PEMODELAN SISTEM MEKANIS Pemodelan & Simulasi TM06
Pemodelan Sistem Mekanik • Model sistem mekanik penting dlm teknik kendali (control engineering) misalnya kendaraan, lengan robot, peluru kendali. • Sistem mekanis dpt dibagi menjadi dua kategori: – Sistem translasional – Sistem rotational • Sistem mekanis dpt murni translasional atau murni rotasional, namun juga bisa campuran (hybrid).
Sistem Mekanis Translasional • Blok dasar sistem mekanis translasional adl massa, pegas, dan peredam. • Input sistem mekanis translasional dpt berupa gaya F dan output pergeseran y.
Pegas • Pegas menyimpan energi spt pd gbr berikut, dan seringkali digunakan sbg elemen tunda.
• Utk pegas linier, pergeseran y sebanding dg gaya F menurut persamaan F=ky dg k adl konstanta pegas. • Saat pegas ditarik maka akan menyimpan energi E menurut pers: E = 0,5 k y2 Energi ini akan dilepaskan saat pegas kembali ke bentuk awal. • Dlm aplikasi, pegas sering dirangkai paralel atau seri. Saat n pegas dirangkai paralel maka konstanta pegas totalnya adl:
Dan jika dirangkai seri maka
Peredam Elemen peredam direpresentasikan oleh gerakan piston dlm medium pelumas dlm sbh silinder. Gaya F yg membuat piston bergerak sebanding dg kecepatan piston dan dinyatakan dg pers.
Massa Saat sebuah gaya dikenakan pd massa, hubungan antara gaya F dan percepatan dinyatakan dg hukum kedua Newton yaitu F = ma. Oleh karena percepatan adl perubahan kecepatan dan kecepatan adl perubahan jarak, maka
Energi yg tersimpan dlm massa saat massa tsb bergerak disebut energi kinetik, dan dinyatakan sbg:
Contoh 1 Sistem Mekanis Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis yg tersusun dari pegas, peredam, dan massa.
Temukan model matematis dari sistem tersebut. Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, yaitu:
F ma
Penyelesaian: F – Fk – Fb = ma
atau F – ky – cv = ma
atau
ma + cv + ky = F
dengan y adalah perpindahan massa m setiap saat. Selanjutnya karena 2 dan dv d y dy a v dt dt 2 dt maka persamaan di atas dapat juga ditulis sbg:
d2y dy m 2 c ky F dt dt
Dapat juga dituliskan sbg (ingat bahwa gaya pegas dan peredam berlawanan arah dg arah F): 2
d y dy m 2 c ky F dt dt d2y c dy k F y 2 dt m dt m m c k F y (t ) y (t ) y (t ) m m m
Misalnya y(0) = 0 dan y (0) 0 maka dengan F = 1 N, m = 1 kg, c = 0.1, k =0.2 maka dapat disimulasikan dengan mengingat bahwa: y(t) = y = jarak pergeseran = dy * dt dy(t) = dy = perubahan jarak setiap satuan waktu = kecepatan = ddy * dt ddy(t) = ddy = perubahan kec setiap satuan waktu = percepatan Plot pergeseran vs waktu, dan kecepatan vs waktu
code_6.m
Hasil simulasi: 9 8 7
Pergeseran
6 5 4 3 2 1 0
0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Hasil simulasi: 2
1.5
Kecepatan
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Contoh Sistem Mekanis Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis yg tersusun dari pegas, peredam, dan massa.
Temukan model matematis dari sistem tersebut. Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, yaitu:
F ma
Contoh 2 Sistem Mekanis Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis yg tersusun dari pegas, peredam, dan massa.
Temukan model matematis dari sistem tersebut. Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, yaitu:
F ma
Penyelesaian Akan ditinjau gaya-gaya yg bekerja pada kedua massa secara terpisah utk keperluan analisis, sbb: Untuk massa m1
F m a 1
dy dy k1 y1 k 2 ( y2 y1 ) b 2 1 m1a dt dt dy dy k1 y1 k 2 ( y1 y2 ) b 1 2 m1a dt dt
Maka berlaku persamaan:
Atau dpt ditulis kembali sbg: (1)
Untuk massa m2
F m a 2
dy dy F ( k 2 ( y1 y2 )) b 1 2 m2 a dt dt dy dy F k 2 ( y1 y2 ) b 1 2 m2 a dt dt dy2 dy1 F k 2 ( y2 y1 ) b m2 a dt dt dy2 dy1 F k 2 y2 k 2 y1 b b m2 a dt dt dy dy F m2 a k 2 y2 k 2 y1 b 2 1 dt dt
Maka berlaku persamaan:
Atau dpt ditulis kembali sbg: (2)
Persamaan (1) dan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sbb:
Dan persamaan keadaan sistem dapat dinyatakan sbb:
Dari persamaan keadaan ini dapat buatlah simulasinya dengan memberikan konstanta dan nilai-nilai awal yang diperlukan. Misalkan berikut adl konstanta dan nilai-nilai awal yg diberikan: F=1N M1 = 1 kg y = [y1 y2] = [0.1 0.1] meter M2 = 1.5 kg B = 0.1% dy = [dy1 dy2] = [0 0] K1 = 0.2 K2 = 0.15 Ingat bahwa: - Kecepatan adl perubahan jarak setiap satuan waktu - Percepatan adl perubahan kecepatan setiap satuan waktu code_7.m
Hasil simulasi: 30
y2 25
Pergeseran
20
15
10
5
y1 0
0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Hasil simulasi:
3
2
Kecepatan
1
0
-1
-2
-3
0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Contoh Aplikasi Misalkan sebuah kopel mekanis yg biasa dipakai utk menggandeng gerbong kereta barang pd gambar berikut. Sistem ini dpt dimodelkan sbg dua massa, sebuah pegas, sebuah peredam, dan gaya-gaya dorong dan tarik pd masing-masing massa.
Model sistemnya adl sbb:
m1 dan m2 : gerbong 1 dan 2 y1 dan y2 : pergeseran gerbong 1 dan 2 F1 dan F2 : gaya c : konstanta redaman k : konstanta pegas Tugas anda sebagai latihan: -
Temukan persamaan diferensial untuk sistem di atas Simulasikan dengan besaran-besaran sbb: F1=1 N, F2=−1 N, m1=1 kg, m2=1,5 kg, c=0.1%, k=0,2. Kondisi awal y1(0) = y2(0) = 0,1 meter dan y1 (0) y 2 (0) 0 Gambar (plot) pergeseran vs waktu dan kecepatan vs waktu
