BAB VI RANDOM VARIATE DISTRIBUSI KONTINU
Dalam melakukan simulasi komputer, harus dapat dilakukan penarikan random number dari dan melalui program komputer. Penarikan random number melalui komputer ini sangat bergantung pada fungsi atau distribusi dari data yang diselidiki, khususnya yang dapat disusun dalam fungsi-fungsi sebagai berikut :
Data dengan fungsi kontinu
Data dengan fungsi diskret Fungsi-fungsi distribusi ini mencakup juga fungsi-fungsi probabilitas densitas
yang harus dapat diidentifikasi terlebih dahulu, kemudian dari fungsi-fungsi distribusi ini dapat dicari atau diturunkan random variate dari fungsi distribusi tersebut yang merupakan fungsi distribusikumulatif (CDF) termasuk RN yang diambil dari komputer. 3 bagian besar fungsi yaitu : 1. Generating random variate dari fungsi distribusi kontinu. 2. Generating random variate dari fungsi distribusi diskret. 3. Generating random variate yang umum dan tidak termasuk dalam fungsi distribusi kontinu maupun diskret. Dalam distribusi fungsi kontinu terdapat fungsi densitas yang terdiri dari Distribusi Uniform, Distribusi Normal, Distribusi Eksponensial, Distribusi Gamma, Penggunaan Konfolusi Eksponensial, Distribusi Segitiga, Distribusi Beta, Distribusi Weibull, Distribusi Chi-Square dan Distribusi t.
6.1. Fungsi Densitas Uniform
F ( x)
1 untuk a x b ba 0 untuk x yang lainnya
CDF nya : x
1 dy ba 1
F ( x)
Pemodelan &Simulasi : Random variate Distribusi kontinu
32
F ( x)
1 x 1 x ( y) 1 ba ba
untuk a dan b bilangan konstanta
Jika F(x) = R, maka :
F ( x) R
x 1 ba
R(b a) x 1
x R(b a) 1
6.2. Distribusi Normal Merupakann pendekatan dari distribusi-distribusi lain yaitu central limit theorem, distribusi diskret standar normal, dan metode box muller. a. Central Limit theorem Merupakan sesuatu yang khusus dari suatu perkiraan yang mendekati atau perkiraan distribusi normal. Y = µ + σ (∑ Ri -6) Rumus ini dipakai untuk membangkitkan random variate Y dari proses di dalam komputer.
Metode
ini
dilandasi
pada
penggunaan
hubungan
distribusi
probabilitas yang sebenarnya kurang efisien karena perlu membangkitkan beberapa random number untuk mendapatkan satu sampel dari distribusi tersebut. Oleh karena itu dimungkinkan untuk menggunakan cara lain yang lebih mudah pada distribusi diskret standar normal. b. Distribusi Dikret Standar Normal Dalam memperkirakan distribusi dikret dari standar normal, pertama-tama diambil range dari random variabel X dalam suatu interval yang memadai. Pada umumnya semakin kecil interval tersebut maka semakin baik perkiraannya. Rumus distribusi normal dinyatakan : Z
X
c. Metode Box Muller Metode ini merupakan pengambilan random number untuk distribusi normal dengan 2 variate yang tidak diketahui. Rumus PDF (Fungsi Probabilitas Densitas): f ( x1)
1 x21 e 2
;
f ( x2)
1 x22 e 2
Pemodelan &Simulasi : Random variate Distribusi kontinu
33
Random variatenya :
F ( x) R
1
t
t1
e2
e2
1
R
-t/2 = ln(1- πR) t
= -2 ln(1-πR)
Y = t = X12 + X22
--> X12 + X22 = -2 ln(1 – πR)
dari data random number akan diperoleh 2 independen normal diskret : 1. X1 = ((-2 ln (Ri))1/2 Cos 2 πR2 2. X2 = ((-2 ln (Ri))1/2 Sin 2 πR2 Ini merupakan pembangkitan random variate dari 2 independen normal diskret dengan N1,2 (0, 2π) atau dari distribusi normal dengan mean µ = 0, variance SD = 2π dengan Ө = 2πR
6.3. Distribusi Exponensial Distribusi eksponensial mempunyai PDF sebagai berikut :
f ( x)
1
x
e
untuk 0 x 1 untuk x 0
0
CDF – nya adalah : x
F ( x)
1
0
x
e
x
1 e x
R F (x) 1 e x
x
e 1 R ln e ln (1 R)
x
ln(1 R) x ln R
Random number yang diambil dari Uniform variate (0 – 1) dapat diganti dengan R. Jika diketahui bukan mean atau rata-rata dari distribusi eksponen, tapi yang diketahui adalah tingkat pelayanan dan juga lamnya waktu pelayanan, maka : T = waktu pelayanan
= tingkat pelayanan dalam unit waktu
Pemodelan &Simulasi : Random variate Distribusi kontinu
34
Fungsi densitas eksponensialnya adalah : f (t ) e t
untukt 0
Maka CDF akan diperoleh : x
t
F (t ) e
dx 1 e
t
0
F (t ) R 1 e
e
t
t
ln ( e
=1–R
t
) = ln(1 –R)
1 1 t ln R jika e
t ln R
maka t e ln R
6.4. Distribusi Gamma Distribusi ini merupakan fungsi kontinu dengan parameter :
= integer ;
ᵝ
= parameter yang sama pada distribusi eksponensial untuk membangkitkan random variate
Distribusi ini mempunyai PDF :
f ( x)
x 1 c X untuk 0 x ( ) untuk x 0
0
Random variate untuk distribusi gamma :
x log ( R i) j 1
Dari bentuk CDF ini akan diperoleh distribusi eksponensial apabila = ndan
β= λ
sehingga diperoleh : n
x log ( R i) j1
Fungsi Gamma dapat dinyatakan dengan Γ(t) yang didefinisikan dari :
(t ) X t 1e x dx 0
untuk t 0
Setelah diintegralkan maka diperoleh :
(1/ 2) 2 (3 / 2)
Pemodelan &Simulasi : Random variate Distribusi kontinu
35
6.5. Penggunaan Konfolusi Exponensial Apabila terdapat random variabel dari distribusi gamma dan parameternya n dan λ yang merupakan penjumlahan dari n independent dan identik distribusi eksponensial variate dengan parameter masing-masing λ, maka dapat diperoleh sampel variate dari distribusi gamma dengan simbol G(n,λ) dengan mengambil mean waktu kumulatif yang dibutuhkan. Contoh : n = 3 mean (rata-rata) λ = 0,1 distribusi eksponen µ = 1/0,1 = 10 menit kemudian menarik random number (0,1) dengan besaran n = 3. Random variate untuk distribusi eksponensial dengan rumus : ti = -µe ln Ri Dimana : -µe =1/λ = 10 menit dan Ri = random number (misalkan sdh dihitung) Maka : i
Ri
ti
1
0,09656
23,38
2
0,96657
0,34
3
0,64842
4,33
Dengan data di atas maka untuk distribusi gamma G(n,λ) dirumuskan : n
G(n, ) e ln Ri i 1
Maka akan diperoleh : G(n,λ) = 23,38 + 0,34 + 4,33 = 28,05 menit
6.6. Distribusi Segitiga Distribusi segitiga ini mempunyai PDF :
f ( x)
2 ( x a ) ( b a )( c a ) 2(c x ) ( c b )( c a ) 0
Pemodelan &Simulasi : Random variate Distribusi kontinu
untuk a x b untuk b x c untuklainnya
36
CDF nya dengan mengintegralkannya akan didapat: a. F ( x) R
( x a) 2 (b a)(c a)
b. F ( x) R 1
(c x ) 2 (c b)(c a)
x
X a (b a)(c a) R
X c (c a)(c b)(1 R)
a . a ( b a )( c a ) R b. c ( c a )( c b )(1 R
0R
Dengan syarat :
ba ca
ba R 1 ca
6.7. Distribusi Chi-Square Pendekatan dalam mengambil random variate dari distribusi dilakukan dengan pembuktian melalui distribusi normal N(0,1) yaitu distribusi standar normal yang random variatenya sudah diperoleh, yaitu : X1 = (-2 ln (Ri))1/2 Cos 2πR2 X2 = (-2 ln (Ri))1/2 Sin 2πR2 Jika diketahui y1, y2, .., yn dari distribusi normal N(0,1) maka diperoleh n
X Yi 2 j 1
Bentuk ini merupakan distribusi X2 dengan n degree of freedom yang dinyatakan dengan X2 (n). Pembuktiannya cukup panjang dan rumit sehingga dicari pendekatan yang lebih baik yaitu dengan distribusi gamma dengan = n/2 dan ᵝ = 2 atau G(n/2,2) dan random variate : n/2
X 2 log ( R j ) j 1
6.7. Distribusi -t Dari distribusi X2 akan diperoleh random variate apabila n adalah angka-angka genap, maka pendekatan menbutuhkan n/2 Rj, dibandingkan dengan n untuk
Pemodelan &Simulasi : Random variate Distribusi kontinu
37
pendekatan normal. Tetapi apabila n adalah ganjil, maka pendekatan Gamma dapat dipakai dan dibandingkan dengan hasil pendekatan normal yaitu bila :
T
X Z /n
dimana X dan Z adalah random variabel independen dari N(0,1) dan
juga X2(n) dan T adalah suatu (t) random variate dengan n degree of freedom yang disimbolkan sebagai
t(n)
yang mempunyai mean = 0 dan variance = n/(n-2) untuk
n > 2, maka mengambil T dari distribusi t yang simetris pada mean = 0 dengan ujungujungnya yang besar dari normal.
t* T (n 2) / n R
dimana t* = random variate distribusi t
untuk n > 2 dan n = angka ganjil (odd number) : T
Pemodelan &Simulasi : Random variate Distribusi kontinu
X Z /n
38
