10 Departemen Statistika FMIPA IPB

Suplemen Responsi

Pertemuan

ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)

10

Departemen Statistika – FMIPA IPB Pokok Bahasan

Sub Pokok Bahasan

Referensi

Tabel Kontingensi

 Struktur peluang tabel kontingensi  Perbandingan proporsi pada tabel kontingensi 2  2  Odds ratio  Review uji kebebasan khi-kuadrat  Uji kebebasan untuk data ordinal  Uji exact untuk contoh kecil  Asosiasi dalam tabel tiga-arah

An Introduction to Categorical Data Analysis nd (2 Edition) Agresti (2007)

Waktu

Jumat 7 Desember 2011 15.45 – 17.45

Sebagian bahasan mengenai tabel kontingensi sudah dipelajari mulai pertemuan kelima. Pada pertemuan ini, pembahasan tabel kontingensi akan diarahkan pada beberapa sub-pokok bahasan mencakup : struktur peluang, perbandingan proporsi, odds ratio, review uji kebebasan khi-kuadrat, uji kebebasan untuk data ordinal, uji exact untuk contoh kecil serta uji asosiasi dalam tabel tiga-arah. Untuk memulai pembahasan, perhatikan tabel yang merekam frekuensi contoh berdasarkan jenis kelamin dan perolehan IPK (<3.00 dan ≥3.00) berikut. Jenis Kelamin Putra Putri Total

Kelompok IPK ≥3.00 21 24 45

<3.00 11 8 19

Total 32 32 64

Tabel di atas (selanjutnya disebut tabel sebaran IPK) disebut tabel kontingensi, yaitu sebuah tabel yang menampilkan frekuensi (counts) dari peubah respon dalam setiap sel. Tabel kontingensi yang menampilkan dua peubah kategorik sekaligus disebut tabel kontingensi dua-arah. sedangkan tabel kontingensi dengan I baris dan J kolom disebut tabel kontingensi I  J, disingkat tabel I  J. Tabel di atas adalah tabel 2  2.

Struktur peluang untuk tabel kontingensi 

Peluang bersama, marginal dan bersyarat

Misalkan sejumlah contoh diambil secara acak dari populasi tertentu dan diklasifikasikan berdasarkan peubah X dan Y. Peluang (X, Y) berada pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah ij = P(X=i, Y=j). Maka, peluang {ij} membentuk peluang bersama (joint probability) dari X dan Y, dalam hal ini i , j ij  1 . Peluang marginal adalah jumlah peluang bersama pada baris dan kolom tertentu. Peluang marginal untuk peubah baris dinyatakan dengan {i+} dan untuk peubah kolom dinyatakan dengan {+j}. Pada banyak tabel kontingensi, satu peubah merupakan respon (Y) dan peubah lainnya adalah penjelas (X). Sebaran peluang Y untuk setiap taraf X disebut sebagai peluang bersyarat atau conditional probabilities.

Perhatikan kembali tabel sebaran IPK. Untuk sel (1, 1) proporsi bersama adalah p11 = 11/64

= 0.172. Jika kelompok IPK adalah respon dan jenis kelamin adalah peubah penjelas maka proporsi bersyarat dapat ditentukan sebagai berikut : Untuk putra, proporsi “<3.00” adalah 11/32 = 0.344 dan proporsi “≥3.00” adalah 21/32 = 0.656, sehingga sebaran proporsi bersyarat adalah (0.344, 0.656). Sedangkan untuk putri adalah (0.250, 0.750).



Sensitivitas dan Spesifisitas

Sensitivitas dan spesifisitas merupakan salah satu alat dalam diagnosa. Awalnya, kedua statistik ini digunakan untuk melakukan diagnosa kesehatan, namun pada perkembangannya juga digunakan dalam diagnosa model-model statistika. Perhatikan tabel berikut : Kondisi sebenarnya (S) Sakit (+) Sehat (-)

Hasil pengujian (T) Positif (+) Negatif (-) a b c d

Berdasarkan tabel di atas, dapat didefinisikan : Sensitivitas

peluang bahwa hasil pengujian menunjukkan bahwa seseorang positif terjangkit penyakit apabila faktanya orang tersebut memang terjangkit penyakit, atau ditulis :

sen  P(T  | S )  Spesifisitas

a ab

peluang bahwa hasil pengujian menunjukkan bahwa seseorang tidak terjangkit penyakit apabila faktanya orang tersebut memang tidak terjangkit penyakit, atau ditulis :

spe  P(T  | S ) 

d cd

Idealnya, alat uji atau model statistika mempunyai sensitivitas dan spesifisitas yang tinggi. Akan tetapi, ketika mendapatkan sensitivitas dan spesifisitas yang tinggi, kadangkala kita masih mempunyai beberapa kesalahan yaitu : Salah positif

terjadi ketika hasil pengujian menyatakan positif terjangkit penyakit untuk orang yang sebenarnya tidak terjangkit penyakit.

F   P( S  | T ) 

c ac

Salah negatif terjadi ketika hasil pengujian menyatakan tidak terjangkit penyakit untuk orang yang sebenarnya terjangkit penyakit.

F   P ( S  | T ) 

b bd

Dalam statistika, diagnosis model menggunakan sensitivitas dan spesifisitas umumnya digunakan dalam analisis regresi logistik biner.



Kebebasan pada tabel kontingensi

Dua peubah (X, Y) dalam tabel kontingensi dikatakan saling bebas secara statistika apabila distribusi peluang bersyarat dari Y adalah identik untuk setiap level X. Jika kedua

2/9

peubah merupakan respon, maka dua peubah dinyatakan saling babas apabila semua peluang bersama sama dengan perkalian dari peluang-peluang marginalnya. Ditulis :

 ij   i   j untuk i = 1, 2, ..., I dan j = 1, 2, ..., J

Perbandingan proporsi pada tabel 2  2 

Uji beda proporsi

Misalkan untuk pengamatan pada baris ke-i, i menyatakan peluang “sukses” dan 1 – i menyatakan peluang gagal untuk i=1, 2. Sehingga beda proporsi 1  2 membandingkan peluang sukses pada dua baris. Untuk data contoh, p1 – p2 merupakan penduga bagi 1  2. Galat baku bagi p1 – p2 adalah :

SE 

p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )  n1 n2

sehingga, untuk contoh berukuran besar selang kepercayaan 100(1α)% bagi 1 2 (disebut selang kepercayaan Wald) adalah :

( p1  p2 )  z 2 SE Perhatikan kembali tabel sebaran IPK. Anggaplah bahwa sukses adalah keberhasilan memperoleh IPK IPK≥3.00, dan misalkan 1 adalah peluang mahasiswa putra memperoleh IPK≥3.00 dan 2 adalah peluang mahasiswa putri memperoleh IPK≥3.00, maka hipotesis nol bahwa 1 = 2 : p1 = 21/32 = 0.656 p2 = 24/32 = 0.750 p1 – p2 = 0.094

SE 

0.656(0.344) 0.75(0.25)   0.114 32 32

selang kepercayaan 95% bagi 1  2 adalah 0.094  1.96(0.114), atau 0.094  0.223. Sehingga hipotesis nol bahwa 1 = 2 diterima pada taraf nyata 5%.



Risiko relatif

Beda dua proporsi penting digunakan jika nilai kedua proporsi tersebut mendekati nilai 0 atau 1. Apabilai nilai kedua proporsi berada di tengah-tengah, risiko relatif (relative risk) lebih relevan. Risiko relatif adalah :

risiko relatif =

1 2

Untuk ilustrasi sebelumnya, risiko relatif contoh adalah 0.656/0.750 = 0.875.

3/9

Odds ratio Ukuran asosiasi lain yang dapat digunakan untuk tabel 2  2 adalah odds ratio. Odds ratio biasanya muncul disebagian besar model yang melibatkan data kategorik. Untuk peluang “sukses” , nilai odds sukses adalah :

odds =

 dengan odds  1 1

Sebagai contoh, untuk  = 0.60 mempunyai odds sukses sebesar 0.60/0.40 = 1.50. Ketika nilai odds = 1.50, sukses adalah 1,5 kali gagal. Ada dengan kata lain kita berharap ada 3 kali sukses untuk 2 kali gagal. Pada tabel 2  2, odds sukses untuk baris ke-1 adalah odds1 =  1 / (1   1 ) dan untuk baris ke-2 adalah odds2 =  2 / (1   2 ) . Rasio dua odds tersebut disebut odds ratio (), yang ditulis sebagai :



odds1  1 / (1   1 )  odds 2  2 / (1   2 )

Odds ratio merupakan bilangan non-negatif. Jika peubah X dan Y saling bebas, 1 = 2 sehingga odds1 = odds2 dan  = odds1/odds2 = 1. Jika kedua peubah dalam tabel 2  2 merupakan peubah respon, maka odds ratio didefinisikan melalui peluang bersama :



 11 /  12  11 22   21 /  22  12 21

Untuk tabel sebaran IPK, odds sukses adalah odds1 = 21/11 = 1.91 untuk putra dan odds2 = 24/8 = 3 untuk putri. Sehingga odds ratio contoh adalah



 1.91   0.637 . 3

Inferensia odds ratio dan log odds ratio

Sebaran penarikan contoh bagi odds ratio sangat tidak simetris (menjulur), karenanya inferensia statistika bagi odds ratio menggunakan log natural dari odds ratio, log  .



Kebebasan sepadan dengan  = 1 atau log  = 0. Log odds ratio contoh, log  mempunyai sebaran yang menghampiri normal dengan rataan log  dan galat baku :

SE 

1 1 1 1    n11 n12 n21 n22

Sehingga selang kepercayaan 100(1α)% bagi log  adalah :



 log   z 2 SE

Untuk tabel sebaran IPK, log   log(0.637)  0.451, sedangkan galat bakunya adalah :

4/9

SE 

1 1 1 1     0.305 ; sehingga selang kepercayaan 95% bagi log  yang dapat 11 21 8 24

dibentuk adalah 0.451  1.96(0.305) atau (1.0488, 0.1468), atau ekuivalen dengan selang bagi  : [exp( 1.0488), exp(0.1468)]  (0.350, 1.158)



Hubungan odds ratio dengan risiko relatif Hubungan antara odds ratio dengan risiko relatif dituliskan dalam formula :

odds ratio =

 1  p2  p1 / (1  p1 )  risiko relatif    p2 / (1  p2 )  1  p1 

Perhatikan tabel sebaran IPK. Telah dihitung bahwa p1 = 21/32 = 0.656, p2 = 24/32 = 0.750 dan risiko relatif = 0.875, sehingga :

odds ratio  0.875 

0.250  0.637 0.344

Uji kebebasan khi-kuadrat 

Uji khi-kuadrat Pearson dan statistik likelihood-ratio

Untuk menguji kebebasan dua peubah dalam tabel I  J, statistik uji khi-kuadrat dan likelihood-ratio adalah

 (nij  ij )2 Khi-kuadrat Pearson : X    ij 2

 nij Likelihood-ratio : G 2  2 nij log     ij

  

Dalam hal ini X 2 dan G 2 mengikuti sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas (I1)(J1)  dan  adalah frekuensi harapan, yang dapat dihitung dengan rumus :

  n  n ij  npi  p j  n  i     j  n  n

 ni  n j  n 

Tiap sel pada tabel berikut menunjukkan frekuensi teramati (atas) dan frekuensi harapan (bawah) untuk tabel sebaran IPK. Jenis Kelamin Putra Putri Total

Kelompok IPK ≥3.00 21 22.5 24 22.5 45

<3.00 11 9.5 8 9.5 19

Sehingga dapat diperoleh :

X2 

(21  22.5) 2 (11  9.5)2 (24  22.5) 2 (8  9.5)2     0.674 22.5 9.5 22.5 9.5

5/9

Total 32 32 64

pakek Ln bukan Log   21   11   24   8  G 2  2 (21) log    (11) log    (24) log    (8) log     0.676  22.5   9.5   22.5   9.5    Untuk derajat bebas 1 dan taraf nyata 5% diperoleh nilai tabel khi-kuadrat sebesar 3.84. Sehingga berdasarkan uji X 2 maupun G 2 jenis kelamin dan IPK saling bebas.



Sisaan dalam tabel kontingensi

Untuk menguji kebebasan, dapat juga menggunakan sisaan sel pada tabel kontingensi dengan rumus :

eij 

 nij  ij

 ij (1  p1 )(1  p j ) 

Penyebut pada rumus di atas merupakan galat baku bagi nij  ij . Sehingga eij merupakan



sisaan terbakukan. Untuk tabel sebaran IPK, pada sel pertama diketahui n11  21 , 11  22.5 ,

p1  32 / 64  0.5 dan p j  45 / 65  0.692 , sehingga sisaan terbakukan untuk sel ini adalah : e11 

21  22.5  0.806 22.5(1  0.5)(1  0.692)

Uji kebebasan untuk data ordinal 

Pola linier

Ketika peubah (baris dan/atau kolom) yang diuji diukur dalam skala ordinal, uji kebebasan menggunakan uji X 2 dan G 2 , informasi urutan data diabaikan. Sebagai alternatif, dapat digunakan uji asosiasi pola (trend association) . Untuk memeriksa adanya asosiasi pola, analisis sederhana memberikan peringkat atau skor kepada kategori dan mengukur derajat pola linier. Statistik uji yang digunakan sensitif terhadap arah pola linier (positif atau negatif) dengan mamanfaatkan korelasi data. Misalkan u1  u2    uI adalah adalah skor dan u  i ui pi  adalah rata-rata skor untuk baris, sedangkan v1  v2    vJ

dan v   i vi p j untuk kolom. Jumlah i , j (ui  u )(vi  v ) pij merupakan kovarian X dan Y. Korelasi antara X dan Y merupakan kovarian dibagi dengan perkalian antara simpangan baku X dan Y, ditulis :

r

i , j (ui  u )(v j  v ) pij i (ui  u ) 2 pi    j (v j  v )2 p j 

Untuk menguji H0 : kedua peubah saling bebas lawan H1 : kedua peubah berkorelasi (≠0) digunakan statistik uji :

M 2  (n  1)r 2 Untuk n besar, M 2 menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

6/9

IPM 0 ≤ IPM < 60 60 ≤ IPM < 70 70 ≤ IPM < 100 Total

Daerah tertinggal Ya Tidak 13 0 117 77 29 158 159 235

Total 13 194 187 394

Pemilihan skor dapat dilakukan dengan beberapa cara, salah satunya adalah dengan peringkat-tengah (mid-rank). Menggunakan cara ini, pengamatan diberi skors 1 sampai n. Perhatikan tabulasi data profil daerah yang menampilkan frekuensi (n) dan frekuensi harapan  (  ) daerah berdasarkan IPM (indeks pembangunan manusia) dan status daerah tertinggal menurut KPDT di atas. Baris pertama, 0 ≤ IPM < 60, diberi skor (1+13)/2 = 7. Baris kedua, 60 ≤ IPM < 70, akan mempunyai skor (1+13+(13+194))/2 = 110.5, sedangkan baris ketiga akan mempunyai skor 301. Coba lanjutkan perhitungan, berapa nilai korelasi antara IPM dan status daerah tertinggal? PROC FREQ memberikan nilai r = 0.499 dan M2 = 393  (0.499)2 = 97.943.

Fisher’s exact test untuk contoh kecil pada tabel 2  2 Selang kepercayaan dan pengujian yang dilakukan sejauh ini digunakan untuk contoh berukuran besar. Semakin besar ukuran contoh, maka X 2 , G 2 dan M 2 akan menghampiri sebaran khi-kuadrat. Akan tetapi, jika ukuran contoh kecil, inferensia menggunakan sebaran exact lebih tepat dibandingkan dengan hampiran contoh-besar. Pada tabel 2  2, kebebasan dua peubah ditandai dengan  = 1. Pada tabel ini, untuk jumlah baris dan kolom marginal tertentu, frekuensi pada sel pertama (n11) menentukan frekuensi pada ketiga sel lainnya. Ketika  = 1, peluang untuk nilai n11 dinyatakan oleh

 n1  n2     n11  n1  n11   P(n11 )   n     n1  yang merupakan peluang hipergeometrik. Pada pengujian H0 : peubah saling bebas  = 1 lawan H1 :  > 1, p-value merupakan peluang hipergeometri sebelah kanan bahwa n11 lebih besar atau sama dengan frekuensi teramati. Sebagai contoh, seorang peramal mengaku dapat melihat benda yang diletakkan di dalam kotak tertutup. Untuk membuktikan klaim tersebut, dilakukan percobaan sederhana sebagai berikut : sepuluh bola, lima berwarna hitam dan lima berwarna putih, dimasukkan ke dalam sepuluh kotak sedemikian sehingga satu kotak hanya berisi satu bola. Kotak semuanya ditutup rapat. Selanjutnya, sepuluh kotak tersebut diacak posisinya sehingga tidak diketahui dengan pasti di kotak mana bola warna hitam dan putih tersebut berada. Lalu, peramal diminta untuk menebak warna bola dalam kesepuluhu kotak tersebut, kemudian satu-per-satu kotak dibuka sehingga warna bola dapat diketahui. Hasilnya adalah sebagai berikut :

7/9

Warna sebenarnya Hitam Putih Total

Hasil ramalan Hitam 3 2 5

Putih 2 3 5

Total 5 5 10

Berdasarkan tabel di atas, ada tiga hasil ramalan yang cocok, sehingga :

 5  5     5!/ (3!)(2!) 5!/ (2!)(3!) 3 2     0.3968 P(3)      10!/ (5!)(5!) 10    5 Dengan perhitungan yang sama diperoleh P (4)  0.0992 dan P (5)  0.0040 . Karenanya, klaim peramal tersebut sangat diragukan (p-value=0.5). Sementara untuk membuktikan klaimnya dengan tingkat kepercayaan 85%, peramal tersebut setidaknya harus mampu menemukan 4 bola hitam dan putih secara benar (p-value=0.1032). Tabel berikut meringkas sebaran geometrik untuk percobaan meramal di atas. n11 0 1 2 3 4 5

Peluang 0.0000 0.0992 0.3968 0.3968 0.0992 0.0040

p-value 1.0000 0.9960 0.8968 0.5000 0.1032 0.0040

P-value dengan perhitungan seperti ini biasanya bersifat konservatif, dikarenakan tingkat galat yang sebenarnya lebih kecil daripada galat yang ditetapkan. Untuk itu, disarankan menggunakan mid p-value. Untuk kasus peramal di atas, saat n11 = 3, besarnya mid p-value = P(3)/2 + P(4) + P(5) = (0.5/2) + 0.1032 + 0.004 = 0.3572. Seandainya n11 = 4, maka mid p-value = (0.1032/2) + 0.004 = 0.0556.

Asosiasi pada tabel tiga arah Sebuah tabel tiga arah menampilkan frekuensi dari tiga peubah, misalnya X, Y dan Z. Sebagai contoh, tabel berikut merupakan tabel kontingensi 2  2  2, terdiri dari dua kolom, dua baris dan dua lapisan, yang merekam frekuensi mahasiswa berdasarkan jenis kelamin (Z), aktivitas organisasi (X) dan tingkat IPK (Y). Jenis Kelamin Putra Putri Total

Organisasi Aktif Tidak aktif Aktif Tidak aktif

Kelompok IPK ≥3.00 <3.00 5 1 16 10 7 3 17 5 45 19

Total 6 26 10 22 64

Misalkan kita ingin mempelajari pengaruh aktivitas organisasi terhadap IPK, maka dengan mengendalikan fakor jenis kelamin. Dengan demikian, tabel di atas akan terdiri dari sebuah tabel parsial 2  2 antara aktivitas organisasi dan IPK untuk setiap taraf jenis kelamin (putra dan putri). Gabungan dua tabel parsial ini akan membentuk tabel kontingensi dua arah yang disebut sebagai tabel marginal. 8/9



Odds ratio bersyarat dan marginal

Sepertihalnya asosiasi marginal, asosiasi bersyarat dapat dijelaskan dengan odds ratio. Odds ratio pada tabel parsial disebut odds ratio bersyarat. Perhatikan asosiasi bersyarat antara aktivitas organisasi dan IPK. Penduga bagi odds ratio bersyarat untuk tabel parsial



pertama – mahasiswa putra adalah :  XY (1)  (5 10) / (16  1)  3.125 . Sedangkan untuk mahasiswa putri, penduga bagi odds ratio antara aktivitas organisasi dan IPK adalah  XY (2)  (7  5) / (17  3)  0.686 . Untuk tabel marginal antara aktivitas organisasi dan IPK (jenis kelamin diabaikan), diperoleh odds ratio marginal :  XY   (5  7)(10  5)  /  (16  17)(1  3)   1.364



Kebebasan bersyarat vs. Kebebasan marginal

Jika X dan Y saling bebas untuk setiap tabel parsial, maka dapat dikatakan bahwa X dan Y bebas bersyarat untuk Z tertentu. Selanjutnya, semua odds ratio bersyarat antara X dan Y akan bernilai 1 untuk setiap taraf Z. meskipun demikian, odds ratio marginal mungkin tidak sama dengan 1.



Kehomogenan asosiasi

Misalkan Z terdiri dari k taraf serta X dan Y merupakan peubah biner. Peubah X dan Y dikatakan memiliki asosiasi yang homogen apabila :

 XY (1)   XY (2)     XY ( k )

Note : 

Materi dikutip dari Agresti (2007). Apabila ada materi yang belum dibahas dapat dilihat langsung pada halaman 21–54 

CUIWW (Correct Us If We’re Wrong) Prepared by : Nur Andi Setiabudi, S. Stat Edited by : Didin Saepudin

9/9