METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM07

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodelan & Simulasi TM07

Metode Numerik (1) Metode numerik dpt diklasifikasikan mjd: 1. Metode satu-langkah atau single-step 2. Metode multistep Metode single-step Pd metode ini, untuk menentukan variabel tak-bebas Yi+1 saat Xi+1, hanya dibutuhkan informasi ttg Xi. Metode yg termasuk dlm kelas ini misalnya adl metode Euler, Rrange-Kutta.

Metode multistep Pd metode ini untuk menentukan variabel tak-bebas Yi+1 saat Xi+1, dibutuhkan lebih banyak informasi (tdk hanya Xi saja).

Integrasi Perhatikan pernyataan integrasi sbb: b

I   f ( x)dx a

dengan a
Iy 

 f ( x)dx

xy

1. The Rectangle Rule (1) Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk segiempat fvh dan dpt dinyatakan sbg:

I  h( f 0  f1  ...  f n 1 ) atau dinyatakan n

I  h f i 1 1

Code_8_1.m

2. The Rectangle Rule (2) Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk segiempat fvh dan dpt dinyatakan sbg:

I  h( f1  f 2  ...  f n ) atau dinyatakan n

I  h f i 1

Code_8_2.m

3. Metode Integrasi Midpoint Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk segiempat fvh (namun dgn menggunakan nilai tengah dari setiap selang h) dan dpt dinyatakan sbg: n

I  h f 1

Code_9.m

i

1 2

4. Metode Integrasi Trapesium Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk trapesium 0,5(fv+fv+1)h dan dpt dinyatakan sbg:

I  0,5( f 0  f1 )h  0,5( f1  f 2 )h  0,5( f 2  f 3 )h  ...  0,5( f n 1  f n )h  0,5( f 0  f1  f1  f 2  f 2  f 3  ...  f n 1  f n )h n 1

 h i 1

h fi   f0  f n  2

Code_10.m

Metode Integrasi Trapesium

5. Metode Integrasi Simpson Jika diasumsikan bahwa n = 2m (yaitu bahwa n adalah bilangan genap), maka aturan Simpson untuk integrasi dinyatakan sbg: 4h 2h h I ( f1  f 3  ...  f 2 m 1 )  ( f 2  f 4  ...  f 2 m  2 )  ( f 0  f 2 m ) 3 3 3

indeks ganjil

Code_11.m

indeks genap

awal & akhir

Metode Integrasi Numerik (2) Integrasi numerik tak-tentu adl metode integrasi yg digunakan utk menyelesaikan pers diferensial. dy ( x)  f ( x) dx

Sebenarnya pers diferensial di atas dpt diselesaikan scr analitis, namun saat ini akan diselesaikan scr numerik menggunakan: • Metode integrasi Euler • Metode integrasi Range-Kutta

6. Metode Euler Sistem dinamik linier maupun nonlinier dpt dinyatakan dgn persamaan diferensial orde-pertama (state space model) sbb: dy ( x)  f ( x) dx

Akan diestimasi y(xi) utk x0 < xi < X, dengan xi adalah titik-titik dgn selang yg seragam pd interval x0 hingga X atau dpt dinyatakan:

xi  x0  ih dimana h adalah step size dan i = 1, 2, 3, …, m

Sehingga:

X  x0 m k1  h f ( xn , yn ) h

yn 1  yn  k1 Dengan m adalah jumlah titik-titik dalam simulasi. Contoh:

dy ( x)  x2 dx Temukan penyelesaiannya dengan m = 100, X = 5, x0 = 1 menggunakan metode integrasi Euler. Code_12_1.m

7. Metode Euler-Cauchy Metode Euler dimodifikasi menjadi metode Euler-Cauchy sbb:

h

X  x0 m

yn 1  yn 



h f ( xn , yn )  f ( xn 1 , yn*1 ) 2



Dengan m adalah jumlah titik-titik dalam simulasi. Code_12_2.m

Tugas Cobalah untuk membuat coding dalam bahasa Matlab untuk implemestasi berbagai metode numerik di atas. Buatlah coding anda sendiri.

Contoh: Metode Newton •

Digunakan untuk mencari satu akar fungsi (yaitu perpotongan grafik fungsi

dengan sumbu x) menggunakan iterasi  cara numerik •

Satu akar fungsi f(x) yaitu x1 dapat dicari menggunakan formula:

– x0 adl perkiraan awal utk nilai akar yg sebenarnya – x1 adl hasil iterasi pertama – Lakukan iterasi berikutnya hingga eror iterasi sesuai yg diinginkan – Eror iterasi didefinisikan sbg:

eror 

xn  xn 1 xn 1 15

Contoh Mencari akar f(x) = cos x – 2x pada interval [0,2] menggunakan metode Newton. Untuk menemukan akar persamaan f(x) = cos x – 2x maka harus dicari

perpotongan grafik fungsi f(x) pada sumbu x, atau secara matematis harus dicari dimana f(x) = cos x – 2x = 0 (bisa dengan cara membuat sket grafiknya dulu). Ingat bahwa kita mencari akar yang berada pada interval

[0,2]. • Tentukan turunan fungsi • Tentukan x0, misalkan x0 = 1

• Lakukan 4 kali iterasi; temukan x1, x2, x3, x4 dan e1, e2, e3, e4

16