LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir Kajian Matematika Murni
ANALISIS DINAMIK PADA MODEL EPIDEMI SIR UNTUK MENGETAHUI LAJU PENYEBARAN PENYAKIT INFLUENSA TIPE A
TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh: INDRA ARRAZY NIM : 201010060311160
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2014
LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir Kajian Matematika Murni
ANALISIS DINAMIK PADA MODEL EPIDEMI SIR UNTUK MENGETAHUI LAJU PENYEBARAN PENYAKIT INFLUENSA TIPE A
TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh: INDRA ARRAZY NIM : 201010060311160
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2014 i
iii
v
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i LEMBAR PERSETUJUAN............................................................................. ii LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................... iii HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN .................................................. iv KATA PENGANTAR .....................................................................................v HALAMAN MOTTO .................................................................................... vi HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... vii ABSTRAK .................................................................................................... vii ABSTRACT ................................................................................................... ix DAFTAR ISI ....................................................................................................x DAFTAR TABEL ......................................................................................... xii DAFTAR GAMBAR ................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................ xiv BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................... 3 1.3 Pembatasan Masalah ........................................................................... 4 1.4 Tujuan Penelitian ................................................................................. 4 1.5 Manfaat Penelitian ............................................................................... 4 BAB II
Tinjauan Pustaka
2.1 Virus Influenza tipe A .......................................................................... 5 2.2 Persamaan Diferensial .......................................................................... 6 2.3 Persamaan Diferensial Nonlinear ......................................................... 8 2.4 Sistem Persamaan Diferensial Biasa .....................................................9 2.5 Sistem Dinamik dan Sistem Otonomus ...............................................10 2.6 Analisis Dinamik pada Model Epidemi SIR .......................................11 2.6.1 Titik Kesetimbangan ..................................................................11 2.6.2 Kesetabilan Titik Kesetimbangan Sistem Otonomus Linear .....12
x
2.6.3 Linearisasi Sistem Otonomus Nonlinear ....................................13 2.6.4 Kesetabilan Titik Kesetimbangan Sistem Otonomus Nonlinear yang Telah Dilinearisasi ..........................................15 2.7 Model SIR ............................................................................................16 2.8 Angka Reproduksi Dasar ....................................................................16 2.9 Metode Runge-Kutta ...........................................................................17 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Penjabaran Model Epidemi SIR penyakit Influensa tipe A.................19 3.1.1 Perubahan Subpopulasi Individu Rentan.................................20 3.1.2 Perubahan Subpopulasi Individu Terinfeksi ...........................20 3.1.3 Perubahan Subpopulasi Individu Sembuh ...............................21 3.1.4 Penyederhanaan Sistem pada Model Epidemi SIR..................22 3.2 Analisis Titik Kesetimbangan Model Epidemi SIR penyakit influensa tipe A ...................................................................................23 3.2.1 Titik Kesetimbangan model epidemi SIR ................................23 3.2.1.1 Titik kesetimbangan bebas penyakit 3.2.1.2 Titik kesetimbangan endemik
........................24
..................................24
3.2.2 Analisis kestabilan titik kesetimbangan model epidemi SIR ...........................................................................................25 3.2.2.1 Kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit 3.2.2.2 Kestabilan titik kesetimbangan endemi
.......26
...................27
3.3 Simulasi Numerik Model Epidemi SIR Penyakit Influensa tipe A .....29 3.3.1 Simulasi Numerik pada Kondisi
................................29
3.3.2 Simulasi Numerik pada Kondisi
................................31
3.3.3 Simulasi Numerik pada Kondisi
................................33
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan .........................................................................................35 4.2 Saran....................................................................................................36 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 37 LAMPIRAN
xi
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2.1 Kriteria kestabilan titik kesetimbangan sistem otonomus linear .............................................................................................. 12 Tabel 2.2 Kriteria kestabilan titik kesetimbangan sistem otonomus nonlinier ......................................................................................... 15
xii
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 Bentuk kriteria kestabilan titik kesetimbangan sistem otonomus linear ............................................................. 13 Gambar 3.1 Diagram total populasi model Epidemi SIR penyakit Influensa tipe A ......................................................................... 22 Gambar 3.2 Grafik dinamika terhadap jika Gambar 3.3 Grafik dinamika , ,
jika
.......................................... 31
Gambar 3.4 Grafik dinamika terhadap jika Gambar 3.5 Grafik dinamika , ,
................................. 30
jika
................................. 32 .......................................... 32
Gambar 3.6 Grafik dinamika terhadap jika
xiii
................................. 33
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1: Program Matlab Grafik dinamika terhadap jika Lampiran 2: Program Matlab Grafik dinamika , ,
jika
Lampiran 3: Program Matlab Grafik dinamika terhadap jika Lampiran 4: Program Matlab Grafik dinamika , ,
jika
Lampiran 5: Program Matlab Grafik dinamika terhadap jika
xiv
..... 39 .............. 40 ..... 41 .............. 42 ..... 43
DAFTAR PUSTAKA Azmi, Rizal D.. 2012. Analisis Dinamik Model SIR Dengan Masa Inkubasi dan Tingkat Kejadian Infeksi Tersaturasi. Skripsi. Universitas Brawijaya Malang. Baiduri. 2002. Persamaan Diferensial dan Matematika Model. UMM Press: Malang. Boyce, W.E. dan R.C DiPrima. 2008. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth Edition. John Wiley & Sons, Inc. Fathoni, M. Ivan Ariful. 2013. Analisis Dinamik Model Matematika Penyebaran Penyakit Menular Tipe SEIS Melalui Transportasi Antar-Dua Kota. Skripsi. Universitas Brawijaya Malang. Grigorian, A., 2009. Ordinary Differential Equation. University of Bielefeld. Germany. Lebovitz, Norman. 2013. (http://people.cs.uchicago.edu/~lebovitz/eodesnotes.html, diakses tanggal 24 Agustus 2013). Marwan. dan Munzir, Said. 2009. Persamaan Diferensial. Graha ilmu: Yogyakarta Panfilov, Alexander. 2004. Qualitative Analysis of differential Equation. Theoretical Biologi, Utrecht University Rihan, Fathalla A. dkk. 2012. SIR Model of Swine Influenza Epidemic in Abu Dhabi: Estimation of Vaccination Requirement. Journal of Public Health Frontier. Vol. 1 Iss. 4 Tahun 2012: 85-89 Robinson, R. Clark. 2004. An Introduction to Dynamical Systems: Continuous and Discrete. Pearson Prentice Hall: New Jersey Sasongko, Setia Budi. 2010. Metode Numerik dengan Scilab. Andi Offset: Semarang Setiawan, I Made. 2009. Infeksi Virus Influenza A Babi H1N1 Triple-Reasortant (rH1N1) pada Manusia. Majalah Kedokteran Indonesia, Volume:59 No: 11 Syafriati, tatty. 2014. Mengenal Penyakit Influensa Babi. Lokakarya Nasional Penyakit Zoonosis. Bogor
37
Shim, Eunha. 2004. An Epidemic Model With Immigration Of Infectives And Vaccination. Thesis. The University Of British Columbia
38
