Statistika Inferensia:
Pengujian Hipotesis Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015
1
Butuh pembuktian berdasarkan contoh!!!
Populasi :
Apa yang diperlukan?
> 20? Mana yang benar?
= 20
Sampel :
x 25 Hal itu merupakan pengujian hipotesis, butuh pengetahuan mengenai SEBARAN PENARIKAN CONTOH 2
Pengujian Hipotesis • Merupakan perkembangan ilmu experimental terminologi dan subyek • Menggunakan 2 pendekatan : –Metode inferensi induktif R.A. Fisher –Metode teori keputusan J. Neyman & E.S. Pearson mengatasi kekurangan dari metode inferensia induktif 3
Unsur Pengujian Hipotesis • • • •
Hipotesis Nol (H0) Hipotesis Alternatif (H1) Statistik UJi Daerah Penolakan H0 4
Hipotesis • Suatu pernyataan/anggapan yang mempunyai nilai mungkin benar/salah • Atau suatu pernyataan/anggapan yang mengandung nilai ketidakpastian • Misalnya: – Besok akan turun hujan mungkin benar/salah – Penambahan pupuk dapat meningkatkan produksi mungkin benar/salah – Konsumen lebih menyukai produk A daripada produk B mungkin benar/salah 5
Hipotesis Statistik Suatu pernyataan tentang nilai suatu parameter populasi, yaitu: – H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan yang bersifat “status quo” (tidak ada beda , tidak ada perubahan) – H1 (hipotesis tandingan): pernyataan lain yang akan diterima jika H0 ditolak (”ada” perbedaan, ”terdapat perubahan”) 6
Dalam pengambilan keputusan memungkinkan untuk terjadi kesalahan:
Keputusan
Kenyataan Tolak H0 Terima H0
H0 benar Peluang salah jenis I (Taraf nyata; ) Tingkat kepercayaan (1-)
H0 salah Kuasa pengujian (1-) Peluang salah jenis II ()
P(salah jenis I) = P(tolak H0 | H0 benar) = P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) = 7
Daerah PEnolakan H0
Daerah Penerimaan H0
ˆ
H0: =20 = P(Terima H0 | H1 benar) = P( < 22 | = 24)
H1: =24 22
= P(tolak H0 | Ho benar) = P( > 22 | = 20)
Merupakan sembarang parameter 8
Sifat dan
H1
H0
H1
H0
Jika n maka dan akan menurun (lihat KURVA)
H1
H0
9
Hipotesis yang diuji H0 : = 0
H0 : = 0
H0 : = 0
H1 : 0
H1 : < 0
H1 : > 0
Hipotesis dua arah
Hipotesis SATU arah
10
& nilai p (p-value) • = taraf nyata dari uji statistik • Nilai p = taraf nyata dari contoh peluang merupakan suatu ukuran “kewajaran” untuk menerima H0 atau menerima H1 • Jika nilai p < maka Tolak H0
Nilai p
z zh
Nilai p = P (Tolak H0 | contoh) Misalnya : nilai p = P(Z > zh)
11
Tujuan pengujian Satu Populasi Nilai Tengah()
Dua populasi Satu Populasi (p)
Data saling bebas
2 diketahui
Uji z
1 - 2
Tidak diketahui dan ukuran sampel kecil
Uji t
Uji z
12 & 22 diketahui
Data berpasangan p1 - p2
d
Uji z
Uji t
Tidak diketahui dan ukuran sampel kecil
12 & 22
Uji z sama
Uji t Formula 1
Tidak sama
Uji t
Formula 2
12
Formula 1 a. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:
( x1 x2 ) 0 th s( x1 x2 )
s
2 gab
s x1 x2
1 1 s n1 n2 2 gab
(n1 1) s (n2 1) s dan v n1 n2 2 n1 n2 2 2 1
2 2
13
Formula 2 b. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama: ( x1 x2 ) 0 th s( x1 x2 )
s x1 x2
s 2 2 1 n 1
2
s s n n 1 2 s 2 2 n1 1 2 n 2 2 1
v
s12 s22 n1 n2
2 2
n2 1 14
Perlu diingat …! Apabila ukuran contoh (sample size) adalah besar (n 30) maka pada formula uji hipotesis tersebut dapat menggunakan sebaran NORMAL (Z), nilai 2 diganti dengan s2
15
Jumlah Sampel
Ragam (σ12; σ22)
Sebaran
Besar
Diketahui
Normal
( n1 ≥ 30 dan n2 ≥ 30 )
Tdk Diketahui
Normal
Kecil
Diketahui
Normal
( n1 < 30 atau n2 < 30 )
Tdk Diketahui
t-Student
16
Uji Nilai Tengah Populasi ()
17
Pengujian Hipotesis untuk Sampel Besar (n ≥ 30)
18
Pengujian Hipotesis untuk Sampel Kecil (n < 30)
19
P-value
Sampel Besar Sampel Kecil Keputusan : Tolak H0 jika p-value < α
20
Hipotesis yang dapat diuji: Hipotesis satu arah • H0 : = 0 vs • H0 : = 0 vs Hipotesis dua arah • H0 : = 0 vs
H1 : < 0 H1 : > 0 H1 : 0
• Statistik uji: – Jika ragam populasi (2) diketahui
:
zh
x 0
/ n
– Jika ragam populasi (2) tidak diketahui : t h x 0 s/ n
Contoh Soal : Mendenhall, hlm. 350, 352; dan hlm. 394 21
For α = 0.05
|-2.27| > 2.262 Reject Ho
Latihan Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahaan tersebut laya diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data didapatkan, rata-ratanya 55 dan ragamnya 4.2. Dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ? 27
Pengujian Hipotesis untuk selisih dua nilai tengah populasi
28
Hipotesis –Hipotesis satu arah: H0: 1- 2 = 0 vs H1: 1- 2 < 0 H0: 1- 2 = 0 vs H1: 1- 2 > 0
–Hipotesis dua arah: H0: 1- 2 = 0 vs
H1: 1- 2 0
29
Statistik uji zh
( x1 x2 ) 0
( x x 1
diketahui
Formula 1
sama
2)
1
2&
2
Syarat :
2
Tidak sama Formula 2
Tidak diketahui dan ukuran sampel kecil
12 & 22
30
Formula 1 a. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:
( x1 x2 ) 0 th s( x1 x2 )
sx1 x2
1 1 s n1 n2 2 gab
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 2 2 sgab 1 dan v n1 n2 2 n1 n2 2
31
Formula 2 b. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:
( x1 x2 ) 0 th s( x1 x2 )
s x1 x2
s 2 2 1 n 1
2
s s n n 2 1 s 2 2 n1 1 2 n 2 2 1
v
s12 s22 n1 n2
2 2
n2 1 32
Perlu diingat …! Apabila ukuran contoh (sample size) adalah besar (n 30) maka pada formula selang uji hipotesis tersebut dapat menggunakan sebaran NORMAL (Z), nilai 2 diganti dengan s2
Contoh Soal : Mendenhall, hlm. 364; hlm. 402 33
Latihan Perush A Perush B
30 35 50 45 60 25 45 45 50 40 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya seperti pada tabel di atas.
Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%! 38
Latihan Ukuran contoh Rataan contoh Simpangan baku contoh
Perlakuan Kontrol Vitamian C : 4 mg 35 35 6.9 5.8 2.9 1.2
Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rataan waktu yang dibutuhkan (dalam hari) untuk sembuh darisakit flu. Terdapat dua grup, satu grup sebagai kontrol dan grup lainnya diberi vitamin C dengan dosis 4 mg/hari. Statistik yang diperoleh dari peneltian tersebut sebagaimana tertera pada tabel. Ujilah apakah rata-rata lama waktu sembuh untuk grup yang diberi vitmin C lebih pendek dibandingkan grup kontrol! Asumsikan data menyebar normal dengan ragam tidak sama dan gunakan α=5% 39
Pengujian Hipotesis untuk data berpasangan
40
Hipotesis –Hipotesis satu arah: H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 <0 atau H0: D =0 vs H1: D<0 H0: 1- 2 = 0 vs H1: 1- 2 >0 atau H0: D = 0 vs H1: D>0
Statistik uji :
th
d 0 s/ n
–Hipotesis dua arah: H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0 atau H0: D = 0 vs H1: D0 41
Contoh Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Berat Badan
Peserta 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sebelum (X1)
90
89
92
90
91
92
91
93
92
91
Sesudah (X2)
85
86
87
86
87
85
85
87
86
86
D=X1-X2
5
3
5
4
4
7
6
6
6
5
Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%! 42
Penyelesaian • Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka: • Hipotesis: H0 : D = 5 vs H1 : D > 5 • Deskripsi: d d n
n d i2 d i
2
i
51 5,1 10
s 2 d
n(n 1)
10(273) (51) 2 1,43 10(9)
sd 1,43 1,20 • Statistik uji: t
d d d d 5,1 5 0,26 sd sd 1,20 / 10 n 43
• Daerah kritis pada =5% Tolak H0, jika th > t(=5%,db=9) = 1.833
• Kesimpulan: Terima H0, artinya program diet tersebut dapat mengurangi berat badan tidak lebih dari 5 kg
44
Pengujian Proporsi: Kasus Satu Sampel
45
Hipotesis yang dapat diuji: Hipotesis satu arah • H0 : p = p0 vs • H0 : p = p0 vs Hipotesis dua arah • H0 : p = p0 vs • Statistik uji:
zh
H1 : p < p0 H1 : p > p0 H1 : p p0
pˆ p0 p0 (1 p0 ) n 46
Mendenhall, hlm. 370
47
48
49
Latihan • Menurut suatu artikel Marketing Research bahwa obat baru yang diekstrak dari suatu jamur, cyclosporin A, mampu meningkatkan tingkat kesuksesan dalam operasi transplantasi organ. Menurut artikel tersebut, 22 pasien yang menjalani operasi transplantasi ginjal diberikan obat baru tersebut. Dari 22 pasien tersebut, 19 diantaranya sukses dalam operasi transpalntasi ginjal. Sebagai informasi ahwa keberhasilan dengan menggunakan prosedur yang standar adalah sekitar 60%. • Apakah dapat dikatakan bahwa obat baru tersebut lebih baik dari prosedur yang standar (α = 0.05) ? 50
Pembahasan 19 pˆ 0.86 22
Ditanya : p > 0.60 ?
H0 : p = 0.60
zh
vs
0.86 0.6 2.6 0.6(1 0.6) 22
H1 : p > 0.60
Z0.05 = 1.645
Kesimpulan ? 51
Pengujian Proporsi: Kasus dua Sampel
52
Hipotesis (1) – Hipotesis satu arah: H0: p1- p2 =0 vs H1: p1- p2 <0 H0: p1- p2 = 0 vs H1: p1- p2 >0 – Hipotesis dua arah: H0: p1- p2 =0 vs H1: p1- p2 0 Statistik uji :
( pˆ1 pˆ 2 ) 0 zh pˆ1 (1 pˆ1 ) pˆ 2 (1 pˆ 2 ) n1 n2 53
Hipotesis (2) – Hipotesis satu arah: H0: p1 = p2 vs H1: p1 < p2 H0: p1 = p2 vs H1: p1 > p2 – Hipotesis dua arah: H0: p1 = p2 vs H1: p1 p2 Statistik uji :
zh
( pˆ1 pˆ 2 ) 1 1 pˆ (1 pˆ )( ) n1 n2
x1 x2 pˆ n1 n2 54
Mendenhall, hlm. 375
55
Latihan • Sebuah penelitian dilakukan untuk menguji pengaruh obat baru untuk viral infection. 100 ekor tikus diberikan suntikan infeksi kemudian dibagi secara acak ke dalam dua grup masing-masing 50 ekor tikus. Grup 1 sebagai kontrol, dan grup 2 diberi obat baru tersebut. Setelah 30 hari, proporsi tikus yang hidup untuk Grup 1 adalah 36% dan untuk Grup 2 adalah 60%. • Apakah obat tersebut efektif? Obat dikatakan efektif jika perbedaan antara grup perlakuan dengan grup kontrol lebih dari 12% 56
Penyelesaian • Diketahui : Grup Kontrol
Grup perlakuan
p1
p2
n1 =50
n2 =50
ˆ 1 0.36 p
ˆ 2 0.60 p
• Ditanya : p2-p1 > 0.12?
57
Penyelesaian H0: p2- p1 = 0.12 vs H1: p2- p1 > 0.12 = 5%
58
Penyelesaian Statistik uji :
(0.6 0.36) 0.12 zh 1.23 0.6(1 0.6) 0.36(1 0.36) 50 50
Wilayah kritik : Tolak H0 jika zh > z0.05 = 1.645 Kesimpulan: karena zh=1.23 < z0.05 = 1.645 maka Terima H0 (belum cukup bukti untuk Tolak H0) dengan kata lain berdasarkan informasi dari sampel yang ada belum menunjukkan bahwa obat tersebut efektif 59
PR/Tugas (2) Dikumpulkan di TU Dept Statistika, pada hari Senin minggu depan sebelum jam 12.00 (via Ibu Mar) Catatan : m = (digit ke-8) + (digit ke-9) dari NIM Misal NIM : H24130075 m = 7 + 5 = 12 1. Mendenhall (Exercise 8.39), hal. 321 mean pop.1 : (12.7 + 0.m) 2. Mendenhall (Exercise 8.54), hal. 327 n Democrat : (1094 + m)
3. Mendenhall (Exercise 9.14), hal. 362 standard.dev : (2.7 + 0.m) 4. Mendenhall (Exercise 9.25), hal. 367 st.dev Radisson : (10 + 0.m) 5. Mendenhall (Exercise 10.24), hal. 407 mean control : (1.26 + 0.m)
6. Mendenhall (Exercise 10.41), hal. 416 prohibitive : (data + m) 60
Terima Kasih Materi ini bisa di-download di: kusmans.staff.ipb.ac.id
61
