Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno
Finanční matematika
Bakalářská práce
Brno, 2006
Barbora Ševčíková
PODĚKOVÁNÍ Ráda bych poděkovala doc. RNDr. Josefu Niederlemu, CSc. za vedení bakalářské práce a čas strávený při konzultacích.
2
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně, jen za odborného vedení doc. RNDr. Josefa Niederleho, CSc. Dále prohlašuji, že všechny podklady, z kterých jsem čerpala, jsou uvedené v seznamu použité literatury. 20. květen 2006
Barbora Ševčíková
3
ÚVOD ............................................................................................................... 5 CENNÉ PAPÍRY ............................................................................................ 6 1
AKCIE........................................................................................................ 7 1.1 Vnitřní hodnota akcie...................................................................... 8 1.1.1 Dividendový diskontní model ................................................... 8 1.1.2 Ziskové modely ....................................................................... 11
2
DLUHOPISY .......................................................................................... 15 2.1 Dělení dluhopisů ............................................................................ 16 2.2 Počáteční a koncová hodnota finančních toků ....................... 17 2.2.1 Cena kuponového dluhopisu s ročními kupony ................... 18 2.2.2 Analýza cenových složek dluhopisu ..................................... 23 2.2.2.1 Nominální hodnota a kuponová sazba ..................... 23 2.2.2.2 Doba do splatnosti ...................................................... 23 2.2.2.3 Tržní úroková míra ..................................................... 25
LITERATURA ............................................................................................... 26
4
ÚVOD Finanční matematika je odvětví aplikované matematiky analyzující finanční trhy, proto nedílnou součástí finanční matematiky je analýza cenných papírů. Svoji bakalářskou práci jsem zaměřila na odvození vzorců pro výpočet současné hodnoty běžných cenných papírů. Tuto práci jsem rozdělila do dvou kapitol. Náplní první kapitoly jsou akcie, jako představitelé vlastnických cenných papírů. Zabývám se zde do hloubky výpočty jejich vnitřní hodnoty i s uvedením dividendového diskontního modelu a ziskového modelu. Druhá kapitola je věnována dlužnickým cenným papírům, popisuje dluhopisy a jejich dělení. V této kapitole uvádím podrobný výpočet počáteční a koncové hodnoty dluhopisů, také analýzu cenových složek dluhopisu. Jelikož je rozsah bakalářské práce omezený, vybrala jsem si pro rozbor ve své práci pouze akcie a dluhopisy, jako druhy cenných papírů, které se mi zdají z hlediska obchodování nejvýznamnější na kapitálovém trhu.
5
CENNÉ PAPÍRY Cenný papír (CP) lze charakterizovat jako záznam, se kterým zákon spojuje určitá majetková, popřípadě jiná práva oprávněné osoby a který má náležitosti stanovené zákonem. Náležitosti cenných papírů jsou stanoveny obchodním zákonem. Cenný papír představuje pohledávku vlastníka vůči tomu, kdo cenný papír vydal. Výstavce cenného papíru nazýváme emitentem, jenž vlastně cenný papír emitoval nebo-li vydal. Podle povahy emitenta dělíme CP na státní (např. státní dluhopisy, schodek ve státním rozpočtu), komunální (např. dluhopisy měst a obcí, dostavba bazénu) a soukromé (např. akcie, podílové listy, směnky). Prospekt cenného papíru je dokument, který informuje potencionální investory o činnostech emitenta a emisi cenného papíru. Je to jakási ochrana investora před nepřiměřeným rizikem. Obsahuje identifikační údaje o emitentovi (název, sídlo, IČO) charakteristiku emise (druh CP, počet, nominální hodnota) ekonomickou stránku firmy předmět podnikání emitenta (použití peněz) Pro vydání musí být povolení od Ministerstva financí ČR a ČNB (pouze u hromadných CP). Obchodovatelný cenný papír má volnou převoditelnost, mobilizovatelnost majetku a možnost přeměny v peněžní prostředky.
6
1 AKCIE Akcie je obchodovatelný cenný papír, který představuje podíl na základním kapitálu akciové společnosti. Majitel akcie (akcionář) má právo podílet se zákonem a stanovami společnosti vymezeným způsobem na jejím řízení (právo účasti a hlasování na valné hromadě akcionářů), jejím zisku (právo na dividendy) a likvidačním zůstatku při případném zániku společnosti (právo na likvidační podíl). Každá akcie musí znít na určitou jmenovitou nebo-li nominální hodnotu, součet nominálních hodnot všech akcií tvoří základní kapitál dané akciové společnosti. Nominální hodnota akcie představuje podíl na majetku akciové společnosti vyjádřený právě vlastnictvím akcie. Dividenda je podíl na zisku společnosti vyplývající z vlastnictví akcie a odhlasovaný pro dané období valnou hromadou akcionářů. Cena akcie je její skutečná tržní hodnota, za kterou se obchoduje na sekundárním kapitálovém trhu vzhledem k momentálnímu stavu nabídky a poptávky. Kurz akcie je cena, za niž jsou akcie prodány na veřejném trhu. Závisí na nominální hodnotě, nabídce a poptávce, vnitřní hodnotě a prosperitě firmy. Akcie musí obsahovat: - obchodní jméno a sídlo společnosti - číselné označení a její jmenovitou hodnotu - označení, zda je na jméno či majitele, je-li na jméno, pak jméno majitele - výši základního jmění a počet akcií v době vydání - datum vydání a podpisy dvou členů představenstva oprávněných podepisovat za společnost - je-li vydáno více druhů akcií, musí akcie obsahovat označení druhu a určení práv s ním spojených alespoň odkazem na stanovy Podle převoditelnosti se akcie dělí na akcie: - na majitele - na jméno - zaměstnanecké akcie Akcie na majitele jsou volně převoditelné. Práva spojená s touto akcií má její držitel. U akcií s materializovanou podobou se převod uskuteční předáním. U zaknihovatelných akcií dojde k převodu akcie dnem, kdy Středisko cenných papírů převod zaregistruje. U akcií na jméno může být převoditelnost vázaná na souhlas emitenta. Převod se uskutečňuje rubopisem a předáním akcie, je-li v listinné podobě. U zaknihovatelných akcií dojde k převodu akcie dnem, kdy Středisko cenných papírů převod zaregistruje. U těchto akcií vede společnost seznam akcionářů. Zaměstnanecké akcie mohou být dle zákona emitovány maximálně v nominálním objemu (nepřekračující 5% základního kapitálu společnosti). Zaměstnanecké akcie musejí znít na 7
jméno a mohou být převáděny pouze mezi zaměstnanci společnosti nebo zaměstnanci, kteří již odešli do důchodu. Podle postavení akcionářů se akcie dělí na: - kmenové - prioritní Kmenové akcie zajišťují majiteli právo hlasovat na valné hromadě a pobírat dividendu. Prioritní akcie dávají svým majitelům přednostní právo týkající se dividendy ve stálé výši. Stanovy společnosti mohou určit, že s prioritními akciemi není spojeno hlasovací právo. Souhrn nominálních hodnot všech prioritních akcií nesmí však překročit polovinu základního kapitálu.
1.1 Vnitřní hodnota akcie 1.1.1 Dividendový diskontní model Dividendový diskontní model vychází z toho, že vnitřní hodnota akcie je současnou hodnotou veškerých budoucích příjmů, plynoucích z akcie jejímu majiteli. Majiteli akcií mohou z akcie plynout příjmy ve formě dividend, nebo z prodeje akcie. Výše budoucích příjmů a okamžiky jejich výplaty spojené s akcií nejsou zaručené. U akcií není většinou předem omezena délka časového horizontu, přes kterou má být výpočet proveden. Nedílnou součástí diskontní úrokové míry by měla být určitá prémie za riziko. Výpočet vnitřní hodnoty akcie je
PV =
D1 P + 1 , 1+ i 1+ i
(1)
kde PV …… vnitřní hodnota akcie Pt ............ očekávaná tržní cena akcie na konci t-tého roku Dt ……... očekávaná dividenda vyplacená na tuto akcii na konci t-tého roku i ……….. roční diskontní úroková míra pro diskontování příjmů spojených s akcií, přičemž
i = i f + ir ,
i f ............ bezriziková úroková míra ir ………. úroková prémie za riziko. Cenu akcie na konci prvního roku ( P1 ) můžeme určit jako současnou hodnotu budoucích příjmů z akcie, kterými v časovém horizontu jednoho roku jsou opět dividendy a cena akcie na konci roku, za kterou ji můžeme prodat
8
P1 =
D2 P + 2 . 1+ i 1+ i
(2)
Po dosazení vzorce (2) do vzorce (1) PV =
D1 D2 P 1 D D2 P2 . + + 2 ⋅ = 1 + + 2 1 + i 1 + i 1 + i 1 + i 1 + i (1 + i ) (1 + i )2
Po n-krocích tímto postupem dostáváme PV =
n Dt Pn D1 D2 Dn Pn + + … + + = . (3) + ∑ 2 n n t 1 + i (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) t =1 (1 + i ) (1 + i )n
Tento vzorec nazýváme dividendový diskontní model. Byl odvozen na základě skutečnosti, že vnitřní hodnota je v libovolném okamžiku určena nejen dividendami, ale také odhadem budoucí tržní ceny. Kritika dividendového diskontního modelu: - nepoužitelnost při nestabilní dividendové politice - nerealistické předpovědi dividend o více než jeden rok do budoucnosti - diskontní úrokovou míru ovlivňuje mnoho faktorů Speciální případy dividendového diskontního modelu:
● Dividendový diskontní model s nulovým růstem Konstantní výše dividendy na akcii D ve všech obdobích
PV
=
D D + +… = 1 + i (1 + i )2 n
∞
1
t =1
(1 + i )
= D⋅∑
= D⋅
t
1 −1 1 1 + i = D⋅ ⋅ = 1 1+ i −1 1+ i
1 0 −1 1 1+ i ⋅ = D⋅ ⋅ ⋅ ( −1) = 1+ i 1 −1 1+ i 1−1− i 1+ i
D i
.
Využití k aproximativnímu vyjádření P / E poměru pomocí výplatního poměru d (nebo míry zadrženého zisku b = 1 − d ) a diskontní úrokové míry i. Výpočet poměru
P=
D i
⁄·E
9
P D 1 = ⋅ E E i
P E
=
d i
.
Kde P………….očekávaná tržní cena akcie D……….. ..očekávaná dividenda vyplacená na tuto akcii E………… očekávaný zisk na tuto akcii i………..... diskontní úroková míra d…………..výplatní poměr ( d = P / E ) P/E………. tržní cena akcie / zisk na akcii. ● Dividendový diskontní model s konstantním růstem
Exponenciální růst výše dividendy
Dt =
D1
(1 + g )t −1
,
kde t = 1, 2, …… g…………...roční míra růstu g = b · ROE b …………..míra zadrženého zisku b………….. (zisk na akcii – dividenda na akcii) / (zisk na akcii)= (1 – výplatní poměr) ROE.............výnos z vlastního jmění ROE……….čistý zisk / vlastní jmění g…………...zadržený zisk / vlastní jmění. Po dosazení do vzorce (3) dostaneme za předpokladu i > g
D ⋅ (1 + g ) D1 ⋅ (1 + g ) D = 1 + 1 + +… = 2 3 1+ i (1 + i ) (1 + i ) 2
PV
(1 + g ) = D1 ⋅ ∑ t t =1 (1 + i ) ∞
t −1
= D1 ⋅
( −1) = 1 ⋅ 1+ i 1+ g −1 1+ i D
1 1+i = D1 ⋅ ⋅ ⋅ ( −1) = 1 . 1 + i 1−1−i + g i−g Tento model se nazývá Gordonův model. 10
(4)
● Dividendový diskontní model s vícestupňovým růstem
V prvních letech životního cyklu akcie bývá míra růstu vyšší než po pozdějším ustálení na průměru trhu. PV =
T
∑
D1 ⋅ (1 + g 1 )
(1 + i )
t =1
T
=∑
(1 + i )
T −1
∑
D1 ⋅ (1 + g1 )
T −1
+
⋅ (1 + g 2 )
(1 + i )
t = T +1
t −1
t
D1 ⋅ (1 + g 1 )
∞
+
t
D1 ⋅ (1 + g1 )
t =1
t −1
⋅ (1 + g 2 )
(1 + i ) ⋅ (i − g 2 ) T
t
t −T
=
,
kde g1 ………roční míra růstu během prvního období délky T g 2 ………roční míra růstu během navazujícího druhého období nekonečné délky ( g1 > g 2 , i > g 2 ). Tento model se nazývá dvoustupňový dividendový diskontní model.
1.1.2 Ziskové modely Díky své snazší aplikovatelnosti je využíván v praxi poměrně častěji. Využívají ho především ti analytici, kteří pohlížejí na akcie z krátkodobého hlediska a odmítají časově neohraničený pohled dividendového diskontního modelu. Ziskové modely vycházejí při hledání vnitřní hodnoty akcie z ukazatele poměru (normální poměr P/E) mezi cenou akcie a ziskem na jednu akcii. PV = ( P / E ) norm ⋅ E1 , kde P……………. tržní cena akcie E……………. čistý zisk, připadající na jednu akcii ( P / E ) norm …...normální P/E poměr E1……………očekávaný zisk na jednu akcii v příštím roce. Pro výpočet odhadu (P/E)norm se využívají různé metody: ● Základní metoda pro odhad normálního P/E poměru
Po teoretické stránce vychází z dividendového modelu. Při použití dividendového diskontního modelu s konstantním růstem se vztah (4) vydělí očekávaným ziskem na akcii v příštím roce E1 a za odhad normálního P/E poměru se pak bere
( P / E ) norm
D1 D D d PV i − g 1 1 = = = 1 ⋅ = 1⋅ = 1 , E1 E1 i − g E1 E1 i − g i − g
11
kde d1 = D1 / E1 je očekávaný výplatní poměr v příštím roce. ● Regresní metoda pro odhad normálního P/E poměru
Tato metoda je založena na statistickém regresním přístupu. Jde o empiricko-induktivní pohled na tuto problematiku. Vysvětluje vnitřní hodnotu akcie PV jako vhodnou funkci f souboru vysvětlujících proměnných Xi PV = f ( X 1 ,… X k ) .
Vysvětlujícími faktory jsou např. zadluženost vlastního jmění, dividenda na akcii, zisk na akcii, výplatní poměr, dividendový výnos, akciový výnos, roční míra růstu, riziko, kvalita managementu apod., zde je nutné dávat pozor na multikolineární závislost mezi těmito proměnnými. Speciálně se využívá lineární regresní model PV = β 0 + β1 ⋅ X 1 + … + β k ⋅ X k + ε ,
(5)
kde β 0 , β1 ,… β k …. parametry ε …………..... reziduální (náhodná) složka . Při analýze dané akcie se srovnává hodnota PV vypočtená podle vzorce (5) pro aktuální hodnoty regresorů X1,……Xk se skutečnou tržní cenou této akcie. Pro různé soubory dat, kterými jsou většinou roční zkoumané hodnoty příslušných faktorů pro jednotlivé akcie přes několik let, se náramně ujal model ve tvaru
( P / E )norm = β 0 + β1 ⋅ g + β 2 ⋅ d + β3 ⋅ σ + ε , kde (P/E)norm ……...normální P/E poměr g……………....roční míra růstu d………………výplatní poměr σ………………riziko. V praxi obvykle vychází ve shodě s ekonomickým názorem regresní odhady parametrů β1 a β2 s kladným znaménkem (tj. při růstu míry růstu nebo výplatního poměru normální P/E poměr také roste), zatímco odhad parametru β3 se záporným znaménkem (tj. při růstu rizika normální P/E poměr naopak klesá).
12
● Srovnávací (komparativní) metoda pro odhad normálního P/E poměru
Tato metoda je poměrně rozšířená v praxi. Jde o srovnání poměru P/E analyzované akcie s tržním poměrem P/E, který označujeme jako (P/E)M (agregátní údaj pro všechny akcie příslušného odvětví). Aplikace této metody je vysvětlena na následujícím příkladě: Příklad V tabulce jsou uvedeny největší a nejmenší roční hodnoty P/E poměru určité akcie a tržního odvětvového agregátu během desetiletého období včetně příslušných poměrů přes toto období.
Rok 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Průměr
P/E(analyzovaná akcie) min max 15,12 7,21 16,85 10,92 17,94 11,04 22,87 8,07 20,13 15,64 18,79 11,16 15,93 12,03 17,57 12,65 19,89 13,94 25,73 15,08 19,08 11,77
(P/E)M(tržní agregát) min max 15,02 12,95 16,78 13,84 13,04 11,36 18,52 14,93 19,14 15,52 20,19 11,18 13,86 10,97 16,05 11,21 18,90 12,92 20,82 13,80 17,23 12,87
(P/E)rel min 1,01 1,00 1,38 1,23 1,05 0,93 1,15 1,09 1,05 1,24 1,11
max 0,56 0,79 0,97 0,54 1,01 1,00 1,10 1,13 1,08 1,09 0,93
V posledních sloupcích tabulky jsou uvedeny relativní hodnoty (P/E)rel. Jsou to podíly navzájem si odpovídajících poměrů P/E analyzované akcie a tržního agregátu ( P / E ) rel = např.
P/E , (P / E) M
15,12 = 1,01 15,02
včetně jejich průměrů
max(P/E)rel = 1,11 min(P/E)rel = 0,93
Průměr těchto čísel vypočteme ( P / E ) rel =
max( P / E ) rel + min( P / E ) rel 1,11 + 0,93 = = 1,02 . 2 2
Nyní vezmeme například tyto hodnoty: - aktuální hodnota tržního poměru (P/E)M je 16,50 - aktuální hodnota P/E poměru analyzované akcie je 17,10
13
Potom aktuální hodnotu P/E poměru analyzované akcie budeme srovnávat s následujícími třemi čísly, která bereme za odhady postupně největšího, nejmenšího a průměrného normálního P/E poměru této akcie. max(P/E)norm = max(P/E)rel · (P/E)M = 1,11 · 16,50 = 18,32 min(P/E)norm = min(P/E)rel · (P/E)M = 0,93 · 16,50 = 15,35
(P/E)norm = (P/E)rel · (P/E)M
= 1,02 · 16,50 = 16,83
Po tomto srovnání vyplývá závěr, že daná akcie je momentálně na trhu správně oceněna. Její aktuální poměr P/E 17,10 je srovnatelný s jejím průměrným normálním P/E poměrem 16,83 při uvážení vzdálenosti od jejího největšího a nejmenšího normálního P/E poměru.
14
2
DLUHOPISY
Dluhopisy (obligace, bondy) jsou zastupitelné cenné papíry, jejichž emisí si emitent opatřuje úvěrový kapitál většinou na delší dobu a s jistotou, že věřitel později od svého rozhodnutí neodstoupí. Je s nimi spojeno právo majitele požadovat splacení dlužné částky v nominálních hodnotách a výnosů z něj k určitému datu a povinnost osoby oprávněné vydávat dluhopisy (stát, komunální orgán, banka, firma) tyto závazky plnit. Emitent dluhopisu je tedy dlužník a držitel dluhopisu (investor) je věřitel. Na rozdíl od klasických úvěrů lze s dluhopisy obchodovat na sekundárním (opakovaném) trhu cenných papírů. Zde se uplatňuje zákon o dluhopisech, zákon o cenných papírech a Obchodní zákoník. Nominální hodnota obligace je částka (vytištěná na obligaci), která musí být vyplacena oprávněnému majiteli obligace k danému datu (na konci doby splatnosti obligace). Kupónová platba je sjednaný úrok vyplacený majiteli obligace v daných termínech. Kupónová sazba je kupónová platba vyjádřená v procentech z nominální hodnoty.
Některé dluhopisy umožňují emitentovi zkrátit nebo prodloužit dobu splatnosti se současnou úpravou úrokové sazby. Dluhopisy znějí na doručitele (majitele) nebo na jméno. Emitent nebo osoba jím pověřená vede seznam dluhopisů znějících na jméno. Dluhopis může být vydán v listinné nebo zaknihovatelné podobě. Listinný dluhopis na jméno je převoditelný rubopisem a předáním, pokud emitent výslovně v textu dluhopisu neuvedl, že je nepřevoditelný. Náležitosti dluhopisu Plášť dluhopisu: - označení emitenta, název nebo jméno a sídlo nebo bydliště emitenta - název dluhopisu a jeho číselné označení - nominální hodnotu dluhopisu v české měně nebo v cizí měně - způsob úročení - prohlášení emitenta, že dluží nominální hodnotu dluhopisu jeho majiteli - termín splatnosti a termíny kupónových plateb - u dluhopisů znějících na jméno i jméno jejich prvního majitele - datum emise a podpisy - údaj o rozhodnutí Ministerstva financí ČR o povolení emise dluhopisů Kupónový arch: - číslo a série dluhopisu - pořadové číslo kupónu - datum splatnosti výnosu - fakultativně další údaje
15
Výnosy
Výnos dluhopisu může být stanoven: - pevnou úrokovou sazbou - pevnou úrokovou sazbou a podílem zisku - rozdílem mezi nominální hodnotou a jeho nižším emisním kurzem - slosovatelnou prémií nebo prémií v závislosti na lhůtě splatnosti - pohyblivou úrokovou sazbou - kombinací uvedených způsobů
2.1 Dělení dluhopisů Podle osoby dlužníka ● Státní, které jsou emitovány státem jako nástroj státní zadluženosti (např. schodek ve SR). ● Komunální, které jsou vydávány územním samosprávním celkem (banka, firma). Představují formu půjčky pro orgán místní správy (např. dostavba bazénu). Nutný předchozí souhlas ministerstva. ● Podnikové jsou obligace emitovány firmou nebo bankou. Jsou nejvíce riskantní. ● Zaměstnanecké, které jsou nepřevoditelné dluhopisy na jméno vydávané emitentem výlučně pro pracovníky, kteří jsou u něho v pracovním poměru nebo pro pracovníky, kteří odešli do důchodu. Podle jištění ● Jištěny majetkem emitenta ● Jištěny prostřednictvím záruk jiného subjektu ● Nejištěné Podle splacení nominální hodnoty ● Splacené jednorázově (nominální hodnota splacena jednorázově na konci životnosti dluhopisu) ● Splacené postupně (hodnota splácena postupně pravidelnými splátkami v průběhu jeho životnosti a úrok je počítán ze zůstatku hodnoty dluhopisu) Podle doby splatnosti ● Krátkodobé (do 5 let) ● Střednědobé (do 10 let) ● Dlouhodobé (nad 10 let) ● Věčné ( emitovány jen v některých státech, nemají stanovenou dobu splatnosti) Podle formy důchodu ● S pevným úročením má po celou dobu trvání dluhopisu stanovenou fixní úrokovou sazbu. ● S proměnlivým úročením nemá fixní úrokovou sazbu, ale proměnlivou úrokovou sazbu, která je po vypršení určitého úrokového období přizpůsobena tržním podmínkám. ● S nulovým kuponem (zúročením), který je emitován pod nominální hodnotou. Několik dalších druhů dluhopisů ● Vyměnitelný dluhopis je dluhopis, s nímž je spojeno právo na jeho výměnu za jiný dluhopis nebo jiné dluhopisy anebo právo na jeho výměnu za akcii nebo akcie téhož emitenta, které jejich emitent vydá podle zvláštního právního předpisu. 16
● Prioritní dluhopis je dluhopis, s nímž je spojeno právo na jeho splacení a vyplacení výnosu z dluhopisu, jakož i právo na přednostní upisování akcií, které jeho emitent vydá podle zvláštního právního předpisu. ● Indexované dluhopisy jsou dluhopisy, které jsou chráněny před poklesem jejich investiční hodnoty. Zajištění hodnoty dluhopisu (vloženého kapitálu) a hodnoty úrokových plateb se zabezpečuje vázáním na určitý index nebo cenu, např. na index mezd, index velkoobchodních cen, cenu zlata, cenu stříbra. ● Prašivý dluhopis je obvykle firemní dluhopis, který nemá investiční stupeň hodnocení. Jsou to dluhopisy s nízkou hodnotou ratingu. Za „prašivé obligace“ jsou považovány ty dluhopisy, které mají rating v neinvestiční úrovni. Dluhopisy mohou být v neinvestičních skupinách zařazeny z několika důvodů: - zhoršila se finanční situace emitenta a ratingová agentura snížila rating z investičního stupně na spekulativní stupeň („padlí andělé“) - nově vznikající firmy mají nedostatečnou finanční historii, proto jsou považovány za více rizikové - firmy mohou přesáhnout přijatelnou úroveň zadluženosti a stanou se příliš rizikovými.
2.2 Počáteční a koncová hodnota finančních toků Pro jednoduchost volíme předpoklad, že úroveň tržní úrokové míry zůstává v čase pevná. Počáteční a koncová hodnota systému je základní nástroj pro analýzu libovolného systému finančních toků (platby v rámci nejrůznějších finančních transakcí). Jsou-li jednotlivé platby K1, K2, … Kn realizovány vždy na konci časových období 1, 2, … n, pak vzhledem k časové hodnotě peněz je pro celkové ocenění tohoto systému nutné vztáhnout platby k témuž referenčnímu datu. Jako referenční datum bereme nejčastěji počátek prvního období, vztáhneme všechny platby do minulosti diskontováním s použitím příslušné tržní úrokové míry a výsledkem je počáteční hodnota PV daného systému finančních toků. Daný systém kapitalizujeme do jediné sumy, jejíž potenciální existence na počátku prvního období (v čase 0) umožní při uvažované tržní úrokové míře výplatu všech budoucích plateb systému. PV =
n K1 K2 Kn Kt + + … + = , ∑ 2 n t 1 + i (1 + i ) (1 + i ) t =1 (1 + i )
kde i………tržní úroková míra přes jedno období. Jako referenční datum můžeme vzít i konec posledního období, vztáhneme všechny platby do budoucnosti úročením s použitím příslušné tržní úrokové míry a výsledkem je koncová hodnota FV uvažovaného systému finančních toků. Jedná se o potenciální sumu na konci posledního období vzniklou okamžitým reinvestováním každé vyplacené částky až do konce posledního období při uvažované tržní úrokové míře.
FV = K1 ⋅ (1 + i )
n −1
+ K 2 ⋅ (1 + i )
n−2
n
+ … + K n = ∑ K t ⋅ (1 + i ) t =1
17
n −t
= PV ⋅ (1 + i ) . n
Jestliže za referenční datum zvolíme obecně τ (0 ≤ τ ≤ n ) , pak odpovídající hodnota systému v čase τ při představě, že všechny částky vyplacené do tohoto času jsou okamžitě reinvestovány do tohoto času při uvažované tržní úrokové míře, je τ −n
Vτ = K1 ⋅ (1 + i )τ − 1 + … + K n ⋅ (1 + i )
n
τ −t
= ∑ K t ⋅ (1 + i )
τ
= PV ⋅ (1 + i ) .
t =1
2.2.1 Cena kuponového dluhopisu s ročními kupony Držení dluhopisu je spojeno s finančními toky, od emitenta držiteli dluhopisu, tvaru: K1 = C K2 = C K n −1 = C Kn = C + F
kde F………nominální hodnota C………roční kupon (platba vyplacená na koncích ročních kuponových období). Cena dluhopisu je její skutečná tržní hodnota, za kterou se obchoduje na kapitálovém trhu vzhledem k momentálnímu stavu nabídky a poptávky. I když je cena dluhopisu tvořena trhem, měla by v průměru za normálních podmínek odpovídat současné hodnotě budoucích peněžních příjmů s ní spojených. Jedná se o počáteční hodnotu dluhopisu PV nebo také vnitřní hodnotu dluhopisu, kterou vypočteme:
PV
=
C C + + 1 + i (1 + i )2
+
C
(1 + i )
1 1 =C⋅ + + 2 + 1 i + 1 i ( )
+
n −1
+
C+F
(1 + i )
1
(1 + i )
n −1
+
n
=
F = + n (1 + i ) (1 + i ) 1
n
(6) 1 − 1 1 1+ i + F = = C⋅ ⋅ 1 1 + i (1 + i )n 1 − 1+ i n
n
1
t =1
(1 + i )
= C ⋅∑
t
+
F
(1 + i )
n 1 − (1 + i ) n 1+ i) ( 1 =C⋅ ⋅ 1+ i 1−1− i 1+ i
n
F = n + + 1 i ( )
18
1 1 − (1 + i )n 1 + i F =C⋅ ⋅ ⋅ = + n −i (1 + i )n 1 + i (1 + i ) 1 (1 + i )n − 1 F =C⋅ ⋅ + = n n i (1 + i ) (1 + i ) 1 1 F F 1 = = C ⋅ ⋅ 1 − = F ⋅ c ⋅ ⋅ (1 − v n ) + + n n n i (1 + i ) i (1 + i ) (1 + i )
1 − vn 1 = F ⋅ c ⋅ + = F ⋅ c⋅a + n i (1 + i ) ni
, n (1+i ) 1
kde c……… roční kuponová sazba (vzhledem k nominální hodnotě, tj. C = c ⋅ F ) n……… doba do splatnosti v rocích (jestliže od emise dluhopisu uplynula již doba τ, pak se za dobu do splatnosti bere n-τ) i………. roční tržní úroková míra v……… diskontní faktor (udává součastnou hodnotu jednotkového vkladu, který je splatný za jeden rok při úrokové sazbě i) an i …… současná hodnota anticipovaného důchodu (na konci úrokovacího období), přičemž v=
1 , 1+ i
an i =
1 − vn . i
Příklad: Odhadněte k 1.září 1998 cenu dluhopisu splatného k 1.březnu 2006 s nominální hodnotou 20000 Kč a roční kuponovou sazbou 14%, jestliže kuponové platby se vyplácí pololetně vždy k 1.březnu a 1.září, průměrná roční úroková míra zisku na kapitálovém trhu v rámci investic se srovnatelnými parametry je 12%. Řešení: Kuponové platby se vyplácí pololetně vždy k 1.březnu a k 1.září, takže mezi 1.zářím 2006 a 1.březnem 1998 je právě 15 kuponových období.
F = 20000 0,14 = 0,07 c= 2 0,12 = 0,06 i= 2 n = 15
19
1 1 = ⋅ ⋅ + PV = F ⋅ c ⋅ an i + a 20000 0, 07 15 n 15 0,06 (1 + i ) (1 + 0, 06 ) 1 − v n 1 − 0, 417263 = = 9, 712283 i 0, 06 1 1 v= = = 0,943396 1 + i 1 + 0,06 v n = v 15 = 0,417263 a15 0,06 =
1 PV = 20000 ⋅ 0,07 ⋅ 9,712283 + = 21942 15 (1 + 0,06)
Odhad ceny dluhopisu k 1.září 1998 je tedy 21942 Kč. Jestliže skutečná cena dluhopisu k 1.září 1998 je např. 21000 Kč, pak investice do tohoto dluhopisu za daných podmínek je výhodná. Uvažujeme-li kurz dluhopisu, jde o cenu dluhopisu vyjádřenou v procentech z jeho nominální hodnoty. Odhad kurzu dluhopisu je
21942 = 1,0971 ⇒ 109,71%. 20000
Kupon C je někdy rozložen do m pravidelných splátek (področních kuponů) během jednoho roku. Počáteční hodnota dluhopisu s področními kupony je
PV
=
C 1 C 1 C 1 1 ⋅m + ⋅ +…+ ⋅ +F⋅ = n n m 1 + i m m (1 + i )2 m (1 + i ) (1 + i )
C 1 1 1 1 +F⋅ ⋅ m + +…+ = n n m 1 + i m (1 + i )2 ( ( 1 + i) 1 + i) C 1 1 1 1 +F⋅ = = ⋅ m + +…+ n mn 2 m m 1 + i m (1 + i ) ( 1 + i) ( ) i 1 + mn C 1 1 = ⋅∑ +F⋅ = t m t =1 m (1 + i ) (1 + i )n =
C 1 = ⋅ m m 1+ i
mn 1 m − 1 1+ i +F⋅ 1 = ⋅ n 1 (1 + i ) 1 − m 1+ i
20
(7)
mn 1 m 1 − 1 C 1 1+ i = ⋅m ⋅ +F⋅ = n 1 m 1 + i 1 + i ( ) 1 m −1 1+ i n m 1 − (1 + i ) C 1 1+ i 1 = ⋅m ⋅ ⋅ = +F⋅ n n m m 1 + i (1 + i ) 1 − 1 + i 1 + i ( ) n 1 − (1 + i ) C +F⋅ 1 = = ⋅ n n m m (1 + i ) ⋅ 1 − 1 + i (1 + i ) n −n C 1 − (1 + i ) ⋅ (1 + i ) 1 = ⋅ +F⋅ = n m m 1− 1+ i 1+ i) (
(
)
(
)
−n n−n C (1 + i ) − (1 + i ) 1 = ⋅ + ⋅ = F n m 1− m 1+ i (1 + i ) −n C (1 + i ) − 1 1 = ⋅ = +F⋅ n m m 1 − 1 + i (1 + i )
1 1− n + 1 i C = ⋅ +F⋅ m m 1 + i − 1
(
(
)
)
1 n (1 + i )
.
Ke zjednodušení vzorce (7) dojde, když použijeme tržní úrokovou míru im, která představuje úročení přes jednu m-tinu roku (např. i2 je pololetní tržní úroková míra). im = m (1 + i ) − 1 ⇒ m 1 + i = im + 1 ,
potom
(1 + i ) − 1 1 n 1− 1+ i n ( ) C C (1 + i ) 1 1 = ⋅ +F⋅ = ⋅ +F⋅ = n n m m (1 + i ) − 1 im (1 + i ) m (1 + i ) n
PV
C 1 = ⋅ ⋅ m im C = m ⋅ im
(
m
1+ i
(
m
)
mn
1+ i
)
−1
mn
+
(
F m
1+ i
C 1 ( i + 1) − 1 F = ⋅ ⋅ m + = mn mn m im ( im + 1) ( im + 1) mn
)
mn
( im + 1)mn 1 F C ⋅ − + = mn mn mn m ⋅ im ( im + 1) ( im + 1) ( im + 1)
21
1 F ⋅ 1 − + = mn mn ( im + 1) ( im + 1)
=
C C F − + = mn mn m ⋅ im m ⋅ im ⋅ ( im + 1) ( im + 1)
C + 1 C ⋅ − F m ⋅ im ( i + 1)mn m ⋅ im m
.
Koncovou hodnotu dluhopisu FV, která v sobě zahrnuje kromě splacené nominální hodnoty také částky získané okamžitým reinvestováním všech budoucích kuponů až do data splatnosti při uvažované tržní úrokové míře, vypočteme: FV = PV ⋅ (1 + i )n = C + C 2 + … + C + Fn ⋅ (1 + i )n = (1 + i ) 1 + i (1 + i ) n 1 F n = C ⋅ ∑ + ⋅ 1+ i) = t n ( t =1 (1 + i ) (1 + i ) n 1 −1 F 1 1+ i n = C ⋅ ⋅ + ⋅ (1 + i ) = n 1 1+ i (1 + i ) −1 1+ i n 1 − (1 + i ) n 1+ i) ( 1 F n = C ⋅ ⋅ + ⋅ 1+ i) = n ( 1+ i 1−1− i (1 + i ) 1 i + n 1 1 − (1 + i ) 1 + i F n = C ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 1+ i) = n n ( −i (1 + i ) 1 + i (1 + i )
1 (1 + i )n − 1 F n = C ⋅ ⋅ + ⋅ 1+ i) = n n ( (1 + i ) i (1 + i ) 1 1 F n ⋅ (1 + i ) = = C ⋅ ⋅ 1 − + n n i (1 + i ) (1 + i ) =
C ⋅ 1 + i n − 1 + F . ) i (
Obecně hodnota dluhopisu v libovolném čase τ ( 0 ≤ τ ≤ n ) je
C 1 τ Vτ = PV ⋅ (1 + i ) = + n i (1 + i )
C C τ τ − n +τ ⋅ F − ⋅ (1 + i ) = ⋅ (1 + i ) + (1 + i ) i i
22
C ⋅ F − . i
Tato hodnota zahrnuje reinvestované hodnoty kuponů vyplacených do času τ a navíc část příštího kuponu naběhlou od data předchozího kuponu.
2.2.2 Analýza cenových složek dluhopisu 2.2.2.1 Nominální hodnota a kuponová sazba Počáteční hodnota dluhopisu závisí na nominální hodnotě a kuponové sazbě, tato závislost je lineární, což vyplývá ze vzorce (6). Počáteční hodnota PV s rostoucí kuponovou sazbou c zřejmě roste. Speciálně platí: PV = F ⇔ c = i, PV < F ⇔ c < i, PV > F ⇔ c > i.
Důkaz: PV − F =
C C + + 1 + i (1 + i )2
+
C
(1 + i )
n −1
+
C+F
(1 + i )
n
−F =
C C F C 1 ⋅ F − − F = + − ⋅ −F = n i i (1 + i ) i (1 + i )n
=
C 1 + i (1 + i )n
=
C 1 1 c⋅F 1 1 ⋅ 1 − ⋅ 1 − − F ⋅ 1 − = − F ⋅ 1 − = n n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n i (1 + i ) i
c 1 = F ⋅ ⋅ 1 − n i (1 + i )
1 − 1 − . (1 + i )n
2.2.2.2 Doba do splatnosti Počáteční hodnotu dluhopisu ex-kupon v čase τ označujeme PV ex . Jde o hodnotu, která je očištěna o reinvestované hodnoty kuponů vyplacených do času τ a část příštího kuponu naběhlou od data předchozího kuponu. PV ex tedy udává počáteční hodnotu v čase τ všech budoucích plateb vyplacených od tohoto času v rámci uvažovaného dluhopisu. Výpočet reinvestovaných hodnot kuponů vyplacených do času τ včetně části příštího kuponu naběhlé od data předchozího kuponu provedeme:
Cτ =
C τ ⋅ (1 + i ) − 1 , i
23
dále
PVτ ex = Vτ − Cτ
C C C τ τ − n +τ ⋅ (1 + i ) + (1 + i ) ⋅ F − − ⋅ (1 + i ) − 1 = i i i C C C C τ − n +τ − n +τ τ = ⋅ (1 + i ) + F ⋅ (1 + i ) − ⋅ (1 + i ) − ⋅ (1 + i ) + = i i i i C τ − n +τ τ − n +τ = ⋅ (1 + i ) − (1 + i ) − (1 + i ) + 1 + F ⋅ (1 + i ) = i C − n +τ + F ⋅ (1 + i )− n +τ = = ⋅ 1 − (1 + i ) i =
= C + (1 + i ) i
−n+τ
⋅ F − C . i
Důkaz:
PV ex =
C C + + 1 + i (1 + i )2
+
1 1 =C⋅ + + 2 1 + i (1 + i )
C
(1 + i ) +
n −τ
+
F
(1 + i )
1
(1 + i )
n −τ
n −τ
=
F = + n −τ (1 + i ) (6)
1 1− n −τ (1 + i ) + F = 1 =C ⋅ ⋅ 1 1 + i (1 + i )n −τ − 1 1 + i 1 1 − 1 + i n −τ ( ) + F = =C ⋅ (1 + i )n −τ i
24
=
C 1 ⋅ 1 − i (1 + i )n −τ
F = + n −τ (1 + i )
=
C C F − + = n −τ n −τ i i ⋅ (1 + i ) (1 + i )
=
C C + (1+i )τ −n ⋅ F − . i i
Závislost PV ex na době do splatnosti n − τ : c = i ⇒ PV ex při zkracující se n − τ zůstává konstantní na hodnotě PV = F , c < i ⇒ PV ex při zkracující se n − τ roste z hodnoty PV na hodnotu F (PV
i ⇒ PV ex při zkracující se n − τ klesá z hodnoty PV na hodnotu F (PV>F). Poznámka: Důkaz se provede vyšetřováním první a druhé derivace PV ex podle τ.
2.2.2.3 Tržní úroková míra Ke změnám tržní úrokové míry dochází v praxi často a nepředvídatelně. Intenzitu závislosti počáteční hodnoty dluhopisu PV ex na tržní úrokové míře i označujeme v praxi jako cenovou citlivost dluhopisů. Závislost PV ex na i charakterizujeme: - počáteční hodnota dluhopisu se mění opačně než tržní úroková míra - absolutní zvýšení počáteční hodnoty dluhopisu způsobené poklesem tržní úrokové míry je vyšší než absolutní snížení počáteční hodnoty dluhopisu způsobené vzestupem tržní úrokové míry o stejnou hodnotu - dluhopis s větší kuponovou sazbou má větší absolutní změnu počáteční hodnoty způsobenou změnou tržní úrokové míry než dluhopis s menší kuponovou sazbou - dluhopis s větší dobou do splatnosti má větší absolutní změnu počáteční hodnoty způsobenou změnou tržní úrokové míry než dluhopis s menší dobou do splatnosti
25
LITERATURA [1] J. Radová, P. Dvořák, J. Málek : Finanční matematika pro každého GRADA Publishing, a.s., 2005, ISBN 80-247-1230-X [2] T. Cipra : Matematika cenných papírů HZ Praha, 2000, ISNB 80-86009-35-1 [3] Doc. RNDr. Bohuslav Sekerka, CSc. : Matematické a statistické metody ve financování, cenných papírech a pojištění Profess Consulting s.r.o., 2002, ISNB 80-7259-031-6 [4] T. Cipra : Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou HZ Praha, 1995, ISNB 80-901918-0-0 [5] T. Cipra : Finanční matematika v praxi HZ Praha, 1993, ISNB 80-901495-1-0
26
