STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU

III. Peubah Acak Kontinu

1

PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak ! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota ruang contoh S ke himpunan bilangan nyata R; Y : S Æ R.


2

Peubah Acak Kontinu Definisi 3.1. (Peubah Acak Kontinu): Jika Y adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh S yang terdiri dari suatu selang (interval) atau gabungan dari beberapa selang, serta f(y) adalah fungsi non negatif sedemikian sehingga ∫S f(y) dy = 1 dan jika ada fungsi P(A), A ⊂ S dapat dinyatakan sebagai P(A) = P(Y ∈ A) = ∫A f(y) dy , maka Y disebut peubah acak kontinu dan f(y) disebut fungsi kepekatan peluang (fkp) dari Y.


3

Jika f(y) adalah fkp peubah acak Y dan A = {y|a < y < b} maka P(A) = P(Y ∈ A) dapat ditulis sbb

P(a < Y < b) = ∫ab f(y) dy Jika A = {a}, maka P(A) = P(Y ∈ A) = P(Y = a) = ∫aa f(y) dy = 0, artinya jika Y peubah acak kontinu, maka peluang setiap himpunan yang terdiri dari satu titik adalah nol. Dengan demikian P(a < Y < b) = P(a ≤ Y ≤ b)


4

Sifat Fungsi Sebaran Peubah Acak Kontinu Jika FY(y) adalah fungsi sebaran (kumulatif) suatu peubah acak kontinu Y dimana FY(y) = ∫-∞y f(t) dt , maka berlaku : 1. 0 ≤ FY(y) ≤ 1 2. FY(y) merupakan fungsi tidak turun 3. limyÆ-∞ FY(y) = 0 dan LimyÆ∞ FY(y) = 1 ≤ 4. FY(y) merupakan fungsi kontinu kanan, limyÆa+ FY(y) = FY(a)


5

Ilustrasi 3.1. Pada suatu percobaan, dipilih satu titik secara acak dari selang [a, b] dimana a < b. Misalkan Y adalah fungsi identitas yang terdefinisi pada selang [a, b], dengan demikian ruang contoh SY = [a, b]. Anggap jika suatu interval A adalah anak gugus dari SY, maka peluang kejadian A sebanding terhadap panjang A. Jika A = [a, y], y ≤ b maka P(A) = P(Y ∈ A) = P(a ≤ Y ≤ y) = c (y - a), dimana c konstanta keproporsionalan. Jika y = b maka P(A) = P(a ≤ Y ≤ b) = c (b - a) = 1, sehingga c = 1/(b-a).


6

Ilustrasi (cont): Dengan demikian kita akan mempunyai suatu model peluang jika fungsi sebaran Y, yaitu FY(y) didefinisikan : 0 ,y < a   FY (y) = (y − a) (b − a), a ≤ y ≤ b  1 ,b ≤ y 

Sehingga fY(y)=F’Y(y)dapat dituliskan sbb:

 1 (b − a) , a ≤ y ≤ b fY (y) =  , selainnya 0


7

Hubungan FY(y) dengan fY(y) Jika Y peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran FY(y), maka fungsi kepekatan peluang (fkp) bagi Y, dinotasikan fY(y) adalah

asalkan turunan pertama dari FY(y) terdefinisi. Dengan demikian berdasarkan kaidah kalkulus maka juga dapat ditulis

Sifat dari fY(y): ;


8

Ilustrasi 3.2. Jika diketahui Y memiliki fkp fY(y) sbb. y lainnya

Untuk menentukan FY(y) kita perlu menghitung P(Y ≤ y) untuk semua kemungkinan nilai y. • Untuk y ≤ 0, kita peroleh • Untuk y ≥ 2, kita peroleh

• Untuk 0 < y < 2, kita peroleh

• Jadi FY(y) yang dimaksud adalah


9

Sifat fkp Jika Y peubah acak kontinu dengan fkp fY(y), maka (i) (ii) (iii)


10

Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Nilai harapan suatu peubah acak kontinu Y adalah :

Ilustrasi 3.3. Jika diketahui Sehingga y lainnya


11

Jika Y adalah suatu peubah acak kontinu dengan fkp fY(y) dan g(Y) adalah suatu fungsi dari peubah acak Y, maka…

Ilustrasi 3.4. Jika diketahui • Jika g(Y) = Y2, maka E(Y2) : y lainnya

• Jika g(Y) = ln Y, maka E(ln Y) :


12

Bentuk-bentuk khusus nilai harapan Jika Y peubah acak diskret dengan fmp f(y) dan y terdefinisi pada a1, a2, a3, … maka akan berlaku E(Y) = a1 f(a1) + a2 f(a2) + a3 f(a3) + … yang tidak lain adalah rataan terboboti atau disebut juga rataan aritmetik atau nilai tengah suatu peubah acak. Dengan demikian nilai tengah µY dari suatu peubah acak Y, jika ada, adalah µY = E(Y) berlaku untuk Y diskret atau kontinu.


13

Bentuk khusus nilai harapan Æ ragam Perhatikan untuk g(Y) = (Y - µY)2 E[g(Y)] = ∫y g(y) fY(y) dy = ∫y (y - µY)2 fY(y) dy adalah ragam Y, dinotasikan σ2Y. σ2Y = E[(Y - µY)2] = E[Y2 – 2Y µY + µY2] = E(Y2) - 2 µY2 + µY2 = E(Y2) - µY2


14

Bentuk khusus nilai harapan Æ fungsi pembangkit momen Perhatikan untuk g(Y) = etY E[g(Y)] = ∫y etY fY(y) dy adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan dinotasikan dengan mY(t). Jika dua buah peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya juga memiliki sebaran yang sama. Fungsi pembangkit momen bersifat unik dan menentukan sebaran peubah acak.


15

Dengan demikian kita bisa menyatakan suatu peubah acak Y secara unik dalam tiga bentuk : 1. Fungsi sebaran, FY(y) 2. Fungsi kepekatan peluang, fY(y) 3. Fungsi pembangkit momen, mY(t)


16

Momen suatu peubah acak Jika MY(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan M(i)Y(t) adalah turunan ke-i terhadap t dari MY(t), maka : M(1)Y(t) = ∫y y ety fY(y) dy dan untuk t = 0, maka M(1)Y(t) =

∫y y fY(y) dy = E(Y)

M(2)Y(t) = ∫y y2 ety fY(y) dy dan untuk t = 0, maka M(2)Y(t) =

∫y y2 fY(y) dy = E(Y2)

Dengan demikian M(k)Y(t) = ∫y yk ety fY(y) dy dan untuk t = 0, maka M(k)Y(t) = ∫y yk fY(y) dy = E(Yk) adalah momen ke-k dari peubah acak Y. III. Peubah Acak Kontinu

17


18

Menentukan nilai tengah dan ragam melalui fpm


19

Ilustrasi 3.5. Perhatikan peubah acak Y dengan fkp sbb. y lainnya

Fungsi pembangkit momen serta nilai harapan dan ragamnya adalah :

Jadi E(Y), E(Y2) dan V(Y) adalah : untuk t < 0


20

Sifat nilai harapan Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fkp fY(y) dan g1, g2, …, gk adalah fungsi dari Y serta c adalah suatu konstanta, maka :


21

Y ~ Seragam (θ1, θ2) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya

(2) Fungsi pembangkit momen :

(3) Nilai harapan dan ragam :

Penurunan dan bukti sebagai latihan !!! III. Peubah Acak Kontinu

22

Y ~ Normal (µ, σ2) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya Akan diperlihatkan bahwa fY(y) adalah fkp. Misal

dan

I > 0 dan jika fY(y) fkp, maka I = 1 sehingga I2 = 1


23

Y ~ Normal (µ, σ2) Misal x = r cos θ, y = r sin θ sehingga x2 + y2 = r2 dan dxdy = r drdθ, maka I2 dapat ditulis sbb. yang merupakan bentuk koordinat polar.


24

Y ~ Normal (µ, σ2) (2) Fungsi pembangkit momen :

Misal

, sehingga


dengan

25

Y ~ Normal (µ, σ2) (2) Fungsi pembangkit momen : Dengan demikian mY(t) =

akhirnya mY(t) =


26

Ilustrasi 3.6. Perlihatkan bahawa yika Y ~ N (µ, σ2) maka ~ N (0, 1) Bukti :

⇒ adalah fpm N(0, 1) III. Peubah Acak Kontinu

27

Y ~ Gamma (α, β) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya Akan diperlihatkan bahwa fY(y) adalah fkp. Misal maka :

dan

karena untuk t > 0 (fungsi gamma)


28

Y ~ Gamma (α, β) (2) fpm peubah acak Y :

dengan

maka suku sebelah kanan dapat ditulis sbb.

fkp

dengan demikian fpm peubah acak Y adalah


29

Y ~ Eksponensial (β) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya

(2) fpm peubah acak Y : , misal

, untuk

. Kenapa ?


30

Latihan : Jika Y ~ Gamma (α, β). (1) Untuk α = 1, maka Y ~ Eksponensial (β) (2) Untuk α = v/2 dan β = 2, maka Y ~

χ2(v)


31

STK 203 TEORI STATISTIKA I

Recommend Documents