PEMODELAN SISTEM Pemodelan & simulasi TM05
Pemodelan Sistem Fisik • Pemodelan matematis dari sebuah sistem diperoleh dengan mengaplikasikan hukum-hukum fisika yang secara natural mengatur komponen-komponen yang ada dalam sistem ybs. Misalnya hukum Newton, Kirchoff, dll. • State (keadaan) sistem mengacu ke kondisi sistem secara matematis untuk waktu yang lalu, saat ini, dan waktu yang akan datang. • State (keadaan) dapat didefinisikan sebagai satu set variabel keadaan dan persamaan keadaan untuk pemodelan sistem dinamis. • Semua persamaan keadaan adalah persamaan diferensial orde pertama.
Variabel Keadaan • Variabel keadaan didefinisikan sebagai satu set variabel minimal yang diperlukan yaitu [x1(t), x2(t), …, xn(t)] dimana informasi tentang variabel tsb pada t=0 dan masukan yang diberikan pada suatu saat tertentu dapat menentukan keadaan sistem pada t > t0. • Variabel keadaan tidak sama dengan variabel output. Variabel output dapat diukur namun variabel keadaan tidak selalu demikian. • Contoh: Persamaan keadaan Persamaan output • Variabel U(t) dapat diatur pada semua t > t0. Variabel Z(t) dapat diamati pada semua t > t0, namun tidak dapat diatur.
Contoh 1 Terdapat suatu tangki dengan volume V yang penuh dengan larutan A yang mempunyai konsentrasi Cawal. Larutan yang sama namun dengan konsentrasi C0 dialirkan ke tangki pada kecepatan F0. Larutan dikeluarkan dari tangki dengan kecepatan F1 seperti terlihat pada gambar berikut. Tentukan konsentrasi larutan (C) dalam tangki setiap saat. Asumsi: - Larutan tercampur sempurna - Kerapatan larutan konstan - Tinggi permukaan larutan pada tangki konstan Data: - F0 = 0,085 m3/menit, V = 2,1 m3 - Cawal = 0,925 kg/m3, t ≤ 0 - C0 = 1,85 kg/m3, t > 0 - C : konsentasi larutan dalam tangki setiap saat (selalu berubah).
Penyelesaian: Sistem awalnya berada pada keadaan steady state, yaitu C(t) = Cawal untuk t ≤ 0 Untuk merumuskan model digunakan hukum kekekalan dan persamaan terminal komponen (lihat materi sebelumnya). Hukum kekekalan: Pesat akumulasi = pesat masuk – pesat keluar Variabel dan konstanta penting: -
Variabel input: C0, F0 Variabel keadaan: C, F1 Konstanta: V, Nilai awal: Cawal
Volume larutan dalam tangki konstan, maka massa larutan adalah V, konsentrasi larutan akan bergantung pada massa A yang ada di dalam larutan. Pesat perubahan massa = pesat masuk – pesat keluar Maka perubahan massa larutan dalam tangki:
d ( V ) F0 F1 dt
Volume larutan selalu tetap (V) sehingga perubahan volume = 0 dan massa jenis juga konstan atau dinyatakan d ( V ) 0 Sehingga
F0 F1 0 F0 F1 0 F0 F1 F
dt
Analogi dapat digunakan dengan cara mengganti massa jenis dengan konsentrasi larutan C. d (CV ) C0 F0 CF1 dt Dalam hal ini hanya volume V yang tetap, namun konsentrasi C selalu berubah dan konsentrasi C0 tetap, maka V
d C F (C0 C ) dt dC F F (C0 C ) dC (C0 C ) . dt dt V V
(1)
Perhatikan bahwa dC : perubahan konsentrasi dan dt : perubahan waktu
Penyelesaian umum untuk persamaan nonhomogen di atas dinyatakan sebagai: (Nb: lihat lagi ttg penyelesaian pers. Differensial nonhomogen)
C (t ) C0 ke
F t V
Pada kondisi awal t = 0 maka konsentrasi larutan adalah Cawal atau C(t) = Cawal C(0) = Cawal sehingga C (0) C0 k Cawal k Cawal C0
Sehingga konsentrasi larutan pada t ≥ 0 dapat dinyatakan sebagai:
C (t ) C0 (Cawal C0 ) e
F t V
Dengan memasukkan besaran yang diketahui maka:
C (t ) ....
( 2)
Simulasi dpt dilakukan berdasarkan persamaan (1) atau persamaan (2). Berdasarkan pers (1) dC
F (C0 C ) . dt V
Yang diketahui dari persamaan ini adalah perubahan konsentrasi (dC) terhadap perubahan waktu (dt). Yang harus diingat adalah bahwa konsentrasi larutan dalam tangki merupakan jumlahan dari konsentrasi pada waktu sebelumnya (misalnya C) dan perubahan konsentrasi (dC) sehingga
C saat ini = C sebelumnya + dC.dt
Berdasarkan pers (2)
C (t ) .... Simulasi berdasarkan persamaan 2 lebih sederhana karena besaran-besaran yang terkait telah diaplikasikan langsung; variabel bebasnya t dan variabel tak bebasnya C. Kesulitan yang ada adalah dalam rangka menemukan persamaan penyelesaian itu sendiri (dari persamaan diferensial terkait soal). Selain itu program simulasinya cenderung nampak hanya untuk menyelesaikan satu persoalan saja (kurang fleksibel untuk soal lain yang sejenis dengan kondisi awal yang berbeda). Simulasikan…………
Your Homeworks • Buatlah script coding dalam Matlab untuk implementasi penyelesaian soal berdasar persamaan (1) • Buatlah script coding dalam Matlab untuk implementasi penyelesaian soal berdasar persamaan (2)
