Suplemen Responsi
Pertemuan
ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)
4
Departemen Statistika – FMIPA IPB Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan
Referensi
Uji Hipotesis Tiga Contoh atau Lebih
Uji Friedman (analisis ragam dua-arah berdasarkan peringkat) Perbandingan berganda hasil uji Friedman
Applied Nonparametric Statistic Daniel (1990)
Waktu
Jumat 22 Okt 2010 15.30 – 17.30
Kelengkapan: Tabel Khi-Kuadrat, Tabel koefisien konkordansi Kendall, Tabel Normal
Uji Friedman Uji Friedman merupakan metode nonparametrik yang digunakan untuk rancangan acak kelompok lengkap. Tujuan uji Friedman adalah untuk melihat ada atau tidaknya perbedaan pengaruh antar perlakuan. Ketika pengaruh perlakukan-perlakuan memiliki pengaruh yang berbeda, respon dari subjek yang diberi suatu perlakuan akan memiliki median yang sama dengan respon dari subjek yang diberi perlakuan lainnya, setelah pengaruh pengelompokkan peubah dihilangkan. Sehingga, uji ini analog dengan dengan prosedur parametrik analisis ragam dua-arah. Rancangan data untuk uji Friedman ditampilkan dalam tabel di bawah, di mana baris mewakili kelompok dan kolom untuk perlakuan. Istilah perlakuan memiliki makna yang luas, misalnya status social ekonomi atau latar belakang pendidikan. Tabel : Rancangan untuk uji Friedman Kelompok
Perlakuan 1
2
1 2
X11 X21
X12 X22
Xb1
Xb2
R1
R2
b
k X1k X2k
Xbk Rk
Ada perbedaan dalam hal pemeringkatan antara uji Kruskal-Wallis dan uji Friedman. Dalam uji Kruskal-Wallis pengamatan-pengamatan dari seluruh contoh yang telah digabungkan akan diperingkatkan relatif satu sama lain. Namun pada uji Friedman pengamatan-pengamatan dalam setiap kelompok diperingkatkan secara terpisah, sehingga setiap kelompok akan memiliki gugus data peringkat, dengan k adalah banyaknya perlakuan.
1/6
Asumsi a. b. c. d.
Data terdiri dari b kelompok yang saling bebas dengan ukuran k perlakuan Peubah yang diamati bersifat kontinu Tidak ada interaksi antara kelompok dan perlakuan Pengamatan dalam setiap kelompok dapat diperingkatkan berdasarkan besarnya
Hipotesis H0 : M1 = M2 = = Mk atau k perlakuan memiliki median yang sama H1 : Ada minimal satu Mi ≠ Mj dimana i ≠ j dan i, j = 1, 2, …, k Statistik Uji Statistik uji Friedman dapat ditentukan melalui prosedur berikut : 1. Urutkan pengamatan-pengamatan dalam setiap kelompok secara terpisah, 2. Jika terdapat ties (nilai yang sama) dalam kelompok, beri peringkat tengah (midrank) 3. Statistik uji Friedman dapat diperoleh melalui rumus :
r2
12 bk k 1
k
j 1
k
atau W
12 R j 1
2 j
R 2j 3 b k 1
3b 2k k 1
b k k 2
2
2
1
di mana W r2 b ( k 1)
k
Apabila ada ties maka W
12 R j 3b 2 k k 1
2
j 1
b k k 2 1 b t 3 t 2
Uji W digunakan jika : k = 3 dan b ≤ 15 k = 4 dan b ≤ 8 k = 5 dan b ≤ 3 Catatan
b : banyaknya kelompok k : banyaknya perlakuan Ri : jumlah peringkat perlakuan ke-i t : banyaknya pengamatan yang bernilai sama (ties)
Kaidah Keputusan Jika b dan k kecil, tolak H0 jika W lebih besar atau sama dengan Wtabel (tabel koefisien konkordansi Kendall, A.14). Selainnya, jika b dan/atau k tidak tercantum dalam tabel 2 A.14, tolak H0 jika r2 b ( k 1)W lebih besar atau sama dengan nilai (1 ) dengan derajat bebas k 1 (tabel Khi-Kuadrat, A.11).
2/6
Contoh1 : Di bawah ini adalah data jumlah korosi berbagai jenis logam pada tiga jenis segel. Selidiki dengan Uji Friedman apakah ketiga jenis segel mempunyai kemampuan menahan korosi yang berbeda (gunakan taraf nyata 5%). Segel
Logam 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Hipotesis
A
B
C
21 29 16 20 13 5 8 26 17 4
23 30 19 19 10 12 18 32 20 10
15 21 18 18 14 6 12 21 9 2
: H0 : Ketiga jenis segel mempunyai kemampuan menahan korosi yang sama H1 : Minimal ada satu jenis segel yang mempunyai kemampuan menahan korosi yang berbeda dengan jenis segel lainnya
Statistik Uji : Segel
Logam 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
21 29 16 20 13 5 8 26 17 4
2 2 1 3 2 1 1 2 2 2
23 30 19 19 10 12 18 32 20 10
3 3 3 2 1 3 3 3 3 3
15 21 18 18 14 6 12 21 9 2
1 1 2 1 3 2 2 1 1 1
RA
18
RB
27
RC
15
Dengan menggunakan rumus di peroleh : k
W
12 R j 1
2 j
3b 2k k 1
b 2k k
2
1
2
1 2 1 8 2 2 7 2 1 5 2 3 (1 0 ) 2 3 3 1 (1 0 ) 2 ( 3 ) 3 2 1
1
2
0 .3 9
Sumber : Irawan, N & Astuti S.P. 2006. Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan Minitab 14. Yogyakarta : Penerbit Andi.
3/6
Tabel A.14 dengan k=3 dan b=10 menunjukkan peluang untuk mendapatkan sebuah nilai W yang sama besar atau lebih besar dari 0.39 ketika H0 benar adalah sebesar 0.018. Konsekuensinya, H0 ditolak pada taraf nyata 5% sehingga dapat disimpulkan bahwa tiga jenis segel tidak mempunyai kemampuan menahan korosi yang sama. Dengan menggunakan pendekatan khi-kuadrat, nilai r2 yang ekuivalen dengan W=0.39 adalah
r2 10(3 1)(0.39) 7.80 . Berdasarkan Tabel A.11, (2 .05, db=2) 5.991 . Karena r2 (2 .05, db=2) , H0 ditolak. Output MINITAB : Friedman Test: Korosi versus Segel blocked by Logam S = 7.80
Segel A B C
N 10 10 10
DF = 2
P = 0.02
Est Median 16.167 19.833 13.500
Sum of Ranks 18.0 27.0 15.0
Grand median = 16.500
Prosedur Perbandingan Berganda untuk Uji Friedman Ketika uji Friedman memberikan penolakan terhadap H0, yang artinya ada sepasang perlakuan yang mempunyai pengaruh berbeda terhadap respon, biasanya kita tertarik untuk menyelidiki lebih lanjut mengenai di mana perbedaan tersebut berada. Untuk itu diperlukanlah suatu prosedur perbandingan berganda yang konsisten untuk dapat digunakan bersama dengan uji Friedman. Hipotesis yang diuji adalah : H0 : Mi = Mj H1 : Mi ≠ Mj dimana i ≠ j Ketika kita membandingkan semua kemungkinan pasangan perlakuan pada taraf nyata α, dan banyaknya kelompok adalah besar, kita dapat menyatakan Ri dan Rj berbeda nyata apabila :
| R i R j |
b k k 1
k k 1
6
Misalnya pada contoh di atas, kita mempunyai α=0.05, b=10, k=3, dan dari tabel normal (A.2) kita peroleh Z0.008332.39. Sehingga kita peroleh :
2.39
0.00833 0.4917
10(3)(3 1) 10.688 6
0.00
4/6
Z0.0083 2.39
Jumlah peringkat adalah RA=18, RB=27 dan RC=15, sehingga : |RA – RB| = 9
|RA – RC| = 3
|RB – RC| = 12
Dapat kita simpulkan bahwa segel jenis B dan segel jenis C mempunyai kemampuan menahan korosi yang berbeda (|RB – RC| = 12 > 10.688), sedangkan pasangan jenis segel lainnya sama.
Tambahan : Uji Durbin Biasanya digunakan untuk rancangan acak kelompok tidak lengkap seimbang Asumsi : a. Kelompok saling bebas satu sama lain b. Pengamatan masing-masing kelompok dapat diperingkatkan sesuai dengan besarnya. Hipotesis : H0 : M1 = M2 = ...= Mk H1 : ada minimal satu Mi ≠ Mj dimana i ≠ j Prosedur : 1. peringkatkan untuk setiap kelompok 2. R = jumlah peringkat tiap perlakuan Statistik uji :
T
12 t 1
t
rt k 1 k 1
j 1
Dimana
Rj
3r t 1 k 1
k
1
t = banyaknya perlakuan r = banyaknya ulangan k = banyaknya subjek per blok
Kaidah keputusan : 2 Tolak H0 jika T > t 1
5/6
Uji Cohran untuk Pengamatan Berhubungan Asumsi : a. Data yang dianalisis terdiri dari respon dari r kelompok untuk perlakuan yang saling bebas. b. Respon 1 untuk sukses dan 0 untuk gagal c. Kelompok dipilih secara acak dari populasi dari semua kemungkinan kelompok.
Hipotesis : H0 : Perlakuannya mempunyai pengaruh yang sama H1 : Perlakuan tidak semuanya mempunyai pengaruh yang sama Statistik uji : Derajat bebas = c – 1. Hilangkan kelompok yang terdiri dari hanya 0 atau hanya 1 saja. c
Q
c c 1 C 2j c 1 N
2
j 1
cN
r
i 1
R i2
Kaidah keputusan : Dengan melihat tabel Khi-Kuadrat (A.11) maka terima H0 saat nilai Q berada diantara dua taraf selang kepercayaan.
End of file
6/6
