Suplemen Responsi
Pertemuan
ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)
3
Departemen Statistika – FMIPA IPB Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan
Referensi
Uji Hipotesis Tiga Contoh atau Lebih
Uji Kruskal-Wallis (analisis ragam satu-arah berdasarkan peringkat) Perbandingan berganda hasil uji Kruskal-Wallis
Applied Nonparametric Statistic Daniel (1990)
Waktu
Jumat 05 Okt 2012 15.30 – 17.30
Kelengkapan: Tabel Normal, Tabel Khi-Kuadrat, Tabel Kruskal-Wallis
Uji Kruskal-Wallis Uji Kruskal-Wallis (Kruskal-Wallis one-way analysis of variance by ranks) adalah teknik statistika nonparametrik yang digunakan untuk menguji hipotesis awal bahwa beberapa contoh berasal dari populasi yang sama/identik. Jika hanya melibatkan dua contoh, uji Kruskal-Wallis ekuivalen dengan uji Mann-Whitney. Uji Kruskal-Wallis digunakan untuk rancangan acak lengkap. Tabel : Rancangan untuk uji Kruskal-Wallis Contoh/Perlakuan 1
2
X1.1 X1.2
X2.1 X2.2
X1.n1
X2.n2
R1
R2
k Xk.1 Xk.2
Xk.nk Rk
Asumsi a. Data terdiri dari contoh acak X1, X2, …, Xn yang berasal dari populasi 1 dengan median Mx, dan contoh acak Y1, Y2, …, Yn dari populasi 2 dengan median My. Nilai Mx dan My tidak diketahui. b. Kedua contoh saling bebas c. Peubah acak bersifat kontinu d. Skala pengukuran minimal ordinal e. Fungsi sebaran dari kedua populasi hanya dipisahkan oleh lokasi parameter Hipotesis H0 : M1 = M2 = = Mk atau k populasi mempunyai fungsi sebaran yang identik H1 : Ada minimal satu Mi ≠ Mj dimana i ≠ j dan i, j = 1, 2, …, k
1/5
Statistik Uji Statistik uji Kruskal-Wallis dapat ditentukan melalui prosedur berikut : 1. Seperti halnya uji Mann-Whitney, gabungkan seluruh data contoh, sehingga akan ada sebanyak n1 n2 nk N pengamatan.
2. Peringkatkan setiap pengamatan dari yang terkecil hingga terbesar. Jika terdapat ties (nilai yang sama), beri peringkat tengah (mid-rank). 3. Hitung jumlah peringkat untuk setiap contoh, nyatakan masing-masing sebagai Ri. 4. Statistik uji Kruskal-Wallis dapat diperoleh melalui rumus : k 12 1 H N N 1 i 1 ni
k ni N 1 Ri 2 12 R atau H i 3 N 1 2 N N 1 i 1 n i
2
Dalam hal ini Ri adalah jumlah peringkat untuk contoh ke-i, ni adalah jumlah pengamatan pada contoh ke-i, dan N adalah total pengamatan. Jika ada ties, statistik uji perlu dikoreksi dengan faktor :
1
T dalam hal ini T t 3 t dan t adalah banyaknya ties. Sehingga statistik uji N3 N
Kruskal-Wallis terkoreksi menjadi :
HC
H 1 T N 3 N
Kaidah Keputusan a. Jika hanya melibatkan tiga contoh/perlakuan (k=3) dan setiap contoh terdiri dari lima atau kurang pengamatan, gunakan tabel Kruskal-Wallis (A.12). Tolak H0 jika H atau H C H . b. Jika tabel A.12 tidak dapat digunakan, gunakan tabel Khi-Kuadrat (A.11). Tolak H0 jika H atau H C 2 ,k 1 . Contoh : Torre et al. mencatat adanya perubahan serotonin (5-HT) (platelet) serebral dan ekstraserebral tikus sesudah pemberian LSD-25 dan 1-methyl-dlysergic acid butanclamide (UML) secara intraperitoneal. Pengukuran yang sama mereka lakukan pada 11 kontrol. Hasil percobaan disajikan pada Tabel di bawah ini. Apakah data ini cukup memberikan bukti untuk menunjukan adanya perbedaan di antara ketiga perlakuan tersebut (α=5%)? Hitung pula nilai p-value (Daniel 1990). Tabel serotonin otak (5-HT), nanogram per gram, pada tiga kelompok anak tikus Kontrol LSD 0.5 mg/kg UML 0.5 mg/kg
340 294 263
340 325 309
356 325 340
386 340 356
386 356 371
402 371 371
402 385 402
417 402 417
433
495
557
Sumber : Michele Torre, Filippo Bogetto, and Eugenio Torre, “Effect of LSD-25 and 1-Methyl-d-lysergic Acid Butanolamide on Rat Brain and Platelet Serctonin Levels”, Psychopha macologia, 36 (1974), 117-122
2/5
Hipotesis
:
H0 : Ketiga perlakuan memberikan pengaruh yang sama terhadap serotonin otak (5-HT) anak tikus H1 : Minimal ada satu perlakuan memberikan pengaruh yang berbeda terhadap serotonin otak (5-HT) anak tikus
Statistik Uji : Kontrol LSD 0.5 mg/kg UML 0,5 mg/kg
Nilai Peringkat Nilai Peringkat Nilai Peringkat
340 7.5 294 2 263 1
340 7.5 325 4.5 309 3
356 11 325 4.5 340 7.5
386 17.5 356 11 371 14
402 20.5 371 14 371 14
402 20.5 385 16 402 20.5
417 23.5 402 20.5 417 23.5
433 25
495 26
557 27
Rkontrol= 203.5 RLSD=80 RUML=94.5
k Ri 2 12 3 N 1 diperoleh : N N 1 i 1 n i
Dengan menggunakan rumus H
H
386 17.5 340 7.5 356 11
203.52 802 94.52 12 3(27 1) 6.18 27(27 1) 11 8 8
Karena terdapat ties, maka dikoreksi dengan rumus H C
H sehingga 1 T N 3 N
diperoleh :
HC
6.18 6.24 1 186 27 3 27
Catatan : ties T = (23-2)+(43-4)+(33-3)+(33-3)+(23-2)+(43-4)+(23-2)=186 Ukuran contoh lebih dari 5 pengamatan sehingga harus digunakan tabel Khi-Kuadrat. Nilai kritis khi-kuadrat untuk derajat bebas k 1 3 1 2 pada taraf nyata 5% adalah 5.991. Sehingga dengan Hc = 6.23 kita dapat menolak H0 pada taraf nyata 5%, dan simpulkan bahwa ada minimal satu perlakuan yang memberikan pengaruh yang berbeda terhadap serotonin otak (5-HT) anak tikus. Pada kasus ini, 0.025 < p-value < 0.05. Output MINITAB : Kruskal-Wallis Test: serotonin_otak (5-HT) versus kelompok Kruskal-Wallis Test on serotonin_otak(5-HT) kelompok Kontrol LSD UML Overall
N 11 8 8 27
Median 402,0 348,0 363,5
H = 6,18 H = 6,23
DF = 2 DF = 2
Ave Rank 18,5 10,0 11,8 14,0
P = 0,046 P = 0,044
Z 2,44 -1,70 -0,93
(adjusted for ties)
3/5
Prosedur Perbandingan Berganda untuk Uji Kruskal-Wallis Ketika uji Kruskal-Wallis memberikan penolakan terhadap H0, yang artinya ada sepasang perlakuan yang mempunyai pengaruh berbeda terhadap respon atau ada data contoh yang memiliki median yang berbeda, biasanya kita tertarik untuk menyelidiki lebih lanjut mengenai di mana perbedaan tersebut berada. Untuk itu diperlukanlah suatu prosedur perbandingan berganda yang konsisten untuk dapat digunakan bersama dengan uji KruskalWallis. Hipotesis yang diuji adalah : H0 : Mi = Mj H1 : Mi ≠ Mj dimana i ≠ j Ketika kita membandingkan semua kemungkinan pasangan perlakuan pada taraf nyata α, kita dapat menyatakan Ri dan Rj berbeda nyata apabila :
| Ri R j | Z
k k 1
N N 1 1 1 12 ni n j
Atau, apabila ukuran contoh sama besar (ni = nj), tolak H0 apabila :
| Ri R j | Z
k N 1 k k 1
6
Jika terdapat ties : Tolak H0 apabila
| Ri R j | Z
N N 2 1 t 3 t 1 1 12 N 1 n n j i
k k 1
Atau apabila ni = nj, tolak H0 apabila:
| R i R j | Z
N
k N k k 1
6N
2
1 T
N
1
Dalam hal ini Ri dan R j adalah rata-rata peringkat untuk contoh/perlakuan ke-i dan ke-j;
T t 3 t , dan t adalah banyaknya ties. Prosedur perbandingan berganda ini disebut uji Dunn.
4/5
Catatan : Nilai Z / k ( k 1) adalah titik kritis pada kurva
k (k 1)
0.5 / k (k 1)
sebaran normal baku yang luas area sebelah kanannya sebesar / k ( k 1) .
Z / k ( k 1)
0.00
Pada contoh di atas, H0 ditolak yang berarti pemberian perlakuan memberikan pengaruh yang berbeda terhadap serotonin otak (5-HT).. Untuk mengetahui lebih lanjut perlakuan mana yang memberikan pengaruh berbeda tersebut dilakukanlah prosedur uji Dunn. Misalnya, untuk pengujian ini kita menggunakan gunakan taraf nyata 10%, sehingga / k (k 1) =0.10/3(2)=0.0167 167. Dari tabel A.2 diperoleh nilai Z0.0167 = 2.13 (nilai Z terdekat). Sehingga :
0.0167
0.5 0.0167 0.4833
0.00
Z 0.0167
1) Pembanding untuk perlakuan erlakuan ‘kontrol dengan LSD’ dan ‘kontrol ontrol dengan UML UML’ :
Z
k k 1
N N 2 1 t 3 t 1 1 27 27 2 1 186 1 1 7.82 2.13 12 N 1 12 27 1 11 8 ni n j
2) Pembanding untuk perlakuan erlakuan ‘LSD dengan UML’:
Z
k k 1
N N 2 1 t 3 t 1 1 27 27 2 1 186 1 1 8.41 2.13 12 N 1 12 27 1 8 8 ni n j
Rata-rata peringkat adalah Rkontrol 18.5 , RLSD 10 , dan RUML 11.81 Dengan demikian : | Rkontrol RLSD | = | 18.5 – 10 | = 8.5 > 7.82
| Rkontrol RUML | = | 18.5 – 11.81 | = 6.69 < 7.82
| RLSD RUML | = | 10 – 11.81 | = 1.81 < 8.41
Dapat kita simpulkan bahwa kontrol dan LSD memberikan pengaruh berbeda terhadap serotonin otak (5-HT) HT) anak tikus, tikus, sedangkan pasangan perlakuan lainnya tidak.
Tugas
: Buku uku Daniel (1990) hal. 233 latihan 6.6 dan hal. 234 latihan 6.9
Catatan
: Bagi yang ingin tambahan nilai, nilai silakan baca jurnal berikut : http://physther.org/content/77/12/1755.full.pdf (rangkum/catat informasi penting dalam jurnal tersebut !)
CUIWW (Correct Us If We’re Wrong) Prepared by : Nur Andi Setiabudi, S. Stat Edited by : Didin Saepudin
5/5
