STK 511 Analisis statistika Materi 6 Pengujian Hipotesis
1
Pendahuluan
Dalam mempelajari Karakteristik Populasi kita sering telah memiliki pernyataan/anggapan tertentu.
pemberian DHA pada anak-anak akan menambah kecerdasannya atau pemberian vaksin polio akan mengurangi jumlah anak-anak yang menderita penyakit ini
Diperlukan pengumpulan data
Apakah data mendukung pernyataan/anggapan tersebut
Pendahuluan
Suatu pernyataan / anggapan yang mempunyai nilai mungkin benar / salah atau suatu pernyataan /anggapan yang mengandung nilai ketidakpastian Hipotesis Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk yaitu:
H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang umumnya ingin kita tolak H1 / HA (hipotesis alternatif): pernyataan lain yang akan diterima jika H0 ditolak
Kesalahan dalam Keputusan
Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahan yaitu:
Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0 benar Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahal H1 benar
Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagai berikut:
P(salah jenis I) = P(tolak H0 | H0 benar) = P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) =
H0 benar
H0 salah
Tolak H0
Peluang salah jenis I (Taraf nyata; )
Kuasa pengujian (1-)
Terima H0
Tingkat kepercayaan (1-)
Peluang salah jenis II ()
Pengaruh nilai dan Teladan : Andaikan suatu perusahaan A akan menerima dari
suplier apabila produknya minimal mengandung 55% zat X. Untuk meyakinkan maka diambil 9 contoh (dgn asumsi simpangan baku sebesar 2%).
Sisi Suplier : Ingin semua diterima
Dengan μ=65% hampir semua kiriman suplier diterima.
Kondisi ini tentu tidak menguntungkan suplier. Bagaimana
apabila kriteria β diturunkan?
Terlihat bahwa apabila beta diperkecil dgn kondisi yg lain
tetap → Tidak menguntungkan sisi konsumen Bagaimana supaya menurunkan keduanya?
Untuk menurukan kedua-duanya secara simultan → hanya
ada satu cara yaitu dengan meningkatkan banyaknya contoh
Teladan Menghitung Nilai dan contoh berukuran 25 diambil secara acak dari populasi normal(;2 = 9). Hipotesis yang akan diuji, H0 : = 15 H1 : = 13 Tolak H0 jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 13.5 Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ?
Jawab: P(salah jenis I)
P(salah jenis II)
= = = = = = = = =
P(tolak H0| = 15) P(x 13.5) P(z (13.5-15)/(3/25)) P(z - 2.5 ) = 0.0062 P(terima H0| = 13) P(x 13.5) P(z (13.5-13)/(3/25)) P(z 0.83 ) 1 - P(z 0.83 ) = 0.2033
Pada kenyataannya parameter populasi sering kali tidak
diketahui Sehingga dalam pengujian hipotesis hanya nilai salah jenis I (α) yang dapat dikendalikan. Akan timbul pertanyaan : – Berapa nilai α yang digunakan?
Tergantung resiko keputusan yang akan diambil
Langkah-langkah Dalam Pengujian Hipotesis Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis: (1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji 1. Hipotesis satu arah H0 : 0 vs H0 : 0 vs 2. Hipotesis dua arah H0 : = 0 vs
H1 : < 0 H1 : > 0 H1 : 0
(2).
(3). (4).
Tetapkan tingkat kesalahan/Peluang salah jenis I/taraf nyata Deskripsikan data contoh yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll) Hitung statistik ujinya Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diuji CONTOH H0: = 0 maka maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z) atau
th
x 0 s/ n
zh
x 0
/ n
(5) Tentukan daerah kritis atau daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) CONTOH H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db) H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db) H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)
(6) Tarik keputusan dan kesimpulan
Pengujian Nilai Tengah Populasi Kasus Satu Contoh Suatu contoh acak diambil dari satu
populasi Normal berukuran n Tujuannya adalah menguji apakah parameter sebesar nilai tertentu, katakanlah 0
Populasi X~Sebaran(,2)
Uji
Acak
Contoh
Hipotesis yang dapat diuji:
Hipotesis satu arah: H0 : 0 vs H0 : 0 vs Hipotesis dua arah: H0 : = 0 vs
H1 : < 0 H1 : > 0 H1 : 0
Statistik uji:
Jika ragam populasi (2) diketahui (untuk X bukan
normal n besar) :
x 0 zh / n
Jika ragam populasi (2) tidak diketahui dan
X~Normal:
th
x 0 s/ n
Daerah kritis pada taraf nyata () Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang
sedang dikaji Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) dan statistik uji H1: < 0 Tolak H0 jika zh < -z H1: > 0 Tolak H0 jika zh > z H1: 0 Tolak H0 jika |zh | > z/2
H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db=n-1) H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db=n-1) H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db=n-1)
Ilustrasi Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rataratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ?
Hipotesis yang diuji:
H0 : = 50 vs H1 : < 50 Statistik uji:
th= (55-50)/(4.2/20)=10.91 Daerah kritis pada taraf nyata 0.05
Tolak H0 jika th < -t(0,05;db=19) = -1,729
Kesimpulan:
Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.
Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi 1 ??? 2
Kasus Dua Contoh Saling Bebas Setiap populasi diambil contoh
acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama) Pengambilan kedua contoh saling bebas Tujuannya adalah menguji apakah parameter 1 sama dengan parameter 2
Populasi I X~Sebaran(1,12)
Populasi II X~Sebaran(2,22)
Acak dan saling bebas
Contoh I (n1)
Contoh II (n2)
Hipotesis Hipotesis satu arah:
H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0 H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 >0
Hipotesis dua arah:
H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0
Statistik uji:
Jika ragam kedua populasi diketahui katakan 12 dan
22 (X bukan normal n besar):
zh
( x1 x2 ) 0
( x x 1
2)
Jika X ~ Normal dan ragam populasi tidak diketahui:
( x1 x 2 ) 0 th s( x1 x2 ) n1 n2 2; db 2 2 db ; efektif 1 2 2 1
2 2
s x1 x2
1 1 2 2 s ; g 1 2 n1 n2 2 2 s1 s 2 2 2 ; 1 2 n n 2 1
Daerah kritis pada taraf nyata () Pada prinsipnya sama dengan kasus satu contoh, dimana daerah
penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1) dan statistik uji H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika zh < -z H1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika zh > z; H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |zh | > z/2
H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika th < -t(; db) H1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika th > t(; db) H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)
Teladan
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :
Persh. A
30
35
50
45
60
25
45
45
50
40
Persh. B
50
60
55
40
65
60
65
65
50
55
Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%
Jawab: Rata-rata dan ragam kedua contoh: 30 35 40 x1 42,5 10
s 2 1
n x xi 2 1
2
n(n 1)
10(19025) - (425) 2 106.94 10(9)
n x xi 10(32525) - (565) 2 50 60 55 2 x2 56,5 s2 66.94 10 n(n 1) 10(9) Perbandingan kekuatan karton Hipotesis: H0: 1= 2 vs H1: 12 2 2
2
Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan 12 22 )
( x2 x1 ) ( 2 1 )
56,5 42,5 0 th 3,36 2 2 66,94 / 10 106,94 / 10 ( s2 / n2 ) ( s1 / n1 ) ( s12 / n1 s22 / n2 ) 2 (10.34 2 / 10 8.182 / 10) 2 db 2 2 2 2 ( s1 / n1 ) /( n1 1) ( s2 / n2 ) /( n2 1) (10.34 2 / 10) 2 / 9 (8.182 / 10) 2 / 9 17,10 17 Daerah kritis pada taraf nyata 10%:
Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740 Kesimpulan: Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat daripada karton A
Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Berpasangan Kasus Dua contoh Saling Berpasangan Setiap populasi diambil contoh acak berukuran n (wajib sama) Pengambilan kedua contoh berpasangan, ada pengkait antar kedua contoh (bisa waktu, objek, tempat, dll) Tujuannya adalah menguji apakah parameter 1 sama dengan parameter 2
1 ??? 2
Populasi I X~N(1,12)
Populasi II X~N(2,22)
Acak dan berpasangan
contoh I (n)
contoh II (n)
Pasangan 1 Pasangan … Pasangan n
Apabila D=X1-X2, maka hipotesis statistika: Hipotesis satu arah: H0: D 0 vs H1: D<0 H0: D 0 vs H1: D>0 Hipotesis dua arah: H0: D = 0 vs H1: D0
Statistik uji:
d 0 th sd / n
Dimana adalah rata-rata simpangan antar pengamatan pada contoh pertama dengan contoh kedua Pasangan
1
3 …
2
n
contoh 1 (X1)
x11
x12
x13
x1n
contoh 2 (X2)
x21
x22
x23
x2n
D = (X1-X2)
d1
d2
d3
dn
Daerah Kritis: (lihat kasus satu contoh)
Ilustrasi
Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Berat Badan
Peserta 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sebelum (X1)
90
89
92
90
91
92
91
93
92
91
Sesudah (X2)
85
86
87
86
87
85
85
87
86
86
D=X1-X2
5
3
5
4
4
7
6
6
6
5
Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!
Jawab: Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka: Hipotesis:
H0 : D = 5 vs H1 : D > 5
Deskripsi:
di
51 d 5,1 n 10 sd 1,43 1,20
n d i2 d i
2
s 2 d
n(n 1)
10(273) (51) 2 1,43 10(9)
Statistik uji: t
d d d d 5,1 5 0,26 sd sd 1,20 / 10 n
Daerah kritis pada =5%
Tolak H0, jika th > t(=5%,db=9)= 1.833 Kesimpulan:
Terima H0, artinya data belum mendukung program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg
Pengujian Proporsi Satu Populasi Bentuk Hipotesis: H0 : p = p 0 H1 : p < p 0 | H1 : p > p 0 | H1 : p ≠ p0 ;
Jika n besar sebaran Z Statistik-uji : Zh =
p(1 p) σ n 2 pˆ
Karena p tidak diketahui, maka digunakan p0
Daerah Kritik :
H1: p < p0 Zh < - Z H1: p > p0 Zh > Z
H1: p ≠ p0 |Zh| > Z/2
Teladan
Seorang produsen mengklaim bahwa paling tidak 95% produknya bebas-rusak. Pemeriksaan terhadap contoh acak produknya dengan n = 600 menunjukkan bahwa 39 di antaranya rusak. Uji pernyataan produsen tersebut.
Pengujian Proporsi Dua Populasi Bentuk Hipotesis: H0 : p1 - p 2 = p0 H1 : p1 - p 2 < p0 | H1 : p1 - p2 > p0 | H1 : p1 - p2 ≠ p 0
Jika n besar sebaran Z Statistik-uji : Zh =
dimana
pˆ
(pˆ 1 pˆ 2 ) p 0 p(1 p)(1 n1 1 n 2 )
X1 X 2 n1 n 2
Karena p tidak diketahui, maka digunakan p0
Daerah Kritik :
H1: p1 < p2 Zh < - Z H1: p1 > p2 Zh > Z
H1: p1 ≠ p2 |Zh| > Z/2
Teladan Suatu Obat penenang diduga hanya 60% efektif. Hasil
percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa menunjukkan 70% obat tersebut efektif. Apakah ini bukti bahwa obat baru lebih baik dari yang beredar sekarang? Gunakan taraf nyata 5%.
Pengujian Ragam Satu populasi Bentuk Hipotesis: Satu Arah:
H0: 2 02 H1: 2 > 02
H0 : 2 02 H1 : 2 < 02
Dua Arah:
H0: H1: Statistik uji :
2 = 02 2 02 χ 2hit
n 1s 2 σ 02
2 ~ χ (db n 1)
Teladan Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki
mobil yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0.9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan baku s = 1.2 tahun, apakah menurut Anda > 0.9 tahun?
Pengujian Ragam Dua populasi Bentuk Hipotesis: Satu Arah:
H0: 12 22 H1: 12 > 22
H0 : 12 22 H1 : 12 < 22
Dua Arah:
H0: H1: Statistik uji :
12 = 02 12 22
f hit
max(s 12 , s 22 ) ~ f db1 n1 1;db2 n 2 1 2 2 min(s1 , s 2 )
Teladan
Selesai
52
