11/8/2010
ANALISIS VARIANSI Utriweni Mukhaiyar MA 2181 Analisis Data 1
8 November 2010
ANALISIS VARIANSI 1. Tujuan Analisis Variansi 2. Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi 3. Hipotesis yang diuji dalam analisis variansi 4. Tabel Analisis Variansi 5. Contoh Kasus
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ILUSTRASI Angkatan 1
Angkatan 2
x x
Gabungan angkatan 1 & 2 x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
y y
x x x x x x x x y y
x x x x x x x x x x x
y y y y
x x x x x x x x x x x y y y y
x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y
x x x x x y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y
x x x y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y
x x y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y
Bila rata-rata setiap angkatan/kelompok hampir sama, maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angktan hampir minimal.
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ILUSTRASI
Gabungan angkatan 1 & 2 x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Angkatan 2
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x y y
x x x x x x x
y y
x x x x x
y y y y
x x x
y y y y y y y
x x
y y y y y y y y y
x
y y y y y y y y y y y y
Angkatan 1
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x y y y y x x x y y y y y y y x x y y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y
y y y y y y y y y y
y y y y y y y y
y y y y y y y y
y y y y y y y
y y y y y y y
y y y y y
y y y y y
y y y
y y y
y y
y y
y
y
Bila rata-rata setiap angkatan/kelompok jauh berbeda, maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angkatan jauh lebih besar dibanding variansi setiap angkatan.
Populasi 1 μ1, σ1
Populasi 2 μ2, σ2
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Populasi k μk, σk
……
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
x x
z z z z z z z z z
x x x x
z z z z z z z z z z z
x x x x x x
z z z z z z z z z z z z z
x x x x x x x x
z z z z z z z z z z z z
x x x x x x x x x x x
y y
z z z z z z z z z z z
x x x x x x x x x x x x
y y y y
z z z z z z z z
x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
y y y y y y y y y y y y
x x x
y y y y y y y y y y
x x
y y y y y y y y
x
y y y y y y y y y y y y y y y y y y
Membandingkan beberapa angkatan /kelompok yang terkait dapat dilakukan dengan membandingkan masing-masing rataannya.
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TUJUAN ANALISIS VARIANSI menguji apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata beberapa kelompok populasi (lebih dari dua), melalui ukuran-ukuran penyebaran (variansi) dari masing-masing kelompok populasi tersebut.
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HUBUNGAN BEBERAPA VARIANSI TERKAIT KONSEP DASAR ANALISIS VARIANSI
Variansi hasil penggabungan semua angkatan data terdiri atas rata-rata variansi setiap angkatan dan variansi dari semua rata-rata angkatan
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ASUMSI-ASUMSI VARIANSI
DALAM
ANALISIS
Populasi ke-i berdistribusi normal; i = 1, 2, …, k σ12 = σ22 = … = σk2 = σ2 Populasi populasi tidak berhubungan Populasi-populasi satu dengan yang lainnya (saling bebas)
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SUSUNAN DATA Angkatan 1
Angkatan 2
y11
y21
yk1
y12
y22
yk2
.
.
.
.
.
.
.
.
y1n1
…
Angkatan k
. yknk
yn 2 Jumlah:
Keterangan: 9 - yij : pengamatan ke-j dalam perlakuan (populasi) ke-i ; i = 1,2,…,k ; j =1, 2, …, ni - N = ( n1 + n2 + …+ ni + …+ nk ) : total banyak pengamatan
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BEBERAPA BESARAN ANOVA JKT = b – a Jumlah Kuadrat Total
JKP = c – a Jumlah Kuadrat Perlakuan
JKG = JKT – JKP =b–c
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Jumlah Kuadrat Galat
Tiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk : yij = μi + εij dengan yij : pengamatan ke-j dalam perlakuan ke-i μi : rata-rata populasi pada perlakuan ke-i : penyimpangan pengamatan ke-j pada εij perlakuan ke-i dari rataan perlakuan padanannya. 11
HIPOTESIS YANG DIUJI DALAM ANALISIS VARIANSI H0 : rata-rata seluruh k populasi/perlakuan adalah sama H1 : paling sedikit terdapat dua populasi yang rata-ratanya tidak sama, atau H0 : μ1 = μ2 = … = μk H1 : μi ≠ μj, untuk paling sedikit sepasang i dan j, dengan i,j = 1, 2, …, k 12
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TABEL ANALISIS VARIANSI Sumber Variansi
T2Jumlah dk (derajat NKuadrat kebebasan)
Antar Angkatan Dalam Angkatan Total
JKP
k–1
Rata-rata Kuadrat
y y= JKP/(k –y 1) RKP ni
k
N–k
k
2
i=1 j=1
RKP/RKG
RKG = JKG/(N – k)
n y k
JKT
Fhitung =
2 ij
ij
i 1 j 1
JKG
ni
F
i
i 1
N–1 ni
y k
i 1 j1
ij
yi
i
y
2
k
Ti 2
i=1
ni
2
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KEPUTUSAN
= P (H0 ditolak | H0 benar) 1–
Fα(k-1,N-k)
F(hitung) berdistribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k
H0 benar
F(hitung) > Fα(k-1,N-k)
H0 ditolak
Ket : Fα(k-1,N-k) nilai distribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k
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CONTOH KASUS
Tabel berikut menyatakan waktu kesembuhan (jam) yang diakibatkan tiga merek obat sakit kepala yang berlainan yang diberikan pada 25 penderita. Obat
Waktu kesembuhan (jam) (j )
A
5
4
8
6
3
3
5
2
B
9
7
8
6
9
3
7
4
C
7
6
9
4
7
2
3
4
1
Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata waktu kesembuhan yang diakibatkan oleh ketiga merk obat tersebut tidak berbeda (gunakan tingkat signifikansi 5%) 15
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SOLUSI H 0 : μA = μB = μC H1 : Paling sedikit dua diantara rata-rata tersebut tidak sama Untuk membuat tabel analisis variansi, kita lakukan beberapa perhitungan :
No
A
B
1
5
9
7
2
4
7
6
3
8
8
9
4
6
6
4
5
3
9
7
6
3
3
2
7
5
7
3
8
2
4
9
C
4
1
Jumlah
36
Jumlah total
132
54
42 16
y
BEBERAPA BESARAN ANOVA
JKT = b – a = 137,04 JKP = c – a = 9,54 17
JKG = JKT – JKP = b – c = 127,5
TABEL ANOVA Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
Perlakuan
9.54
2
9.54 4.77 2
Galat Total
127.5
22
137.04
24
127.5 5.79 22
F (hitung)
4.77 0.772 5.5 5.54
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PUTUSAN & SIMPULAN
Karena Fhitung = 0.772 < F0.05(2,22) = 3.443, maka H0 tak ditolak. Simpulkan Si lk bahwa b h rata-rata t t waktu kt kesembuhan k b h yang diakibatkan oleh ketiga merk obat tersebut tidak berbeda secara signifikan.
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REFERENSI Djauhari, M.A., 2001, Catatan Kuliah Analisis Data. Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and
Engineering, 8th Ed., 2007.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
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