LAPORAN TUGAS AKHIR Topik Tugas Akhir : Kajian Matematika Murni SOLUSI NUMERIK DAN ANALISIS GALAT SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-3 DENGAN MENGGUNAKAN METODE SATU LANGKAH (ONE STEP METHOD) DAN METODE BANYAK LANGKAH (MULTI STEP METHOD)
TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh: FAHMIYAH BAHANAN NIM : 201110060311087
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2015
KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, atas segala berkah, rahmat, dah hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul “Solusi Numerik dan Analisis Galat Sistem Persamaan Diferensial Orde-3 dengan Menggunakan Metode Satu Langkah (One Step Method) dan Metode Banyak Langkah (Multi Step Method). Shalawat serta salam semoga tercurah kepada Rosulullah Saw. Tugas akahir adalah kajian teori yang menggunakan studi literatur atau studi kepustakaan, yakni pembahasan yang dilakukan adalah mengkaji teori-teori tentang sistem persamaan diferensial orde-3 dan metode numerik yang relevan. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini dapat terselesaikan berkat bimbingan, bantuan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu dengan ketulusan hati penulis menghaturkan rasa hormat dan terimakasih kepada : 1. Dr. Yus. M. Cholily, M.Si., selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi petunjuk, bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. 2. Drs. Marhan Taufik, M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi petunjuk, bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. Semoga Allah SWT. Menunjukan jalan dan memberikan cahaya-Nya serta melapangkan dada kita dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-Nya. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan. Namun demikian tiada manusia yang sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan untuk menjadikan skripsi itu lebih sempurna. Malang,
Penulis
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i LEMBAR PERSETUJUAN ............................................................................ ii LEMBAR PENGESAHAN .......................................................................... iii SURAT PERNYATAAN ............................................................................... iv MOTTO ...........................................................................................................v PERSEMBAHAN ........................................................................................... vi KATA PENGANTAR ................................................................................... vii ABSTRAK .................................................................................................... viii ABSTRACT .................................................................................................... ix DAFTAR ISI .....................................................................................................x DAFTAR GAMBAR ................................................................................... xiii DAFTAR TABEL ......................................................................................... xiv DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................xv BAB I ................................................................................................................1 PENDAHULUAN ............................................................................................1 1.1 Latar Belakang ............................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah .......................................................................................4 1.3 Batasan Masalah..........................................................................................5 1.4 Tujuan Kajian ..............................................................................................5 1.5 Manfaat Kajian ...........................................................................................6 1.6 Metode Kajian .............................................................................................6 1.7 Definisi Operasional....................................................................................7 BAB II .............................................................................................................10 KAJIAN PUSTAKA .......................................................................................10 2.1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial .......................................................10 2.1.1 Definisi Persamaan Diferensial ....................................................10 2.1.2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial ...............................................11
2.2 Orde dan Pangkat Persamaan Diferensial .................................................12 2.2.1 Persamaan Diferensial Orde-1 .....................................................12 2.2.2 Persamaan Diferensial Orde-2 ......................................................13 2.2.3 Persamaan Diferensial Orde-3 ......................................................13 2.3 Persamaan diferensialo Linear ..................................................................14 2.3.1 Definisi Persamaan Diferensial Linear .........................................14 2.3.2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Linear ....................................15 2.4 Persamaan Diferensialo Linear Orde-3 .....................................................15 2.4.1 Bentuk Persamaan Diferensial Linear Orde-3 ..............................15 2.4.2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Orde-3....................................16 2.4.3 Solusi Persamaan Diferensial Orde-3`..........................................17 2.5 Sistem Persamaan Diferensial ...................................................................20 2.5.1 Sistem Persamaan Diferensial Homogen Orde-3 dengan Koefisien konstan ...................................................................................................20 2.5.2 Solusi Sistem Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde-3 Koefisen Konstanta................................................................................21 2.6 Metode Numerik dalam Persamaan Diferensial ......................................23 2.6.1 Masalah Nilai Awal pada Persamaan Diferensial .......................23 2.6.2 Metode Satu Langkah ...................................................................25 2.6.3 Metode Banyak Langkah ..............................................................28 2.7 Kesalahan/Galat ........................................................................................40 2.7.1 Galat pada Metode Heun ..............................................................42 2.7.2 Galat pada Metode Adams Bashforth Moulton ............................43 2.8 Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari ....................................................43 BAB III ...........................................................................................................45 PEMBAHASAN .............................................................................................45 3.1 Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensialo Orde-3 dengan Metode Heun ...............................................................................................................45
3.1.1 Contoh Penyelesaian Solusi Numerik SPD Orde-3 dengan Metode Heun ...............................................................................................................46 3.1.2 Langkah-Langkah Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensial Orde-3 dengan Metode Heun ..........................................................................64 3.1 Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensialo Orde-3 dengan Metode Adams Bashforth Moulton ..............................................................................65 3.1.1 Contoh Penyelesaian Solusi Numerik SPD Orde-3 dengan Metode Adams ............................................................................................................66 3.1.2 Langkah-Langkah Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensial Orde-3 dengan Metode Heun ..........................................................................77 BAB IV ..........................................................................................................78 KESIMPULAN DAN SARAN .......................................................................78 4.1 Kesimpulan ...............................................................................................78 4.1.1 Langkah-Langkah Penyelesaian Solusi Numerik dan Analisis Galat Sistem Persamaan Diferensial Orde-3 dengan Menggunakan Metode Heun ...............................................................................................................78 4.1.2 Galat Sistem Persamaan Orde-3 dengan Metode Heun dan Metode Adams ............................................................................................................81 4.1.3 Kelebihan dan Kekurangan Penggunaan Metode Heun dan metode pada Sistem Diferensial Orde-3 ...............................................................................81 4.2 Saran ..........................................................................................................82 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................83 LAMPIRAN ....................................................................................................85
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1
Tafsiran geometri metode Heun ............................................... 27
Gambar 2.2
Pembentukan persamaan prediktor metode Adams ................ 29
Gamabr 2.3
Pembentukan persamaan korektor metode Adams................... 35
DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Hasil penghitungan galat metode Heun .......................................... 64 Tabel 3.2 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 metode Heun ..................................................................... 68 Tabel 3.3 Penghitungan 𝑦𝑖𝑣 metode Heun ........................................................ 71 Tabel 3.4 Penghitungan galat prediktor dan korektor metode Adams ............ 74 Tabel 3.5 Perbandingan galat metode Heun dan Metode Adams .................... 76
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran A Penghitungan prediktor, korektor, dan galat metode Heun .... 85 Lampiran B Penghitungan pediktor, korektor, dan galat metode Adams .... 87
i
2
DAFTAR PUSTAKA Annin, S. A., & Goode, S. W. (2008). Differential Equation and Linear. Canada: Perason education. Awrejcewicz, J. (2014). Ordinary differential Equation and Mechanical Systems. Lodz, Poland: Springer. Baiduri. (2001). Persamaan Diferensial. Malang: UMM-Press. Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis. USA: BooZZ.org. Dafia. (2006). Kestabilan Metode Runge Kutta dengan Metode Adams pada Penyelesaian Diferensial biasa. Skripsi S1 Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang. Dukkipati, R. V. (2010). Numerical Method. Newdhelhi: New Age International Publishers. Elfita. (2010). penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua dengan menggunakan metode Runge Kutta orde empat,. Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equation. India. Johnson, R. (2012). Second-Order Ordinary Differential Equations. Kamari. (2008). penyelesaian numerik masalah nilai batas pada persamaan diferensial orde dua berbasis komputasi. Yogyakarta: UIN Yogyakarta. Munir, R. (2003). Metode Numerik. Bandung: Informatika. Rachmatin, D. (2005). Metode Numerik dengan Pedeketan Algoritmik. Bandung: Sinar Baru Algensindo. Redjeki, D. S. (2009). MA2271 Metoda Matematika. Bandung. Rheni. (2013). Solusi Numerik dan Analisis Galat Sistem Persamaan Diferensial Orde-2 dengan one step method dan multi step method. Malang: Universitas Muhammadiyah Malang. Salusu, A. (2008). Metode Numerik Dilengkapi dengan Animasi matematika dan Panduan singkat Maple. jakarta: Graha Ilmu. Waluya, B. (2006). Persamaan diferensial. Semarang. Zill, D. G. (2012). A First Course in Differential Equations with Modelling Application. USA: Brooks/Cole Cengange Learning. Triatmodjo, B. (2002). Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.
Oktaviani, d. (2014). Penyelesaian numerik sistem persamaan diferensial non linear dengan metode Heun pada Lotka-Voltera. Sheikhani, d. (2011). Solution to system of pastial fraction differential equation using the fraction exponential operator.
