STK511 Analisis Statistika. Pertemuan 5 Statistika Inferensia (1)

STK511 Analisis Statistika Pertemuan – 5 Statistika Inferensia (1)

5. Statistika Inferensia (1)

Penduga Parameter Pendugaan Parameter mengacu pada suatu proses yang menggunakan data contoh untuk menduga nilai suatu parameter (populasi).

   2      

x  2 s   p   anang kurnia ([email protected])


Jenis Penduga Penduga Titik, seperti :

y untuk menduga  s2 untuk menduga 2 Penduga Selang, seperti : Selang kepercayaan (1 - )100% bagi  Jika

2

Jika

2

y  z 2

diketahui:

tdk diketahui:

 n

   y  z 2

y  t 2 ( n1)

 n

s s    y  t 2( n1) n n

anang kurnia ([email protected])


Ilustrasi (1) Survei dilakukan terhadap 20 rumah tangga (RT) di suatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut: RT

1

2

3

4

5

Biaya Pendi (juta Rp)

2.3

4.5

4.0

5.0

RT

11

12

13

14

Biaya Pendi (juta Rp)

6.8

5.3

a. b.

6

7

8

9

10

3.8

7.2 6.25 5.75

6.7

7.8

15

16

17

18

19

20

8.0 15.1 13.2

4.5

2.0

4.7 5.75 10.1

Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun Buatlah selang kepercayaan 95%. Asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal. anang kurnia ([email protected])


Ilustrasi (1) Jawab: Descriptive Statistics: y Variable Mean SE Mean y 6.438 0.732

a.

StDev 3.275

Minimum 2.000

Q1 4.500

Penduga rata-rata biaya pendidikan

ˆ  y  6.438


Median 5.750

Q3 7.650

Maximum 15.100


Ilustrasi (1) Jawab: One-Sample T: y Variable N Mean y 20 6.43750

b.

StDev 3.27542

SE Mean 0.73241

95% CI (4.90456, 7.97044)

Selang kepercayaan 95%

s y  s / n  3.27542 / 20  0.73241 t(0.05/2;db 19)  2.093 6.438  2.093  0.732     6.438  2.093  0.732  4.905    7.970 anang kurnia ([email protected])


Statistik ? → Nilai Tengah Perhatikan :

,

Kita memiliki

.

Pertanyaannya : Statistik yang mana yang akan digunakan untuk menduga ?

Penduga Tak Bias Terbaik 1. 2.

memiliki ragam minimum



Statistik ? → Nilai Tengah Penduga Tak Bias

• Bias : • Jika tak bias, maka

dan

Ilustrasi :



Statistik ? → Nilai Tengah Penduga Tak Bias Terbaik

• •

tak bias. memiliki ragam terkecil dari semua kemungkinan penduga tak bias lainnya.

Mean Square Error (MSE)



Ilustrasi : Teorema Limit Pusat Sebaran rataan contoh, n = 30



Penduga Selang Perhatikan : maka

dan

sehingga :


,


Penduga Selang Perhatikan :

• Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α.



Penduga Selang Perhatikan :

• Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α. • Dari seratus kali pengambilan contoh acak (selang acak) maka ada sebanyak kurang lebih (1 – α) x 100% yang memuat µ. • Selang kepercayaan 95% : kita yakin kalau mengambil 100 contoh acak (selang acak) maka ada 95 selang yang terbentuk akan memuat µ (nilai tengah populasi). anang kurnia ([email protected])


Ilustrasi (2) Diperoleh data hasil pengukuran tinggi badan (Y ) dalam cm di suatu kelas STK511 dari 25 orang mahasiswa sebagai berikut : 161 159 152 169 156 167 149 158 141 156 154 156 157 152 154 162 174 151 173 185 161 155 170 163 150

Jika diketahui  Y  10 , buat selang kepercayaan 95% bagi Y .



Ilustrasi (2) Jawab : y  159.4

 y  10 / 25  2

SK-nya adalah : 159.4  3.92  155.48;163.32

Z /2  1.96



Ilustrasi (2) Jawab : y  159.4

 y  10 / 25  2

SK-nya adalah : 159.4  3.92  155.48;163.32

Z /2  1.96

Minitab : The assumed standard deviation = 10 Variable N Mean StDev SE Mean TB 25 159.400 9.522 2.000

95% CI (155.480, 163.320)



Masalah Ukuran Contoh Minimum Perhatikan : Suatu selang kepercayaan (1 – α) x 100% untuk µ berdasarkan .

B = margin of error. Maka untuk suatu margin error dan tingkat kepercayaan tertentu serta ragam yang diketahui, ukuran contoh minimum adalah :



Ilustrasi (3) Rata-rata konsentrasi seng yang diperoleh dari suatu contoh yang berasal dari 36 lokasi yang berbeda di sebuah sungai adalah 2.6 gram/ml. Jika diketahui simpangan baku populasi sebesar 0.3 gram/ml, Berapa besar ukuran contoh minimum yang harus diambil jika kita ingin yakin 95% bahwa nilai dugaan kita berbeda dari  tidak lebih dari 0.05 gram/ml ? Jawab :  z 2 n    e

  

2

2

 1.96(0.3)  n   138.3  139  0.05  anang kurnia ([email protected])


Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas Perhatikan :

dengan

dan Sehingga untuk

:



Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas .

Rumus jadi :

dengan anang kurnia ([email protected])


Ilustrasi (4) Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. :

Buat selang kepercayaan 90% bagi

jika


.


Ilustrasi (4) Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. :

Buat selang kepercayaan 90% bagi

jika

Jawab :

Selang Kepercayaan :


.


Ilustrasi (4) Jawab : Minitab Two-Sample T-Test and CI: A, B Two-sample T for A vs B N Mean StDev SE Mean A 5 20.84 7.25 3.2 B 6 22.53 5.43 2.2 Difference = mu(A) - mu(B) Estimate for difference: -1.69333 90% CI for difference: (-8.68945, 5.30278) Both use Pooled StDev = 6.3028 anang kurnia ([email protected])


Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas Perhatikan :

Bagaimana kalau

?

dengan



Selang Kepercayaan untuk Proporsi Perhatikan : untuk n besar, berlaku :

Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah



Selang Kepercayaan untuk Proporsi 2 Contoh Acak Perhatikan :

untuk n besar, berlaku :

Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah



Ilustrasi (5) Catatan medis di suatu rumah sakit menunjukkan bahwa dalam contoh yang terdiri dari 1000 laki-laki, 52 diantaranya menderita penyakit jantung, sedangkan dari 1000 perempuan, 23 diantaranya yang menderita penyakit tersebut. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda proporsi laki-laki dan perempuan yang menderita penyakit jantung. Jawab : Selang Kepercayaan 95% bagi p1 – p2 : 0.052(1  0.052) 0.023(1  0.023)   0.052  0.023  1.96 1000 1000 anang kurnia ([email protected])


Ilustrasi (6) Perhatikan pada suatu pemilihan umum, misalkan peluang Si A dan Si B menang pada suatu TPS adalah sama, tentukan ukuran contoh TPS minimum jika diinginkan kesimpulan yang diperoleh memiliki tingkat kepercayaan 95% dengan margin error 5%. 2

 Z /2 x pq   Z /2 2 Jawab : n    pq      B  B   2

 1.96 x 0.25  n     384.16 0.05    385 anang kurnia ([email protected])


Ilustrasi (7) Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Peserta Berat Badan

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sebelum (X1)

90

89

92

90

91

92

91

93

92

91

Sesudah (X2)

85

86

87

86

87

85

85

87

86

86

D = X1 - X2

5

3

5

4

4

7

6

6

6

5

Dugalah rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet, lengkapi dengan selang kepercayaan 95%! anang kurnia ([email protected])


Selang Kepercayaan Nilai Tengah Data Berpasangan Penduga Selang Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: d Selang kepercayaan (1-)100% bagi d d  t 2 ( n1) Pasangan

sd n

 d  d  t 2 ( n1) …

1

2

3

Sampel 1 (X1)

x11

x12

x13

x1n

Sampel 2 (X2)

x21

x22

x23

x2n

D = (X1-X2)

d1

d2

d3

dn

sd2 

 (d

i

n

 d )2

i

n 1

dan di  x1i  x2i anang kurnia ([email protected])

sd n


Ilustrasi (7) Minitab

Paired T-Test and CI: X1, X2 Paired T for X1 N X1 10 X2 10 Difference 10

- X2 Mean 91.1000 86.0000 5.10000

StDev 1.1972 0.8165 1.19722

SE Mean 0.3786 0.2582 0.37859

95% CI for mean difference: (4.24356, 5.95644)



Ilustrasi (7) Minitab

Descriptive Statistics: D Variable D

Mean 5.100

SE Mean 0.379

StDev 1.197

One-Sample T: D Variable D

N 10

Mean 5.10000

StDev 1.19722

SE Mean 0.37859


95% CI (4.24356, 5.95644)

Bersambung …….



Tabel t-Student


STK511 Analisis Statistika. Pertemuan 5 Statistika Inferensia (1)

Recommend Documents