LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir: Kajian Matematika Murni
GENERALISASI METODE PENGKONSTRUKSIAN PERSEGI AJAIB ORDER GENAP DENGAN ELEMEN PENYUSUN BILANGAN RASIONAL
TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh: YENI ROHMA YANTI NIM: 201010060311137
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2014
i
ii
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan petunjuk dan hidayah-Nya sehingga penyusunan dan penulisan Tugas Akhir yang berjudul “ Generalisasi Metode Pengkonstruksian Persegi Ajaib Order Genap Dengan Elemen Penyusun Bilangan Rasional” ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat waktu. Penelitian ini disusun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan Matematika. Dalam penyusunan dan penulisan Tugas Akhir ini, peneliti banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang mendalam kepada: 1. Dr. Baiduri, M. Si, selaku Dosen Pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam membimbing penyelesaian skripsi ini. 2. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M, selaku Dosen Pembimbing II yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam membimbing penyelesaian skripsi ini. Semoga Allah SWT menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-Nya, serta melapangkan dada kita dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-Nya. Peneliti menyadari bahwa penyusunan dan penulisan laporan tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik dari pembaca yang sifatnya membangun sangat peneliti harapkan guna penyempurnaannya. Semoga laporan Tugas Akhir ini dapat berguna bagi orang yang membacanya.
Malang, 23 Oktober 2014
Penulis
vii
DAFTAR ISI
Halaman Judul................................................................................................... i Lembar Persetujuan .......................................................................................... ii Lembar Pengesahan ........................................................................................ iii Halaman Pernyataan Keaslian......................................................................... iv Halama Motto....................................................................................................v Halaman Persembahan .................................................................................... vi Kata Pengantar ............................................................................................... vii Abstrak .......................................................................................................... viii Daftar Isi............................................................................................................x Daftar Tabel ................................................................................................... xii Daftar Gambar ............................................................................................... xiii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...........................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah ......................................................................................5 1.3 Pembatasan Masalah ..................................................................................5 1.4 Tujuan Kajian .............................................................................................6 1.5 Manfaat Kajian ...........................................................................................6 1.6 Metode Kajian ............................................................................................6 BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Konfigurasi Ajaib .......................................................................................8 2.2 Persegi Ajaib ..............................................................................................9 2.2.1 Definisi dan Notasi Persegi Ajaib .......................................................9 2.2.2 Sejarah Persegi Ajaib ........................................................................10 2.2.3 jenis-jenis Persegi Ajiab ....................................................................11 2.2.3.1 Persegi Ajaib Order-3 ...........................................................11 2.2.3.2 Persegi Ajaib Order-4 ...........................................................13 2.2.3.3 Persegi Ajaib Order-5 ...........................................................15 2.2.3.4 Persegi Ajaib Order-6 ...........................................................16
x
2.3 Klasifikasi Persegi Ajaib ..........................................................................16 2.3.1 Persegi Semi Ajaib (Semi Magic Square) .........................................17 2.3.2 Persegi Ajaib Baku (Normal Magic Square) ....................................17 2.3.3 Persegi Ajaib Simetris (Symetric Magic Square) ..............................18 2.3.4 Pan Magic Square .............................................................................19 2.3.5 Persegi Ajaib Konsentric ...................................................................20 2.4 Metode Konstruksi Persegi Ajaib ............................................................21 2.4.1 Metode Siames (De La Loube’re Method) ........................................21 2.4.2 Metode Strachey ................................................................................23 2.4.3 Metode LUX......................................................................................27 2.4.4 Metode Diagonal Lozenge (Double Even) ........................................31 2.5 Konsep Dasar Persesgi Ajaib ...................................................................34 2.5.1 Barisan Dan Deret Aritmatika ...........................................................34 2.5.2 Jumlah Ajaib Pada Persegi Ajaib ......................................................35 2.5.3 Penjumlahan Pada Matriks ................................................................37 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Menentukan Pola Bilangan Penyusun Persegi Ajaib ...............................40 3.2 Generalisasi Jumlah Ajiab Pada Persegi Ajaib Baku ...............................41 3.3 Konstruksi Persegi Ajaib Order Genap Pada Jumlah Ajaib Tergeneralisai ...........................................................................................44 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan ..............................................................................................77 4.2 Saran .........................................................................................................77 DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................78
xi
DAFTAR TABEL
Tabel 1.1 Persegi Ajaib Order-4.....................................................................2 Tabel 1.2 Persegi Rumus Bilangan Persegi Ajaib Order-4 Bersyarat ............3 Tabel 1.3 Persegi Rumus Bilangan Persegi Ajaib Order-5 Bersyarat ............4 Tabel 2.1 Jumlah Ajaib Persegi Ajaib Order-𝑛 ............................................38 𝑡
Tabel 3.1 Rumus Jumlah Ajaib Setelah di Generalisasi Dengan Beda 𝑢 .....43 1
Tabel 3.2 Rumus Jumlah Ajaib Setelah di Generalisasi Dengan Beda 𝑢 .....43
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Persegi Ajaib Order-𝑛 .............................................................10
Gambar 2.2
Kura-Kura Persegi Ajaib Lo Shu ............................................11
Gambar 2.3
Figur Persegi Ajaib Zhuang Zi ................................................12
Gambar 2.4
Persegi Ajaib Chautisa Yatra...................................................12
Gambar 2.5
Persegi Ajaib Fagrada Famili ..................................................13
Gambar 2.6
Melencolia-i Dan Persegi Ajaib Durer ....................................14
Gambar 2.7
Persegi Ajiab Mars Amulet .....................................................15
Gambar 2.8
Persegi Ajaib Rasa’il Ikhwan Al-Safa .....................................16
Gambar 2.9
Semi Magic Square Order-4 ....................................................17
Gambar 2.10 Persegi Ajaib Baku Order-4 ....................................................17 Gambar 2.11 (a) Association Magic Square Order-4 dan (b) Bukan Association Magic Square Order-4 .........................................18 Gambar 2.12 Pan Magic Square Order-4 .....................................................19 Gambar 2.13 Consentric Magic Square Order-5 ..........................................20 Gambar 2.14 Persegi Ajaib Hasil Konstruksi Metode Siames ......................23 Gambar 2.15 Pembagian Persegi Menjadi Empat Bagian ABCD ................24 Gambar 2.16 Hasil Konstruksi Metode Siames ............................................25 Gambar 2.17 Konstruksi Metode Strachey Order-10 ....................................26 Gambar 2.18 Hasil Konstruksi Metode Strachey Order-10 ..........................27 Gambar 2.19 Metode LUX ............................................................................27 Gambar 2.20 (a) Persegi 10 × 10 dan (b) Persegi 10 × 10 Yang Telah Dibagi Dalam Petak 2 × 2 Hingga Membentuk Persegi 5 × 5 ...............................................................................................29 Gambar 2.21 Persegi 5 × 5 Yang Diberi Tanda LUX ..................................30 Gambar 2.22 (a) Konstruksi Persegi Ajaib Metode LUX dan (b) Hasil Konstrusi Metode LUX ...........................................................32 Gambar 2.23 Persegi Order-4 ........................................................................33 Gambar 2.24 Konstruksi Metode Diagonal Lozenge Order-4 .......................34 Gambar 2.25 Hasil Konstruksi Metode Diagonal Lozenge Order-4 .............34
xiii
Gambar 3.1
Hasil Konstruksi Persegi Ajaib Order-4 Dengan Metode Diagonal Lozenge ....................................................................45
Gambar 3.2
Perhitungan Jumlah Ajaib Persegi Ajaib Order-4 ...................47
Gambar 3.3
Hasil Persegi Ajaib Order-4 Dengan 𝜇4 = 24 ........................49
Gambar 3.4
Hasil Konstruksi Persegi Ajaib Order-6 (a) Dengan Metode Strachey dan (b) Dengan Metode LUX ...................................58
Gambar 3.5
Perhitungan Jumlah Ajaib Persegi Ajaib Order-6 ...................56
Gambar 3.6
Hasil Persegi Ajaib Oerdee-6 Cara a Dengan 𝜇4 =
Gambar 3.7
Hasil Persegi Ajaib Oerdee-6 Cara b Dengan 𝜇4 =
Gambar 3.8
Hasil Konstruksi Persegi Ajaib Order-8 Dengan Metode
33 4 33 4
............61 ............64
Doagonal Lozenge ...................................................................65 Gambar 3.9
Hasil Persegi Ajaib Order-8 Dengan 𝜇4 = 110 ......................73
xiv
DAFTAR PUSTAKA Al-Ashhab, Saleem. 2006. Nonconsecutive Magic Squares 4 × 4. Journal of The Islamic University (on-line), Vol. 14, No. 1, Hal. 63-72 (http://www. iugzaza.edu.ps/ara/research/, diakses 20 April 2011). Alvian, Rosy. 2012. Azimat Numerik. Skripsi S1 S1 SAINS Matematika. Universitas Islam Negeri Malang. Ball, W.W. Rouse. 1926. Mathematical Recreations and Essays, Tenth Edition. London: Macmillan and Co. Boindi, Billy. 2011. Konstruksi Persegi Panjang Ajaib. Skripsi S1 SAINS Matematika. Universitas Indonesia. Bolt, Brian. 2004. Mathematical Amusement Arcade. Cambridge: Cambridge University Press. Cox, Simon. 2009. Decoding The Lost Symbol. Terjemahan Oleh Arfan Archyar. 2010. Jakarta: PT Mizan Publika. Hendarto, Cahyono. 2006. Metode Pengkonstruksian Persegi Ajaib. Gammatika Tahun 2011 No.2: 149-162. Jahannathan, B. Sree. 2005. Magic Squares for All Success, E-book (on-line), (http://www.spiritualmindpower.com/files/magic_squares.pdf, diakses 18 April 2011). Kirmani, M. Zaki & N.K. Singh. 2005. Encyclopedia Of Islamic Science And Scientists. New Delhi: Global Vision Publishing House. Masruroh, Tutik. 2013. Generalisasi Jumlah Ajaib Pada Persegi Ajaib Order Lima. Skripsi S1 Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Malang. Matematika. Pembuktian Rumus Deret Aritmatika, (on-line), (matematika.com, diakses 11 Juli 2014). Moler, Cleve. 2009. Magic Squares, (on-line), (http://www.mathworks.com/ moler/exm/chapters/magic.pdf, diakses 18 April 2011). Mujtahidah, Adila. 2013. Azimat Gabungan Antara Alfabetik Dan Numerik. Skripsi S1 SAINS Matematika. Universitas Islam Negeri Malang. Pickover, Clifford A.. 2002. The Zen of Magic Square, Circles, and Stars. New Jersey: Princeton University Press.
78
Poole, David. 2006. Linear Algebra: A Modern Introduction. Canada: Transcontinental Printing. Rohmawati, Yunita. 2012. Azimat Alfabetik. Skripsi S1 S1 SAINS Matematika. Universitas Islam Negeri Malang. Simon, William. 1964. Mathematical Magic. New York: Charles Scribner’s Sons. Stephens, Daryl L.. 1993. Matrix Properties of Magic Squares. A professional paper submitted of the requirements of master of science in the graduate school. Texas Woman's University. Swetz, Frank J.. Legacy of the Luoshu: The 4,000 Year Search for the Meaning of the Magic Square of Order Three. Wellesley: A K Peters. Tung, Khoe Yao. 2011. Memahami Teori Bilangan Dengan Mudah Dan Menarik. Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia. Vakil, Ravil. 1996. A. Mathematical Mosaic Patterns & Problem Solving. Burlington: Bredan Kelly Publishing Inc. Watkins, John J.. 2004. Across the Board: The Mathematics of Chessboard Problems. New Jersey: Princeton University Press. Wiki. Kubus Rubrik, (on-line), (wikipedia.org, diakses 30 Juni 2014). Yahya, Yusuf, Suryadi, dan Agus S. 2010. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Ghalia Ondonesia. Yulinto, Dedi. 2011. Generalisasi Jumlah Ajaib Pada Persegi Ajaib Order Empat. Skripsi S1 Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Malang. Zaelani, Ahmad, Cucun Cunayah, dan Etsa Indra Irawan. 2009. Matematika Untuk SMA/MA. Bandung: Yrama Widya.
79
