulan: Terima H0, artinya program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg
