Pengujian Hipotesis (Hypothesis Testing)

Pengujian Hipotesis (Hypothesis Testing)  Pada awalnya kita mempunyai hipotesis substansi, yaitu pernyataan awal yang bersifat sementara mengenai substansi penelitian atau pendapat (klaim) yang akan kita uji.  Pengujian hipotesis, secara statistik, pada hakekatnya adalah suatu pengambilan keputusan mengenai populasi berdasarkan informasi yang ada di dalam contoh.  Prosedur yang akan kita pelajari berasal dari J. Neyman dan E.S. Pearson.  Hipotesis statistic adalah suatu pernyataan tentang sebaran peluang suatu peubah acak atau parameter populasi yang inheren dalam sebaran itu.  Unsur-unsur Pengujian Hipotesis 1. Hipotesis nol, H 0 . - Pernyataan awal yang kita anggap benar sebagai titik tolak kerja. - Biasanya berupa pernyataan yang bersifat “status quo” atau “tidak ada perbedaan.”

- Mengimplikasikan kita mempunyai sebaran tertentu yang spesifik. - Berdasarkan informasi contoh, hipotesis nol akan diterima atau ditolak. - Pengujian hipotesis pada hakekatnya adalah untuk memutuskan apakah informasi yang dikandung dalam contoh merupakan bukti yang kuat(beyond reasonable doubt) atau bukan bukti yang kuat untuk melawan H 0 . 2. Hipotesis tandingan atau alternatif, H1 atau H a . - Di dalam praktek biasanya merupakan pernyataan tandingan (lawan) daripada hipotesis nol. - Hipotesis substansi atau klaim biasanya menjadi hipotesis tandingan. 3. StatistikUji (SU) - Merupakan fungsi dari data contoh. - Digunakan untuk memutuskan apakah data merupakan bukti kuat untuk melawan H 0 . - Berdasarkan data contoh akan dihitung nilai statistic uji.

4. Wilayah Penolakan (WP) - Disebut juga wilayah kritis (critical region). 5. Kesimpulan. - Kalau nilai statistic uji jatuh kedalam wilayah ini, hipotesis nol ditolak; kalau tidak jatuh kedalam wilayah ini, hipotesis nol diterima (tidak ditolak). - Jika hipotesis nol ditolak, sering dikatakan data merupakan bukti yang kuat (within reasonable doubt) untuk menolak H 0 . - Jika hipotesis nol diterima, ada dua kemungkinan: hipotesis nol memang benar atau hipotesis nol salah tetapi data yang dimiliki/diperoleh tidak cukup kuat untuk menolaknya.  Di dalam praktek, hipotesis nol-nya biasanya berbentuk H 0 :   0 ,  0 adalah sebuah nilai (bilangan real) tertentu.  Hipotesis tandingan berbentuk: (1) H a :   0 , atau (2) H a :   0 , atau (3) H a :   0 .

 Kalau hipotesis tandingannya berbentuk (1), ujinya dikatakan duaarah (two tailed); kalau berbentuk (2) atau (3), satuarah (one tailed).  Perlu diingat bahwa statistic uji adalah fungsi dari contoh acak, jadi merupakan suatu peubah acak yang mempunyai sebaran peluang. Teladan 1.Andaikan ingin diuji hipotesis nol H 0 :   0 lawan H a :   0 , 0 sebuah nilai yang diketahui. Andaikan populasinya adalah normal dengan ragam  2 yang diketahui.Perhatikan X yang merupakan penduga tak bias bagi  yang di dasarkan pada contoh acak X1 , X 2 ,..., X n . Maka X  0 merupakan fungsi dari contoh acak Z  n X1 , X 2 ,..., X n dan mempunyai sebaran yang diketahui, yaitu normal baku bila H 0 benar. Bila data telah diperoleh, misalnya x1 , x2 ,..., xn , maka x  0 z adalah nilai statistic uji.  n

 Definisi. Suatu hipotesis dikatakan sederhana (simple hypothesis) bila hipotesis itu menspesifikasi sebarannya secara khas, artinya berdasarkan hipotesis itu sebarannya menjadi diketahui dan tertentu(khas). Hipotesis yang bukan hipotesis sederhana dikatakan hipotesis majemuk(composite).

1 Teladan 2.Hipotesis p  adalah sederhana, sebab 2 hipotesis itu menjadikan sebarannya diketahui dan 1  1 tertentu, yaitu B  n,  . Hipotesis p  adalah 2  2 majemuk, sebab walaupun sebarannya diketahui bentuk umumnya yaitu binom, namun belum tertentu atau khas karena nilai parameter p belum diketahui pasti.  Karena keputusan dalam pengujian hipotesis di dasarkan pada suatu contoh acak, maka keputusan itu mungkin salah.  Ada dua kesalahan (galat) yang mungkin terjadi. Galat Jenis I danGalat Jenis II.

 GalatJenis I (Type I Error) terjadi bila hipotesis nol yang benar ditolak.  GalatJenis II (Type II Error) terjadi bila hipotesis nol yang salah diterima.  Jadi kita menghadapi keadaan berikut: Keadaansebenarnya H 0 Keputusan H 0 benar H 0 salah Benar GalatJenis II Jangantolak H 0 GalatJenis I Benar Tolak H 0   adalah peluang terjadinya GalatJenis I: P(menolak H 0 | H 0 benar)     disebut juga taraf nyata (level of significance).   adalah peluang terjadinya GalatJenis II: P(menerima H 0 | H 0 salah)    Idealnya    0. Namun itu hanya terjadi bila yang menjadi contoh adalah seluruh populasi (sensus).  Kita ingin kedua jenis kesalahan itu peluangnya kecil.

 Bila ukuran contoh telah ditetapkan, n fixed, memperkecil  , akan memperbesar  , dan sebaliknya. Teladan3. Sebuah took mainan anak mengatakan bahwa sedikitnya 80% anak perempuan lebih menyukai mainan boneka dibandingkan lainnya.Untuk menguji pernyataan toko itu, akan diamati 20 anakperempuan, dan dilihat apakah ia membeli boneka atau lainnya. Kita inginmenguji H 0 : p  0.8atau H1 : p  0.8. Andaikan kita membuat kaidah keputusan”Terima H 0 bila X  12 ( X  13)” Ini berarti bila X  12 kita akan menolak H0. a. Hitunglah  . b. Hitunglah  untuk p  0.6 c. Hitunglah  untuk p  0.4 . d. Tentukan wilayah penolakan yang berbentuk X  k yang menghasilkan (i)   0.01; (ii)   0.05. e. Hitunglah  untuk p  0.6 jika wilayah penolakannya seperti yang diimplikasikan oleh pertanyaan (d) bagian (ii).

Jawab a. Jika H 0 benar, maka p  0.8,   P(menolak H 0 | H 0 benar)

 P( X  12 | p  0.8)  20  x 20 x     0.8 0.2 x 0  x   0.0321 b. Jika H 0 salahdan p  0.6 , maka   P (menerima H 0 | H 0 salah) 12

 P ( X  12 | p  0.6)  20  x 20 x     0.6 0.4 x 12  x  12  20  x 20 x  1     0.6 0.4 x 0  x   1  0.584 20

 0.416 c. Jika p  0.4 , maka

  P (menerima H 0 | H 0 salah)  P ( X  12 | p  0.4)  20  x 20 x     0.4 0.6 x 12  x  12  20  x 20 x  1     0.4 0.6 x 0  x   1  0.979 20

 0.021 d. (i) Kita harus menentukan k sedemikian rupa sehingga   P( X  12 | p  0.8)  0.01 Dari table peluang kumulatif binom kita peroleh k  11. (ii) Kita harus menetukan k sedemikian rupa sehingga   P( X  12 | p  0.8)  0.05 Dari table peluang kumulatif binom kita peroleh k  12 e. Bila  0.01, wilayah penolakannya adalah X  11. Jika p  0.6 , maka

  P (menerima H 0 | H 0 salah)  P ( X  11| p  0.6)  20  x 20 x     0.6 0.4 x 12  x  11 20   x 20 x  1     0.6 0.4 x 0  x   1  0.404 20

 0.596

Teladan 4.Andaikan X adalah peubah acak binom.Ingin diuji hipotesis H 0 : p  0.8 lawan H a : p  0.6.Andaikan ditetapkan  0.03. Hitunglah  untuk n  10 dan n  20 . Jawab Untuk n  10 . Dari table binom diperoleh P( X  5 | p  0.8)  0.03 Sehingga wilayah penolakannya adalah X  5. Dengan demikian,

  P(menerima H 0 | H 0 salah)  P( X  5 | p  0.6)  1  P( X  5 | p  0.6)  0.733 Untuk n  20 . Dari table binom diperoleh P( X  12 | p  0.8)  0.03 Sehingga wilayah penolakannya adalah X  12 . Dengan demikian,   P(menerima H 0 | H 0 salah)

 P( X  12 | p  0.6)  1  P( X  12 | p  0.6)  0.416 Terlihat bahwa jika  telah ditetapkan, meningkatnya ukuran contoh akan menurunkan  ; dan sebaliknya, menurunnya ukuran contoh akan meningkatkan  . Teladan 5.Suatu contoh acak berukuran n  36 dari populasi yang ragamnya diketahui, yaitu  2  9 diketahui menghasilkan x  17 . Kita ingin menguji

hipotesis H 0 :   15 lawan H a :   16 pada taraf nyata   0.05. Tentukan  . Jawab Di sini n  36, x  36 dan  2  9. Karena H a :   16 dan 16  15, maka logikanya kita akan cenderung menolak H 0 jika x besar. Dengan kata lain wilayah penolakan berbentuk X  c . Berdasarkan definisi ,   P(menolak H 0 | H 0 benar)

0.05  P( X  c |   15)  c  15  0.05  P  Z   3 36   Dari tabel normal baku kita tahu bahwa P( Z  1.645)  0.05 . Dengan demikian c  15  1.645 3 36 c  15.8225 Sehingga wilayah penolakannya x  15.8225. Jadi

  P(menerima H 0 | H 0 salah)  P( X  15.8225 |   16)  15.8225  16   P Z   3 36    P  Z  0.36   0.3594