Transformasi Satu Peubah Acak (Bagian II) Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2017

Transformasi Satu Peubah Acak (Bagian II)

Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2017

Transformasi Peubah Acak (Lanjutan) B. Metode Penggantian Peubah Metode ini merupakan pengembangan dari metode fungsi sebaran. Misalkan diketahui fkp bagi p.a. X adalah fX(x). Jika didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y = h(x), maka ingin diketahui fkp bagi Y yaitu fY(y).

2

Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya, yaitu h(x), harus fungsi satu-satu (one-to-one). Y = h(X)



X = h-1(Y)

FY(y) = P(Y  y) = P(h(X)  y) = P(X  h-1(y)) = FX(h-1(y)) FY(y) = FX(h-1(y))

3

FY(y) = FX(h-1(y)) selanjutnya tentukan turunan dari FY(y) di atas untuk mendapatkan fY(y): dFY ( y ) dFX [h 1 ( y )] dFX [h 1 ( y )] d [h 1 ( y )]   fY(y) = dy dy d [h 1 ( y )] dy

karena X = h-1(Y) , maka persamaan di atas menjadi:

dFX [h 1 ( y )] d [h 1 ( y )] dFX ( x) dx dx   f ( x ) fY(y) = X d [h 1 ( y )] dy dx dy dy 4

dFX [h 1 ( y )] d [h 1 ( y )] dFX ( x) dx dx   f X ( x) fY(y) = 1 d [h ( y )] dy dx dy dy

atau

1 dh ( y) 1 f ( h ( y )) fY(y) = X dy

5

Teorema: Misalkan X adalah p.a. dengan fkp fX(x) pada gugus S  R, dan didefinisikan fungsi h : S  T sebagai tranformasi satu-satu (one-to-one), sehingga inversnya x = h-1(y), y  T. Anggap bahwa untuk y  T, turunan (dh-1(y))/dy ada, kontinu dan tidak sama dengan 0. Maka fungsi kepekatan peluang bagi p.a. yang didefinisikan Y = h(X) adalah: 1 dh ( y) fY(y) = f X (h 1 ( y )) , dy

yT

dh1 ( y ) Catatan : disebut sebagai Jacobi atau disingkat J. dy 6

Kasus 1 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut: fX(x) = 2x,

0<x<1

Jika didefinisikan p.a. Y = 8X3, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu fY(y). Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas, Y = X3, merupakan fungsi satu-satu. 1/ 3

Y = h(X) = 8X3



Y  X = h-1(Y) =   8

Y 1/ 3 = 2

dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8. 7

1/ 3

Y = h(X) = 8X3



Y  -1 X = h (Y) =   8

Y 1/ 3 = 2

dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.

dh1 ( y ) d  y1 / 3  y 2 / 3   J= =  dy  2  6 dy

8

dh1 ( y ) d  y1 / 3  y 2 / 3   J= =  dy  2  6 dy 1 2 / 3   dh ( y ) y   2(h 1 ( y )) fY(y) = f X (h 1 ( y )) dy  6 

 y1 / 3  y 2 / 3  1    1 / 3 fY(y)  2  2  6  6 y Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah fY ( y ) 

1 , 1/ 3 6y

0
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp ! 9

Kasus 2 Misalkan p.a. kontinu X  U(, ). Jika kemudian didefinisikan p.a. Y = eX, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y).

Karena X  U(, ) maka  < x <  dan e < y < e Y = h(X) = eX  X = h-1(Y) = ln(Y)

dh1 ( y ) d ln( y ) 1  J= = dy dy y 10

dh1 ( y ) d ln( y ) 1  J= = dy y dy

dh1 ( y ) 1 1 1     fY(y) = f X (h ( y )) dy     y  (   ) y 1

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah 1 fY ( y )  , (   ) y

e < y < e

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !

11

Kasus 3 Misalkan p.a. kontinu X  U(0, 1). Jika kemudian didefinisikan p.a. Y = -2ln(X), akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y). Karena X  U(0, 1) maka 0 < x < 1 dan y > 0 Y = h(X) = -2ln(X)  X = h-1(Y) = e-y/2

1 y/2 1 y/2 dh1 ( y ) de y / 2  e  e J= = dy dy 2 2 12

1 y/2 1 y/2 dh1 ( y ) de y / 2  e  e J= = dy dy 2 2

1 dh ( y) 1  1  1. e  y / 2   e  y / 2 fY(y) = f X (h 1 ( y )) dy 2  2

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah 1 y/2 , fY ( y )  e 2

y>0

Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp. Catatan, fkp ini merupakan sebaran 2 dengan derajat bebas 2. 13

Kasus 4 (Latihan) Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut: fX(x) =

1  2 1 /( 2 x 2 ) x e , 2

Jika didefinisikan p.a. Y =

- < x < 

1 , tunjukkan bahwa fkp bagi Y X

adalah Normal(0, 1).

14

Kasus 5 Misalkan p.a. kontinu X  N(, 2). Jika kemudian didefinisikan p.a. Y = aX - b, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y). Karena X  N(, 2) maka - < x <  dan - < y < 

Y = h(X) = aX - b  X =

h-1(Y)

Y b = a

dh1 ( y ) d Y b 1 1 J= =    dy dy  a  a a 15

dh1 ( y ) d Y b 1 1 J= =    dy dy  a  a a

2   yb       1 dh ( y ) 1   a  1  1 fY(y) = f X (h ( y ))  exp  . 2  dy 2 a 2       

  y  (a  b) 2    exp  2  2( a  ) 2 a    1

Sehingga fkp bagi p.a. Y = aX - b adalah Normal(a - b, (a)2) 16

Kasus 6 (Bukan Fungsi Satu-Satu) Misalkan p.a. kontinu X menyebar Normal(0, 1) yaitu 1

fX(x) =

1  2 x2 e , 2

-<x<

Jika didefinisikan p.a. Y = X2, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu fY(y). Perhatikan bahwa dalam transformasi di atas, Y = X2, bukan fungsi satu-satu (one-to-one). Sehingga transformasi tersebut harus dipecah dulu agar menjadi fungsi satu-satu, yaitu: -  < x  0 dan 0 < x < . 17

Untuk -  < x  0



Y = h(X) = X2

X = h-1(Y) =  Y

dan karena -  < x  0 maka 0  y < .





d 1 1 dh1 ( y )  y   y 1/ 2  y 1/ 2 J= = dy dy 2 2

2 1 1   y  1 dh ( y ) 1 fY ( y )  f X (h 1 ( y ))  e 2 . y 1/ 2 dy 2 2



1 y 1/ 2 e  y / 2 2 2 18

Untuk 0 < x <  Y = h(X) = X2



X = h-1(Y) = Y

dan karena 0 < x <  maka 0 < y < .

d dh1 ( y ) J= = dy dy

 y   12 y

1 / 2

1 1/ 2  y 2

2 1 1   y 1 dh ( y ) 1 fY ( y )  f X (h 1 ( y ))  e 2 . y 1/ 2 dy 2 2

1  y 1/ 2 e  y / 2 2 2 19

Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah

1  1 1 / 2  y / 2   1 / 2  y / 2  fY ( y )   y e  y e     2 2   2 2  1  y 1/ 2 e  y / 2 , y0 2 Perhatikan bahwa fkp p.a. Y tersebut merupakan sebaran Khai-Kuadrat dengan derajat bebas 1 yaitu 2(1). Jadi jika X  N(0, 1) maka Y = X2  2(1).

20

Catatan : sebaran Khai-Kuadrat dengan derajat bebas r dapat dinyatakan sebagai berikut: 1 ( r / 2 ) 1  y / 2 f ( y)  y e , r/2  ( r / 2) 2

untuk r = 1 maka (r/2) =

y0

 , sehingga

1 1 (1 / 2 ) 1  y / 2 f ( y)  y e  y 1/ 2 e  y / 2 , . 2 2

y0

21

Kasus 7 (Peubah Acak Diskret) Untuk transformasi peubah acak diskret dilakukan seperti pada peubah acak kontinu di atas, hanya saja untuk peubah acak diskret Jacobi selalu sama dengan satu (J = 1), yaitu fY(y) = f X (h 1 ( y)) ,

yT

22

Misalkan p.a. diskret X mempunyai

sebaran Poisson(),

yaitu: fX(x) =

 xe x!

,

x = 0, 1, 2, ...

Jika didefinisikan p.a. Y = 5X, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu fY(y). Y = h(X) = 5X  X = h-1(Y) = Y/5 karena X merupakan p.a. diskret maka Jacobian = 1, sehingga

fY(y) = f X (h 1 ( y)) = fX(y/5) =

 y / 5e   ( y / 5)!

,

y = 0, 5, 10, .... 23

1

24

2

25

3

4

26

1.

Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press

2.

Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.

3.

Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.

4.

Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning

5.

Pustaka lain yang relevan.

27

Bisa di-download di

kusmansadik.wordpress.com

28

29