Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

Januari 2016

MZI (FIF Tel-U)

Statistika Pemodelan

Januari 2016

1 / 80

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

2 3

4 5 6

7

8

Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D. Kelton (acuan utama). Elements of Stochastic Process, oleh B. S. Gottfried. Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L. Nelson, D. M. Nicol. Introduction to Queueing Theory, Edisi 2, oleh R. B. Cooper. Queueing Systems, oleh I. Adan, J. Resing. Slide kuliah Probabilitas Terapan (2009) dan Statistika & Probabilitas (2013) di Fasilkom UI. Slide kuliah Pemodelan Sistem di Telkom University oleh Tim Dosen Pemodelan dan Simulasi. Wikipedia.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

2 / 80

Bahasan 1

De…nisi dan Istilah dalam Teori Peluang

2

Variabel Acak (Random Variable)

3

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function)

4

Ukuran Pemusatan Data

5

Variansi dan Standar Deviasi

6

Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit

7

Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu

8

Statistika pada Pemodelan Sistem

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

3 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

4 / 80



Teori peluang (probabilitas) diperlukan untuk menganalisis kejadian yang bersifat non-deterministik.

De…nisi Percobaan atau eksperimen merupakan suatu proses yang menghasilkan data. Data yang dihasilkan juga disebut sebagai kejadian (event). Ruang sampel (sample space) S merupakan himpunan yang berisi semua kemungkinan elementer/ kejadian elementer (elementary event) yang dapat terjadi pada suatu percobaan.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

5 / 80


Contoh Ruang Sampel dan Kejadian

Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

6 / 80



Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = faa; ag; ga; ggg. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

6 / 80



Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = faa; ag; ga; ggg. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = faa; ag; gag.

Contoh

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

6 / 80



Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = faa; ag; ga; ggg. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = faa; ag; gag.

Contoh Diberikan sebuah dadu, yang setiap sisinya diberi angka 1 6. Dari percobaan pelemparan dadu tersebut kita memiliki ruang sampel S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

6 / 80


Kejadian Saling Lepas De…nisi Dua kejadian A A \ B = ;.

S dan B

S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila

Contoh

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

7 / 80



S dan B


Contoh Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan Ei menyatakan kejadian di mana angka i muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E1 \ E2 = ;. Secara umum Ei \ Ej = ; untuk i 6= j.

De…nisi

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

7 / 80



S dan B



De…nisi Diberikan suatu kejadian E dari suatu percobaan S, titik sampel pada E adalah anggota pada E.

Contoh

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

7 / 80



S dan B



De…nisi Diberikan suatu kejadian E dari suatu percobaan S, titik sampel pada E adalah anggota pada E.

Contoh Misalkan pada pelemparan sebuah dadu Eodd menyatakan kejadian di mana angka ganjil muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki Eodd = f1; 3; 5g. Dalam hal ini 1, 3, maupun 5 adalah titik sampel dari kejadian Eodd . MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

7 / 80


Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya

De…nisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

8 / 80



De…nisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1

0

P (A)

MZI (FIF Tel-U)

1 untuk setiap kejadian A pada S


Januari 2016

8 / 80



De…nisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1

0

2

P (A)

P (S) = 1

MZI (FIF Tel-U)



Januari 2016

8 / 80



De…nisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: P (A)


1

0

2

P (S) = 1

3

P (A [ B) = P (A) + P (B) apabila A dan B adalah kejadian yang saling lepas.

Selanjutnya P (A) atau Pr (A) dikatakan sebagai peluang dari kejadian A.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

8 / 80


Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A [ B) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

9 / 80


Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A [ B) = P (A) + P (B)

P (A \ B)

P (A) + P (B) .

Teorema Ketika S dapat dicacah (countable), maka P (A) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

9 / 80


Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A [ B) = P (A) + P (B)

P (A \ B)

P (A) + P (B) .

Teorema Ketika S dapat dicacah (countable), maka X X P (s) = Pr (s) . P (A) = s2A

MZI (FIF Tel-U)

s2A


Januari 2016

9 / 80


Latihan

Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

10 / 80


Latihan

Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = f(x; y) j x angka dadu pertama dan y angka dadu ke duag. Kita memiliki jSj =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

10 / 80


Latihan

Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = f(x; y) j x angka dadu pertama dan y angka dadu ke duag. Kita memiliki jSj = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A=

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

10 / 80


Latihan

Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = f(x; y) j x angka dadu pertama dan y angka dadu ke duag. Kita memiliki jSj = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = f(1; 3) ; (2; 2) ; (3; 1)g. Misalkan B : kejadian di mana kedua dadu menampilkan angka yang sama, maka B=

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

10 / 80


Latihan

Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = f(x; y) j x angka dadu pertama dan y angka dadu ke duag. Kita memiliki jSj = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = f(1; 3) ; (2; 2) ; (3; 1)g. Misalkan B : kejadian di mana kedua dadu menampilkan angka yang sama, maka B = f(1; 1) ; (2; 2) ; (3; 3) ; (4; 4) ; (5; 5) ; (6; 6)g.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

10 / 80


Misalkan A \ B :

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

11 / 80


Misalkan A \ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A \ B =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

11 / 80


Misalkan A \ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A \ B = f(2; 2)g Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

11 / 80


Misalkan A \ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A \ B = f(2; 2)g 3 Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = jAj jSj = 36 , P (B) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

11 / 80


Misalkan A \ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A \ B = f(2; 2)g 3 Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = jAj jSj = 36 , P (B) =

jBj jSj

=

6 36 ,

MZI (FIF Tel-U)

dan P (A \ B) =


Januari 2016

11 / 80


Misalkan A \ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A \ B = f(2; 2)g 3 Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = jAj jSj = 36 , 6 P (B) = jBj jSj = 36 , dan P (A \ B) = Misalkan A [ B :

MZI (FIF Tel-U)

jA\Bj jSj

=


1 36 .

Januari 2016

11 / 80


Misalkan A \ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A \ B = f(2; 2)g 3 Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = jAj jSj = 36 ,

jA\Bj 6 1 P (B) = jBj jSj = 36 , dan P (A \ B) = jSj = 36 . Misalkan A [ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau dadu menampilkan angka yang sama. Kita memiliki

P (A [ B)

MZI (FIF Tel-U)

=


Januari 2016

11 / 80


Misalkan A \ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A \ B = f(2; 2)g 3 Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = jAj jSj = 36 ,

jA\Bj 6 1 P (B) = jBj jSj = 36 , dan P (A \ B) = jSj = 36 . Misalkan A [ B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau dadu menampilkan angka yang sama. Kita memiliki

P (A [ B)

MZI (FIF Tel-U)

= P (A) + P (B) P (A \ B) 3 6 1 8 2 = + = = . 36 36 36 36 9


Januari 2016

11 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

12 / 80



Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

13 / 80



Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

13 / 80



Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = faa; ag; ga; ggg.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

13 / 80



Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = faa; ag; ga; ggg.

Untuk mempermudah analisis matematika dalam perhitungan statistika, kita perlu memetakan setiap titik sampel pada suatu nilai numerik. Nilai numerik yang mewakili titik sampel ini dinamakan sebagai variabel acak (random variable).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

13 / 80


De…nisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S ! R yang memetakan setiap titik sampel s 2 S ke suatu nilai numerik X (s).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

14 / 80


De…nisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S ! R yang memetakan setiap titik sampel s 2 S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

14 / 80


De…nisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S ! R yang memetakan setiap titik sampel s 2 S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y , Z, atau dengan indeks bila perlu: X1 , X2 , X3 , . . . . Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x; y; z atau dengan indeks bila perlu: x1 , x2 , x3 , . . . . Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

14 / 80


De…nisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S ! R yang memetakan setiap titik sampel s 2 S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y , Z, atau dengan indeks bila perlu: X1 , X2 , X3 , . . . . Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x; y; z atau dengan indeks bila perlu: x1 , x2 , x3 , . . . . Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s 2 S dikatakan variabel acak diskrit bila nilai dari X (s) dapat dicacah (contohnya : : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :)

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

14 / 80


De…nisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S ! R yang memetakan setiap titik sampel s 2 S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y , Z, atau dengan indeks bila perlu: X1 , X2 , X3 , . . . . Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x; y; z atau dengan indeks bila perlu: x1 , x2 , x3 , . . . . Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s 2 S dikatakan variabel acak diskrit bila nilai dari X (s) dapat dicacah (contohnya : : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :) Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s 2 S dikatakan variabel acak kontinu bila nilai dari X (s) tidak dapat dicacah (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1). MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

14 / 80


Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable)

Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

15 / 80



Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

15 / 80



Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

15 / 80



Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. Hasil yang mungkin dari pelemparan n buah uang koin.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

15 / 80



Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. Hasil yang mungkin dari pelemparan n buah uang koin. Hari di mana turun hujan dalam satu pekan (Minggu, Senin, Selasa, . . . , Sabtu).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

15 / 80


Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga.

Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

16 / 80



Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = faaa; aag; aga; gaa; agg; gag; gga; gggg . Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

16 / 80



Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = faaa; aag; aga; gaa; agg; gag; gga; gggg . Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = faag; aga; gaag;

setidaknya dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

16 / 80



Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = faaa; aag; aga; gaa; agg; gag; gga; gggg . Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = faag; aga; gaag;

setidaknya dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = faaa; aag; aga; gaag;

kita memiliki A MZI (FIF Tel-U)

B. Statistika Pemodelan

Januari 2016

16 / 80


Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable)

Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

17 / 80



Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

17 / 80



Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

17 / 80



Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. Hasil yang mungkin dari pengukuran temperatur.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

17 / 80



Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. Hasil yang mungkin dari pengukuran temperatur. Waktu terjadinya suatu fenomena alam (secara rinci).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

17 / 80


Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga.

Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0; 150], dengan nilai x 2 [0; 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

18 / 80



Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0; 150], dengan nilai x 2 [0; 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah S = [0; 150] = fa j 0

a

150g .

Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A =

MZI (FIF Tel-U)


120 cm, misalkan

Januari 2016

18 / 80




a

150g .

Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = ft j 90 t 120g; beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = MZI (FIF Tel-U)


140 cm, misalkan

Januari 2016

18 / 80




a

150g .

Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = ft j 90 t 120g;

beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = ft j 90 t 140g;

kita memiliki A MZI (FIF Tel-U)

B. Statistika Pemodelan

Januari 2016

18 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

19 / 80



Fungsi distribusi peluang (probability distribution function) merupakan fungsi yang digunakan untuk mendeskripsikan suatu distribusi peluang (probability distribution). Fungsi distribusi peluang dapat berupa: 1

fungsi massa peluang (probability mass function, pmf ) untuk variabel acak diskrit;

2

fungsi densitas peluang (probability density function, pdf ) untuk variabel acak kontinu; fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function, cdf ) untuk variabel acak diskrit maupun kontinu.

3

Biasanya istilah fungsi distribusi peluang merujuk pada cdf.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

20 / 80


pmf dan cdf dari Variabel Acak Diskrit pmf Variabel Acak Diskrit Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S ! R adalah suatu variabel acak diskrit. Fungsi massa peluang untuk X adalah fungsi fX : R ! [0; 1] yang dide…nisikan sebagai fX (x)

=

P (X = x) = Pr (X = x)

=

P (fs 2 S j X (s) = xg)

= dan memenuhi sifat

Pr (fs 2 S j X (s) = xg) X

fX (x) = 1.

x

De…nisi (cdf Variabel Acak Diskrit) Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S ! R adalah suatu variabel acak diskrit. Fungsi distribusi kumulatif untuk P X adalah P FX (x) = P (X x) = Pr (X x) = y x P (X = y) = y x Pr (X = y). MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

21 / 80


Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = fa; gg dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mende…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai X (x) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

22 / 80



1, 0,

jika x = a . jika x = g

Kemudian pmf untuk X adalah fX (x) = P (X = x) = P (fs 2 S j X (s) = xg) , dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki fX (1) = P (X = 1) = P (fs 2 S j X (s) = 1g) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

22 / 80



1, 0,


Kemudian pmf untuk X adalah fX (x) = P (X = x) = P (fs 2 S j X (s) = xg) , dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki fX (1) = P (X = 1) = P (fs 2 S j X (s) = 1g) = P (fag) = fX (0)

1 , 2

= P (X = 0) = P (fs 2 S j X (s) = 0g) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

22 / 80



1, 0,


Kemudian pmf untuk X adalah fX (x) = P (X = x) = P (fs 2 S j X (s) = xg) , dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki 1 , 2 1 = P (X = 0) = P (fs 2 S j X (s) = 0g) = P (fgg) = . 2

fX (1) = P (X = 1) = P (fs 2 S j X (s) = 1g) = P (fag) = fX (0)

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

22 / 80


pdf dan cdf dari Variabel Acak Kontinu pdf Variabel Acak Kontinu Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S ! R adalah suatu variabel acak kontinu. Fungsi densitas peluang untuk X adalah fungsi fX : R ! [0; 1] yang mendeskripsikan peluang dari nilai variabel acak pada selang tertentu. Kita memiliki Z b

P (a

X

b) = Pr (a

X

b) =

fX (x) dx

a

dan memenuhi sifat

Z

1

fX (x) dx = 1.

1

De…nisi (cdf Variabel Acak Kontinu) Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S ! R adalah suatu variabel acak kontinu. Fungsi distribusiR kumulatif untuk X adalah x FX (x) = P (X x) = 1 fX (x) dx. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

23 / 80


Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = ft j 50 t 150g dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mende…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai X (t) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

24 / 80


Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = ft j 50 t 150g dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mende…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) – kontinu, maka fX (t) =

1 100 ,

0,

jika 50 lainnya

t

150

,

dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm

MZI (FIF Tel-U)


120 cm adalah

Januari 2016

24 / 80



1 100 ,

0,

jika 50 lainnya

t

150

,

dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm P (100 T 120) =

MZI (FIF Tel-U)


120 cm adalah

Januari 2016

24 / 80



1 100 ,

0,

jika 50 lainnya

t

150

,

dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki di antara 100 cm R 120tinggi 1 P (100 T 120) = 100 100 dt = MZI (FIF Tel-U)


120 cm adalah

Januari 2016

24 / 80



1 100 ,

0,

jika 50 lainnya

t

150

,

dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki di antara 100 cm R 120tinggi 1 P (100 T 120) = 100 100 dt = 15 = 0:2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm MZI (FIF Tel-U)


120 cm adalah 140 cm adalah Januari 2016

24 / 80



1 100 ,

0,

jika 50 lainnya

t

150

,

dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki di antara 100 cm R 120tinggi 1 P (100 T 120) = 100 100 dt = 15 = 0:2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm P (90 T 140) = MZI (FIF Tel-U)



24 / 80



1 100 ,

0,

jika 50 lainnya

t

150

,

dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki di antara 100 cm R 120tinggi 1 P (100 T 120) = 100 100 dt = 15 = 0:2; peluang siswa SD memiliki di antara 90 cm R 140 tinggi 1 P (90 T 140) = 90 100 dt = MZI (FIF Tel-U)



24 / 80



1 100 ,

0,

jika 50 lainnya

t

150

,

dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki di antara 100 cm R 120tinggi 1 P (100 T 120) = 100 100 dt = 15 = 0:2; peluang siswa SD memiliki di antara 90 cm R 140 tinggi 1 P (90 T 140) = 90 100 dt = 12 = 0:5. MZI (FIF Tel-U)



24 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

25 / 80


Ukuran Pemusatan Data (Measure of Central Tendency)

Ukuran pemusatan data (measure of central tendency ) dari suatu variabel acak X dapat dibagi menjadi: 1

Mean (ekspektasi), dinotasikan dengan E [X].

2

Median (nilai tengah).

3

Modus (nilai yang (mungkin) paling sering muncul).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

26 / 80


Mean (Ekspektasi) Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], dide…nisikan sebagai E [X]

MZI (FIF Tel-U)

=


Januari 2016

27 / 80


Mean (Ekspektasi) Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], dide…nisikan sebagai X X X E [X] = xP (X = x) = x Pr (x) = xfX (x) x

x

x

(untuk variabel acak diskrit)

E [X]

MZI (FIF Tel-U)

=


Januari 2016

27 / 80


Mean (Ekspektasi) Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], dide…nisikan sebagai X X X E [X] = xP (X = x) = x Pr (x) = xfX (x) x

E [X]

x

x

(untuk variabel acak diskrit) Z 1 = xfX (x) dx 1

(untuk variabel acak kontinu),

dengan syarat: P P deret x xfX (x) konvergen absolut (yaitu x jxj fX (x) < 1) untuk variabel acak diskrit; R1 integral tak wajar 1 xfX (x) konvergen (untuk variabel acak kontinu). MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

27 / 80


Median dan Modus Median Median dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat P (X

m)

1 dan P (X 2

Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu P (X

m)

1 2 m) = 1

P (X

m).

Modus

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

28 / 80


Median dan Modus Median Median dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat P (X

m)

1 dan P (X 2

Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu P (X

m)

1 2 m) = 1

P (X

m).

Modus Modus dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat fX (m)

fX (x) untuk setiap x 2 R.

Bila X adalah variabel acak diskrit, maka modus adalah nilai m dengan sifat P (X = m) Pr (X = m) MZI (FIF Tel-U)

P (X = x) untuk setiap x 2 R

Pr (X = x) untuk setiap x 2 R. Statistika Pemodelan

Januari 2016

28 / 80


Latihan

Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

29 / 80


Latihan

Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X (s) = s untuk setiap s 2 S. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

29 / 80


Latihan

Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X (s) = s untuk setiap s 2 S. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka 1 P (X = x) = untuk setiap x = 1; 2; : : : ; 6. 6

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

29 / 80


Kita memiliki E [X]

MZI (FIF Tel-U)

=


Januari 2016

30 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x) =

x=1

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

30 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x) =

x=1

MZI (FIF Tel-U)

6 X

x=1


x

1 = 6

Januari 2016

30 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x) =

x=1

6 X

x=1

6

x

1 1X = x 6 6 x=1

=

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

30 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x) =

x=1

=

6 X

x=1

6

x

1 1X = x 6 6 x=1

1 7 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = = 3:5 6 2

Ini berarti mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan dadu adalah 3:5.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

30 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x) =

x=1

=

6 X

x=1

6

x

1 1X = x 6 6 x=1

1 7 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = = 3:5 6 2

Ini berarti mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan dadu adalah 3:5. Karena dadu tidak memiliki sisi dengan nomor 3:5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah keluarnya angka 3 atau angka 4.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

30 / 80


Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X

1) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

MZI (FIF Tel-U)

1) =


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

MZI (FIF Tel-U)

1) =

1 6


Januari 2016

31 / 80


Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X P (X

1) = 1 dan P (X 2) =

MZI (FIF Tel-U)

5 6

dan P (X

1) =

1 6

2) =


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

MZI (FIF Tel-U)

5 6

dan P (X

1) = 2) =

1 6 2 6


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

MZI (FIF Tel-U)

5 6 4 6

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) =

1 6 2 6


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

MZI (FIF Tel-U)

5 6 4 6

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) =

1 6 2 6 3 6


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

P (X

4) =

MZI (FIF Tel-U)

5 6 4 6 3 6

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) =

dan P (X

4) =

1 6 2 6 3 6 4 6


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

P (X

4) =

P (X

5) =

MZI (FIF Tel-U)

5 6 4 6 3 6 2 6

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) =

dan P (X

4) =

dan P (X

5) =

1 6 2 6 3 6 4 6 5 6


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

P (X

4) =

P (X

5) =

P (X

6) =

5 6 4 6 3 6 2 6 1 6

1) =

1 6 2 6 3 6 4 6 5 6

dan P (X

2) =

dan P (X

3) =

dan P (X

4) =

dan P (X

5) =

dan P (X

6) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

P (X

4) =

P (X

5) =

P (X

6) =

5 6 4 6 3 6 2 6 1 6

1) =

1 6 2 6 3 6 4 6 5 6

dan P (X

2) =

dan P (X

3) =

dan P (X

4) =

dan P (X

5) =

dan P (X

6) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dadu diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x 2 R.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

31 / 80



1) = 1 dan P (X

P (X

2) =

P (X

3) =

P (X

4) =

P (X

5) =

P (X

6) =

5 6 4 6 3 6 2 6 1 6

1) =

1 6 2 6 3 6 4 6 5 6

dan P (X

2) =

dan P (X

3) =

dan P (X

4) =

dan P (X

5) =

dan P (X

6) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dadu diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x 2 R. Karena P (X = x) = 16 untuk setiap 1 x 6, maka modus dari percobaan ini adalah keluarnya angka 1, angka 2, angka 3, angka 4, angka 5, atau angka 6.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

31 / 80


Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

32 / 80


Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = faa; ag; ga; ggg dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai berikut

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

32 / 80


Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = faa; ag; ga; ggg dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai berikut X (aa) = 0, X (ag) = 1, X (ga) = 2, dan X (gg) = 3. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi uang koin untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

32 / 80


Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = faa; ag; ga; ggg dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai berikut X (aa) = 0, X (ag) = 1, X (ga) = 2, dan X (gg) = 3. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi uang koin untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = MZI (FIF Tel-U)

1 untuk setiap x = 0; 1; 2; 3. 4 Statistika Pemodelan

Januari 2016

32 / 80


Kita memiliki E [X]

MZI (FIF Tel-U)

=


Januari 2016

33 / 80


Kita memiliki E [X]

=

3 X

xP (X = x) =

x=0

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

33 / 80


Kita memiliki E [X]

=

3 X

xP (X = x) =

x=0

MZI (FIF Tel-U)

3 X

x=0


x

1 = 4

Januari 2016

33 / 80


Kita memiliki E [X]

=

3 X

xP (X = x) =

x=0

3 X

x=0

3

x

1 1X = x 4 4 x=0

=

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

33 / 80


Kita memiliki E [X]

=

3 X

xP (X = x) =

x=0

=

3 X

x=0

3

x

1 1X = x 4 4 x=0

1 3 (0 + 1 + 2 + 3) = = 1:5. 4 2

Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan uang koin adalah 1:5. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1:5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel acak 1 atau 2,

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

33 / 80


Kita memiliki E [X]

=

3 X

xP (X = x) =

x=0

=

3 X

x=0

3

x

1 1X = x 4 4 x=0

1 3 (0 + 1 + 2 + 3) = = 1:5. 4 2

Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan uang koin adalah 1:5. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1:5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel acak 1 atau 2, yaitu ag atau ga, atau

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

33 / 80


Kita memiliki E [X]

=

3 X

xP (X = x) =

x=0

=

3 X

x=0

3

x

1 1X = x 4 4 x=0

1 3 (0 + 1 + 2 + 3) = = 1:5. 4 2

Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan uang koin adalah 1:5. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1:5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel acak 1 atau 2, yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

33 / 80


Untuk mencari median, perhatikan bahwa

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

MZI (FIF Tel-U)

0) =

1 4


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) =

MZI (FIF Tel-U)

3 4

dan P (X

0) = 1) =

1 4 2 4


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) =

P (X

2) =

MZI (FIF Tel-U)

3 4 2 4

0) =

dan P (X

1) =

dan P (X

2) =

1 4 2 4 3 4


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) =

P (X

2) =

P (X

3) =

3 4 2 4 1 4

0) =

1 4 2 4 3 4

dan P (X

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) =

P (X

2) =

P (X

3) =

3 4 2 4 1 4

0) =

1 4 2 4 3 4

dan P (X

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) =

P (X

2) =

P (X

3) =

3 4 2 4 1 4

0) =

1 4 2 4 3 4

dan P (X

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) =

P (X

2) =

P (X

3) =

3 4 2 4 1 4

0) =

1 4 2 4 3 4

dan P (X

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar). Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dua uang koin diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x 2 R.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

34 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) =

P (X

2) =

P (X

3) =

3 4 2 4 1 4

0) =

1 4 2 4 3 4

dan P (X

1) =

dan P (X

2) =

dan P (X

3) = 1

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar). Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dua uang koin diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x 2 R. Karena P (X = x) = 41 untuk setiap 0 x 3, maka modus dari percobaan ini adalah masing-masing kejadian elementer yang mungkin terjadi.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

34 / 80


Sifat-sifat Ekspektasi

Teorema Diberikan dua variabel acak X dan Y serta suatu konstanta a 2 R, maka E [X + Y ] E [aX]

=

E [X] + E [Y ] ,

= aE [X] .

Apabila X dan Y saling bebas (independen), maka E [XY ] = E [X] E [Y ] .

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

35 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

36 / 80


De…nisi Diberikan sebuah variabel acak diskrit X, variansi dari X, dinotasikan dengan Var [X], dide…nisikan sebagai X X 2 2 Var [X] = 2X = (x E [X]) P (X = x) = (x E [X]) Pr (X = x) , x

x

kemudian standar deviasi dari X merupakan nilai p Var [X]. X =

MZI (FIF Tel-U)


X,

yaitu

Januari 2016

37 / 80



x


X,

yaitu

Variansi dan standar deviasi mengukur “lebar” dan “persebaran” data, nilai keduanya tak pernah negatif.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

37 / 80



x


X,

yaitu

Variansi dan standar deviasi mengukur “lebar” dan “persebaran” data, nilai keduanya tak pernah negatif. Jika X memiliki distribusi yang “terkonsentrasi” (concentrated), yaitu nilai X mendekati E [X] dengan peluang yang cukup besar, maka variansi akan bernilai kecil.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

37 / 80



x


X,

yaitu

Variansi dan standar deviasi mengukur “lebar” dan “persebaran” data, nilai keduanya tak pernah negatif. Jika X memiliki distribusi yang “terkonsentrasi” (concentrated), yaitu nilai X mendekati E [X] dengan peluang yang cukup besar, maka variansi akan bernilai kecil. Jika X memiliki distribusi yang “tersebar” (di¤use), yaitu nilai X menyebar/ menjauh dari E [X] dengan peluang yang cukup besar, maka variansi akan bernilai besar. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

37 / 80


Catatan Chebyshev membuktikan bahwa, untuk sembarang variabel acak X, peluang dari nilai X berada pada interval E [X] 2 X X (x) E [X] + 2 X setidaknya sebesar 75%, kemudian peluang dari nilai X berada pada interval E [X] 3 X X (x) E [X] + 3 X setidaknya sebesar 88:89%. Variansi terkadang dapat dihitung dengan lebih mudah melalui formulasi berikut.

Teorema Var [X] =

2 X

= E X2

MZI (FIF Tel-U)

2

(E [X]) ,

X

=

p


2 X

=

q

E [X 2 ]

2

(E [X]) .

Januari 2016

38 / 80


Latihan Latihan Seorang peneliti di sebuah PLTA mencatat peluang terjadinya gangguan listrik dalam hari Senin – Minggu dalam tabel berikut: Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

Peluang 0:18 0:28 0:25 0:18 0:06 0:04 0:01

Tentukan ekspektasi hari di mana gangguan listrik terjadi. Berikan variansi dan standar deviasi terhadap prediksi gangguan listrik yang terjadi. Tentukan juga median dan modus dari gangguan listrik yang mungkin terjadi. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

39 / 80


Solusi: Misalkan S = fx j x adalah gangguan listrik pada suatu hari dalam sepekang. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai berikut

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

40 / 80


Solusi: Misalkan S = fx j x adalah gangguan listrik pada suatu hari dalam sepekang. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai berikut X (gangguan listrik pada hari Senin)

=

0,

X (gangguan listrik pada hari Selasa)

=

1,

X (gangguan listrik pada hari Rabu)

=

2,

X (gangguan listrik pada hari Kamis)

=

3,

X (gangguan listrik pada hari Jumat)

=

4,

X (gangguan listrik pada hari Sabtu)

=

5,

X (gangguan listrik pada hari Minggu)

=

6.

Kita juga memiliki

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

40 / 80


Solusi: Misalkan S = fx j x adalah gangguan listrik pada suatu hari dalam sepekang. Selanjutnya de…nisikan variabel acak X : S ! R sebagai berikut X (gangguan listrik pada hari Senin)

=

0,

X (gangguan listrik pada hari Selasa)

=

1,

X (gangguan listrik pada hari Rabu)

=

2,

X (gangguan listrik pada hari Kamis)

=

3,

X (gangguan listrik pada hari Jumat)

=

4,

X (gangguan listrik pada hari Sabtu)

=

5,

X (gangguan listrik pada hari Minggu)

=

6.

Kita juga memiliki P (X = 0) = 0:18, P (X = 1) = 0:28, P (X = 2) = 0:25, P (X = 3) = 0:18, P (X = 4) = 0:06, P (X = 5) = 0:04, dan P (X = 6) = 0:01.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

40 / 80


Kita memiliki E [X]

=

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

41 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x)

x=0

=

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

41 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x)

x=0

= 0 0:18 + 1 0:28 + 2 0:25 + 3 0:18 + 4 0:06 + 5 0:04 + 6 0:01 =

1:82.

Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari terjadinya gangguan listrik adalah 1:82.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

41 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x)

x=0

= 0 0:18 + 1 0:28 + 2 0:25 + 3 0:18 + 4 0:06 + 5 0:04 + 6 0:01 =

1:82.

Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari terjadinya gangguan listrik adalah 1:82. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1:82, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel 2 (dibulatkan ke atas).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

41 / 80


Kita memiliki E [X]

=

6 X

xP (X = x)

x=0

= 0 0:18 + 1 0:28 + 2 0:25 + 3 0:18 + 4 0:06 + 5 0:04 + 6 0:01 =

1:82.

Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari terjadinya gangguan listrik adalah 1:82. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1:82, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel 2 (dibulatkan ke atas). Artinya gangguan listrik cenderung terjadi pada hari Rabu (ekspektasi gangguan listrik terjadi pada hari Selasa atau Rabu, dengan kecenderungan lebih besar pada hari Rabu). Variansi dari percobaan adalah 2 (E [X]) = 02 0:18 + 12 0:28 + 22 0:25 + Var [X] = E X 2 32 0:18 + 42 0:06 + 52 0:04 + 62 0:01 1:822 = 1:9076. Sehingga p standar deviasinya adalah X = 1:9076 1:3812. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

41 / 80


Untuk mencari median, perhatikan bahwa

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

MZI (FIF Tel-U)

0) = 0:18


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

MZI (FIF Tel-U)

0) = 0:18 1) = 0:46


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

MZI (FIF Tel-U)

0) = 0:18


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

P (X

3) = 0:29 dan P (X

3) = 0:89

MZI (FIF Tel-U)

0) = 0:18


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

P (X

3) = 0:29 dan P (X

3) = 0:89

P (X

4) = 0:11 dan P (X

4) = 0:95

MZI (FIF Tel-U)

0) = 0:18


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

P (X

3) = 0:29 dan P (X

3) = 0:89

P (X

4) = 0:11 dan P (X

4) = 0:95

P (X

5) = 0:05 dan P (X

5) = 0:99

MZI (FIF Tel-U)

0) = 0:18


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

P (X

3) = 0:29 dan P (X

3) = 0:89

P (X

4) = 0:11 dan P (X

4) = 0:95

P (X

5) = 0:05 dan P (X

5) = 0:99

P (X

6) = 0:01 dan P (X

6) = 1

0) = 0:18

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

P (X

3) = 0:29 dan P (X

3) = 0:89

P (X

4) = 0:11 dan P (X

4) = 0:95

P (X

5) = 0:05 dan P (X

5) = 0:99

P (X

6) = 0:01 dan P (X

6) = 1

0) = 0:18

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu gangguan listrik terjadi pada hari Rabu.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

P (X

3) = 0:29 dan P (X

3) = 0:89

P (X

4) = 0:11 dan P (X

4) = 0:95

P (X

5) = 0:05 dan P (X

5) = 0:99

P (X

6) = 0:01 dan P (X

6) = 1

0) = 0:18

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu gangguan listrik terjadi pada hari Rabu. Terakhir, modus dari eksperimen diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x 2 R.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

42 / 80



0) = 1 dan P (X

P (X

1) = 0:82 dan P (X

1) = 0:46

P (X

2) = 0:54 dan P (X

2) = 0:71

P (X

3) = 0:29 dan P (X

3) = 0:89

P (X

4) = 0:11 dan P (X

4) = 0:95

P (X

5) = 0:05 dan P (X

5) = 0:99

P (X

6) = 0:01 dan P (X

6) = 1

0) = 0:18

Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu gangguan listrik terjadi pada hari Rabu. Terakhir, modus dari eksperimen diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x 2 R. Karena P (X = 1) = 0:28 dan 0:28 P (X x) untuk x = 0; 1; 2; : : : ; 6, maka modus dari eksperimen menyatakan bahwa gangguan listrik akan sering terjadi pada hari Selasa.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

42 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

43 / 80


Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

44 / 80


Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

44 / 80


Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

44 / 80


Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

44 / 80


Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit. Distribusi binomial dan binomial negatif.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

44 / 80


Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit. Distribusi binomial dan binomial negatif. Distribusi geometrik.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

44 / 80


Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit. Distribusi binomial dan binomial negatif. Distribusi geometrik. Distibusi Poisson. Untuk mempermudah, fX (x) dan FX (x) berturut-turut akan ditulis f (x) dan F (x) bila distribusinya sudah jelas. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

44 / 80


Distribusi Uniform Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Pada distrubusi uniform diskrit, peluang dari setiap titik sampel adalah sama. Misalkan terdapat n titik sampel fi; i + 1; i + 2; : : : ; jg, dengan j = i + n 1. Maka pmf dari tiap titik sampelnya adalah:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

45 / 80


Distribusi Uniform Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Pada distrubusi uniform diskrit, peluang dari setiap titik sampel adalah sama. Misalkan terdapat n titik sampel fi; i + 1; i + 2; : : : ; jg, dengan j = i + n 1. Maka pmf dari tiap titik sampelnya adalah: P (X = k) = f (k) =

1 = n j

1 , untuk setiap k 2 fi; i + 1; : : : ; jg . i+1

Kemudian cdf-nya adalah

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

45 / 80



Kemudian cdf-nya adalah 8 < 0, jkj F (k) = : j 1

i+1 i+1

Kita dapat menghitung E [X] =

MZI (FIF Tel-U)


1 = n j

=

i+j 2

jkj i+1 , n

bila k < i bila i k bila k > j

j .

=


Januari 2016

45 / 80




1 = n j

Kemudian cdf-nya adalah 8 < 0, jkj F (k) = : j 1

i+1 i+1


=

i+j 2

=

jkj i+1 , n

n 2

dan

bila k < i bila i k bila k > j 2 X

=

j .

(j i+1)2 1 12

=

n2 1 12 .

Pertanyaan: apakah median dan modus dari X yang berdistribusi uniform diskrit? MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

45 / 80


pmf untuk distribusi uniform diskrit dapat digambarkan sebagai berikut.

Contoh kejadian dengan distribusi uniform diskrit: pelemparan sebuah dadu yang setiap sisinya memiliki peluang yang sama untuk menghadap ke atas.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

46 / 80


Distribusi Bernoulli Distribusi Bernoulli Misalkan S adalah sebuah ruang sampel diskrit yang hanya memuat dua anggota, sehingga X (s) 2 f0; 1g. Variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Bernoulli dengan parameter p bila

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

47 / 80


Distribusi Bernoulli Distribusi Bernoulli Misalkan S adalah sebuah ruang sampel diskrit yang hanya memuat dua anggota, sehingga X (s) 2 f0; 1g. Variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Bernoulli dengan parameter p bila P (X = k) =

p, 1

kita juga dapat menulis P (X = k) = pk (1 Kemudian cdf dari distribusi ini adalah

MZI (FIF Tel-U)

jika k = 1 , p, jika k = 0 p)


1 k

, dengan x 2 f0; 1g.

Januari 2016

47 / 80



p, 1

jika k = 1 , p, jika k = 0 1 k

kita juga dapat menulis P (X = k) = pk (1 p) , dengan x 2 f0; 1g. Kemudian cdf dari distribusi ini adalah 8 bila k < 0 < 0, 1 p, bila 0 k < 1 . F (k) = : 1 bial k 1 Kita dapat menghitung E [X] = MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

47 / 80



p, 1

jika k = 1 , p, jika k = 0 1 k

kita juga dapat menulis P (X = k) = pk (1 p) , dengan x 2 f0; 1g. Kemudian cdf dari distribusi ini adalah 8 bila k < 0 < 0, 1 p, bila 0 k < 1 . F (k) = : 1 bial k 1 Kita dapat menghitung E [X] = p dan MZI (FIF Tel-U)

2 X

= p (1


p).

Januari 2016

47 / 80


Contoh Distribusi Bernoulli

Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel fa; gg, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

48 / 80



Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel fa; gg, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 12 . Kita memiliki E [X] =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

48 / 80



Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel fa; gg, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 12 . Kita memiliki E [X] = 12 . Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 34 ? Kita memiliki P (X = 1) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

48 / 80



Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel fa; gg, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 12 . Kita memiliki E [X] = 12 . Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 34 ? Kita memiliki P (X = 1) =

MZI (FIF Tel-U)

3 4

dan P (X = 0) =


Januari 2016

48 / 80



Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel fa; gg, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 12 . Kita memiliki E [X] = 12 . Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 34 ? Kita memiliki P (X = 1) = Kita memiliki E [X] =

MZI (FIF Tel-U)

3 4

dan P (X = 0) = 14 .


Januari 2016

48 / 80



Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel fa; gg, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 12 . Kita memiliki E [X] = 12 . Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 34 ? Kita memiliki P (X = 1) = Kita memiliki E [X] = 34 .

MZI (FIF Tel-U)

3 4

dan P (X = 0) = 14 .


Januari 2016

48 / 80


Distribusi Binomial Distribusi Binomial Distribusi binomial terkait dengan distribusi Bernoulli. Misalkan X menyatakan banyaknya k buah kejadian yang diharapkan (sukses) dari suatu eksperimen Bernoulli dengan parameter p, maka X berdistribusi Binomial, pmf-nya adalah

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

49 / 80


Distribusi Binomial Distribusi Binomial Distribusi binomial terkait dengan distribusi Bernoulli. Misalkan X menyatakan banyaknya k buah kejadian yang diharapkan (sukses) dari suatu eksperimen Bernoulli dengan parameter p, maka X berdistribusi Binomial, pmf-nya adalah P (X = k) = pk =

n k

x k

pk (1 p) 0,

,

bila 0 k lainnya

n

:

Kemudian cdf-nya (dengan n percobaan) adalah

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

49 / 80


Distribusi Binomial Distribusi Binomial Distribusi binomial terkait dengan distribusi Bernoulli. Misalkan X menyatakan banyaknya k buah kejadian yang diharapkan (sukses) dari suatu eksperimen Bernoulli dengan parameter p, maka X berdistribusi Binomial, pmf-nya adalah P (X = k) = pk =

n k

x k

pk (1 p) 0,

Kemudian cdf-nya (dengan n percobaan) adalah 8 0, < P k n i n i F (k) = p (1 p) , i=0 i : 1,

MZI (FIF Tel-U)


,

bila 0 k lainnya

bila k < 0 bila 0 k bila k > n

n

:

n .

Januari 2016

49 / 80


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

50 / 80


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

51 / 80


Contoh Eksperimen Berdistribusi Binomial

Latihan Diberikan tiga buah uang koin logam, peluang sisi angka menghadap ke atas adalah p (untuk masing-masing koin). Tentukan peluang: 1

ketiga uang koin logam menampilkan sisi angka;

2

tepat dua uang koin logam menampilkan sisi angka;

3

tepat satu uang koin logam menampilkan sisi angka;

4

ketiga uang koin logam menampilkan sisi gambar.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

52 / 80


Solusi: Misalkan S = faaa; aag; aga; gaa; agg; gag; gga; gggg, de…nisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s 2 S. Kita memiliki 1

P (X = 3) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80



P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

2

P (X = 2) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80


Solusi: Misalkan S = faaa; aag; aga; gaa; agg; gag; gga; gggg, de…nisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s 2 S. Kita memiliki 1 2

P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

P (X = 2) = P (faagg) + P (fagag) + P (fgaag). Tinjau bahwa P (faagg) = P (fagag) = P (fgaag) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80


Solusi: Misalkan S = faaa; aag; aga; gaa; agg; gag; gga; gggg, de…nisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s 2 S. Kita memiliki 1 2

P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

P (X = 2) = P (faagg) + P (fagag) + P (fgaag). Tinjau bahwa P (faagg) = P (fagag) = P (fgaag) = p2 (1 p). Jadi P (X = 2) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80



P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

2

P (X = 2) = P (faagg) + P (fagag) + P (fgaag). Tinjau bahwa P (faagg) = P (fagag) = P (fgaag) = p2 (1 p). Jadi P (X = 2) = 3 p2 (1 p) = 32 p2 (1 p).

3

P (X = 1) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80



P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

2


3

P (X = 1) = P (faggg) + P (fgagg) + P (fggag). Tinjau bahwa P (faggg) = P (fgagg) = P (fggag) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80



P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

2


3

P (X = 1) = P (faggg) + P (fgagg) + P (fggag). Tinjau bahwa 2 P (faggg) = P (fgagg) = P (fggag) = p (1 p) . Jadi P (X = 1) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80



P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

2


3

P (X = 1) = P (faggg) + P (fgagg) + P (fggag). Tinjau bahwa 2 P (faggg) = P (fgagg) = P (fggag) = p (1 p) . 2 2 3 Jadi P (X = 1) = 3 p (1 p) = 1 p (1 p) .

4

P (X = 0) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

53 / 80



P (X = 3) = P (faaag) = p3 .

2


3

P (X = 1) = P (faggg) + P (fgagg) + P (fggag). Tinjau bahwa 2 P (faggg) = P (fgagg) = P (fggag) = p (1 p) . 2 2 3 Jadi P (X = 1) = 3 p (1 p) = 1 p (1 p) .

4

P (X = 0) = P (fgggg) = (1

MZI (FIF Tel-U)

3

p) .


Januari 2016

53 / 80


Secara umum, kita memiliki pmf berikut P (X = k) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

54 / 80



3 k p (1 k

k

p) ,

kemudian CDFnya 8 < P k F (k) = i=0 :

3 i

0, pi (1 1,

3 i

p)

,

bila k < 0 bila 0 k bila k > 3

3 .

Bagaimana dengan ekspektasi dan variansinya? Jika percobaan binomial dilakukan n kali, maka E [X] =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

54 / 80



3 k p (1 k

k

p) ,


3 i

0, pi (1 1,

3 i

p)

,


3 .

Bagaimana dengan ekspektasi dan variansinya? Jika percobaan binomial dilakukan n kali, maka E [X] = np 2 X

=

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

54 / 80



3 k p (1 k

k

p) ,


3 i

0, pi (1 1,

3 i

p)

,


3 .

Bagaimana dengan ekspektasi dan variansinya? Jika percobaan binomial dilakukan n kali, maka E [X] = np 2 X

= n p (1

p)

Perhatikan bahwa p dan p (1 p) berturut-turut merupakan ekspektasi dan variansi dari percobaan Bernoulli.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

54 / 80


Distribusi Geometrik

Distribusi Geometrik Misalkan X merupakan variabel acak yang menunjukkan banyaknya percobaan Bernoulli yang harus dilakukan agar dapat diperoleh suatu hasil tertentu, maka X mengikuti distribusi geometrik. Distribusi geometrik dengan parameter p (dengan 0 p 1) memiliki pmf

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

55 / 80



Distribusi Geometrik Misalkan X merupakan variabel acak yang menunjukkan banyaknya percobaan Bernoulli yang harus dilakukan agar dapat diperoleh suatu hasil tertentu, maka X mengikuti distribusi geometrik. Distribusi geometrik dengan parameter p (dengan 0 p 1) memiliki pmf P (X = k) = p (1

k 1

p)

, k = 1; 2; : : :

dan cdf

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

55 / 80



Distribusi Geometrik Misalkan X merupakan variabel acak yang menunjukkan banyaknya percobaan Bernoulli yang harus dilakukan agar dapat diperoleh suatu hasil tertentu, maka X mengikuti distribusi geometrik. Distribusi geometrik dengan parameter p (dengan 0 p 1) memiliki pmf P (X = k) = p (1 dan cdf F (k) =

k X

p (1

i 1

p)

k 1

p)

=1

(1

, k = 1; 2; : : :

k

p) , k = 1; 2; : : : .

i=1

Kita memiliki E [X] =

MZI (FIF Tel-U)

1 p

dan

2 X

=

(1 p) p2 .


Januari 2016

55 / 80


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

56 / 80


Contoh Distribusi Geometrik Distribusi geometrik dapat digunakan untuk menentukan peluang-peluang berikut: 1

2

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, misalkan X = banyaknya lemparan dadu sehingga dadu menghasilkan angka 5. Akibatnya P (X = k) = peluang dadu menghasilkan angka 5 dengan k lemparan. Di sebuah kota diketahui bahwa 3% penduduknya mengalami masalah jaringan telepon. Misalkan X = banyaknya inspeksi yang dilakukan untuk menemukan masalah jaringan telepon pertama. Akibatnya P (X = k) = peluang inspeksi ke-k menemukan masalah jaringan telepon.

Latihan Pada sebuah dadu yang dinomor angka 1 setiap sisinya sama), tentukan

6 (asumsikan peluang kemunculan

1

peluang dadu tersebut menghasilkan angka 5 pada lemparan ke-5;

2

peluang dadu tersebut menghasilkan angka 5 dengan 6 lemparan atau kurang;

3

ekspektasi (mean) dari variabel acak yang menyatakan dadu menghasilkan angka 5 dengan k lemparan. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

57 / 80


Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1

MZI (FIF Tel-U)

p)

k 1


=

Januari 2016

58 / 80


Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1 1

p)

k 1

=

1 6

5 k 1 . 6

P (X = 5) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

58 / 80



P (X = 5) =

2

P (X

1 6

5 5 1 6

=

625 7776

p)

k 1

=

1 6

5 k 1 . 6

= 0:080376.

6) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

58 / 80



2

P (X = 5) =

1 6

5 5 1 6

=

625 7776

p)

k 1

=

1 6

5 k 1 . 6

= 0:080376. 6

031 P (X 6) = F (6) = 1 1 16 = 31 46 656 = 0:6651. Nilai P (X 6) juga dapat dihitung dengan P (X 6) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

58 / 80



2

P (X = 5) =

5 5 1 6

=

625 7776

k 1

=

1 6

5 k 1 . 6

= 0:080376. 6

031 P (X 6) = F (6) = 1 1 16 = 31 46 656 = 0:6651. Nilai P (X 6) juga dapat dihitung dengan P (X 6) = P (X = 6)+P (X = 5)+P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1) = 1 6

3

1 6

p)

5 5 6

+

5 4 6

+

5 3 6

+

5 2 6

+

5 1 6

+

5 0 6

=

31 031 46 656

= 0:6651.

E [X] =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

58 / 80



2

P (X = 5) =

5 5 1 6

=

625 7776

k 1

=

1 6

5 k 1 . 6

= 0:080376. 6

031 P (X 6) = F (6) = 1 1 16 = 31 46 656 = 0:6651. Nilai P (X 6) juga dapat dihitung dengan P (X 6) = P (X = 6)+P (X = 5)+P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1) = 5 5 6

+

5 4 6

E [X] =

1

= 6.

1 6 3

1 6

p)

1 6

MZI (FIF Tel-U)

+

5 3 6

+

5 2 6

+

5 1 6

+


5 0 6

=

31 031 46 656

= 0:6651.

Januari 2016

58 / 80


Distribusi Poisson

Distribusi Poisson Distribusi Poisson (baca: pwa-sang ) merupakan distribusi probabilitas diskrit yang biasanya digunakan untuk menjelaskan banyaknya kejadian yang dapat berlangsung dalam interval waktu tertentu. Proses Poisson (Poisson process) biasanya digunakan ketika populasi yang ditinjau sangat besar. Distribusi Poisson digunakan dalam: Menentukan peluang banyaknya halaman yang cacat dari sebuah buku. Menentukan peluang banyaknya orang yang hidup > 100 tahun di sebuah kota. Menentukan peluang banyaknya pelanggan yang datang ke sebuah ATM.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

59 / 80


Distribusi Poisson Dalam distribusi Poisson untuk pelanggan ATM, kita dapat memiliki variabel acak X = k berarti terdapat k orang yang datang dalam interval t dengan rata-rata pengunjung per-interval adalah sebanyak , sehingga diperoleh pmf k

P (X = k) =

( t) e k!

dan cdf F (x) = P (X

x) =

t

X ( t)k e k!

t

.

k x

Kita memiliki E [X] = t dan

MZI (FIF Tel-U)

2 X

= t.


Januari 2016

60 / 80


Distribusi Poisson Terkadang nilai t ditetapkan menjadi 1, sehingga diperoleh pmf k

P (X = k) = dan cdf F (x) = P (X

x) =

e k!

X

k x

Kita memiliki E [X] =

MZI (FIF Tel-U)

dan

2 X

k

e k!

= .


Januari 2016

61 / 80


Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1

peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam;

2

peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam;

3

peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam.

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

62 / 80




2


3


Solusi: kita memiliki = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) =

MZI (FIF Tel-U)


=5

Januari 2016

62 / 80




2


3


Solusi: kita memiliki = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan k e 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5 k! 1

=5

P (X = 3) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

62 / 80




2


3


Solusi: kita memiliki = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan k e 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5 k! 1

P (X = 3) =

2

P (X < 5) =

MZI (FIF Tel-U)

53 e 3!

5

=5

= 0:14037.


Januari 2016

62 / 80




2


3


Solusi: kita memiliki = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan k e 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5 k! 53 e 3!

5

=5

1

P (X = 3) =

2

P (X < 5) = P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1)+P (X = 0) =

MZI (FIF Tel-U)

= 0:14037.


Januari 2016

62 / 80




2


3



5

=5

1

P (X = 3) =

2

P (X < 5) = P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1)+P (X = 0) = 3 2 1 0 54 e 5 e 5 e 5 e 5 e 5 + 5 3! + 5 2! + 5 1! + 5 0! = 0:44049. 4!

3

P (2

X

MZI (FIF Tel-U)

= 0:14037.

6) =


Januari 2016

62 / 80




2


3



5

=5

1

P (X = 3) =

2


3

P (2 X 6) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) =

MZI (FIF Tel-U)

= 0:14037.


Januari 2016

62 / 80




2


3



5

=5

1

P (X = 3) =

2


3

P (2 X 6) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + 2 3 4 5 6 e 5 e 5 e 5 e 5 e 5 P (X = 6) = 5 2! + 5 3! + 5 4! + 5 5! + 5 6! = 0:72176.

MZI (FIF Tel-U)

= 0:14037.


Januari 2016

62 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

63 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai:

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu. Distribusi eksponensial.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu. Distribusi eksponensial. Distribusi gamma.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi Distribusi Distribusi Distribusi

uniform kontinu. eksponensial. gamma. Weibull.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi Distribusi Distribusi Distribusi Distribusi

uniform kontinu. eksponensial. gamma. Weibull. normal.

Untuk mempermudah, fX (x) dan FX (x) berturut-turut akan ditulis f (x) dan F (x) bila distribusinya sudah jelas. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

64 / 80


Distribusi Uniform Kontinu Distribusi Uniform Kontinu Distribusi uniform kontinu memiliki pdf yang bernilai konstan. Diberikan dua bilangan real a dan b dengan a < b, distribusi uniform kontinu dengan parameter a dan b, biasanya ditulis U (a; b), memiliki pdf 1 b a,

f (x) = dan cdf F (x) =

0, 8 < 0, :


x a b a,

1,

a+b 2

dan

bila a x b bila x lainnya bila x < a bila a x bila x > b 2 X

=

b .

(b a)2 12 .

Pertanyaan: apakah median dan modus dari X yang berdistribusi uniform kontinu? MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

65 / 80


pdf untuk distribusi uniform kontinu dapat digambarkan sebagai berikut.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

66 / 80


Contoh Kejadian dengan Distribusi Uniform Kontinu

Latihan Sebuah bus datang ke sebuah halte mulai pukul 07 : 00 sampai 21 : 00 setiap 15 menit sekali, dan dimulai pukul 07 : 00 (sehingga bus datang pada pukul 07 : 00, 07 : 15, 07 : 30, 07 : 45, dan seterusnya). Seorang penumpang datang di antara pukul 07 : 00 07 : 30. Jika waktu kedatangan penumpang berdistribusi uniform, tentukan peluang: 1

penumpang menunggu kurang dari 5 menit untuk naik bus

2

penumpang menunggu setidaknya 12 menit untuk naik bus.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

67 / 80


Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1

1 b a

=

1 30

bila

Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1

penumpang datang antara pukul

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

68 / 80



1 b a

=

1 30

bila


2

penumpang datang antara R 15 1 pukul 17 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: P (10 X 15) = 10 30 dx = 6 ; penumpang datang antara pukul

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

68 / 80



1 b a

=

1 30

bila


2

penumpang datang antara R 15 1 pukul P (10 X 15) = 10 30 dx = penumpang datang antara pukul R 30 1 P (25 X 30) = 25 30 dx =

7 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: 1 ; 6

7 : 25sampai 7 : 30, peluangnya adalah: 1 ; 6

sehingga peluang penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus adalah

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

68 / 80



1 b a

=

1 30

bila


2




sehingga peluang penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus adalah 1 1 1 6 + 6 = 3 = 0:33333. 2

Jika penumpang menunggu kemungkinan 1

12 menit untuk naik bus, maka ada dua

penumpang datang antara pukul

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

68 / 80



1 b a

=

1 30

bila


2






2


penumpang datang antara pukul 7 : 00 sampai 7 : 03, peluangnya adalah 3 1 P (0 X 3) = 30 = 10 ; penumpang datang antara pukul

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

68 / 80



1 b a

=

1 30

bila


2






2


penumpang datang antara pukul 7 : 00 sampai 7 : 03, peluangnya adalah 3 1 P (0 X 3) = 30 = 10 ; penumpang datang antara pukul 7 : 15 sampai 7 : 18, peluangnya adalah 1 3 = 10 ; P (15 X 18) = 30

sehingga peluang penumpang menunggu

MZI (FIF Tel-U)


12 menit untuk naik bus adalah

Januari 2016

68 / 80



1 b a

=

1 30

bila


2






2


penumpang datang antara pukul 7 : 00 sampai 7 : 03, peluangnya adalah 3 1 P (0 X 3) = 30 = 10 ; penumpang datang antara pukul 7 : 15 sampai 7 : 18, peluangnya adalah 1 3 = 10 ; P (15 X 18) = 30

sehingga peluang penumpang menunggu 1 1 2 10 + 10 = 10 = 0:2. MZI (FIF Tel-U)


12 menit untuk naik bus adalah

Januari 2016

68 / 80


Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi yang penting dalam teori antrian, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung waktu antar kedatangan pelanggan (interarrival time). Misalkan menyatakan banyaknya kedatangan pelanggan per-unit interval waktu tertentu. Distribusi eksponensial dengan parameter memiliki pdf f (x) = dan cdf F (x) =

Rx 0

e

e 0, u

x

,

du = 1

jika x > 0 x lainnya e

0,

x

,

jika x > 0 . x lainnya

Kita memiliki E [X] = 1 dan 2X = 12 . Biasanya nilai diperoleh dari informasi banyaknya kedatangan pelanggan dalam distribusi Poisson. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

69 / 80


pmf distribusi eksponensial dapat digambarkan sebagai berikut.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

70 / 80


pdf distribusi eksponensial dapat digambarkan sebagai berikut.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

71 / 80


Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1

Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang?

2

Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang?

Solusi: Kita memiliki f (t) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

72 / 80




2


Solusi: Kita memiliki f (t) = e

MZI (FIF Tel-U)

t

= 5e

5t

dan F (t) =


Januari 2016

72 / 80




2


Solusi: Kita memiliki f (t) = e 1

t

= 5e

5t

dan F (t) = 1

e

5t

.

P (T < 10 menit) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

72 / 80




2


Solusi: Kita memiliki f (t) = e 1

P (T < 10 menit) = P T <

MZI (FIF Tel-U)

t

= 5e

5t

1 6

jam =

dan F (t) = 1


e

5t

.

Januari 2016

72 / 80




2


Solusi: Kita memiliki f (t) = e

t 1 6

= 5e

dan F (t) = 1

jam = F

1

P (T < 10 menit) = P T <

2

P (10 menit < T < 15 menit) =

MZI (FIF Tel-U)

5t


1 6

=1

e

e 5 6

5t

.

= 0:5654.

Januari 2016

72 / 80




2


Solusi: Kita memiliki f (t) = e 1 2

P (T < 10 menit) = P T <

t 1 6

= 5e

5t

dan F (t) = 1

P (10 menit < T < 15 menit) = P T <

MZI (FIF Tel-U)

1 6

jam = F 1 4


=1

jam

e

e 5 6

5t

.

= 0:5654.

P T <

1 6

jam =

Januari 2016

72 / 80




2


Solusi: Kita memiliki f (t) = e 1 2

P (T < 10 menit) = P T <

t 1 6

= 5e

5t

dan F (t) = 1

P (10 menit < T < 15 menit) = P T < F

1 4

F

MZI (FIF Tel-U)

1 6

= 1

e

1 4

1 6

jam = F 1

e

1 4

1 6


=1

jam =e

e

5t

e 5 6

= 0:5654.

P T < 1 6

e

1 4

.

1 6

jam =

= 0:06768 .

Januari 2016

72 / 80


Distribusi Normal Distribusi Normal Distribusi normal merupakan distribusi yang penting dalam statistika. Distribusi ini juga dikenal sebagai ditribusi Gaussian (karena dipopulerkan oleh Gauss). Distribusi normal dengan mean dan variansi 2 selanjutnya ditulis N ; 2 dan memiliki pdf ! 2 (x ) 1 f (x) = p exp 2 2 2 dan cdf F (x) =

Z

x

f (u) du = 1

Z

x 1

1 p exp 2

(u

) 2

2

2

!

.

Biasanya kita melakukan konversi sehingga variabel acak yang ditinjau memiliki = 0 dan = 1, yaitu dengan mende…nisikan variabel acak Z = x . Akibatnya diperoleh pmf 1 x2 f (z) = p exp . 2 2 MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

73 / 80


pmf dari distribusi normal N ; 2 untuk beberapa nilai digambarkan dalam gra…k berikut.

dan

2

dapat

Pada variabel acak yang berdistribusi normal, nilai mean, median, dan modus semuanya sama. MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

74 / 80


Contoh Kejadian dengan Distribusi Normal

Latihan Nilai mahasiswa di sebuah kampus mengikuti distribusi normal, dengan rata-rata 60 dan variansi 20. Tentukan peluang: 1 2

seorang mahasiswa memiliki nilai di atas 70; seorang mahasiswa memiliki nilai di antara 60

MZI (FIF Tel-U)


90.

Januari 2016

75 / 80


Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

76 / 80


Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x 2060 sehingga Z memiliki = 0 dan 2 = 1. 1

P (X > 70) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

76 / 80



P (X > 70) = 1

MZI (FIF Tel-U)

P (X

70) =


Januari 2016

76 / 80



1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P Z 2 , karena jika x = 70, maka 1 70 60 z = 20 = 2 . Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat

lunak pengolah data, P Z

MZI (FIF Tel-U)

1 2

=


Januari 2016

76 / 80



1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P Z 2 , karena jika x = 70, maka 1 70 60 z = 20 = 2 . Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat R 12 1 x2 p1 exp lunak pengolah data, P Z dx = 0:69146, 2 = 2 1 2

sehingga P (X > 70) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

76 / 80




sehingga P (X > 70) = 1

2

P (60

X

MZI (FIF Tel-U)

0:69146 = 0:30854.

90) =


Januari 2016

76 / 80





2

0:69146 = 0:30854.

P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0; 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data P (X 90) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

76 / 80





2

0:69146 = 0:30854.

P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0; 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah R 32 3 x2 p1 exp dx = 0:93319 dan data P (X 90) = P Z 2 = 2 1 2 P (X

60) =

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

76 / 80





2

0:69146 = 0:30854.

P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0; 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah R 32 3 x2 p1 exp dx = 0:93319 dan data P (X 90) = P Z 2 = 2 1 2 R0 2 x P (X 60) = P (Z 0) = 1 p12 exp dx = 0:5. Sehingga 2 p (60

X

MZI (FIF Tel-U)

90) =


Januari 2016

76 / 80





2

0:69146 = 0:30854.

P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0; 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah R 32 3 x2 p1 exp dx = 0:93319 dan data P (X 90) = P Z 2 = 2 1 2 R0 2 x P (X 60) = P (Z 0) = 1 p12 exp dx = 0:5. Sehingga 2 p (60

X

MZI (FIF Tel-U)

90) = 0:933319

0:5 = 0:43332.


Januari 2016

76 / 80


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8


MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

77 / 80



Statistika pada pemodelan sistem dipakai dalam membuat: 1

model sistem antrian;

2

model sistem inventori dan supply chain (rantai pasok);

3

model keandalan (reliability ) dan maintanability ;

4

memodelkan sistem yang terkendala dengan keterbatasan data.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

78 / 80


Statistika pada Sistem Antrian

Pada sistem antrian, waktu kedatangan pelanggan dan lama waktu layanan bersifat probabilistik. Biasanya waktu dimodelkan dengan: 1

distribusi eksponensial bila layanan diberikan secara acak (random)

2

distribusi normal bila layanan diberikan secara hampir seragam namun ada variasinya

3

distribusi gamma dan Weibull.

Kemudian biasanya banyaknya pelanggan yang datang dalam interval waktu tertentu berdistribusi Poisson.

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

79 / 80


Statistika pada Inventori dan Rantai Pasok (Supply Chain)

Biasanya ada tiga variabel acak yang ditinjau pada sistem inventori maupun rantai pasok (supply chain): 1

banyak unit yang diminta per pemesanan, atau banyak unit yang diminta per waktu (dapat berdistribusi Poisson, binomial negatif, atau geometrik);

2

waktu antar pemesanan (dapat berdistribusi eksponensial atau gamma);

3

lead time (biasanya berdistribusi gamma).

MZI (FIF Tel-U)


Januari 2016

80 / 80

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem

Recommend Documents