METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodelan & Simulasi TM09

Metode Numerik (1) Metode numerik dpt diklasifikasikan mjd: 1. Metode satu-langkah atau single-step 2. Metode multistep Metode single-step Pada metode ini, untuk menentukan variabel tak-bebas Yi+1 saat Xi+1, hanya dibutuhkan informasi tentang Xi. Metode yang termasuk dalam kelas ini misalnya adalah metode Euler, RangeKutta.

Metode multistep Pada metode ini untuk menentukan variabel tak-bebas Yi+1 saat Xi+1, dibutuhkan lebih banyak informasi (tidak hanya Xi saja).

Integrasi Perhatikan pernyataan integrasi sebagai berikut: b

I   f ( x)dx a

dengan a
Iy 

 f ( x)dx

xy

1. The Rectangle Rule (1) Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk segiempat fvh dan dapat dinyatakan sebagai:

I  h( f 0  f1  ...  f n 1 ) atau dinyatakan n

I  h f i 1 1

Code_8_1.m

2. The Rectangle Rule (2) Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk segiempat fvh dan dapat dinyatakan sebagai:

I  h( f1  f 2  ...  f n ) atau dinyatakan n

I  h f i 1

Code_8_2.m

3. Metode Integrasi Midpoint Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk segiempat fvh (namun dengan menggunakan nilai tengah dari setiap selang h) dan dapat dinyatakan sebagai: n

I  h f 1

Code_9.m

i

1 2

4. Metode Integrasi Trapesium Metode ini secara langsung mengaitkan ke definisi integral; hasil integrasi merupakan jumlahan dari luas area berbentuk trapesium 0,5(fv+fv+1)h dan dapat dinyatakan sebagai:

I  0,5( f 0  f1 )h  0,5( f1  f 2 )h  0,5( f 2  f 3 )h  ...  0,5( f n 1  f n )h  0,5( f 0  f1  f1  f 2  f 2  f 3  ...  f n 1  f n )h n 1

 h i 1

h fi   f0  f n  2

Code_10.m

Metode Integrasi Trapesium

5. Metode Integrasi Simpson Jika diasumsikan bahwa n = 2m (yaitu bahwa n adalah bilangan genap), maka aturan Simpson untuk integrasi dinyatakan sebagai: 4h 2h h I ( f1  f 3  ...  f 2 m 1 )  ( f 2  f 4  ...  f 2 m  2 )  ( f 0  f 2 m ) 3 3 3

indeks ganjil Code_11.m

indeks genap

awal & akhir

Metode Integrasi Numerik (2) Integrasi numerik tak-tentu adalah metode integrasi yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. dy ( x)  f ( x) dx

Sebenarnya persamaan diferensial di atas dapat diselesaikan secara analitis, namun saat ini akan diselesaikan secara numerik menggunakan: • Metode integrasi Euler • Metode integrasi Range-Kutta

6. Metode Euler Sistem dinamik linier maupun nonlinier dapat dinyatakan dengan persamaan diferensial orde-pertama (state space model) sebagai berikut: dy ( x)  f ( x) dx

Atau dinyatakan:

dy ( x)  f ( x)  dy ( x)  f ( x) dx  dx

y ( x)   f ( x) dx

Akan diestimasi y(xi) untuk x0 < xi < X, dengan xi adalah titik-titik dengan selang yang seragam pada interval x0 hingga X atau dapat dinyatakan:

xi  x0  ih dimana h adalah step size dan i = 1, 2, 3, …, m

Sehingga nilai y(x) akan diestimasi dengan cara sebagai berikut:

X  x0 h m k1  h f ( xn , yn ) yn 1  yn  k1 Dengan m adalah jumlah titik-titik dalam simulasi. Code_12_1.m

7. Metode Euler-Cauchy Metode Euler dimodifikasi menjadi metode Euler-Cauchy sebagai berikut:

h

X  x0 m

yn 1  yn 



h f ( xn , yn )  f ( xn 1 , yn*1 ) 2



Dengan m adalah jumlah titik-titik dalam simulasi. Code_12_2.m

Contoh: Metode Newton •

Digunakan untuk mencari satu akar fungsi (yaitu perpotongan grafik fungsi

dengan sumbu x) menggunakan iterasi  cara numerik •

Satu akar fungsi f(x) yaitu x1 dapat dicari menggunakan formula:

– x0 adal ahperkiraan awal untuk nilai akar yang sebenarnya – x1 adalah hasil iterasi pertama – Lakukan iterasi berikutnya hingga error iterasi sesuai yang diinginkan – Error iterasi didefinisikan sebagai:

error 

x n  x n 1 x n 1 14

Contoh Mencari akar f(x) = cos x – 2x pada interval [0,2] menggunakan metode Newton. Untuk menemukan akar persamaan f(x) = cos x – 2x maka harus dicari perpotongan grafik fungsi f(x) pada sumbu x, atau secara matematis harus dicari dimana f(x) = cos x – 2x = 0 (bisa dengan cara membuat sket grafiknya dulu). Ingat bahwa kita mencari akar yang berada pada interval

[0,2]. – Tentukan turunan fungsi – Tentukan x0, misalkan x0 = 1 – Lakukan 4 kali iterasi; temukan x1, x2, x3, x4 dan e1, e2, e3, e4

Lakukan secara manual, kemudian cobalah buat script coding dalam Matlab untuk mengimplementasikannya. 15