Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika. Oleh: Margareta Inke Mayasari NIM :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Oleh: Margareta Inke Mayasari NIM : 023214002

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007


ii


iii


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

" Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya " ( Matius 21:22)

PERSEMBAHAN :

"Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah dan Ibuku serta kakakku mas Robert yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang hidupku"

iv


PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan secara numerik terhadap batas terendah nilai perbandingan antara suhu Debye dan suhu kristal yang digunakan dalam perhitungan panas jenis Debye satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0. Hasil perhitungan secara numerik menunjukkan bahwa untuk

θD

θD T

< xk nilai integral I bergantung pada suhu T , sedangkan untuk

≥ xk nilai integral I konstan. Nilai xk untuk satu dimensi adalah xk ≥ 19 , untuk T dua dimensi xk ≥ 22 , dan untuk tiga dimensi adalah xk ≥ 25 .

v


CALCULATION OF THE RATIO VALUE LOWER LIMIT BETWEEN DEBYE AND CRYSTAL TEMPERATURES NUMERICALLY FOR DETERMINING THE TEMPERATURE EFFECT ON THE CRYSTAL SPECIFIC HEAT ABSTRACT

The calculations of the ratio value lower limit between Debye temperature and crystal temperature which is used on the calculation of the Debye heat specific for one, two, and three dimension(s) have been performed numerically by using Mathematica 5.0 package program. The numerical results show that the values of the

θD

< xk are depend on the temperature (T), meanwhile for

θD

≥ xk the T T values of the I are constants. The values of the xk are xk ≥ 19 , xk ≥ 22 , and xk ≥ 25 corresponding to one, two, and three dimension (s) respectively. integral I for

vi


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Yesus Kristus atas segala kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini

berjudul

:

”PERHITUNGAN

BATAS

TERENDAH

NILAI

PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah

banyak

meluangkan

waktu

untuk

membimbing,

mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini. 2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

vii


3. Kakakku tercinta mas Robert yang selalu memberikan semangat dan doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini. 4. Erig yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan, semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini. 5. Adik sepupuku Wahyu dan Angga yang senantiasa memberikan dukungannya. 6. Mbak Asti dan mas Anto yang selama ini telah memberikan dukungannya. 7. Temen-teman kosku terutama Chika, Jule dan Anis yang selalu memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku serta menemaniku mengerjakan skripsi. 8. Temen-teman fisika yang selama bertahun-tahun selalu berjuang bersamaku. 9. Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa. 10. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan pengajaran dan pendampingan. 11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih atas segala bantuannya.

viii


Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun dari berbagai pihak. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan khususnya pembaca.

Yogyakarta, Juni 2007

Penulis

ix


x


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………..............................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………….....

ii

HALAMAN PENGESAHAN .…………………………………………..

iii

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......………………….

iv

ABSTRAK ……………………………………………………………….

v

ABSTRACT ……………………………………………………………..

vi

KATA PENGANTAR …………………………………………………...

vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………….

x

DAFTAR ISI …………………………………………………………….

xi

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………

xiv

BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….

1

1.1. Latar Belakang ………………………………………………….

1

1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….

4

1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..

5

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………

5

1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...

5

1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….

6

1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...

6

BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...

7

xi


2.1. Panas Jenis Zat Padat ……………………………………………

7

2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik ………………………………

9

2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein …………………………….

13

2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye……………………………….

16

2.4.1. Panas Jenis Zat Padat Dalam Satu Dimensi ……………...

17

2.4.2. Panas Jenis Zat Padat Dalam Dua Dimensi ......................

18

2.4.3. Panas Jenis Zat Padat Dalam Tiga Dimensi ….………….

20

2.5. Integrasi Numerik Dengan Menggunakan Mathemetica 5.0…….

23

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………….

24

3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….

24

3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..

24

3.3. Langkah-Langkah Penelitian ……………………………………

24

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………….

26

4.1. Hasil Integrasi Numerik …………………………………………

26

4.1.1. Panas Jenis Zat Padat Satu dimensi ……………………...

26

4.1.2. Panas Jenis Zat Padat Dua Dimensi ...................................

27

4.1.3. Panas Jenis Zat Padat Tiga Dimensi ……………………..

28

4.2. Pembahasan ……………………………………………………..

29

BAB V. PENUTUP ……………………………………………………...

33

5.1. Kesimpulan ……………………………………………………...

33

5.2. Saran …………………………………………………………….

34

xii


DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………… LAMPIRAN A LAMPIRAN B LAMPIRAN C

xiii

35


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1

Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T

1

Gambar 1.2

Panas Jenis Cu pada volume tetap dengan

3

θ E = 240 K Gambar 4.1

Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal satu dimensi

27

Gambar 4.2

Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal dua dimensi

28

Gambar 4.3

Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal tiga dimensi

29

Gambar 4.4

Gabungan grafik satu dimensi, dua dimensi dan

32

tiga dimensi

xiv


BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Dalam fisika diketahui ada tiga model atau teori mengenai panas jenis suatu zat padat, yaitu teori Klasik, teori Einstein dan teori Debye. Menurut teori Klasik nilai panas jenis suatu zat padat pada volume tetap (cv ) tidak bergantung pada suhu (T ) . Dengan kata lain, panas jenis suatu zat pada volume tetap menurut teori Klasik adalah

cv = 3R

(1.1)

dengan R tetapan gas umum ( R = 8.31×10 3 J / kmol K = 1.99 kcal / kmol K). Berdasarkan hasil eksperimen, nilai panas jenis suatu zat pada volume tetap bergantung pada suhu atau secara matematis dapat dituliskan

cv ≡ cv (T ) .

(1.2)

Sebagai contoh, panas jenis Cu berdasarkan hasil eksperimen (Omar, 1975) diperlihatkan pada Gambar 1.1

6

Cv cal/g mol, K

5 4 Cu: E =2 40 K

3 2 1 100

200

300

T, K

Gambar 1.1 Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T

1


Dari gambar 1.1 terlihat bahwa nilai c v pada suhu tinggi mendekati 3R (sesuai dengan teori Klasik), tetapi pada suhu rendah nilai c v sangat bergantung pada T . Untuk mengatasi kelemahan teori Klasik tersebut, Einstein merumuskan teori panas jenis pada volume tetap dengan menganggap (mengandaikan) bahwa zat padat tersusun dari atom-atom yang bergetar secara bebas (independen) disekitar titik kesetimbangannya satu dengan yang lainnya. Dengan asumsi tersebut, Einstein memperoleh energi rata-rata sebesar (Omar, 1975) : ∞

E=

∑E

n=0

∞

n

∑e

e − En / kT (1.3) − E n / kT

n=0

1⎞ h ⎛ dengan E n = ⎜ n + ⎟ hω E ( h tetapan Planck tereduksi, h = dan ω E frekuensi 2⎠ 2π ⎝ getar), sehingga (Sears dan Salinger, 1975) ∂E ⎛θ ⎞ = 3R ⎜ E ⎟ cv = ∂T ⎝T ⎠

2

(e

eθ E / T θE / T

)

−1

2

.

(1.4)

Pada suhu tinggi nilai c v menurut teori Einstein mendekati nilai 3R (sesuai teori Klasik) dan pada suhu rendah (Omar, 1975) ⎛θ ⎞ c v = 3R ⎜ E ⎟ e −θ E / T ⎝T ⎠ 2

dengan θ E suhu Einstein.

2

(1.5)


6

Cv cal/g mol, K

5 4 Cu: E =2 40 K

3 2 1 100

200

300

T, K

Gambar 1.2 Panas jenis Cu pada volume tetap dengan θ E = 240 K

Jika dibandingkan nilai cv

menurut teori Einstein terhadap hasil

eksperimen untuk Cu dengan θ E = 240 K maka terlihat bahwa nilai c v berdasarkan perhitungannya teori Einstein untuk T << 200 K kurang sesuai dengan hasil eksperimen (Gambar 1.2). Kelemahan teori Einstein tersebut diperbaiki oleh Debye, yang mengasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan volume V (Suwitra, 1989). Suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi frekuensi yang kontinu pada interval frekuensi ω sampai ω + dω . Tenaga kontinum elastis Debye diberikan oleh (Omar, 1975) E = ∫ E (ω ) g (ω ) dω ,

dengan g (ω ) adalah rapat modus, dan E =

hω

e

hω / kT

−1

(1.6)

adalah energi rata-rata atom

kristal. Rapat modus g (ω ) untuk kontinum elastik volume V diberikan oleh

3


g (ω ) =

L3 ω 2 2π 2 v s3

(1.7)

dengan L panjang rusuk volume V, ω frekuensi kontinum elastik, dan v s kecepatan gelombang. Sehingga persamaan (1.6) dapat dituliskan menjadi E=

Jika didefenisikan x =

ωD

3V 2π 2 v s3

hω 3

∫e ω

h / kT

0

−1

dω .

(1.8)

hω kθ hω , x D = D , dan kθ D = hω D atau ω D = D ( θ D kT kT h

adalah suhu Debye), maka panas jenis pada volume tetap diberikan oleh cv =

∂E ∂T

⎛T = 9 R ⎜⎜ ⎝θD

⎞ ⎟⎟ ⎠

3 x D

x4 ex

∫ (e

x=0

x

)

−1

2

dx .

(1.9)

1.2. Perumusan Masalah

Dari persamaan (1.9) terlihat bahwa nilai integral

I=

xD

x4 ex

∫ (e

x =0

untuk suhu rendah (T << θ D ) adalah

x

)

−1

2

dx

(1.10)

4π 4 (suatu konstanta). Secara umum hasil 15

integral persamaan (1.10) masih merupakan fungsi θ D dan T atau I ≡ I (θ D , T ) .

Yang menjadi permasalahan adalah berapa batas terendah nilai integral persamaan (1.10) untuk suhu rendah (T << θ D ) terpenuhi.

4

(1.11)

θD T

agar hasil


1.3. Batasan Masalah

Masalah yang diteliti dalam penelitian ini dibatasi pada masalah 1. Penentuan batas terendah nilai

θD T

agar hasil integral persamaan (1.9)

untuk suhu rendah terpenuhi. 2. Implikasi batas terendah nilai

θD T

terhadap panas jenis Debye pada

panjang tetap, luas tetap dan volume tetap.

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian 1.4.1. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk: 1. Menentukan batas terendah nilai

θD T

agar hasil integral pada

persamaan (1.10) untuk suhu rendah terpenuhi. 2. Mengetahui implikasi batas terendah nilai

θD T

terhadap panas jenis

suatu zat pada panjang tetap, luas tetap dan volume tetap (cv ) .

1.4.2. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan terhadap panas jenis pada panjang tetap, luas tetap dan volume tetap dan kaitannya dengan suhu Debye θ D dan T .

5


1.5. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut: BAB I. PENDAHULUAN Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Dalam Bab II dijabarkan teori panas jenis zat padat menurut teori Klasik, Einstein, dan Debye. BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan langkah-langkah penelitian. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian secara numerik serta pembahasannya BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.

6


BAB II DASAR TEORI

2.1. Panas Jenis Zat Padat Zat padat terbentuk dari atom-atom (berupa ion atau atom netral) atau molekul yang sangat tersusun dengan posisi sangat berdekatan. Energi zat padat dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu energi termal dan energi lain. Energi lain dapat berasal dari energi kinetik, energi potensial listrik, energi potensial magnetik energi rotasi, energi potensial gravitasi, dll. Perubahan energi termal tiap satu satuan perubahan suhu disebut kapasitas panas C (Suwitra, 1989)

C=

∂E . ∂T

(2.1)

Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis yang didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis, panas jenis dituliskan sebagai

c=

1 ∂E m ∂T

(2.2)

dengan c panas jenis ( satuan J / kmol atau kcal / kmol K) dan m adalah besarnya massa satu mol zat. Jika suatu sistem bekerja pada volume tetap, maka panas jenis itu disebut panas jenis pada volume tetap ( c v ), secara matematis dituliskan

cv =

1 m

⎛ ∂E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ v

(2.3)

Menurut hukum I termodinamika, jika sejumlah kalor dQ diberikan kepada suatu sistem, maka kalor/energi tersebut dapat digunakan oleh sistem

7


untuk mengubah energi dalamnya (dU ) dan untuk melakukan sejumlah kerja

(dW ) .

Hukum termodinamika tersebut dapat dituliskan sebagai (Nainggolan,

1978) dQ = dU + dW

(2.4)

Energi dalam sistem ditentukan oleh volume (V ) dan suhu sistem (T ) sehingga (Sears dan Salinger, 1975)

⎛ ∂U ⎞ ⎛ ∂U ⎞ dU = ⎜ ⎟ dT + ⎜ ⎟ dV ⎝ ∂T ⎠ v ⎝ ∂V ⎠ T

(2.5)

Jika persamaan (2.5) disubstitusikan ke persamaan (2.4) maka diperoleh

⎛ ∂U ⎞ ⎛ ∂U ⎞ dQ = ⎜ ⎟ dV + dW ⎟ dT + ⎜ ⎝ ∂V ⎠ T ⎝ ∂T ⎠ v (2.6) Mengingat dW = p dV , persamaan (2.6) dapat dituliskan kembali dalam bentuk ⎧ ⎛ ∂U ⎞ ⎫ ⎛ ∂U ⎞ dQ = ⎜ ⎟ dT + ⎨ ⎜ ⎟ + p ⎬ dV . ⎝ ∂T ⎠ v ⎩ ⎝ ∂V ⎠ T ⎭

(2.7)

Maka kapasitas panas (C ) pada volume tetap (dV = 0 ) diberikan oleh

⎛ ∂Q ⎞ Cv = ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ v

⎛ ∂U ⎞ =⎜ ⎟ . ⎝ ∂T ⎠ v

Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis

(2.8)

(cv )

yang

didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis panas jenis (cv ) pada volume tetap dituliskan

8


cv =

1 ∂Q 1 ⎛ ∂U ⎞ = ⎜ ⎟ m ∂T m ⎝ ∂T ⎠ v

(2.9)

Selanjutnya panas jenis zat padat ditinjau menurut tiga teori, yaitu teori Klasik, teori Einstein, dan teori Debye.

2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik

Menurut teori klasik dengan menggunakan teori kinetik gas, jika suatu kotak yang mempunyai volume V diisi N molekul gas dengan masing-masing molekul memiliki massa m dan bergerak dengan kecepatan v x (searah sumbu x), maka akan terjadi tumbukan antara molekul dengan luasan (A) dinding kotak sehingga perubahan momentum sebelum dan sesudah terjadinya tumbukan adalah

2 m vx . Besarnya perubahan momentum dalam interval v x sampai v x + dv x diberikan oleh (Bradbury, 1984)

Δ p x = 2m A x dn (v x ) v x

(2.10)

dengan x adalah panjang lintasan, dan dn (v x ) adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume sebagai fungsi v x . Perubahan momentum tersebut terjadi dalam interval waktu

Δt =

x . vx

(2.11)

Perubahan gaya yang dihasilkan dalam luasan A akibat terjadinya tumbukan adalah

9


dFx =

Δ px = 2 mA v x2 dn (v x ) . Δt

(2.12)

sehingga ∞

Fx = 2 A m ∫ v x2 dn (v x ) .

(2.13)

0

Nilai v x2 diberikan oleh (Bradbury, 1984) ∞

+∞

2 2 ∫ v x dn (v x ) 2 ∫ v x dn (v x )

v x2 = − ∞+ ∞

∫ dn (v )

=

0

N /V

.

(2.14)

x

−∞

Jika persamaan (2.13) dan (2.14) digabungkan, maka akan diperoleh P=

Fx m N v x2 = A V

(2.15)

dengan P adalah tekanan. Persamaan (2.15) dapat dituliskan dalam bentuk

PV =

2 ⎛1 ⎞ N ⎜ m v2 ⎟ , 3 ⎝2 ⎠

(2.16)

sebab v x2 = v y2 = v z2 dan v 2 = v x2 + v y2 + v z2 . Dengan demikian energi kinetik molekul gas dapat dituliskan menjadi 1 3 m v2 = k T . 2 2

(2.17)

Pada persamaan (2.17) digunakan relasi P V = N k T (Martin, 1986) Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga memiliki energi potensial. Dari persamaan (2.11) dan (2.12) diperoleh relasi

10


dFx =

v x Δp x x

atau

x dFx = Δ v x Δ p x

(2.18)

Besarnya gaya dalam luasan A adalah

( Δt )

(2.19)

x2 dn ( x ) . (Δt ) 2

(2.20)

Δt dFx = 2 m A x dn ( x) x Persamaan (2.19) dapat dituliskan menjadi Δt dFx = 2 m A

Meningat nilai x 2 adalah ∞

x = 2

∫x

2

dn ( x)

−∞

(2.21)

∞

∫ dn ( x)

−∞

sehingga dari persamaan (2.20) diperoleh ∞

2 ∫ x dn ( x)

1

2

x = 2

0

NV

=

⎛∞ ⎞ ⎜ ∫ Δt dFx ⎟ Δt ⎟ m A⎜ ⎝0 ⎠ . NV

(2.22)

Dari persamaan (2.15) diperoleh dP =

dFx . A

Jika ruas kiri dan kanan persamaan (2.23) dikalikan Δx , maka diperoleh

A Δx dP = dFx Δx

A Δx dP = dFx Δt v x

11

(2.23)


atau V dP = v x ∫ Δt dFx

(2.24)

Jika persamaan (2.24) diintegralkan, maka dihasilkan ∞

P V = v x ∫ Δt dFx 0

Jika dimasukkan ke dalam persamaan (2.22) 1 x2 =

=

⎛∞ ⎞ ⎜ Δt dFx ⎟ Δt ⎟ m A⎜∫ ⎝0 ⎠ NV

1 PV / v x Δt mA N / V

PV =

m A N vx 2 x Δt V

N A kT =

kT =

m A N vx 2 x Δt V

m A N vx 2 x Δt N A V

atau 1 1 m A N vx 2 kT = x 2 2 V N A Δt Jika

m A N vx = c , maka persamaan (2.25) menjadi V N A Δt

12

(2.25)


1 1 k T = c x2 2 2 sehingga besarnya energi potensial adalah adalah

(2.26) 1 kT . 2

Dengan demikian besarnya panas jenis c v (satu dimensi) menurut teori klasik ditinjau dari teori kinetik gas adalah sebesar (Omar, 1975)

cv = N A k cv = R .

(2.27)

Untuk panas jenis ( c v ) tiga dimensi cv = 3R Berdasarkan hasil eksperimen (Gambar 1.1) panas jenis zat padat bergantung pada suhu T khususnya pada suhu rendah. Pada suhu tinggi c v mendekati 3R. Oleh sebab itu teori panas jenis klasik masih memiliki kelemahan karena tidak dapat menjelaskan kebergantungan c v terhadap T.

2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein

Menurut teori panas jenis Einstein osilasi zat padat mengikuti statistik Bose-Einstein (Suwitra, 1989). Einstein juga mengajukan asumsi bahwa semua fonon (osilator) memiliki frekuensi yang sama. Tiap atom berprilaku sebagai tiga osilator harmonis yang independen. Menurut mekanika kuantum, tenaga osilator harmonik diberikan oleh (Alonso dan Finn, 1968)

1 ⎞ ⎛ En = ⎜ n + ⎟ h ω , n = 0, 1, 2, 3,... 2 ⎠ ⎝

13

(2.28)


dengan ω frekuensi osilator harmonik, h =

h . Tenaga rata-rata osilator harmonik 2π

diberikan oleh (Omar, 1975) ∞

∑E

n=0

E=

e − En / kT

n

∞

∑e

(2.29) − E n / kT

n=0

Jika dituliskan β =

1 , maka persamaan (2.29) dapat dituliskan kT ∞

∑E

n=0

E=

e − En β

n

∞

∑e

(2.30) − En β

n=0

Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.30) digunakan substitusi ∞

Z = ∑ e − β En

(2.31)

n=0

yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, maka tenaga rata-rata pada persamaan (2.30) menjadi E =−

1 ∂Z ∂ (ln Z ) =− ∂β Z ∂β

(2.32)

Jika persamaan (2.28) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.30) maka diperoleh ∞

Z = ∑e

1⎞ ⎛ − ⎜ n + ⎟ hωβ 2⎠ ⎝

n=0

= e − hωβ / 2

∞

∑e

− nhωβ

n=0

(

= e − hωβ / 2 1 + e − hωβ + e −2hωβ + e −3hωβ + ......

14

)

(2.33)


Jika hωβ > 0 , maka e − hωβ << 1 , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.32) dapat dituliskan menjadi

1 + e −hωβ + e − 2hωβ + e −3hωβ + ... =

1 1 − e − hωβ

Dengan demikian fungsi partisi dapat dituliskan menjadi

Z=

e − hωβ / 2 1 − e − hωβ

(2.34)

Dengan substitusi persamaan (2.34) ke dalam persamaan (2.32) diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar E =−

∂ ( ln Z ∂β

=−

)

∂ ⎛ 1 hωβ ⎞ ⎜ − hωβ − ln 1 − e ⎟ ∂β ⎝ 2 ⎠

(

)

⎞ ⎛ 1 1 ⎟ = hω ⎜⎜ + hωβ − 1 ⎟⎠ ⎝ 2 e

(2.35)

Jika ditinjau osilator tiga dimensi dan ada sejumlah N osilator, maka tenaga total osilator harmonik sebesar

1 ⎛ 1 ⎞ E = 3 N E = 3 N h ω ⎜ + hω / kT ⎟ −1 ⎠ ⎝ 2 e

(2.36)

Kalau ada satu mol zat (kristal), maka N = N A (bilangan Avogadro). Dengan demikian panas jenis c v diberikan oleh

⎛ ∂E ⎞ cv = ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠

15


⎛ hω ⎞ = 3 NA k ⎜ ⎟ ⎝ kT ⎠ ⎛θ ⎞ =3R⎜ E ⎟ ⎝ T ⎠

2

(e

e hω / kT

2

(e

hω / kT

e θ E / kT θ E / kT

−1

−1

)

2

(2.37)

)

2

⎛ hω ⎞ dengan R = N A k dan θ E = ⎜ ⎟ yang dikenal sebagai suhu Einstein. ⎝ k ⎠ Untuk mengetahui daya prediksi panas jenis Einstein tersebut, ditinjau dua keadaan ekstrim yaitu pada suhu rendah dan suhu tinggi. Pada suhu tinggi T >> θ E atau

θE T

<< 1 sehingga e θ E / T ≈ 1 +

θE T

. Jadi panas jenis Einstain pada

suhu tinggi dapat dituliskan 1+

θE

+ ⎛θ E ⎞ + ⎛θ E ⎞ + ... T ⎜⎝ T ⎟⎠ ⎜⎝ T ⎟⎠ 2

3

⎛θ ⎞ cv = 3 R ⎜ E ⎟ 2 2 3 ⎝ T ⎠ ⎛θ ⎞ θ θ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ E E E ⎜⎜ + + + ... ⎟⎟ T ⎜⎝ T ⎟⎠ ⎜⎝ T ⎟⎠ ⎝ ⎠ 2

θ ≈ 3 R ⎛⎜ 1 + E ⎞⎟ T ⎠ ⎝ cv ≈ 3 R Pada suhu rendah T << θ E atau

(2.38)

θE T

>> 1 , sehingga e θ E / T >> 1 . Jika e θ E / T >> 1 ,

maka faktor eθ E / T − 1 ≈ eθ E / T . Jadi panas jenis Einstein pada suhu rendah dapat dituliskan ⎛θ ⎞ c v = 3 R ⎜ E ⎟ e −θ E / T ⎝T ⎠ 2

16

(2.39)


Model panas jenis Einstein hanya cocok untuk suhu tinggi, sedangkan pada suhu rendah kurang sesuai.

2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye

Debye mengembangkan suatu model dengan mengasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan volume V (Suwitra, 1989). Pada model Debye, suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi frekuensi yang kontinu pada interval frekuensi ω sampai ω + dω , dan tenaga total diberikan oleh E=

ωD

∫ g (ω ) E (ω ) dω

(2.40)

0

dengan g (ω ) adalah rapat modus dan ω D adalah frekuensi Debye. Rapat modus didefenisikan

g (ω ) =

dN dω

(2.41)

dengan N adalah jumlah modus.

2.4.1. Panas jenis zat padat dalam satu dimensi

Jumlah modus fonon untuk satu dimensi adalah

N=

L

(2.42)

λ

dengan λ adalah panjang gelombang. Mengingat λ = dapat dituliskan menjadi

17

2π , persamaan (2.42) kλ


⎛ L ⎞ N = ⎜ ⎟ kλ . ⎝ 2π ⎠ Sebab k dapat juga dituliskan sebagai k λ =

N=

(2.43)

ω vs

, maka

L ω . 2π v s

(2.44)

Jadi rapat modus untuk satu dimensi adalah

g (ω ) =

L 2π v s

(2.45)

Dengan menggunakan persamaan (2.44), frekuensi ω untuk gelombang satu dimensi diberikan oleh

ω=

2π v s N L

(2.46)

Dengan demikian tenaga kontinum elastis satu dimensi diberikan oleh

E=∫

ωD

0

g (ω )

Lh E= 2π v s

Jika

ωD =

didefenisikan

ωD

hω

e

hω / kT

∫e ω

ω

h / kT

0

x=

−1

hω , kT

−1

dω

dω

xD =

hω D , kT

(2.47)

dan

kθ D = h ω D

atau

kθ D ( θ D adalah suhu Debye), maka panas jenis c L zat padat satu dimensi h

diberikan oleh

cL =

∂E ∂T

18


=

L k2 T π vs h

xD

x2 ex dx (e x − 1) 2

∫ 0

(2.48)

atau cL ≈ T

(2.49)

2.4.2. Panas jenis zat padat dalam dua dimensi

Jumlah modus fonon dua dimensi 2

⎛ L ⎞ 2 N =⎜ ⎟ kλ ⎝ 2π ⎠

=

L2 ω 2 2π v s2

(2.50)

Sehingga rapat modus diberikan oleh

g (ω ) =

L2 ω , 2π 2 v s2

(2.51)

dan frekuensi ω untuk gelombang dua dimensi diberikan oleh 1

⎛ 2π 2 v s2 N ⎞ 2 ⎟ ω = ⎜⎜ 2 ⎟ L ⎝ ⎠

(2.52)

Jadi tenaga kontinum elastis dua dimensi diberikan oleh

E=2∫

ωD

0

E=

g (ω )

2 L2 h 2π 2 v s2

ωD

hω

e

hω / kT

−1

ω2

∫e ω

h / kT

0

19

−1

dω

dω

(2.53)


Mengingat x =

hω kθ hω , x D = D , dan kθ D = hω D atau ω D = D ( θ D adalah suhu kT kT h

Debye), maka panas jenis zat padat untuk dua dimensi diberikan oleh cA =

∂E ∂T

L2 k 3 = 2 2 2 T2 π vs h

xD

∫ 0

x3 e x dx (e x − 1) 2

(2.54)

atau

cA ≈T 2

(2.55)

2.4.3. Panas jenis zat padat dalam tiga dimensi

Jumlah modus fonon tiga dimensi ⎛ L ⎞ 4π 3 N =⎜ kλ ⎟ ⎝ 2π ⎠ 3 3

L3 ω 3 = 2 3 6π v s

(2.56)

sehingga rapat modus diberikan oleh g (ω ) =

L3 ω 2 , 2π 2 v s3

(2.57)

dan frekuensi ω untuk gelombang tiga dimensi diberikan oleh 1

⎛ 6π 2 v s3 N ⎞ 3 ⎟ ω = ⎜⎜ 3 ⎟ L ⎝ ⎠

20

(2.58)


Jadi tenaga kontinum elastis tiga dimensi dapat dituliskan sebagai

E =3∫

ωD

0

E=

Mengingat x =

g (ω )

3 L3 h 2π 2 v s3

hω

e

hω / kT

ωD

−1

ω3

∫e ω

h / kT

0

−1

dω

dω

(2.59)

hω kθ hω , x D = D , dan kθ D = hω D atau ω D = D ( θ D adalah suhu kT kT h

Debye), maka panas jenis c v untuk zat padat tiga dimensi adalah cv =

∂E ∂T

3L3 k 4 = 2 3 3 T3 2π v s h

xD

∫ 0

x4 ex dx (e x − 1) 2

(2.60)

atau

cv ≈ T 3

(2.61)

Bentuk integrasi numerik yang terdapat dalam panas jenis Debye satu dimensi (persamaan (2.48)), dua dimensi (persamaan (2.54)), dan tiga dimensi (persamaan (2.60)) akan diselesaikan dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0

21


Tabel 2.1 Temperatur Debye (θ D ) untuk beberapa unsur dan senyawa (Omar, 1975)

Unsur / Senyawa θ D (K)

Li

Na

K

Cu

Ag

Au

Al

Ga

Pb

Ge

Si

C

NaCl

KCl

CaF2

LiF

SiO2

335

156

91.1

343

226

162

428

325

102

378

647

1860

280

230

470

680

255

22


2.5. Integrasi Numerik Menggunakan Mathematica 5.0

Bentuk- bentuk integrasi numerik yang ada di dalam persamaan (2.48), (2.54) dan (2.60) akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0. Secara umum penyelesaian integrasi numerik untuk x max

I=

∫ f (x ) dx

dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0 adalah

x min

NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}], dengan f adalah fungsi yang akan diintegralkan , xmin adalah batas bawah, xmaks adalah batas atas, dan NIntegrate adalah perintah yang digunakan untuk mengevaluasi integrasi numeriknya. Selain

itu

ada

juga

penyelesaian

integrasi

numerik

dengan

Table[NIntegrate[f, {x, xmin, y}],{y,ymin,ymaks}], dimana {y,ymin,ymaks} dihitung dahulu nilai integralnya kemudian hasilnya akan digunakan sebagai batas dalam {x, xmin, y}. Contoh 1: In[1]:= NIntegrate[Exp[-x^3], {x, 0, Infinity}] Out[1]= 0.89298 Hasil penyelesaian contoh diatas tersebut hanya untuk satu nilai dalam suatu daerah integral. Contoh 2 : In[2]:= Table[NIntegrate[(x^3)/(Exp[x]-1),{x,0,y}],{y,0,8}] Out[2]= {0.,0.224805,1.17634,2.55222,3.87705,4.89989,5.58586,6.00317,6.23962} Hasil penyelesaian contoh 2 tidak seperti hasil penyelesaian contoh 1. Hasil penyelesaian contoh 2 berupa nilai-nilai hasil integrasi numerik sekaligus dalam interval tertentu untuk nilai x tertentu.

23


BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1. Jenis Penelitian Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah penelitian studi pustaka dan paket program Mathematica 5.0.

3.2. Sarana Penelitian Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan panas jenis zat padat yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3. Langkah – langkah penelitian Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menelusuri bahan – bahan mengenai teori panas jenis Klasik, Einstein dan Debye serta integrasi numerik dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0. 2. Mengelaborasi teori-teori panas jenis Klasik, Einstein dan Debye secara analitik. 3. Menyelesaikan teori panas jenis Debye secara numerik dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0. 4. Batasan angka desimal numerik yang akan diambil untuk panas jenis satu dimensi dan dua dimensi adalah lima digit sedangkan

24


untuk panas jenis tiga dimensi adalah empat digit. Batasan angka desimal numerik yang akan diambil mengikuti paket program Mathematica 5.0. 5. Menentukan batas terendah nilai

θD T

agar hasil integral pada

persamaan (1.10) untuk suhu rendah terpenuhi. 6. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah dilakukan.

25


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil Integrasi Numerik Sebagaimana diketahui dari persamaan (2.48), (2.54) dan (2.60) bahwa panas jenis kristal pada panjang tetap (c L ) , luas tetap (c A ) dan volume tetap (cv ) tergantung pada nilai integrasi I=

xD

∫ f (x ) dx 0

Dengan f (x ) adalah fungsi yang bentuknya bersesuaian dengan dimensi kristal. Dari berbagai studi literatur (Omar, 1975 ; Sears, 1975 ; Mandl, 1988) nilai integral I konstan.

4.1.1. Panas Jenis Zat Padat Satu Dimensi Untuk panas jenis satu dimensi hasil integrasi numerik dari xD

x2 ex ∫0 (e x − 1) 2 dx dapat dilihat pada Lampiran A dan jika hasil integrasi numerik

(Lampiran A) digambar maka hasilnya terlihat pada Gambar 4.1. Dari gambar 4.1 terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah x ≥ 19 . Sedangkan untuk daerah x < 19 nilai I bergantung pada x.

26


I 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x

0 0

10

20

30

40

Gambar 4.1 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal satu dimensi

4.1.2. Panas Jenis Zat Padat Dua Dimensi Seperti halnya panas jenis satu dimensi, untuk panas jenis dua dimensi xD

hasil integrasi numerik dari

x3 e x ∫0 (e x − 1) 2 dx dapat dilihat pada Lampiran B. Jika

hasil integrasi numerik (Lampiran B) digambar maka hasilnya terlihat pada Gambar 4.2. Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah x ≥ 22 . Sedangkan untuk daerah x < 22 nilai I bergantung pada x.

27


I 8 7 6 5 4 3 2 1 x

0

10 20 30 40 0 Gambar 4.2 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal dua dimensi

4.1.3. Panas Jenis Zat Padat Tiga Dimensi Untuk panas jenis satu dimensi hasil integrasi numerik dari xD

x4 ex ∫0 (e x − 1) 2 dx dapat dilihat pada Lampiran C dan jika hasil integrasi numerik

(Lampiran C) digambar maka hasilnya terlihat pada Gambar 4.3. Dari Gambar 4.3 terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah x ≥ 25 . Sedangkan untuk daerah x < 25

nilai I bergantung pada x.

28


I 30

25

20

15

10

5

x

0

10 20 30 40 0 Gambar 4.3 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal tiga dimensi

4.2. Pembahasan

Berdasarkan hasil integrasi numerik yang telah dilakukan terhadap persamaan (2.48), (2.54), dan (2.60) (Lampiran A, B dan C ) terlihat bahwa panas jenis kristal satu dimensi nilai I tetap pada daerah x ≥ 19 , untuk kristal dua dimensi nilai I tetap pada daerah x ≥ 22 , dan untuk kristal tiga dimensi nilai I tetap pada daerah x ≥ 25. Jika nilai x lebih kecil dari nilai-nilai tersebut, maka nilai I bergantung pada x seperti terlihat pada Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3.

29


Berdasarkan nilai-nilai x k yang telah diperoleh, dapat dihitung suhu kristal (satu, dua, dan tiga dimensi) dengan menggunakan relasi berikut: xD =

hω D kT

ωD =

kθ D h

xD =

θD T

Jika nilai x D dan θ D diketahui, maka nilai T dapat diperoleh. Contohnya unsur Li (pada Tabel 2.1) untuk tiga dimensi, θ D = 335 , x D = 25 , nilai T dapat dihitung dengan menggunakan persamaan diatas, yaitu xD =

25 =

θD T

335 T

T = 13.4 K Nilai T yang telah dihitung untuk beberapa unsur dan senyawa berdasarkan relasi xD = θ D

T

dan data Tabel 2.1 disajikan pada Tabel 3.1. Unsur / senyawa

θD

T (K)

Na

156

6.24

Cu

343

13.72

Ag

226

9.04

NaCl

280

11.2

30


Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, jika nilai T <

nilai panas jenis bergantung pada suhu. Tetapi jika nilai T ≥

θD xD

θD xD

maka

maka nilai panas

jenis mendekati klasik. Sebagaimana yang telah diketahui dari buku-buku teks (Omar, 1975 ; Sears, 1975 ; Mandl, 1988) yang memuat panas jenis Debye bahwa nilai integrasi pada persamaan (1.9) adalah sebesar

4π 4 untuk kristal tiga dimensi (suatu 15

konstanta). Dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0 nilai integrasi pada persamaan (1.9) untuk daerah x ≥ 25 adalah sama dengan yang ada di bukubuku teks yaitu

4π 4 . Tetapi untuk x < 25 nilai integral persamaan (1.9) 15

bergantung pada nilai x. Nilai-nilai I tersebut akan mempengaruhi panas jenis Debye, dimana jika pada daerah x ≥ 25 panas jenisnya adalah sebesar 3R (untuk kristal tiga dimensi), sedangkan jika pada daerah x < 25 nilainya tertentu atau dengan kata lain panas jenisnya bukan 3R . Demikian juga dengan panas jenis kristal satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi, yang masing-masing memiliki batas daerah dimana nilai integrasinya mulai konstan. Jika ketiga grafik pada Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3 digabungkan, maka diperoleh gambar grafik seperti terlihat pada Gambar 4.4.

31


30

I

25

20 I (satu dimensi) I (dua dimensi) I (tiga dimensi)

15

10

5

0 0

10

20

30

x 40

Gambar 4.4 Gabungan grafik satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi

Seperti yang telah diketahui bahwa pada panas jenis satu dimensi x ≥ 19 , dua dimensi x ≥ 22 dan tiga dimensi x ≥ 25 . Dari Gambar 4.4 diatas perbandingan x k (batas mulainya nilai I yang konstan) antara panas jenis satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi adalah 19 : 22 : 25. Jadi nilai x k semakin besar jika dimensi kristal yang ditinjau semakin besar.

32


BAB V PENUTUP 5.1. Kesimpulan Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian ini dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut 1. Pada panas jenis zat padat satu dimensi nilai I tetap ( konstan ) pada daerah x ≥ 19 , dua dimensi pada daerah x ≥ 22 dan tiga dimensi pada daerah x ≥ 25 . 2. Nilai I tetap ( konstan ) jika

θD T

≥ x k ( x k adalah batas mulainya

nilai I yang konstan ). Sedangkan untuk

θD T

< x k nilai I

bergantung pada x. 3. Untuk suhu yang sangat rendah khususnya pada daerah x < 19 , x < 22 , dan x < 25 nilai I sangat bergantung suhu (T), pengaruh

suhu terhadap panas jenis zat padat satu dimensi c L ~ T , dua dimensi c A ~ T 2 , dan

tiga dimensi cv ~ T 3 menyebabkan

besarnya panas jenis satu dimensi

c L ~ T I (T ) , dua dimensi

c A ~ T 2 I (T ) , dan tiga dimensi c v ~ T 3 I (T ) .

33


5.2. Saran Saran yang dapat diberikan untuk penyempurnaan dan pengembangan tulisan ini adalah 1. Perlu dilakukan penelitian lanjutan tentang perbandingan hasil integrasi numerik menggunakan paket program Mathematica 5.0

dengan paket

program lainnya. 2.

Untuk suhu yang sangat rendah khususnya pada daerah x < 19 , x < 22 , dan x < 25 nilai I sangat bergantung suhu (T), oleh karena itu nilai I haruslah diperhitungkan karena akan mempengaruhi besarnya panas jenis zat padat satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi.

34


DAFTAR PUSTAKA Alonso, M., dan Finn, E.J., 1986, Quantum and Statistical Physics, United States of America: Addison-Wesley Publishing Company. Bradbury, T. C., 1984, Mathematical Methods with Applications to Problem in the Physical Sciences, Canada: Addison–Wesley Publishing Company. Mandl, F., 1988, Statistical Physics, Manchester : John Wiley & Sons. Martin, M. C., 1986, Elements of Thermodynamics, New Jersey : Prentice – Hall. Nainggolan, W.S., 1978, Thermodinamika, Bandung: Penerbit Armico. Omar, M. A., 1975, Elementary Solid State Physics, Massachussets : Addison– Wesley Publishing Company. Sears, F. W., dan Salinger, G. L., 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing Company. Suwitra, N., 1989, Pengantar Fisika Zat Padat, Jakarta : Depertemen Pendidikan dan Kebudayaan. Zeemansky, M. W., dan Dittman, R. H., 1981, Heat and Thermodynamics, New York : McGraw-Hill Book Company. Wolfram, S., 2007, Mathematica6.0, http://reference.wolfram.com/mathematica/ tutorial/NumericalIntegration.html.

35


LAMPIRAN A Tabel hasil integrasi numerik I =

xD

∫ 0

x2 ex dx untuk kristal satu dimensi (e x − 1) 2

xD

I

0

0

1

0.973033

2

1.80172

3

2.41105

4

2.80667

5

3.03917

6

3.16567

7

3.23055

8

3.26235

9

3.2774

10

3.28433

11

3.28745

12

3.28882

13

3.28942

14

3.28968

15

3.28979

16

3.28984

17

3.28985

18

3.28986

19

3.28987

20

3.28987

21

3.28987

22

3.28987

23

3.28987

24

3.28987

25

3.28987

26

3.28987

27

3.28987

28

3.28987

29

3.28987

30

3.28987


LAMPIRAN B Tabel hasil integrasi numerik I =

xD

∫ 0

x3 e x dx untuk kristal dua dimensi (e x − 1) 2

xD

I

0

0

1

0.479841

2

1.70635

3

3.2106

4

4.57922

5

5.61439

6

6.3034

7

6.72139

8

6.95799

9

7.08497

10

7.15032

11

7.18285

12

7.19859

13

7.20604

14

7.2095

15

7.21107

16

7.21178

17

7.2121

18

7.21224

19

7.2123

20

7.21232

21

7.21233

22

7.21234

23

7.21234

24

7.21234

25

7.21234

26

7.21234

27

7.21234

28

7.21234

29

7.21234

30

7.21234


LAMPIRAN C Tabel hasil integrasi numerik I =

xD

∫ 0

x4 ex dx untuk kristal tiga dimensi (e x − 1) 2

xD

I

0

0

1

0.317244

2

2.20109

3

5.96482

4

10.7319

5

15.3598

6

19.123

7

21.8212

8

23.584

9

24.6565

10

25.2737

11

25.6132

12

25.7933

13

25.886

14

25.9324

15

25.9552

16

25.9661

17

25.9713

18

25.9737

19

25.9748

20

25.9754

21

25.9756

22

25.9757

23

25.9757

24

25.9757

25

25.9858

26

25.9858

27

25.9858

28

25.9858

29

25.9858

30

25.9858


BIOGRAFI

Nama lengkap penulis Margareta Inke Mayasari, lahir di Margodadi, 9 mei 1985, merupakan anak kedua dari pasangan Bapak Hadi Suprapto dan Ibu Maria Sumiyati. Pada waktu SD (tahun 1990) bersekolah di SDN I Margodadi, SMP (1996) bersekolah di SMP Xaverius Pringsewu, SMU (tahun 1999) bersekolah di SMU Xaverius Pringsewu, kemudian pada tahun 2002 melanjutkan jenjang pendidikannya di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta, Fakultas

Matematika

dan

Ilmu

Pengetahuan

Alam,

Jurusan

Fisika.

Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika. Oleh: Margareta Inke Mayasari NIM :

Recommend Documents