STK 203 TEORI STATISTIKA I

STK 203 TEORI STATISTIKA I V.

SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK

V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

1

Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak menggunakan fungsi dari peubah acak. Sebagai ilustrasi, pada saat kita akan melakukan pengujian hipotesis terhadap nilai tengah µ dari peubah acak X yang menyebar normal, statistik yang digunakan adalah

t=

x

_

µ0

sx

Kenapa menggunakan statistik tsb ? V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

2

Sebaran Fungsi Peubah Acak Untuk menentukan sebaran fungsi peubah acak tersebut, kita akan membahas tiga metode utama yaitu : (1) Metode Fungsi Sebaran (2) Metode Transformasi (3) Metode Fungsi Pembangkit Momen


3

(1) Metode Fungsi Sebaran Perhatikan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran FY(y). Jika U = g(Y) dan FU(u) adalah fungsi sebaran peubah acak U, secara umum kita bisa mencari fU(u) yang merupakan turunan pertama dari FU(u). Sedangkan FU(u) = PU(U ≤ u) = PU(g(Y) ≤ u)


4

(1) Ilustrasi 5.1. Jika Y ~ Seragam (0, 1) dan U = g(Y) = - log(Y) Dengan demikian fU(u) kita peroleh dari turunan pertama FU(u), sbb.

karena 0 < y < 1 maka u = - log(y) > 0 sehingga diperoleh u lainnya Kita tahu bahwa FY(y) = y untuk 0 < y < 1. Sehingga 0 < e-u < 1 dan FU(u) = 1 – FY(y) = 1 - e-u

Bisa diperlihatkan bahwa U ~ Eksponensial (1)


5

(1) Ilustrasi 5.2. Diketahui Y ~ Eksponensial (1). Tentukan fkp U = g(Y) = Y + θ, θ > 0. Dengan metode fungsi sebaran kita peroleh :

Kita tahu bahwa FY(y) = 1- e-y untuk y > 0. Sehingga u - θ > 0 dan FU(u) = 1 – FY(u - θ) = 1 - e-(u - θ)

Dengan demikian kita bisa memperoleh fU(u) dengan menentukan turunan pertama dari FU(u) sbb.

Jadi


u lainnya 6

(2) Metode Transformasi Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fungsi sebarannya FY(y) dan U = g(Y) adalah fungsi satu-ke-satu dari Y. Ada beberapa sifat dari fungsi satu-ke-satu yang akan kita gunakan, yaitu : (1) g akan memetakan R ke R dengan sifat monoton naik atau monoton turun (2) g akan memiliki fungsi kebalikan yang unik, g-1


7

(2) Perhatikan jika g(y) adalah fungsi satu-ke-satu yang monoton naik, maka u = g(y) ⇔ g-1(u) = y, dan

Dengan menurunkan FU(u) akan diperoleh

aturan rantai


8

(2) Sekarang perhatikan jika g monoton naik, demikian pula dengan g-1, sehingga .

Jika g monoton turun, demikian pula dengan g-1, sehingga akan tetapi fY(g-1(u)) < 0 sehingga bernilai positif. Untuk mengatasi kedua kasus tersebut, kita bisa menggunakan fungsi harga mutlak, sehingga fkp bagi U adalah


9

(2) Ilustrasi 5.3. Diketahui Y ~ Eksponensial (β). Tentukan fkp Pertama-tama, kita harus meyakinkan bahwa g adalah fungsi satu-kesatu pada daerah fungsi RY. Mudah untuk ditunjukkan bahwa g(y) adalah fungsi yang monoton naik dan bersifat satu-ke-satu pada RY = {y|0 < y < ∞}. Selanjutnya kita tentukan turunan dari g-1(u), sehingga diperoleh dan dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh

untuk (?) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak Dengan demikian U ~ Wibull (2, β)

10

(2) Ilustrasi 5.4. Diketahui fkp peubah acak Y sbb. y lainnya

Tentukan fkp dari U = g(Y) = 1 - Y Mudah untuk menunjukkan g(y) adalah fungsi yang monoton turun dan bersifat satu-ke-satu pada RY = {y|0 < y < 1}. Selanjutnya kita tentukan turunan dari g-1(u), sehingga diperoleh dan dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh

untuk


11

(2) Pertanyaan berikutnya adalah

BAGAIMANA KALAU g(Y) BUKAN FUNGSI SATU-KE-SATU ?

Dalam kondisi g yang bukan fungsi satu-ke-satu kita masih bisa menggunakan metode transformasi asalkan kita dapat mempartisi RY sedemikian sehingga diperoleh partisi-partisi yang tidak beririsan dan g pada masing-masing partisi bersifat satu-ke-satu.


12

(2) Teorema 5.1.: Perhatikan Y peubah acak kontinu dengan fkp fY(y) dan U = g(Y) adalah suatu fungsi yang tidak bersifat satu-ke-satu pada RY tetapi kontinu. Misalkan kita dapat mempartisi RY menjadi beberapa himpunan yang terhingga banyaknya, katakan A1, A2, …, Ak dengan (i) P(Yi ∈ Ai) > 0 untuk setiap i dan (ii) fY(y) bersifat kontinu pada setiap Ai Jika fungsi g1(y), g2(y), …, gk(y) ada sedemikian sehingga gi(y) terdefinisi pada Ai untuk i = 1, 2, …, k serta gi(y) memenuhi sifat (i) g(y) = gi(y) untuk setiap y ∈ Ai (ii) gi(y) bersifat monoton pada Ai maka : u lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

13

(2) Ilustrasi 5.5. Diketahui Y ~ N(0, 1). Tentukan fkp peubah acak U = Y2 Pertama-tama, kita lihat bahwa U = Y2 bukan fungsi satu-ke-satu pada RY = {y |-∞ < y < ∞} tetapi bersifat satu-ke-satu pada A1 = (-∞, 0) dan A2 = [0, ∞). g(y) = y2 bersifat monoton turun pada A1 dan monoton naik pada A2 dan juga berlaku RY = A1 ∪ A2. Kemudian bisa kita peroleh ringkasan berikut partisi RY

transformasi

invers transformasi

dan pada A1 dan A2 berlaku


14

(2) Ilustrasi 5.5. perhatikan u = y2 > 0, sehingga RU = {u|u > 0}. Berdasarkan teorema 5.1. maka fkp bagi U adalah u lainnya

; karena

Dengan demikian U ~ Gamma (1/2, 2) atau U ~ χ2(1) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

15

(3) Metode Fungsi Pembangkit Momen Teorema 5.2. Perhatikan X dan Y yang masing-masing memiliki fungsi pembangkit momen mX(t) dan mY(t). Jika mX(t) = mY(t) untuk semua nilai t maka X dan Y memiliki fkp/fmp yang sama. (sifat unik fungsi pembangkit momen).

Bagaimana menentukan fkp/fmp melalui fpm? Jika kita memiliki suatu fungsi U = g(Y) dan kemudian dapat ditentukan mU(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak U, serta kita mengenali bentuknya (misal Poisson, Binomial, Normal, Gamma, dll). Kita dapat menggunakan sifat unik fungsi pembangkit momen untuk menentukan fkp/fmp dari peubah acak U.


16

(3) Ilustrasi 5.6. Jika Y ~ Gamma(α, β), perlihatkan bahwa U = g(Y) = 2Y/β ~ χ2(2α). Kita tahu bahwa fpm Y adalah

sehingga

Jelas U ~ χ2(2α) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

17

(3) Teorema 5.3. Perhatikan Y1, Y2, …, Yn adalah contoh acak dimana Yi memiliki fpm mYi(t) untuk i = 1, 2, …, n. Jika U = Y1 + Y2 + … + Yn maka

Bisa diperlihatkan sbb.


18

(3) Ilustrasi 5.7. Jika Y1, Y2, …, Yn ~ Bernoulli (p). Tentukan fkp U = Y1 + Y2 + … + Yn. mU(t) dapat dihitung sbb.

kali

mU(t) adalah fpm Binomial (n, p). Jadi U ~ Binomial (n, p)


19

(4) Transpormasi Peubah Acak Ganda Dalam pembahasan topik ini kita akan fokus pada transformasi ganda dua yaitu jika kita memiliki U1 = g1(Y1, Y2) dan U2 = g2(Y1, Y2). Perhatikan jika (Y1, Y2) adalah peubah acak ganda kontinu dengan fkp bersama fY1,Y2(y1, y2). Jika g : R2 Æ R2 yang memetakan satu-ke-satu dari RY1Y2 ke RU1U2 dimana U1 = g1(Y1, Y2) dan U2 = g2(Y1, Y2) serta g1-1 dan g2-1 dapat diturunkan secara parsial dan diperoleh

maka

(u1, u2) lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

20

(4) Ilustrasi 5.8. Diketahui Y1 ~ Γ(α,1), Y2 ~ Γ(β, 1) dengan Y1 dan Y2 saling bebas. Jika didefinisikan :

Tentukan : (a) fU1U2(u1, u2), fkp bersama dari U1 dan U2 (b) fU1(u1), fkp marginal U1 (c) fU2(u2), fkp marginal U2


21

(4) Ilustrasi 5.8. (a) fU1U2(u1, u2), fkp bersama dari U1 dan U2 karena Y1 dan Y2 saling bebas, maka fkp bersama (Y1, Y2) adalah

untuk (y1, y2) ∈ RY1,Y2 = {(y1, y2)|y1 > 0, y2 > 0). Dengan memperhatikan u1 = y1 + y2 dan u2 = y1/(y1+y2), maka RU1,U2 = {(u1, u2)|u1 >0, 0 < u2 < 1) dan

dan


22

(4) Ilustrasi 5.8. (a) fU1U2(u1, u2), fkp bersama dari U1 dan U2 dengan demikian diperoleh

dan dapat ditulis

(u1, u2) lainnya


23

(4) Ilustrasi 5.8. (b) fU1(u1), fkp marginal U1 kita akan integralkan fkp bersama (U1, U2) untuk setiap nilai u2

maka kita peroleh

u1 lainnya


24

(4) Ilustrasi 5.8. (c) fU2(u2), fkp marginal U2 kita akan integralkan fkp bersama (U1, U2) untuk setiap nilai u1

maka kita peroleh

u2 lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak

25

(5) Statistik Tataan Perhatikan Y1, Y2, …, Yn adalah contoh acak dari Y ~ fY(y|θ) dengan fungsi sebaran FY(y). Didefinisikan Y(1) ≤ Y(2) ≤ … ≤ Y(n) adalah statistik tataan (order statistics) dengan Y(1) adalah nilai terkecil, Y(2) nilai terkecil berikutnya, demikian seterusnya sehingga Y(n) adalah nilai terbesar. Karena Yi saling benas, maka fkp bersamanya adalah Π∀i fY(yi|θ). Menurut aturan pencacahan, akan ada n! cara yang berbeda untuk menyusun Y1, Y2, …, Yn sehingga diperoleh Y(1) ≤ Y(2) ≤ … ≤ Y(n), dengan demikian fkp bersama dari statistik tataan adalah fY(1),Y(2), … ,Y(n)(y1, y2, …, yn) = n! Π∀i fY(yi|θ) = n! fY(y1|θ) fY(y2|θ) … fY(yn|θ)


26

(5) (a) fkp statistik minimum, Y(1)

dan

dan

dan

sehingga dapat diperoreh


27

(5) (b) fkp statistik maksimum, Y(n) dan

dan

dan

sehingga dapat diperoreh


28

(5) (c) fkp statistik tataan ke-k, Y(k) Untuk mencari fY(k)(y) coba didekati dengan model peluang multinomial. Suatu barisan {Y(i)} kita bagi dalam 3 kelas, yaitu Kelas

Nilai Y

Banyak anggota kelas

1

Y
k -1

2

Y=y

1

3

Y>y

n-k

Karena Yi saling bebas, maka dengan pendekatan model multinomial kita peroleh

dengan menginterpretasikan FY(y) = P(Yi < y), fY(y) = P(Yi = y) dan 1- FY(y) = P(Yi > y), maka fkp bagi statistik tataan ke-k adalah


29

(5) Ilustrasi 5.9. Diberikan Y1, Y2, …, Y10 contoh acak dari Y ~ Beta(2,1). Tentukan : (a). P(Y(1) < 0.25) (b). P(Y(10) > 0.90) (c). P(Y(6) > 0.50)


30

STK 203 TEORI STATISTIKA I

Recommend Documents