LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir : Kajian Matematika Murni
PENERAPAN PROSES ORTHOGONALISASI GRAM-SCHMIDT DALAM MEMBENTUK FAKTORISASI QR
TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
oleh : WILDA QONITA NIM : 201110060311054
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2015
i
LEMBAR PERSETUJUAN
Tugas Akhir dengan Judul: PENERAPAN PROSES ORTHOGONALISASI GRAM-SCHMIDT DALAM MEMBENTUK FAKTORISASI QR
oleh: WILDA QONITA NIM: 201110060311054
telah memenuhi persyaratan untuk dipertahankan di depan Dewan Penguji dan disetujui pada tanggal 21 April 2015
Menyetujui,
ii
LEMBAR PENGESAHAN
Dipertahankan di depan Dewan Penguji Tugas Akhir Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang dan Diterima untuk Memenuhi Persyaratan Memperoleh Gelar Sarjana (S1) Pendidikan Matematika pada Tanggal: 24 April 2015
Mengesahkan: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang
iii
SURAT PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama
: Wilda Qonita
Tempat tanggal lahir : Gresik, 21 Juni 1993 NIM
: 201110060311054
Fakultas
: Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi
: Pendidikan Matematika
Dengan ini menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa: 1.
2.
3.
Skripsi dengan berjudul “Penerapan Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam Membentuk Faktorisasi QR” adalah hasil karya saya, dan dalam naskah skripsi ini tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik di suatu Perguruan Tinggi, dan tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, baik sebagian atau keseluruhan, kecuali secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan atau daftar pustaka. Apabila ternyata di dalam naskah skripsi ini dapat dibuktikan terdapat unsur-unsur plagiasi. Saya bersedia skripsi ini digugurkan dan gelar akademik yang telah saya peroleh dibatalkan, serta diproses dengan ketentuan hukum yang berlaku. Skripsi ini dapat dijadikan sumber pustaka yang merupakan hak bebas royalty non eksklusif.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya untuk dipergunakan sebagaimana mestinya. Malang, 18 April 2015
iv
MOTTO
Tidak ada perjuangan tanpa pengorbanan Tidak ada keberhasilan serta kesuksesan tanpa do’a dan kesabaran
Apapun masalahnya jangan pernah menyerah “Perjuangan” terasa indah setelah kita melewatinya
“Siapa yang tetap membaca istighfar (minta ampun), Allah akan melepaskan dari segala kesukaran dan melapangkan segala kesempitan dan memberinya rizqi yang tidak terhitung (tidak terduga-duga)” (H.R. Abu Dawud)
“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya” (QS. Al-Baqarah : 286)
“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan” (QS. Al-Insyirah : 5)
Tidak ada kemudahan kecuali Allah yang bisa menjadikan kesulitan itu menjadi mudah dan yang menjadikan kesukaran itu Allah yang akan memudahkannya
Jalani hidup dengan rasa syukur, hiasi dengan senyuman dalam keistiqomahan. Alhamdulillah…
v
PERSEMBAHAN
Rasa syukur kepada Allah SWT yang memberikan rahmat-Nya, nikmat-Nya serta hidayah-Nya dan Rasulullah SAW yang memberikan petunjuk ke jalan yang terang dan benar sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini. Kupersembahkan skripsi ini untuk : 1. Ayah, A. Roib, S.Pd 2. Ibu, Dra. Fuadah 3. Adik, Nurus Syamsiyah Dan kupersembahkan ucapan terima kasih kepada : Ibu dan Ayah, kedua orangtua yang sangat saya sayangi, terima kasih atas semua yang telah diberikan dengan tulus ikhlas membesarkan, menyayangi, membimbing, memberikan nasihat, mendo’akan, mendukung serta berkorban untuk kebaikan masa depan anaknya. Saudara-saudara keluarga saya, Adikku, dan Partnerku. Terima kasih atas kasih sayang, dukungan semangat, nasihat, motivasi serta do’a yang diberikan dari kalian semua. Sahabat-sahabatku, Gustivani Putri Cahya dan Lumintang Megasari Karno, terima kasih atas motivasi, semangat dan kebersamaannya selama ini dengan saling membantu, menghibur dikala suka maupun duka. Teman-teman kelas Matkom’A 2011 dan teman-teman seperjuangan yang selalu bersama-sama diwaktu bimbingan dengan saling memberikan dukungan semangat, serta semua teman-teman pendidikan matematika angkatan 2011. KomplotanSMP-ku serta teman-teman maupun pihak yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu. Terima kasih atas do’a serta semangatnya.
vi
KATA PENGANTAR
ﺑﺴﻢﷲﺍﻟﺮﺣﻤﻦﺍﻟﺮﺣﻴﻢ Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT yang memberikan rahmat-Nya, nikmat-Nya serta hidayah-Nya, dan shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada Nabi Muhammad, Rasulullah SAW yang memberikan petunjuk ke jalan terang dan benar sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul “Penerapan Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam Membentuk Faktorisasi QR”. Tugas Akhir ini merupakan metode kajian dengan mempelajari studi literatur pada pokok bahasan yang berhubungan dengan pembahasan. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini dapat diselesaikan berkat bimbingan, bantuan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu dengan ketulusan hati penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih kepada : 1. Dra. Siti Inganah, M.M.,M.Pd., selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberikan petunjuk, bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga Tugas Akhir ini terselesaikan. 2. Dr. Dwi Priyo Utomo, M.Pd., selaku dosen pembimbing II yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberikan petunjuk, bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga Tugas Akhir ini terselesaikan. Semoga Allah SWT menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-Nya, serta melapangkan dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-Nya. Penulis berharap semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan. Namun demikian tiada manusia yang sempurna, oleh karena itu dengan kerendahan hati, kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan untuk menjadikan Tugas Akhir ini lebih sempurna.
Malang, 18 April 2015
Penulis
vii
DAFTAR ISI
Halaman Judul.................................................................................................
i
Lembar Persetujuan.........................................................................................
ii
Lembar Pengesahan........................................................................................
iii
Surat Pernyataan.............................................................................................
iv
Motto...............................................................................................................
v
Persembahan...................................................................................................
vi
Kata Pengantar................................................................................................
vii
Abstrak............................................................................................................
viii
Daftar Isi.........................................................................................................
x
Definisi Simbol...............................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN..............................................................................
1
1.1 Latar Belakang....................................................................................
1
1.2 Rumusan Masalah...............................................................................
5
1.3 Pembatasan Masalah...........................................................................
5
1.4 Tujuan Kajian......................................................................................
5
1.5 Manfaat Kajian....................................................................................
5
1.6 Sistematika Penulisan.........................................................................
6
1.7 Definisi Operasional...........................................................................
7
BAB II TINJAUAN PUSTAKA....................................................................
9
2.1 Matriks................................................................................................
9
2.1.1 Definisi Matriks.........................................................................
9
2.1.2 Jenis-jenis Matriks.....................................................................
9
2.1.3 Transpose Matriks......................................................................
12
2.1.4 Invers Matriks............................................................................
12
2.2 Basis....................................................................................................
13
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen.............................................................
15
2.4 Diagonalisasi Matriks.........................................................................
23
x
2.4.1 Diagonalisasi Matriks Simetri....................................................
28
2.5 Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt...............................................
29
2.6 Faktorisasi QR.....................................................................................
32
2.7 Solusi Kuadrat Terkecil......................................................................
34
BAB III PEMBAHASAN...............................................................................
36
3.1 Penerapan Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam Membentuk Faktorisasi QR................................................................
36
3.2 Penerapan dari Faktorisasi QR dalam Mencari Solusi Kuadrat Terkecil...............................................................................................
44
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN.......................................................
47
4.1 Kesimpulan.........................................................................................
47
4.2 Saran...................................................................................................
48
DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................
49
xi
DEFINISI SIMBOL
: Nilai eigen
A
: Matriks A
P
: Matriks P : Vektor eigen dari matriks P yang mendiagonalisasi matriks A
D
: Matriks diagonal
P 1
: Invers matriks P
Ann
: Matriks A berorde n n : Sama dengan
PT
: Transpose matriks P
AT , At , A'
: Transpose matriks A
I
: Matriks identitas : Vektor x : Vektor nol
Q
: Matriks Q dengan kolom-kolom yang ortonormal
R
: Matriks R yang merupakan matriks segitiga atas : Vektor b : Vektor v ke-n : Ruang hasil kali dalam
〈
〉
: Ruang hasil kali dalam vektor v baris ke-i dengan kolom ke-j : Tidak sama dengan : Delta baris ke-i kolom ke-j yang merupakan hasil dari ruang hasil kali dalam vektor u
xii
: Normalisasi ‖ ‖
: Normalisasi dari vektor v ke-i : Vektor u ke-n : elemen matriks A baris ke-i kolom ke-j : elemen matriks A baris ke-n kolom ke-n
B
: Matriks B
C
: Matriks C
L
: Matriks segitiga bawah
U
: Matriks segitiga atas
M
: Matriks M
MT
: Transpose matriks M : elemen matriks B baris ke-i kolom ke-j
A 1
: Invers matriks A
B 1
: Invers matriks B : Koefisien k ke-n : Anggota himpunan : Vektor a ke-n : Lebih besar dari : Koefisien k baris ke-m kolom ke-n : Koefisien l ke-m : Kurang dari atau sama dengan
det /
: Determinan
p ( )
: Polinom karakteristik dari nilai eigen : Koefisien ke-n xiii
t
: Skalar
Pnn
: Matriks P berorde n n : elemen matriks P baris ke-n kolom ke-n
n
: elemen matriks diagonal yang merupakan nilai eigen ke-n : Vektor p ke-n
W
: Matriks W : Vektor w ke-n : Vektor q ke-n : elemen matriks R baris ke-1 kolom ke-1 : elemen matriks R baris ke-k kolom ke-k, untuk k = 2, … , n : elemen matriks R baris ke-n kolom ke-n
: Jumlah
xiv
DAFTAR PUSTAKA
Anestasia, M. (2007). Tugas Akhir. Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum untuk Membangun Frame Parseval, 19. Anton, H. (2000). Elementary Linear Algebra Eighth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. …………. (2005). Elementary Linear Algebra Ninth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Arrumi, M. R. (2010). Skripsi Sarjana Matematika. Diagonalisasi Matriks Simetri dan Penerapannya pada Persamaan Kuadrat, iii. 'Imrona, M. (2013). Aljabar Linear Dasar. Bandung: Erlangga. Islamiyah, N. (2009). Skripsi. Aplikasi Diagonalisasi Matriks Untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip Pada Generasi Ke-n, vi. Leon, S. J. (1998). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga. …………. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga. Mursita, D. (2010). Aljabar Linear. Bandung: Rekayasa Sains. Rahmah, S. (2007). Skripsi. Penerapan Diagonalisasi Matriks dalam Menyelesaiakan Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde-n, i. Rahman, T. (2010). Aproksimasi Terbaik dan Solusi Kuadrat Terkecil. Dipetik April 13, 2015, dari https://triza09.wordpress.com/2010/12/30/aproksimasi -terbaik-dan-solusi-kuadrat-terkecil/ Rianthi, R. (2010). Aproksimasi Terbaik & Kuadrat Terkecil. Dipetik April 30, 2015, dari https://ratnarianthi.wordpress.com/2010/12/29/aproksimasiterbaik-kuadrat-terkecil/ Ruminta. (2009). Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier. Bandung: Rekayasa Sains. Salaki, D. T. (2008). Solusi Masalah Kuadrat Terkecil Menggunakan Transformasi Householder, Vol. 8, No. 1, April, 2008. Selamed. (2008). Skripsi. Diagonalisasi Secara Uniter pada Matriks Hermite, vi. Sidi, P. (2010). Analisis Materi Modul untuk Pengembangan Buku Materi Aljabar Linear Elementer II. Laporan Penelitian Keilmuan Mandiri Pengayaan Bahan Ajar, 16. Supranto, M. A. (2003). Pengantar Matrix. Jakarta: PT Rineka Cipta. Sutojo, T. (2010). Teori dan Aplikasi Aljabar Linier dan Matriks. Semarang: C.V ANDI OFFSET. Yunita, V. N. (2013). Solusi Numerik Persamaan Difusi Anisotropik. Dipetik Februari 2, 2015, dari http://eprints.undip.ac.id/38570/1/Jurnal.pdf
49
