PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA AIR. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA AIR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh Julius Sigit Wicaksono NIM : 993114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007

i


MATHEMATICAL MODELLING OF HYDROELECTRIC POWER GENERATION SYSTEM

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathemathics Study Program

By Julius Sigit Wicaksono Student Number : 993114015

STUDY PROGRAM OF MATHEMATHICS DEPARTMENT OF MATHEMATHICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2007

ii




Di Balik Setiap Batu Penghalang Pasti Ada Hikmat Yang Tersembunyi Dan Selalu Ada Pelajaran Yang Mematangkan Mental. Hadapi Dengan Berani Setiap Batu Penghalang

(Wisdom to Success )

SKRIPSI INI KUPERSEMBAHKAN UNTUK KEDUA ORANG TUA KU

v


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,

Agustus 2007

Penulis

Julius Sigit Wicaksono

vi


ABSTRAK

Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air pada bendungan digerakkan oleh suatu generator. Agar generator dapat digerakkan maka diperlukan tinggi yang sesuai pada bendungan tersebut. Dengan mengasumsikan dua bendungan seperti dua sistem bejana, maka model matematika pada dua sistem bejana tersebut adalah ⎛ λ 1K ⎞ h , dengan h (t ) adalah tinggi air pada sistem bejana d 2 h2 (t ) dh2 (t ) 2 ⎟⎟ D + 2ξ ω n + ω n h2 (t ) = ⎜⎜ 2 2 dt

dt

⎝ A1 A2 ⎠

yang terletak dibawahnya, ξ adalah rasio peredam yang baru, hD adalah tinggi air yang sesuai pada sistem bejana, ω n adalah frekwensi alami yang baru, dan A1 , A2 adalah luas penampang sistem bejana. Penyelesaian pada dua bejana ini memiliki tiga kemungkinan nilai rasio peredam baru yang terjadi, yaitu ξ = 1, ξ < 1, dan 0 < ξ < 1 . Untuk menjamin waktu yang dibutuhkan untuk meredamkan gejolak air seperti kelebihan air tidak terlalu lama, maka nilai rasio peredam baru yang sesuai adalah 0 < ξ < 1 .

vii


ABSTRACT

Hydroelectric Power Generation System of dam is generated by a generator. In order to generate a generator, it’s needed a desired demand of the water level of the dams. By assuming two dams like two-vessel system, the mathematical model of 2 two-vessel system is d h22(t ) + 2ξ ω n dh2 (t ) + ω 2 n h2 (t ) = ⎛⎜⎜ λ 1 K ⎞⎟⎟ hD , where h2 (t ) denotes the dt

⎝ A1 A2 ⎠

dt

water level of the lower vessel system, ξ denotes the new damping ratio, h D denotes the desired demand of the water level, ω n denotes the new natural frequency, and A1 , A2 denotes the uniform cross-sectional of the two-vessel system. There are three cases of the solution of this two-vessel system, depending of the new damping ratio such as ξ = 1, ξ < 1, and 0 < ξ < 1 . In order to ensure the settlingdown time such as overshoot is not too large, then the appropriate value of the new damping ratio is 0 < ξ < 1 .

viii


KATA PENGANTAR Dengan telah selesainya penulisan skripsi yang berjudul “Pemodelan Matematika Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air ”, saya mengucapkapkan puji dan syukur atas berkat dan rahmat yang Tuhan Yang Maha Esa. Terutama juga saya mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing saya, Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, yang dengan sabar dan penuh perhatian membantu saya dalam penulisan ini. Selain itu saya juga mengucapkan seluruh dosen dan staf sekretariat Fakultas Sains Dan Teknologi dalam pelayanan membantu saya selama kuliah di Sanata Dharma. Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memenuhi salah satu persyaratan memperoleh gelar sarjana sains program studi matematika Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata Dharma. Saya selaku penulis skripsi ini, menyadari masih jauh dari sempurna, oleh sebab itu saya mengharapkan masukan dari semua pihak untuk lebih sempurnanya tulisan skripsi ini.

Yogyakarta,

Penulis

ix

Juli 2007


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL............................................................................................

i

HALAMAN JUDUL............................................................................................

ii

HALAMAN PERSETUJUAN.............................................................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN..............................................................................

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ..........................................................................

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..............................................................

vi

ABSTRAK ...........................................................................................................

vii

ABSTRACT.........................................................................................................

viii

KATA PENGANTAR .........................................................................................

ix

DAFTAR ISI........................................................................................................

x

DAFTAR TABEL................................................................................................

xiii

DAFTAR GAMBAR ...........................................................................................

xv

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................

1

A. Latar Belakang .........................................................................................

1

B. Rumusan Masalah ....................................................................................

2

C. Pembatasan Masalah ................................................................................

2

D. Manfaat Penulisan....................................................................................

3

E. Metode Penulisan .....................................................................................

3

F. Tujuan Penulisan......................................................................................

3

x


G. Sistematika Penulisan ..............................................................................

4

BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERE NTIAL DAN DERET BINOMIAL .......................................................

6

A. Pemodelan Matematika............................................................................

6

B. Persamaan Diferensial..............................................................................

7

1. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan..................................

11

2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ...........................................

12

3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua............................................

13

4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua .....................................

21

C. Deret Binomial Dan Penerapannya..........................................................

29

1. Usaha Dan Energi ..............................................................................

30

2. Fluida .................................................................................................

31

3. Persamaan Kontinuitas.......................................................................

33

4. Persamaan Bernoulli ..........................................................................

34

5. Teorema Torricelli .............................................................................

35

BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJANA ..

39

A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air .......................................................

44

1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana ......... ........

49

2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana ..............

50

B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air ...................................................

51

1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana .................

58

2. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana ..................

59

xi


3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana ..............

60

BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJANA ....

67

A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya.....................................................................................................

68

B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya.....................................................................................................

79

C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan ................................

99

BAB V PENUTUP..............................................................................................

109

A. Kesimpulan ..............................................................................................

109

B. Saran.........................................................................................................

110

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................

111

xii


DAFTAR TABEL Tabel 2.3.1

Tabel Diferensial Metode Tak Tentu ....................................

Tabel 3.1.1

Berkurangnya Tinggi Air Untuk Aliran Air yang Masuk Sema kin Besar ..............................................................................

Tabel 3.1.2

20

46

Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......................................................................................

47

Tabel 3.1.3

Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar .............

49

Tabel 3.1.4

Tinggi Air Untuk Luas (λ ) Semakin Besar..............................

50

Tabel 3.2.1

Berkurangnya Tinggi Air Untuk (q1 − q 0 ) Semakin Besar.....

53

Tabel 3.2.2

Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......................................................................................

54

Tabel 3.2.3

Bertambahnya Tinggi Air Untuk (q1 − q 0 ) Semakin Besar....

55

Tabel 3.2.4

Bertambahnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......................................................................................

55

Tabel 3.2.5

Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air ...................................

57

Tabel 3.2.6

Tinggi Air Untuk (q1 ) Semakin Besar....................................

59

Tabel 3.2.7

Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar Semakin Besar......................................................................................

Tabel 3.2.8

60

Bertambahnya Tinggi Air Untuk Kontanta Toricelli Semakin Besar........................................................................................ 61

Tabel 4.1.1

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air

xiii


Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...................................... Tabel 4.1.2

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis.................................................

Tabel 4.1.3

82

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis.................................................

Tabel 4.2.3

78

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berlebihan ......................................

Tabel 4.2.2

75

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................

Tabel 4.2.1

73

85

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................

xiv

87


DAFTAR GAMBAR Gambar 2.3.4.1

Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Teredam ..................

27

Gambar 2.3.4.2

Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Tak Teredam ...........

29

Gambar 2.3.2.1

Tekanan Hidrostatis di Titik A, B adalah sama .............

33

Gambar 2.3.3.1

Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................

33

Gambar 2.3.5.1

Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................

35

Gambar 3.1

Fungsi Konstan...............................................................

40

Gambar 3.2

Fungsi Kecepatan ...........................................................

41

Gambar 3.3

Fungsi Percepatan ..........................................................

41

Gambar 3.4

Sistem Bendungan..........................................................

42

Gambar 3.5

Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk.............................

43

Gambar 3.6

Bejana dengan Aliran Air yang Masuk ..........................

44

Gambar 3.1.1

Tinggi Air Bejana tanpa Aliran Air................................

48

Gambar 3.1.2

Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar.........

50

Gambar 3.1.3

Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin Besar...............................................................................

51

Gambar 3.2.1

Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air.............................

57

Gambar 3.2.2

Tinggi Air Bejana Untuk Aliran Air yang Keluar Sema kin Besar .......................................................................

59

Gambar 3.2.3

Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar ......

60

Gambar 3.2.4

Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin Besar...............................................................................

xv

61


Gambar 3.2.5

Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana .........

62

Gambar 4.1

Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk .....................

67

Gambar 4.2

Dua Bejana dengan Aliran air yang Masuk ...................

67

Gambar 4.1.1

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...............................

Gambar 4.1.2

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis..........................................

Gambar 4.1.3

83

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis ........................................

Gambar 4.2.3

78

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berlebihan ..............................

Gambar 4.2.2

76

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berkurang .................................

Gambar 4.2.1

74

85

Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis..........................................

88

Gambar 4.2.4

Rasio Peredam

0 < ξ< 1

...............................................

89

Gambar 4.2.5

Rasio Peredam

0,1 < ξ < 0,5 ...........................................

89

Gambar 4.2.6

Rasio Peredam

0,6 < ξ < 0,9

..........................................

89

Gambar 4.2.7

Rasio Peredam

ξ > 1 ....................................................

90

Gambar 4.2.8

Rasio Peredam

ξ = 1 ....................................................

90

Gambar 4.2.9

Tinggi Air Pada Rasio Peredam ....................................

91

xvi


Gambar 4.2.10

Tinggi Air Untuk Kelebihan Dan Kekurangan Air Pada Dua Sistem Bejana ........................................................

93

Gambar 4.2.11

Tinggi Air Maksimum Dan Minimum...........................

96

Gambar 4.2.12

Daerah Tinggi Air Maksimum Dan Stabil ....................

98

Gambar 4.2.12

Perbandingan Persentase Tinggi Air Maksimum dengan Rasio Peredam...............................................................

98

Gambar 4.3.1

Dua Bejana dengan Aliran Air yang Disesuaikan.........

100

Gambar 4.3.2

Cara Kerja Sensor Pada Dua Sistem Bejana .................

101

xvii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1

BAB I PENDAHULUAN

A.

Latar Belakang Masalah Bendungan mempunyai manfaat yang sangat berguna dalam kehidupan ini,

salah satu manfaat dari bendungan adalah untuk pembangkit tenaga listrik. Faktor yang mempengaruhi besar atau kecilnya aliran air pada bendungan adalah curah hujan dan besarnya aliran air sungai. Jika curah hujan tinggi dan aliran air sungai besar, maka air pada bendungan akan besar, dan jika curah hujan rendah dan aliran air sungai kecil, maka air pada bendungan akan kecil. Pada umumnya bendungan yang digunakan untuk pembangkit listrik itu terdiri dari satu bendungan, atau dua bendungan, dimana bendungan yang satu terletak di atas bendungan yang lain. Agar dapat menggerakkan generator pada satu bendungan, diperlukan tinggi yang sesuai pada bendungan, sedangkan pada dua bendungan diperlukan tinggi yang sesuai pada bendungan yang terletak di atasnya. Dari sini muncul permasalahannya yakni bagaimana memperoleh ketinggian yang sesuai pada satu bendungan dan dua bendungan tersebut. Dalam penulisan ini akan dipaparkan model matematika pada Pembangkit Listrik Tenaga Air pada satu bendungan dan dua bendungan. Untuk itu diperlukan penyederhanaan masalah yaitu dianggap bahwa evaporasi dan faktor curah hujan diabaikan, sehingga air yang ada pada bendungan berasal dari air sungai.


B.

Rumusan Masalah 1. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada sistem satu bejana ? 2. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada sistem dua bejana ? 3. Bagaimana model matematika agar diperoleh tinggi air yang sesuai pada sistem satu dan dua bejana ?

C.

Pembatasan Masalah Pembatasan masalah pada skripsi ini adalah: 1. Bendungan yang dibahas hanya bendungan yang digunakan untuk Pembangkit Listrik Tenaga Air. 2. Analisa lebih dalam mengenai ketinggian air pada sistem bejana hanya terbatas pada sistem dua bejana. 3. Sistem yang menyerupai sistem dua bejana seperti pegas hanya dibahas seperlunya yaitu sistem satu pegas dengan input dianggap konstan. 4. Penggunaan tentang teorema Torricelli hanya digunakan pada satu bejana.


5. Sensor yang digunakan hanya terbatas untuk ketinggian air pada bejana.

D.

Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan pada skripsi ini adalah untuk mengetahui bagaimana

tinggi air yang sesuai pada sistem bejana yang terletak di bawahnya agar dapat membangkitkan tenaga listrik.

E.

Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan dalam makalah ini adalah metode studi

pustaka yaitu mempelajari buku-buku yang berkaitan Pemodelan Matematika Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air.

F.

Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami dan mempelajari bagaimana

sistem dua bendungan.


G.

Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Manfaat Penulisan E. Metode Penulisan F. Tujuan Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENTIAL DAN DERET BINOMIAL A. Pemodelan Matematika B. Persamaan Diferensial 2. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan 3. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu 4. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua 5. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua C. Deret Binomial Dan Penerapannya 1. Usaha Dan Energi 2. Fluida 3. Persamaan Kontinuitas


4. Persamaan Bernoulli 5. Teorema Torricelli BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJA NA A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air 1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana 2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air 1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana 2. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana 3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJA NA A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran


BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN DERET BINOMIAL

A.

Pemodelan Matematika Model adalah gambaran suatu objek yang disusun berdasarkan tujuan

tertentu, dan objeknya dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, ataupun suatu proses tertentu. Sistem adalah suatu himpunan beserta relasi antara unsur-unsurnya yang disusun berdasarkan tujuan tertentu. Misalnya rumah sakit, yang merupakan suatu sistem yang bertujuan untuk merawat orang sakit, den bagian dari rumah sakit tersebut harus mendukung tujuan merawat orang sakit. Tujuan penyusunan model dibedakan tiga kategori yaitu : a) Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model seperti ini adalah model keterkaitan. b) Guna mengadakan pendugaan (prediksi) untuk memperbaiki keadaan objek, yang disebut model pendugaan. c) Guna mengadakan optimisasi bagi objek. Modelnya disebut model optimisasi. Manfaat model adalah untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas mengenai suatu objek tanpa merusak ataupun mengganggu objek yang aslinya, yang dapat dilakukan dengan cara eksperimen pada model tersebut. Hal ini dapat


dilihat jika dilakukan eksperimen langsung ke objeknya , maka mempunyai resiko yang sangat merugikan. Langkah–langkah Penyusunan Model Matematika a) Identifikasi Masalah. Sebelum menyusun model matematika adalah mengidentifikasi masalahnya terlebih dahulu, yang mempunyai batasan-batasan tertentu yang dikenal dengan penyederhanaan masalah.. b) Perumusan Masalah. Model tersebut dirumuskan dengan simbol atau lambang yang dapat dalam matematika baik peubahnya maupun relasi-relasinya. c) Selesaikan Masalah. Menyelesaikan perumusan masalah secara matematika. d) Menafsirkan Masalah. Model harus ditafsir lagi yakni apakah model tersebut sudah sesuai dengan yang diharapkan atau tidak ? apakah model tersebut sudah baik atau tidak? Jikalau tidak, kembali ke langkah semula, sehingga diperoleh model yang sesuai atau baik seperti yang diinginkan. e) Pelaksanaan Model. Model dapat digunakan untuk memperoleh atau mencapai tujuan semula.

B.

Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Orde atau Tingkat n adalah persamaan yang biasa


nya ditulis dalam bentuk

F ( x, y, y ' , y '' ,..., y ( n ) ) = 0 dimana y (n ) , menyatakan turunan y terhadap x yang sebanyak n kali, dan F adalah suatu fungsi dengan peubah–peubah x, y, y ' , y '' ,..., y ( n ) . Orde Persamaan Diferensial adalah orde derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan.

Contoh 2.2.1 Bentuk persamaan diferensial orde satu adalah F ( x, y, y ' ) = 0 .

Persamaan Diferensial Biasa Orde n disebut linear dalam y jika persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk

a n ( x) y ( n ) + a n −1 ( x) y ( n −1) + ... + a1 ( x) y 1 + a 0 ( x) y = f ( x) Dengan a 0 , a1 ,..., a n dan f adalah fungsi yang kontinu pada suatu interval x dan a n ( x) ≠ 0 pada interval tersebut.

. Contoh 2.2.2

Persamaan y '' + y ' + y = x 2 adalah persamaan diferensial orde dua yang linear.

Untuk membuktikan suatu fungsi merupakan suatu penyelesaian diferensial tersebut, harus dibuktikan apakah fungsi tersebut bila diturunkan


sebanyak n kali merupakan persamaan diferensial itu sendiri atau ruas kanan dan ruas kiri dari persamaan diferensial tersebut adalah sama.

Contoh 2.2.3

Buktikan bahwa

x2 + y2 = 9

adalah penyelesaian persamaan diferensial

diturunkan

terhadap

x + yy ' = 0 ? Penyelesaian

Jika

x2 + y2 = 9

x,

maka

diperoleh 2 x + 2 yy ' = 0 .

2 x + 2 yy ' = 0 dapat ditulis menjadi x + yy ' = 0 . Sehingga terbukti bahwa x 2 + y 2 = 9 adalah penyelesaian dari persamaan diferensial x + yy ' = 0 .

Definisi 2.2.1

a) Suatu keluarga berparameter n dari penyelesaian persamaan diferensial orde n disebut penyelesaian umum dari persamaan diferensial jika semua penyelesaian persamaan diferensial dapat diperoleh dari keluarga berparameter n. b) Suatu penyelesaian persamaan diferensial orde n yang diperoleh dari penyelesaian umum dengan menentukan nilai parameter n disebut dengan penyelesaian khusus.

Contoh 2.2.4

Misalkan y = C1e x + C 2 e 2 x + x adalah penyelesaian umum dari persamaan diferen


sial

y '' + 3 y ' + 2 y = 2 x − 3 . Untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari

persamaan dferensial tersebut dapat dicari dengan cara memilih nilai konstanta C1

dan

C1 = 10

C 2 , yaitu dengan mengambil

C 2 = 3 , maka

dan

y = 10e x + 3e 2 x + x

Masalah nilai awal terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan diferensial yang juga memenuhi persyaratan y ( x0 ) = y0

y ' ( x0 ) = y0

'

Masalah nilai batas terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan diferensial yang juga memenuhi persyaratan y ( x0 ) = y0

y ' ( x1 ) = y 0

'

Contoh 2.2.5

Jika persamaan diferensial y '' + 3 y ' + 2 y = 2 x − 3 dengan menggunakan masalah nilai awal di atas dan masalah nilai batas dari persamaan y '' + 3 y ' + 2 y = 2 x − 3

y (0) = 0

mempunyai penyelesaian khusus yaitu

dan

y (1) = 0 . Untuk

x = 0, y = 0 , maka C1 + C 2 = 0 , dan untuk x = 1, y = 0 maka C1e + C 2 e 2 = −1 . Sehingga diperoleh C1 = −C 2 =

1 . e −e 2

Maka penyelesaian khususnya adalah y = x+

1 . e −e 2


1.

Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan Persamaan diferensial terpisahkan dari persamaan diferensial orde satu adalah suatu persamaan diferensial orde satu dimana bentuk dy dx dapat difaktorkan sebagai fungsi x kali fungsi y. Dengan

perkataan lain bahwa persamaan diferensial orde satu tersebut dapat ditulis dalam bentuk

dy = g ( x ) h( y ) dx

(2.2.1.1)

Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial orde tersebut, haruslah dipisahkan sebagai antara fungsi x dan fungsi y secara terpisah, sehingga persamaan (2.2.1.1) dapat ditulis sebagai dy = g ( x)dx h( y )

(2.2.1.2)

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

∫

dy = g ( x)dx + C h( y ) ∫

(2.2.1.3)

Persamaan (2.2.1.3) adalah penyelesaian persamaan diferensial orde satu yang dapat dipisahkan. Dengan menggunakan teknik pengintergralan maka persamaan (2.2.1.3) ini dapat diselesaikan asalkan fungsi dari g ( x), h( y ) diketahui.

Contoh 2.2.1

Selesaikan

dy x = ? dx y


Penyelesaian

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial dan mengintegralkan kedua ruas , maka diperoleh y dy = x dx 1 2 1 2 y = x +C 2 2

y = ± x 2 + C1

2.

, C1 = 12 C

Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Persamaan diferensial linear orde satu adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk dy + P ( x ) y = Q( x) dx

(2.2.2.1)

Dengan P dan Q adalah fungsi yang kontinu pada selang yang diberikan. Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu tersebut kedua ruas dikalikan I (x) yang sering disebut sebagai faktor pengintergralan. I ( x) = e ∫

P ( x )dx

(2.2.2.2)

Bentuk umum penyelesaian dari persamaan diferensial linear orde satu yang linear, yaitu − P ( x ) dx ⎛ ∫ P ( x ) dx + C ⎞ y=e ∫ ⎟ ∫ ⎜⎝ Q( x)e ⎠

(2.2.2.3)

Persamaan (2.2.2.3) adalah bentuk umum penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu yang homogen, yang dapat


diselesaikan dengan teknik pengintergralan asalkan fungsi dari P ( x), Q( x) diketahui.

Contoh 2.2.2.1

Selesaikan

dy 1 + y = 3x ? dx x

Penyelesaian

Faktor pengintegralan I ( x) =

1 , sehingga x

1

I ( x) = e

∫ xdx

=e

ln x

=x

Dikalikan kedua ruas dengan x, maka

x

dy + y = 3x 2 dx

d (xy ) = 3x 2 dx Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh y = x 2 + x −1C Sehingga penyelesaian

dy 1 + y = 3x adalah dx x

y = x 2 + x −1C .

3.

Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

Persamaan Diferensial Linear Orde Dua adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk


dy d2y + P( x) + Q( x) y = R( x) dx dx

(2.2.3.1)

y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = R( x)

(2.2.3.2)

atau

dimana P( x), Q( x), R( x) adalah suatu fungsi R(x) terbagi atas dua yaitu R( x) = 0 dan R( x) ≠ 0 , seperti yang diuraikan berikut ini. Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk dy d2y + P( x) + Q( x) y = R( x) = 0 dx dx

(2.2.3.3)

Persamaan diferensial linear orde dua yang nonhomogen adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk dy d2y + P( x) + Q( x) y = R( x) ≠ 0 dx dx

(2.2.3.4)

Di dalam penerapan fungsi R(x) sering disebut sebagai input (masukan). Jika R( x) = 0 berarti tidak ada input dan R( x) ≠ 0 berarti ada input.

Contoh 2.2.3.1

xy ' '+ x 2 y '+2 x 3 y = 4 x adalah persamaan diferensial linear orde dua, karena dapat ditulis y ' '+ xy'+2 x 2 y = 4 , dan diketahui bahwa


R( x) = 4 , maka persamaan tersebut adalah persamaan diferensial yang nonhomogen.

Teorema 2.2.3.1

Jika diketahui persamaan nonhomogen y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = R( x) dengan P( x), Q( x), R( x) adalah fungsi yang kontinu pada interval [a, b] . Jika x0 adalah sembarang titik pada interval [a, b] , dan jika y 0 , y ' 0 adalah sembarang bilangan , maka persamaan homogen mempunyai penyelesaian tunggal

y (x) pada interval

[ a, b]

sedemikian hingga y ( x0 ) = y 0 dan y ' ( x0 ) = y ' 0 . Untuk membuktikan teorema ini sangatlah sukar, akan tetapi pembuktian ini banyak dijumpai dalam buku yang lebih lanjut, salah satunya diferential equation karangannya Shepley Ross dibab 10, yang dibuktikan dengan teorema lipschit. Didalam teorema ini menjamin keberadaan dan keunikan suatu solusi masalah nilai awal.

Contoh 2.2.3.2

Carilah solusi dari y ' '+ y = 0

y (0) = 0 dan

y ' (0) = 1 ?

Penyelesaian

Solusi dari

y ' '+ y = 0

adalah

y = sin x

,

y = cos x

dan

y = c1 cos x + c 2 sin x dimana c1 , c 2 adalah sembarang konstanta.


Dari ketiga penyelesaian tersebut hanya y = sin x yang memenuhi y (0) = 0 dan

y ' (0) = 1 . Sehingga menurut teorema 1 ,

penyelesaian dari y ' '+ y = 0 , jika diketahui

y (0) = 0

dan

y ' (0) = 1 adalah y = sin x

Teorema 2.2.3.2

Jika y g adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari persamaan homogen, dan y p penyelesaian khusus yang diperoleh dari persamaan nonhomogen, maka

y g + y p adalah penyelesaian

umum persamaan nonhomogen yang diperoleh dari persamaan yang homogen.

Bukti

Misalkan y adalah penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua yang homogen, maka y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = R( x) . Diketahui bahwa

y g adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari

persamaan diferensial orde dua yang homogen, sehingga y g ' '+ P( x) y g '+Q( x) y g = 0

dan y p penyelesaian khusus yang

diperoleh dari persamaan diferensial orde dua yang nonhomogen, sehingga y p ' '+ P( x) y p '+Q( x) y p = R( x) . Akan dibuktikan y = y g + y p , yaitu akan dibuktikan bahwa ruas kanan


y = ( y g + y p )' '+ P( x)( y g + y p )'+Q( x)( y g + y p ) = ( y g ' '+ P( x) y g '+Q( x) y g ) + ( y p ' '+ P( x) y p '+Q( x) y p )

= 0 + R ( x) = R ( x) .

Teorema 2.2.3.3

Jika y1 ( x) dan y 2 ( x ) adalah penyelesaian dari persamaan yang homogen, maka c1 y1 ( x) + c 2 y 2 ( x) juga merupakan penyelesaian persamaan yang homogen untuk sembarang konstanta c1 dan c 2 .

Bukti y1 ( x) dan

y 2 ( x) adalah penyelesaian dari persamaan yang

homogen

,

maka

y1 ' '+ P ( x ) y1 '+Q ( x) y1 = 0

dan

y 2 ' '+ P( x) y 2 '+Q( x) y 2 = 0 . Akan dibuktikan bahwa c1 y1 ( x) + c 2 y 2 ( x)

juga merupakan

penyelesaian persamaan yang homogen , maka (c1 y1 + c 2 y 2 )' '+ P ( x)(c1 y1 + c 2 y 2 )'+Q( x)(c1 y1 + c 2 y 2 ) = 0 c1 y1 ' '+ c 2 y 2 ' '+ P ( x)c1 y1 '+ P ( x)c 2 y 2 '+Q ( x)c1 y1 + Q ( x)c 2 y 2 = 0 c1 ( y1 ' '+ P ( x) y1 '+Q ( x) y1 ) + c 2 ( y 2 ' '+ P ( x ) y 2 '+Q ( x) y 2 ) = 0 c1 (0) + c 2 (0) = 0 .


Persamaan

c1 y1 ( x) + c 2 y 2 ( x) pada teorema 2.2.3.3 disebut

sebagai kombinasi linear dari persamaan y1 ( x) dan y 2 ( x) . Sehingga teorema 2.2.3.3 menyatakan setiap kombinasi linear dari penyelesaian y1 ( x) dan y 2 ( x ) pada persamaan yang homogen juga merupakan penyelesaian.

Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen yaitu y ' '+ P ( x) y '+Q( x) y = 0 misalkan P ( x), Q( x) adalah p, q maka

y ' '+ py '+ qy = 0 Persamaan karakteristiknya adalah y = e mx maka y ' = me mx , dan y '' = m 2 e mx , sehingga (m 2 + pm + q )e mx = 0 Karena e mx ≠ 0 , maka (m 2 + pm + q ) = 0 . Dengan rumus kuadrat diperoleh

m1 , m2 =

dimana

m1 =

− p±

− p+

p 2 − 4q 2

p 2 − 4q − p − p 2 − 4q dan m2 = 2 2

Ada tiga kasus untuk m1 , m2 yaitu


a) Akar-akar persamaan karakteristiknya m1 , m 2

(p

berbeda

2

real dan

− 4q > 0 ) . Penyelesaian umum dari persamaan

diferensial yang homogen adalah y = c1 e

m1 x

+ c2 e

m2 x

.

b) Akar-akar persamaan karakteristiknya m1 , m 2 real yang berulang ( p 2 − 4q = 0 ) . Penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang homogen ini adalah y = c1 e c) Akar–akar persamaan karakteristiknya

m1 x

+ c 2 xe

m1 , m2

(p

m1 , m2 =

− p ± − ( p 2 − 4q ) − p ± ( p 2 − 4q )(−1) = 2 2

=

=

.

bilangan

komplek

2

m2 x

− 4q < 0 ). . Sehingga

− p ± ( p 2 − 4q ) −1 2

− p ± ( p 2 − 4q ) ( p 2 − 4q ) P i= =− ± i = α ± iβ 2 2 2

maka m1 = α + iβ

dimana

m 2 = α − iβ

dan

α =−

− p − p 2 − 4q P dan β = . 2 2

Sehingga penyelesaian umumnya adalah y = c1 e

m1 x

cos β x + c 2 e

m2 x

sin β x .


Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua yang non homogen, langkah pertama yang harus dilakukan adalah dengan mencari penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua yang homogen yaitu y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = 0 . Setelah mendapatkan penyelesaian umum tersebut, karena menurut teorema diatas bahwa penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua yang nonhomogen terdiri dar I penjumlahan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus (y = y g + y p ) , sehingga harus dicari penyelesaian khusus yang sesuai. Perhatikan ruas kanan dari persamaan y ' '+ P ( x) y '+Q( x) y = R( x) , dimana R (x) dapat berupa beberapa fungsi yaitu eksponensial, logaritma, trigonometri, dan lain-lain, yang kadang juga mengalami pegolahan secara aljabar, baik perkalian, penambahan, pengurangan, pembagian dari beberapa fungsi tersebut. Berikut ini adalah tabel yang dapat digunakan untuk penyelesaian khusus ( y p ) berdasarkan bentuk R( x) . Tabel 2.3.1 Tabel Diferensial Metode Koefisien Tak Tentu.

R ( x)

yp

1

Pn (t ) = ct n (n = 0,1,2,...)

Pn (t ) = C n t n + C n−1 + t n−1 + ... + Ct + C 0

2

c1 sin α x

C1 sin α x + C 2 cos α x

c 2 cos α x


α x

3

ce

4

Pn (t ) ce

5

αx

Pn (t ) =

c1 sin α x

Ce Pn (t ) = Ce

α x

αx

Pn (t ) = C1 sin α x + C 2 cos α x

Qn (t )

Qn (t ) c 2 cos α x

Contoh 2.3.3

Selesaikan y ' '−2 y ' = e x sin x ? Penyelesaian.

Penyelesaian umumnya adalah y g ( x) = c1 + c 2 e 2 x .

Penyelesaian khusus ( y p ) .

y p = − 12 e x sin x . Jadi penyelesaian dari y ' '−2 y ' = e x sin x adalah y g ( x) + y p ( x) = c1 + c 2 e 2 x − 12 e x sin x

4.

Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua

Setiap gerak yang berulang dalam waktu yang sama disebut dengan gerak periodik. Dan setiap partikel yang bergerak secara periodik selalu dinyatakan dalam fungsi sinus dan cosinus.


Jika suatu partikel dalam gerak periodik bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama, maka geraknya disebut dengan gerak osilasi atau getaran. Karena suatu partikel yang bergerak osilasi mengalami gesekan, maka gerakan suatu partikel tersebut akan berhenti berosilasi, dimana gerakannya disebut dengan gerakan teredam. Salah satu partikel yang mengalami gerak osilasi dan teredam antara lain adalah pegas, seperti yang akan dijelaskan berikut ini.

1)

Getaran Tak Teredam Dan Teredam

Pada pegas terdapat dua getaran yang terjadi yakni getaran teredam dan getaran tak teredam, seperti yang akan diuraikan di bawah ini Pegas menggunakan hukum hooke yakni jika pegas demikian ditarik (diperpanjang) sejauh x, gaya pemulih yang dilakukan pegas (juga disebut gaya pegas) adalah F = − kx

(2.2.4.1)

dimana k:

konstanta pegas (tetapan pegas) yang diukur dalam

satuan Newton meter ( Nm ) yang harganya bernilai positif bila ditarik dan negatif bila ditekan. Frekuensi alami pada pegas bila tidak terjadi gesekan dapat dirumuskan sebagai berikut


ω = 2π .v =

k m

(2 2.4.2)

Frekuensi alami yang mengalami gesekan

pada pegas

dapat dirumuskan sebagai berikut

ω = 2π .v =

k ⎛ b ⎞ −⎜ ⎟ m ⎝ 2m ⎠

2

bila

k b > m 2m

(2.2.4.3)

atau 2

k ⎛ b ⎞ k b ω = 2π .v = − + ⎜ < ⎟ i bila m ⎝ 2m ⎠ m 2m

(2.2.4.4)

dengan k : konstanta pegas (Newton meter). m : massa pegas (kilogram).

b : gaya gesek pegas (Newton ).

Percepatan yang dialami massa pada pegas yang bergetar diperoleh dari hukum Newton II, yaitu a= dengan

F m

(2.2.4.5)

m : massa pegas (kilogram)

F : gaya pegas (Newton ). Diandaikan bahwa gaya gesekan yang terjadi pada pegas (gaya peredam) sebanding dengan kecepatan massa dan bekerja dalam arah berlawanan dengan arah gerak dengan gaya gesekan lainnya diabaikan seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini


k m

c

Gambar 2.2.4.1 Pegas

Sehingga gaya peredamnya adalah

F = −cv

(2.2.4.6)

dimana c:

konstanta positif, yang disebut dengan konstanta

peredam Dari persamaan (2.2.4.5) dan (2.2.4.6), diperoleh a=

m.

m

F m

dx d 2x = −kx − c 2 dt dt

dx d 2x + c + kx = 0 2 dt dt

(2.2.4.7)

Persamaan (2.2.4.7) merupakan persamaan diferensial linear orde dua linear yang homogen, hal ini disebabkan gaya gesekan yang lain diabaikan yang mempunyai penyelesaian akar-akar penyelesaian sebagai berikut x1, 2 = −

c c 2 − 4mk ± m 2m


2

=−

c ⎛ c ⎞ ⎛k⎞ ± ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ m ⎝ 2m ⎠ ⎝ m ⎠

(2.2.4.8)

Penyelesaian dari akar-akar pada persamaan (2.2.4.8) tergantung dari besarnya konstanta peredam pada frekuensi alami yang mengalami gesekan, dimana nilainya dapat positif, negatif, dan nol. Untuk jelasnya perhatikan berikut ini. c2 k = 2 m 4m c = 2 mk misalkan c1 = c

maka c1 = 2 mk

(2.2.4.9)

sehingga

ξ=

c c = c1 2 mk

dimana ξ sering disebut sebagai rasio peredam. Dengan menggunakan istilah rasio peredam dan frekuensi alami tanpa adanya gesekan, persamaan (2.2.4.7) dapat ditulis m

d 2x dx + c + kx = 0 2 dt dt


d 2 x c dx k + + x=0 dt 2 m dt m dx d 2x + 2ξ ω +ω 2 dt dt Sehingga

x1, 2 = −

2

x=0

c c 2 − 4mk dapat ditulis sebagai ± m 2m

berikut x1, 2 = −ξ ω ± ω

ξ

2

−1

(2.2.4.10)

Persamaan di atas hanya berlaku untuk ξ ≥ 1 , akan tetapi jika 0 < ξ < 1 , persamaan di atas menjadi x1, 2 = −ξ ω ± ω

1−ξ

2

i

(2.2.4.11)

Penyelesaian persamaan (2.2.1.4.7) terdiri dari tiga kasus seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya.

Contoh 2.2.4.1 Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625, konstanta redaman sebesar 40 ,massa sebesar 1, diketahui pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang terjadi pada pegas sebesar 100, maka x(t ) = e − 20t (

20 sin 15t ) 3

Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan setimbang apabila x(t ) = 0 , yaitu


sin 15t = 0

diperoleh t = 0,2 detik dan t = 0,4 detik Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila x ' (t ) = 0 , yaitu x ' (t ) = e − 20t (−

400 sin 15t ) + e −20t (100 cos15t ) = 0 3

diperoleh t = 0,42 detik Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas sejauh 1,69 meter.

Gambar 2.2.4.1 Jarak Pegas

Pada gambar 2.2.4.1 di atas, terlihat bahwa pegas mengalami dua kali dalam keadaan stabil yaitu saat 0,2 dan 0,4 detik, dan jarak maksimum yang dilakukan oleh pegas tersebut sejauh 1,69 meter.


Contoh 2.2.4.2 Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625, tidak ada konstanta redaman ,massa sebesar 1, diketahui pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang terjadi pada pegas sebesar 100, maka

x(t ) = 4 sin 25t Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan setimbang apabila x(t ) = 0 , yaitu sin 25t = 0

diperoleh t = 0,125 detik dan Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila x ' (t ) = 0 , yaitu x ' (t ) = 100 cos 25t diperoleh t = 0,0628 detik Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas sejauh 3,99 meter. Pada kasus tanpa adanya rasio peredam pada pegas adalah hal yang unik, sebab pegas tidak akan pernah berhenti bergetar, dan akan selalu bergetar sehingga mencapai jarak maksimum sejauh 3,99 meter dan jarak minimum sejauh 3,99 m dari keadaan setimbang, seperti yang diilustrasikan pada gambar di berikut ini.


Gambar 2.2.4.2 Jarak Pegas

C.

Deret Binomial Dan Penerapannya

Teorema 2.3.1 ( Deret Binomial ) Untuk bilangan real p, fungsi f ( x) = (1 + p )

1 2

dapat dinyatakan sebagai deret Mac Laurin pada selang (-1,1) yang berbentuk

(1 + x )p = ∑ ⎛⎜⎜

p⎞ n ⎛ p⎞ ⎛ p⎞ ⎟⎟ x = 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 + ... n =0⎝ n ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝2 ⎠ ∞

⎛ p ⎞ p ( p − 1)( p − 2)...( p − n + 1) ⎜⎜ ⎟⎟ = n! ⎝n ⎠

dengan

, x <1

n = 0,1,2...

⎛ p⎞ dimana simbol ⎜⎜ ⎟⎟ berlaku untuk bilangan real p , dan n bilangan bulat positif. ⎝n ⎠ Dalam penulisan skripsi ini tidak diberikan bukti tentang teorema 2.3.1, akan tetapi bukti untuk teorema 2.3.1 dapat di temukan dalam buku kalkulus lebih lanjut.

Contoh 2.3.1 Hitung

1 + x dengan menggunakan deret binomial

Penyelesaian


Dengan p =

(1 + p )

1 2

1 2

dan n bilangan bulat positif., maka

⎛⎛1 ⎞⎞ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛⎛1 ⎜ ⎜ − 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − 0 ⎟⎜ − 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − 0 ⎟ + ⎜ − 1⎟⎜ − 2 ⎟ ⎟ ⎜⎝2 ⎠⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠⎟ ⎜⎝2 + = 1+ ⎜ ⎟ + .... ⎟+⎜ 0! ⎟ ⎜ 1! 2! ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

( 12 )(− 12 ) x 2 + ( 12 )(− 12 )(− 32 ) x 3

=1+

1 x+ 2

= 1+

1 1 1 x − x 2 + x 3 + ... 2 8 16

2!

3!

+....

Berikut ini akan dibahas bagaimana penerapan dengan deret binomial pada bidang fisika, yaitu pada teorema Torricelli, seperti yang akan dijelaskan berikut ini

1.

Usaha Dan Energi Usaha adalah hasil gaya dan dengan perpindahan benda, yang biasa dirumuskan sebagai berikut W = F .s

dimana W : Usaha (Joule) F : Gaya. (Newton) s : Perpindahan Benda (meter ) . Energi Potensial dapat dirumuskan sebagai berikut EP = mgh

dimana


EP : Energi Potensial (Joule)

g : Gravitasi ( ms −2 ) m : Massa Benda (kg)

Energi Kinetik dapat dirumuskan sebagai berikut Ek = 12 mv 2 dimana Ek : Energi Kinetik (Joule), v : Kecepatan Benda ( ms −1 )

m : Massa Benda (kg)

Energi Mekanik dapat dirumuskan sebagai berikut E M = E P + Ek

2.

Fluida

Fluida adalah zat yang dapat mengalir. Tekanan adalah besarnya gaya yang bekerja pada permukaan benda setiap satuan, yang dirumuskan sebagai berikut

P=

F A

dimana

(

P : Tekanan Nm −2 = pascal = pa F : Gaya ( Newton )

)


( )

A : Luas Permukaan m 2

Tekanan Hidrostatis adalah tekanan di dalam zat cair yang disebabkan oleh zat cair itu sendiri, yang dirumuskan sebagai berikut

PH = ρ .g.h dimana

(

PH : Tekanan Hidostatis Nm −2 = pascal = pa

)

ρ : Massa Jenis Zat Cair (kgm−3 ) h : Kedalaman Zat Cair (m )

g : Gravitasi ( ms −2 ) Massa zat cair dapat dirumuskan sebagai berikut.

m = ρ .V = ρ . A.h dimana

ρ : Massa Jenis Zat Cair (kgm−3 ) h : Kedalaman Zat Cair (m )

( )

A : Luas Permukaan m 2 V : Volume

Hukum Hidrostatis adalah tekanan hidrostatis semua titik pada suatu bidang datar memiliki kedalaman yang sama adalah sama, untuk jelasnya perhatikan gambar berikut ini.


b

h

A

B

Gambar 2.3.2.1 Tekanan Hidrostatis di titik A, B adalah sama

Pada gambar 2.3.2.1 di atas, titik A dan B terletak pada satu bidang datar yang memiliki kedalaman yang sama, maka tekanan hidrostatis di A dan B adalah sama, yang dapat dirumuskan sebagai berikut PHA = PHB

3.

Persamaan Kontinuitas Jika kecepatan fluida di penampang A1 dan di penampang A2 sebesar v1 dan v2 , maka volume fluida yang mengalir melalui penampang A1 sama dengan yang mengalir melalui penampang A2 pada saat t., seperti diilustrasikan gambar berikut ini.

v2 →

h2

v1 → h1 Gambar 2.3.3.1 Fluida Yang Mengalir Pada Luas Penampang


A1 Dan A2 Yang Memiliki Ketinggian h1 Dan h2

Banyaknya fluida yang mengalir melalui penampang tertentu tiap satuan waktu disebut dengan debit (Q ) . Karena diketahui volume fluida yang mengalir melalui penampang A1 = yang mengalir melalui penampang A2 , maka V1 = V2 A1.∆s1 = . A2 .∆s2 A1.∆v1.∆t = . A2 .∆v2 .∆t Q1 = Q2

Sehingga dapat dikatakan bahwa debit fluida di penampang A1 adalah

Q = A.V Persamaan di atas merupakan Persamaan Kontinuitas.

4.

Persamaan Bernoulli Perhatikan gambar 2.3.3.1 di atas, maka usaha total yang dilakukan untuk mengalirkan fluida dari titik 1 ke titik 2 sama dengan perubahan energi mekanik fluida. Sehingga dapat dirumuskan

Wtotal

= Em

W1 − W2

= ∆EP + ∆Ek

P1. A1.∆s − P2 . A2 .∆s

= ( 12 mv2 − 12 mv1 ) + (mgh2 − mgh1 ) 2

2


P1. A1.∆s + 12 mv1 + mgh1

= P2 . A2 .∆s + 12 mv2 + mgh2

2

2

P1.V + 12 mv1 + mgh1

= P2 .V . + 12 mv2 + mgh2

⎛m⎞ 1 2 P. 1⎜ ⎜ ρ ⎟⎟ + 2 mv1 + mgh1 ⎝ ⎠

⎛m⎞ 2 = P2 .⎜⎜ ⎟⎟ 12 mv2 + mgh2 ρ ⎝ ⎠

P1. + 12 ρ .v1 + ρ .gh1

= P2 . + 12 .ρ .v 2 + ρ .g .h2

2

2

2

2

Persamaan di atas dikenal dengan Persamaan Bernoulli

Berikut ini adalah salah satu kasus khusus dari Bernoulli, dimana kecepatan awal pada pipa diabaikan dan pipa diletakkan pada posisi mendatar seperti yang akan diuraikan berikut ini.

5.

Teorema Torricelli Teorema Torricelli adalah hubungan antara laju fluida dengan tinggi fluida yang terdapat pada sistem bejana, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini. P1 ↑

↑

H ↓

h ↓

P2 A1

P3 A2

Gambar 2.3.5.1 Fluida Yang Mengalir Pada Luas Penampang Bejana

dimana


h : Tinggi Air (m )

P1 : Tekanan Udara

H : Tinggi Air Ke Pipa.

P2 : Tekanan Air Di Bawah

P3 : Tekanan Udara. A1 : Luas Penampang Air yang Masuk Pada Pipa A2 : Luas Penampang Air Yang Keluar Dari Pipa.

Dengan menggunakan persamaan Bernoulli

P1 +

1 1 ρ v12 + ρ h1 = P2 + ρ v2 2 + ρ h2 2 2

Karena pipa bejana dalam keadaan mendatar maka h1 = h2 , dan kecepatan awal pada pipa diabaikan diperoleh

∆P =

1 ρ (v2 2 ) 2

(2.3.5.1)

dimana

∆P : Selisih Tekanan Pada Bejana.. Karena P1 = P3 dan P2 = P1 + ρ .g .h maka ∆P = ρ .g.h , sehingga diperoleh

ρ .g.h =

1 ρ (v2 2 ) 2

v2 = 2 gh

(2.3.5.2)

Persamaan (2.3.5.2) menyatakan kecepatan air pada saat h. Dengan cara yang analog, kecepatan air pada saat H yakni

v2 = 2 gH

(2.3.5.3)


Misalkan A adalah luas penampang dari pipa bejana, maka laju rata-rata air saat h adalah q0 (h ) = c h

(2.3.5.4) −

5

dimana c adalah konstan m 2 s −1 Dengan cara yang analog diperoleh laju rata-rata air saat H yaitu: q0 (H ) = c H −

(2.3.5.5) 5 2 −1

dimana c adalah konstan m s Dari persamaan (2.3.5.4), yaitu

q0 (h ) = c h = c [H + (h − H )]2 1

1

⎡ ⎛ h − H ⎞⎤ 2 = c ⎢ H ⎜1 − ⎟ H ⎠⎥⎦ ⎣ ⎝ 1

⎡⎛ h − H ⎞⎤ 2 = c H ⎢⎜1 − ⎟ H ⎠⎥⎦ ⎣⎝ 1 2

(2.3.5.6)

⎛h−H ⎞ Dengan memisalkan x = ⎜ ⎟ diperoleh ⎝ 2H ⎠ 1

1

q0 (h ) = c H 2 [(1 − x )] 2

(2.3.5.7)

Maka dengan menggunakan contoh 2.3.1, persamaan (2.3.5.7) menjadi 1 2

1

⎡⎛ 1 ⎞⎤ 2 q0 (h ) = c H ⎢⎜1 + x ⎟⎥ ⎣⎝ 2 ⎠⎦

(2.3.5.8)


⎛h−H ⎞ Karena x = ⎜ ⎟ , maka dari persamaan (2.3.5.8) diperoleh ⎝ 2H ⎠

⎡⎛ h − H ⎞⎤ q0 (h ) = c H ⎢⎜1 − ⎟ 2 H ⎠⎥⎦ ⎣⎝ 1 2

= q0 (H ) +

(h − H ) < H

c (h − H ) 2 H

= q 0 (H ) + λ (h − H ) dimana λ =

(2.3.5.9)

c . 2 H

Jadi untuk h semakin membesar, maka q0 (h ) = q 0 (H ) + λ (h − H ) = c h + λ (h ) − λ (H ) = c H (1 − (1 2)c ) + λ (h ) ≈ λ (h ) Persamaan (2.3.5.10) dikenal dengan konstanta Torricelli.

(2.3.5.10)


BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJANA

Pada bab dua telah dipaparkan definisi tentang sistem. Kesalahan (error) pada sistem adalah perbedaan antara output dan input yaitu

E = [output − input ]

(3.1)

Pada sistem sering sekali menggunakan sebuah alat yang disebut dengan

sensor. Sensor adalah adalah alat untuk mendeteksi sesuatu, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan. Berikut ini akan dibahas mengenai sensor yang terdapat pada sistem a) Sensor Jarak (Perpindahan). Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi posisi suatu sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan pada sistem tersebut. b) Sensor Kecepatan (Laju). Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi kecepatan atau laju suatu sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan pada sistem tersebut. c) Sensor Percepatan. Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi kecepatan suatu sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan pada sistem tersebut.

39


Persamaan diferensial orde satu dan dua yaitu

dy + P ( x) y = Q( x) dx

(3.2)

dy d2y + P( x) + B( x) y = Q( x) 2 dx dx

(3.3)

Pada persamaan (3.2) dan (3.3) di atas inputnya adalah Q(x ) , dimana input tersebut dapat berupa fungsi konstan, fungsi periodik, fungsi ekponensial, dan lain-lain. Berikut ini akan dijelaskan input yang terdapat pada ketiga sensor di atas, yakni a) Fungsi Konstan. Misalkan K adalah konstanta, maka Q( x ) = K

Q(x)

⎧⎪ K x > 0 Q( x) = ⎨ ⎪⎩0 x < 0

K x Gambar 3.1 Fungsi Konstan

b) Fungsi Kecepatan (Laju). Misalkan K adalah konstanta, maka dQ( x) =K dx

atau

Q( x) = Kx


Q(x) ⎧⎪ Kx x > 0 Q( x) = ⎨ ⎪⎩0 x < 0

x

Gambar 3.2 Fungsi Kecepatan

c) Fungsi Percepatan. Misalkan K adalah konstanta, maka d 2 Q( x) =K dx 2

atau

Q( x) = 12 Kx 2 ⎧⎪ 1 Kx 2 x > 0 Q( x) = ⎨ 2 ⎪⎩0 x < 0

Q(x)

x Gambar 3.3 Fungsi Percepatan

Kesalahan pada saat stabil adalah perbedaan antara input dan output dikalikan dengan sebuah input yang baru atau dengan kata lain E = [output − input ] r (t )

(3.4)

dimana r (t ) adalah sebuah input yang baru adalah input Sebelum membahas tentang Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air, yang terjadi pada sistem bendungan khususnya sistem bendungan yang terdiri dari dua bendungan, dimana bendungan yang satu terletak di bawah bendungan yang lain.


Akan dibahas terlebih dahulu bagaimana memodelkan secara matematis untuk Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air Sistem bendungan dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 3.4 Sistem Bendungan

Aliran sungai dengan debit yang sangat besar ditampung dalam waduk (1) yang ditunjang dengan sebuah bendungan (3). Air tersebut dialirkan melalui Power Intake (2) kemudian masuk ke Pipa Pesat (Penstock) (4) untuk merubah energi potensial menjadi energi kinetik. Pada ujung pipa pesat dipasang Katup Utama (Main Inlet Valve) (5) untuk mengalirkan air ke turbin. Katup utama akan ditutup otomatis apabila terjadi gangguan atau di stop atau dilakukan perbaikan / pemeliharaan turbin. Air yang telah mempunyai tekanan dan kecepatan tinggi (energi kinetik) dirubah menjadi energi mekanik dengan dialirkan melalui sirip-sirip pengarah akan mendorong sudu jalan (runner) yang terpasang pada turbin (6). Energi putar yang diterima oleh turbin selanjutnya digunakan untuk menggerakkan generator


(7) yang kemudian menghasilkan tenaga listrik yang keluar dari turbin melalui Tail Race (8) selanjutnya kembali ke sungai (9). Untuk memperoleh model ini, diasumsikan bahwa bendungan sebagai bejana. Hal ini dikarenakan, tidak mudah untuk mendapatkan model matematika untuk ketinggian air pada bendungan, jika dilakukan percobaan langsung terhadap bendungan tersebut, karena mengandung resiko yang terlalu berbahaya, dan disamping itu pula mungkin dapat mengganggu objek aslinya. Bentuk bejana dipilih karena mempunyai kesamaan dalam bentuk fisisnya dengan bendungan, walaupun pada kenyataannya bentuk bendungan tidak teratur. Berikut merupakan ilustrasi sistem bejana, yakni bejana tanpa adanya aliran yang masuk (gambar 3.5) dan bejana dengan aliran air yang masuk (gambar 3.6) Sehingga gambar 3.4 dapat dikembangkan lagi menjadi dua gambar, seperti gambar berikut ini

h

q1

A

Gambar 3.5 Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk


q0

h

A

q1

Gambar 3.6 Bejana dengan Aliran Air yang Masuk

dengan h : Tinggi air pada sistem bejana (m )

(

q 0 : Aliran air yang keluar dari sistem bejana m 3 s −1

)

A : Luas penampang pada sistem bejana (m )

(

q1 : Aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana m 3 s −1

)

Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa pada bagian bawah masingmasing sistem bejana tersebut diberi saluran air yang berupa pipa, yang berfungsi sebagai jalan air untuk keluar.

A.

Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air

Masalah yang muncul pada sistem bejana pada gambar 3.5 adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada sistem bejana. Untuk itu perlu diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut a) Tidak adanya aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana. b) Tinggi dan volume air pada keadaan awal adalah tertentu, h0 dan V0 .


c) Tidak ada pengaturan untuk aliran air yang keluar dari pipa bejana. d) Tidak ada kebocoran pada pipa bejana. Misalkan V (t ) adalah volume air pada sistem bejana pada saat t, maka dV (t ) adalah laju pertambahan volume air pada sistem bejana pada saat t, yakni dt aliran air yang masuk kedalam sistem bejana pada saat t dikurangi dengan aliran air yang keluar dari sistem pada saat t, dengan kata lain dV (t ) = q1 (t ) − q 0 (t ) dt

(3.1.1)

Karena diasumsikan tidak ada aliran yang masuk pada sistem bejana, maka q1 (t ) = 0 , sehingga diperoleh

dV (t ) = − q 0 (t ) dt

(3.1.2)

Diketahui

V (t ) = Ah(t )

(3.1.3)

dV (t ) d dh(t ) = [Ah(t )] = A dt dt dt

(3.1.4)

maka

Sehingga dari persamaan (3.1.2) dan (3.1.4) diperoleh

A

dh(t ) = − q 0 (t ) dt

(3.1.5)

Untuk mencari aliran air yang keluar (q 0 ) pada pipa bejana saat t, digunakan teorema Torricelli yaitu q0 (t ) = λ h(t ) dengan λ adalah sebuah konstanta positif.

(3.1.6)


Sehingga dari persamaan (3.1.5) dan (3.1.6) diperoleh A

dh(t ) = − λ h(t ) dt

(3.1.7)

Persamaan (3.1.7) dapat ditulis dalam bentuk q (t ) dh(t ) λ = − h(t ) = − 0 A A dt

(3.1.8)

Persamaan (3.1.8) menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada bejana, yakni aliran air yang keluar bejana saat t dibagi dengan luas penampang pada sistem bejana. Jika luas penampang bejana pada bejana semakin besar dari aliran air yang keluar pada bejana saat t.

Contoh 3.1.1

Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter, dengan aliran air yang keluar dari bejana membesar dari 4 m3 s −1 sampai 6 m3 s −1 , maka laju berkurangya tinggi air pada bejana dapat dilihat pada tabel berikut ini. Tabel 3.1.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Aliran Air yang Masuk Semakin Besar

A

dh(t ) dt

q0

m3 s −1

3 meter

4

3 meter

5 m3 s −1

3 meter

6

m3 s −1

-1,3333 m 2 s −1 -1,6667 m 2 s −1 -2

m 2 s −1


Pada tabel 3.1.1, jika aliran air yang masuk pada bejana semakin besar dari luas penampang bejana maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin kecil, yang berarti berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin cepat.

Contoh 3.1.2

Misalkan diketahui tiga bejana dengan masing-masing luas penampang berturutturut adalah 2 m, 3 m, dan 4 m bahwa aliran air yang keluar dari bejana adalah 1 m3 s −1 , maka laju berkurangya tinggi air pada tiga bejana dapat dilihat pada tabel berikut ini Tabel 3.1.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar

dh(t ) dt

A

q0

2 meter

1 m3 s −1

-0,5

3 meter

1 m3 s −1

-0,333 m 2 s −1

4 meter

1 m3 s −1

-0,250 m 2 s −1

m 2 s −1

Pada tabel 3.1.2, jika luas penampang bejana semakin besar dari pada aliran yang masuk pada bejana, maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin besar, yang berarti bahwa berkurangnya tinggi air akan semakin lama. Persamaan (3.1.8) dapat diselesaikan dengan cara

dh(t ) λ = − dt h(t ) A ln h(t ) = −

λ A

t +C

(3.1.9)


h(t ) = e

h(t ) = e

⎛ λ ⎞ ⎜⎜ − t + C ⎟⎟ ⎝ A ⎠

⎛ λ ⎞ ⎜⎜ − t ⎟⎟ ⎝ A ⎠

(3.1.10)

K

dengan K = e C Nilai konstanta K dapat dicari dengan menggunakan masalah nilai awal yaitu, kondisi awal h(0) = h0 , maka h(t ) = e

⎛ λ ⎞ ⎜⎜ − t ⎟⎟ ⎝ A ⎠

h(0) = e

K

⎛ λ ⎞ ⎜⎜ − (0 ) ⎟⎟ ⎝ A ⎠

K

h(0) = h0 = K

(3.1.11)

Persamaan (3.1.11) disubsitusikan kedalam persamaan (4.10), diperoleh h(t ) = h(0) e

⎛ λ ⎞ ⎜⎜ − A t ⎟⎟ ⎝ ⎠

(3.1.12)

Persamaan (3.1.12) menyatakan ketinggian air pada bejana pada saat (t) tanpa ada aliran air yang masuk ke dalam bejana yang diilustrasikan pada gambar berikut ini

Gambar 3.1.1 Tinggi Air Bejana.

Pada gambar 3.1.1, diketahui bahwa tinggi awal air bejana adalah 4 meter,


luas penampang bejana adalah 5 meter, dan kontanta Torricelli adalah sebesar 1, maka ketinggian air selama 5 detik adalah 1,457 meter. Sehingga ketinggian air air pada bejana semakin lama semakin berkurang. Karena V = Ah(t ) , maka λ

V (t ) = A h(0) e

− t A

(3.1.13)

Persamaan (3.1.13) menyatakan volume air pada saat (t) yang terdapat pada bejana tanpa adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana tersebut. Dari persamaan (3.1.12), besar kecilnya ketinggian air pada bejana dipengaruhi dua hal yaitu luas penampang bejana dan konstanta Torricelli

1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana

Misalkan diketahui bahwa tiga buah bejana dengan masing-masing luas penampang sebesar 2 m, 5 m, dan 9 m, dan ketinggian air mulamula pada bejana sebesar 3 meter dan konstanta Torricelli sebesar 5, maka ketinggian air pada bejana saat t = 5 detik dapat dilihat pada tabel berikut ini. Tabel 3.1.3 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin Besar

h(0)

λ

A

3m

5

2m

0,000011 m

3m

5

5m

0,02021 m

3m

5

9m

0,1865

h(5)

m


Pada tabel 3.1.3, jika luas penampang bejana semakin besar selama 5 detik, maka tinggi air pada bejana pada saat selama 5 detik akan semakin besar, dan waktu yang dibutuhkan agar tinggi air mendekati nol akan semakin lama seperti tampak pada gambar.

Gambar 3.1.2 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin Besar

2. Pengaruh Konstanta Torricelli Pada Ketinggian Air Bejana .

Misalkan diketahui bahwa ketinggian air mula-mula pada bejana sebesar 3 meter dan luas penampang bejana sebesar 5 m, dengan konstanta torricelli berturut-turut adalah 2, 5, dan 9, maka ketinggian air pada bejana saat t = 5 detik dapat dilihat pada tabel berikut ini. Tabel 3.1.4 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar

h(0)

A

3m

5m 2

0,40600 m

3m

5m 5

0,02021 m

3m

5m 9

0,00037 m

λ

h(5)


Pada tabel 3.1.4, jika konstanta Torricelli semakin besar selama 5 detik, maka tinggi air pada bejana selama 5 detik akan semakin kecil, dan waktu yang dibutuhkan agar mendekati nol semakin cepat seperti tampak pada gambar

Gambar 3.1.3 Tinggi Air Bejana Selama Untuk Konstanta Torriceli Semakin Besar

Dari kedua hal yang mempengaruhi ketinggian air pada bejana yang telah diuraikan di atas, maka untuk jangka waktu yang lama ketinggian air akan mendekati nol, yakni λ − t⎞ ⎛ ⎜ lim h(t ) = lim⎜ h(0)e A ⎟⎟ = 0 t →∞ t →∞ ⎠ ⎝

Karena V = Ah(t ) , maka lim V (t ) = lim( Ah(t ) ) = 0 t →∞

t →∞

(3.1.14)

Ketinggian dan volume air yang terdapat pada bejana untuk waktu yang lama akan mendekati nol yang berarti untuk jangka waktu yang lama bejana akan kosong. B.

Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air

Model matematika yang didapatkan di atas perlu dikembangkan lagi dengan cara memberikan aliran air yang masuk ke dalam bejana seperti pada


gambar 3.6. Sehingga masalah yang muncul pada bejana pada gambar 3.6 adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada bejana. Perlu diberikan tambahan penyederhanaan atau asumsi-asumsi, yaitu a) Adanya aliran air yang masuk kedalam bejana, dimana aliran yang masuk adalah konstan. b) Ukuran pipa aliran air yang masuk dan keluar pada bejana tidak sama c) Tidak ada pengaturan untuk aliran air yang masuk pada sistem bejana. Karena adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana, maka dari persamaan (3.1.1) diperoleh dV (t ) = q1 (t ) − q 0 (t ) dt

(3.2.1)

Persamaan (3.1.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2.1) diperoleh A

dh(t ) = q1 (t ) − q 0 (t ) dt

(3.2.2)

Persamaan (3.1.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2.2) diperoleh A

dh(t ) = q1 (t ) − λ h(t ) dt

dh(t ) 1 = (q1 (t ) − q0 (t ) ) dt A

(3.2.3)

Persamaan (3.2.3) terdapat dua kasus yaitu : 1) Untuk q1 (t ) − q 0 (t ) < 0 , maka dh(t ) 1 = (q1 (t ) − q0 (t ) ) < 0 dt A

(3.2.4)

Persamaan (3.2.4) menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada bejana.


Contoh 3.2.1

Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter, dengan aliran air yang masuk dan keluar dari bejana berturut-turut adalah 1 m3 s −1 , dan 1,5 m3 s −1 , maka

dh(t ) 1 = (1 − 1,5) = −0,1666 3 dt

m 2 s −1 , yang artinya berkurangya tinggi air pada bejana sebesar 0.1667 m 2 s −1 . Jika (q1 − q0 ) semakin kecil, maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin kecil, yang berarti berkurangnya tinggi air akan semakin besar, seperti tampak pada tabel 3.2.1 diberikut ini Tabel 3.2.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk (q1 − q0 ) Semakin Kecil.

A

(q1 − q0 )

3 meter

- 4 m3 s −1

-1,3333 m 2 s −1

3 meter

- 5 m3 s −1

-1,6667 m 2 s −1

3 meter

- 6 m3 s −1

-2

dh(t ) dt

m 2 s −1

Jika A semakin besar, maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin besar, yang berarti berkurangnya tinggi air akan semakin kecil, seperti tampak pada tabel 3.2.2 berikut ini Tabel 3.2.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar

A

(q1 − q0 )

dh(t ) dt


2 meter

-1 m3 s −1

-0,5

m 2 s −1

3 meter

-1 m3 s −1

-0,333 m 2 s −1

4 meter

-1 m3 s −1

-0,250 m 2 s −1

2) Untuk q1 (t ) − q0 (t ) > 0 , maka dh(t ) 1 = (q1 (t ) − q0 (t ) ) > 0 dt A

(3.2.5)

Persamaan (3.2.5) menyatakan laju bertambahnya tinggi air pada bejana.

Contoh 3.2.2

Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter, dengan aliran air yang masuk dan keluar dari bejana berturut-turut adalah 2 m3 s −1 , dan 1 m3 s −1 , maka

dh(t ) 1 = (2 − 1) = 0,3333 m 2 s −1 , dt 3

yang artinya bertambahnya tinggi air pada bejana sebesar 0.1667 m 2 s −1 . Jika (q1 − q0 ) semakin besar, maka laju bertambahnya tinggi air pada bejana akan semakin besar, yang berati bertambahnya tinggi air pada bejana akan semakin cepat. Untuk jelasnya perhatikan dua tabel berikut ini.


Tabel 3.2.3 Bertambahnya Tinggi Air Untuk (q1 − q0 ) Semakin Besar

A

(q1 − q0 )

3 meter

4 m3 s −1

1,3333 m 2 s −1

3 meter

5 m3 s −1

1,6667 m 2 s −1

3 meter

6 m3 s −1

2

dh(t ) dt

m 2 s −1

Jika A semakin besar, maka laju bertambahnya tinggi air pada bejana akan semakin kecil, yang berati bertambahnya tinggi air pada bejana akan semakin lama. Tabel 3.2.4 Bertambahnya Tinggi Air Untuk A Semakin Besar

A

(q1 − q0 )

2 meter

1 m3 s −1

0,5

3 meter

1 m3 s −1

0,333 m 2 s −1

4 meter

1 m3 s −1

0,2

dh(t ) dt m 2 s −1

m 2 s −1

Persamaan (3.2.3) dapat ditulis lagi dalam bentuk dh(t ) λ q (t ) + h(t ) = 1 dt A A

(3.2.6)

dengan λ adalah sebuah konstanta positif. Karena aliran yang masuk ke dalam sistem bejana dianggap konstan maka persamaan (3.2.6) menjadi


dh(t ) λ q + h(t ) = 1 dt A A

(3.2.7)

Sehingga persamaan (3.2.7) dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor pengintegralan λ

e

∫ Adt

λ

= eA

λ

∫ dt

= eA

t

(3.2.8)

Persamaan (4.2.8) dikalikan ke persamaan (4.2.7) diperoleh λ

λ

t ⎛ dh(t ) t λ ⎞ q + h(t ) ⎟ = 1 e A eA ⎜ A ⎝ dt ⎠ A

λ

λ

t ⎞ t q d ⎛ ⎜ h(t )e A ⎟ = 1 e A ⎟ A dt ⎜⎝ ⎠

(3.2.9)

Karena A, q1 , dan λ adalah konstan, sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (3.2.9) diperoleh λ

e

A

t

q h(t ) = 1 A

h(t ) =

q1

λ

⎛ A λA t ⎞ ⎜ e ⎟+C ⎜λ ⎟ ⎝ ⎠ λ

+ Ce

− t A

(3.2.10)

Nilai konstanta C dapat dicari dengan menggunakan masalah nilai awal yaitu, dengan kondisi awal h(0) = h0 , maka C = h ( 0) −

q1

(3.2.11)

λ

Persamaan (3.2.11) disubsitusikan ke dalam persamaan (3.2.10) diperoleh

h(t ) =

q1

λ

λ

+e

− t A

q ⎞ ⎛ ⎜ h(0) − 1 ⎟ λ⎠ ⎝

(3.2.12)


Jadi persamaan (3.2.12) menyatakan ketinggian air pada bejana pada saat t pada bejana dengan aliran air yang masuk ke dalam bejana. h(0 ) < q

λ

1

h(0 ) = q h(0 ) > q

1

1

λ

λ

Gambar 3.2.1 Tinggi Air Bejana

Pada gambar 3.2.1 dapat dilihat bahwa tinggi air awal pada bejana dapat bertambah, berkurang, maupun tidak kedua-duanya. Jika h(0 ) < air bejana akan bertambah, jika h(0 ) >

berkurang, dan jika

h(0 ) =

q1

λ

q1

λ

q1

λ

, maka tinggi

, maka tinggi air pada bejana akan

, maka tinggi air pada bejana tidak bertambah

maupun berkurang. Untuk jelasnya perhatikan tabel berikut ini. Tabel 3.2.5 Tinggi Air Pada Bejana

h(0)

λ

A

q1

h(5)

3m

2

5m

2 m3 s −1

1,27 m

3m

2

5m

6 m3 s −1

3

3m

2

5m

7 m3 s −1

3,432 m

m


Pada tabel 3.2.5, untuk h(0 ) =

q1

λ

, maka ketinggian air pada bejana selama

5 detik akan sama dengan tinggi awal air pada bejana, untuk h(0 ) > tinggi air bejana salama 5 detik akan berkurang, dan untuk h(0 ) <

q1

λ

q1

λ

, maka

, maka tinggi

air selama 5 detik akan bertambah. Karena V = A. h(t ) maka V (t ) = A

q1

λ

λ

+e

− t A

⎛λ ⎞ A ⎜⎜ h(0) ⎟⎟ ⎝ q1 ⎠

(3.2.13)

Persamaan (3.2.13) menyatakan volume air pada saat t yang terdapat pada sistem bejana dengan adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana. Besar kecinya perubahan ketinggian air pada bejana pada persamaan (3.27) dipengaruhi oleh 3 hal yaitu luas penampang, aliran yang masuk, dan konstanta Torricelli.

1. Pengaruh Aliran Air Yang Masuk Pada Ketinggian Air Bejana

Misalkan sebuah bejana diketahui bahwa h(0) = 3 m, λ = 2 , A = 5 m,. dengan q1 berturut-turut sebesar 1 m3 s −1 , 2 m3 s −1 , 7 m3 s −1 maka ketinggian air pada bejana saat t = 5 detik dapat dilihat pada tabel berikut ini.


Tabel 3.2.6 Tinggi Air Bejana Untuk q1 Semakin Besar

h(0)

λ

A

q1

h(5)

3m

2

5m

2 m3 s −1

1,270 m

3m

2

5m

5 m3 s −1

2,567 m

3m

2

5m

7 m3 s −1

3,432 m

3m

2

5m

9 m3 s −1

4,296 m

Pada tabel 3.2.6, jika aliran air yang masuk pada bejana tersebut semakin besar maka ketinggian air pada bejana semakin meningkat, dan ketinggian air yang meningkat tersebut bisa melebihi kapasitas ketinggian awal dari bejana, seperti tampak pada gambar berikut ini.

Gambar 3.2.2 Tinggi Air Bejana Untuk Aliran Air Yang Keluar Semakin Besar

2. Pengaruh luas penampang Pada Ketinggian Air Bejana

Misalkan diketehui empat bejana dengan A berturut-turut sebesar 9 m,12 m, 15 m, dan 20 m,sebuah bejana diketahui bahwa h(0) = 3 m,


λ = 5 , q1 =1 m3 s −1 , maka ketinggian air pada bejana saat t = 5 dapat dilihat pada tabel berikut ini Tabel 3.2.7 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin Besar

h(5)

h(0)

λ

A

3m

5

9m

1 m3 s −1

0,374 m

3m

5

12 m

1 m3 s −1

0,548 m

3m

5

15 m

1 m3 s −1

0,728 m

3m

5

20 m

1 m3 s −1

1,002 m

q1

Pada tabel 3.2.7, jika luas penampang bejana semakin lama semakin besar maka ketinggian air pada bejana semakin lama semakin besar. Sehingga ketinggian air pada bejana untuk mendekati nol akan semakin lama, seperti tampak pada gambar berikut

Gambar 3.2.3 Tinggi Air Bejana Untuk A Semakin Besar

3. Pengaruh Konstanta Torricelli Pada Ketinggian Air Bejana

Misalkan sebuah bejana diketahui bahwa h(0) = 3 m, A = 5 m, q1 =1 dengan λ berturut-turut sebesar 9,12,15,20, , maka ketinggian air pada saat t = 5 dapat dilihat pada tabel berikut ini


Tabel 3.2.8 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar

h(5)

h(0)

λ

A

3m

9

5m

1 m3 s −1

0,111 m

3m

12

5m

1 m3 s −1

0,083 m

3m

15

5m

1 m3 s −1

0,666 m

3m

20

5m

1 m3 s −1

0,05 m

q1

Pada tabel 3.2.8, jika konstanta Torricelli semakin lama semakin besar maka ketinggian air pada bejana semakin lama semakin kecil. Sehingga waktu yang dibutuhkan untuk mendekati nol semakin cepat seperti pada gambar berikut ini.

Gambar 3.2.4 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar

Dari ketiga hal yang mempengaruhi ketinggian air pada bejana yang telah diuraikan di atas, maka untuk jangka waktu yang lama ketinggian air adalah λ − t⎛ ⎛q q ⎞⎞ ⎛ q ⎞ lim h(t ) = lim⎜⎜ 1 + e A ⎜ h(0) − 1 ⎟ ⎟⎟ = ⎜ 1 ⎟ t →∞ t →∞ λ λ ⎠⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝ ⎝


Ketinggian air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah ⎛ q1 ⎞ ⎜ ⎟. ⎝λ⎠

Karena V = Ah(t ) , maka ⎛q ⎞ lim V (t ) = lim( Ah(t ) ) = A ⎜ 1 ⎟ t →∞ t →∞ ⎝λ⎠

(3.2.14)

Volume air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah ⎛q ⎞ A ⎜ 1⎟ ⎝λ⎠

Ketinggian dan volume air pada sistem bejana bergantung dari banyaknya aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana dan aliran yang air yang keluar dari sistem bejana. Untuk memperoleh ketinggian yang sesuai yakni (hD ) . Maka pada sistem bejana diberikan sensor dan katup seperti gambar berikut

q0

sensor

h

A

q1

Gambar 3.2.5 Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana

dengan v1 : Katup pada pipa pertama. v2 : Katup pada pipa kedua


Agar dapat menggerakkan suatu generator dimisalkan tinggi air yang diperlukan adalah (hD ) . Sehingga masalah yang muncul adalah bagaimana model matematika agar diperoleh tinggi air (h2 ) sama dengan tinggi air (hD )

yang

sesuai pada sistem bejana. Sehingga untuk menyelesaikan masalah yang muncul diatas perlu diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut a) Kedua pipa diberi sebuah katup. b) Ukuran kedua pipa dianggap sama. c) Tinggi air yang sesuai (hD ) pada sistem bejana dianggap konstan. d) Aliran air yang masuk pada B1 dianggap konstan. e) Diberikan sebuah sensor pada bejana. Karena akan dicari agar diperoleh tinggi air (h2 ) sama dengan tinggi air

(hD )

yang sesuai pada sistem bejana, maka sensor yang digunakan adalah sensor

posisi.

Kerja dari katup pada kedua sistem bejana sebagai berikut a) Jika hD = h , maka pengaturan pada katup v1 tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada B2 akan mengalir keluar diatur oleh katup v2 .

b) Jika hD ≠ h , maka pengaturan pada katup v1 diubah kembali agar tinggi air (h ) sama dengan tinggi air (hD ) yang sesuai pada sistem bejana. Jika sudah diperoleh hD = h , maka pengaturan pada katup v1


yang diatur tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada bejana diatur oleh katup v 2 . Tujuan sensor posisi ini yaitu agar tinggi air (h ) disamakan dengan tinggi air (hD ) yang sesuai pada sistem bejana, dan jika sudah diperoleh hD = h2 , maka aliran air yang keluar pada bejana keluar melalui katup v 2 . Dan jika diperoleh hD ≠ h , terjadi dua kasus yaitu :

a) Jika hD > h , maka terdapat kekurangan tinggi air pada sistem bejana sehingga katup v1 dikontrol kembali agar dapat diperoleh hD = h . b) Jika hD < h , maka terdapat kelebihan tinggi air pada sistem bejana, sehingga katup v1 dikontrol kembali Karena pada untuk memperoleh hD = h , maka diasumsikan q1 (t ) menjadi kesalahan sensor posisi yaitu q1 (t ) = K [hD (t ) − h(t )]

dimana

(3.2.15)

K : Konstanta ( m 2 s −1 )

Persamaan (3.2.7) dan (3.2.15) diperoleh K dh(t ) (K + λ ) + h(t ) = hD (t ) dt A A Faktor pengintergralan e

maka

∫

(λ + K ) dt A

=e

(λ + K ) dt A

∫

=e

(λ + K ) t A

(3.2.16)


h(t ) =

1

λ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ K⎠ ⎝

hD + C e

−

(λ + K ) t A

(3.2.17)

dimana C : konstanta. Dengan menggunakan masalah nilai awal, yaitu h(0) = h0 , diperoleh ⎛ ⎜ 1 C = h ( 0) − ⎜ ⎜1+ λ ⎜ K ⎝

⎞ ⎟ ⎟hD ⎟ ⎟ ⎠

(3.2.18)

Sehingga dari persamaan (3.2.17) dan (3.2.18) diperoleh

h(t ) = e

−

(λ + K ) t A

(λ + K ) ⎛ ⎜ 1 − e− A h(0) + ⎜ ⎜ 1+ λ ⎜ K ⎝

⎞ ⎟ ⎟hD ⎟ ⎟ ⎠

(3.2.19)

Karena V (t ) = A. h(t ) , maka

V (t ) = e

−

(λ + K ) t A

(λ + K ) ⎛ ⎜ 1 − e− A h(0) A + A⎜ ⎜ 1+ λ ⎜ K ⎝

⎞ ⎟ ⎟hD ⎟ ⎟ ⎠

(3.2.20)

Ketinggian dan volume air pada bejana, untuk waktu jangka waktu yang lama adalah (λ + K ) ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ − ⎜⎛ (λ + K ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎞ 1− e − ⎟hD ⎟ lim h(t ) = lim⎜ ⎜ h((0)e A ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ t →∞ t → ∞⎜ ⎜ λ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ 1+ ⎟ ⎟ ⎜⎝ K ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

=

hD 1+

λ

K

(3.2.21)


Untuk nilai

K →∞

λ

maka

Sedangkan untuk nilai λ → ∞ maka

K

λ K

→ 0 , sehingga

[(

[1 (1 + λ K )] → 1 .,

)]

→ ∞ , sehingga 1 1 + λ K → 0 .

Sehingga untuk mendapatkan tinggi air sama dengan tinggi air (hD ) yang sesuai pada sistem bejana, dipilih nilai K sebesar mungkin dan nilai λ sekecil mungkin. Karena V = Ah(t ) , maka

limV (t ) = lim( Ah(t ) ) t →∞

t →∞

= lim A lim h(t ) t →∞

= A hD

t →∞

(3.2.22)

Berikut ini akan dibahas mengenai bagaimana memperoleh ketinggian yang sesuai pada sistem dua bejana.


BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJANA

Untuk dapat memodelkan matematika pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air pada sistem bendungan khususnya sistem bendungan yang terdiri dua bendungan, dimana bendungan yang satu terletak dari bendungan yang lain, maka gambar (3.2) dan gambar (3.3) di atas dikembangkan menjadi

h1

q12

A1 h2

q0

A2

Gambar 4.1 Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk

q1 h1 q12 A1

h2 A2

q0

Gambar 4.2 Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk


dengan B1 : Sistem Bejana yang terletak diatas. B2 : Sistem Bejana yang terletak dibawah. h1 : Tinggi air pada B1 (m) h2 : Tinggi air pada B2 (m)

(

q1 : Aliran air yang masuk pada B1 m 3 s −1

)

q12 : Aliran air yang keluar dari B1 dan masuk pada B2

(m s ). 3 −1

(

q0 : Aliran air yang masuk pada B2 m 3 s −1

)

( )

A1 : Luas penampang pada B1 m 2 .

( )

A2 : Luas penampang pada B2 m 2 .

Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa pada bagian bawah masingmasing sistem bejana tersebut diberi saluran air yang berupa pipa, yang berfungsi sebagai jalan keluarnya air.

A.

Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya Masalah yang muncul pada dua sistem bejana seperti pada gambar 4.1

adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada B2 . Untuk itu beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi, yaitu :


a) Tinggi dan volume air B1 pada keadaan awal adalah tertentu, h0 dan

V0 . b) Keadaan awal B2 adalah kosong. c) Ukuran pipa aliran air yang keluar dari B1 lebih besar dari pipa aliran air yang keluar dari B2 . d) Tidak ada aliran yang masuk pada B1 . e) Tidak ada pengaturan pada pipa dari kedua sistem bejana. f) Tidak ada kebocoran pada kedua pipa sistem bejana. g) Besarnya kedua bejana di anggap sama. Misalkan V1 (t ) adalah volume air pada B1 saat t, maka

dV1 (t ) adalah laju dt

perubahan volume air pada B1 saat t, yakni aliran air yang masuk pada saat t dikurangi dengan aliran air yang keluar pada saat t, dengan kata lain dV1 (t ) = q1 (t ) − q12 (t ) dt

(4.1.1)

V1 (t ) = A1h1 (t )

(4.1.2)

dV1 (t ) d dh (t ) = [ A1h1 (t )] = A1 1 dt dt dt

(4.1.3)

Diketahui

maka

Dari persamaan (4.1.1) dan persamaan (4.1.3) diperoleh A1

dh1 (t ) = q1 (t ) − q12 (t ) dt

(4.1.4)


Untuk mencari aliran air yang keluar q12 (t ) pada pipa B1 pada saat t, digunakan teorema Torricelli yaitu q12 (t ) = λ1h1 (t )

(4.1.5)

dengan λ adalah sebuah konstanta positif. Sehingga dari persamaan (4.1.4) dan persamaan (4.1.5) diperoleh A1

dh1 (t ) + λ1h1 (t ) = q1 (t ) dt

Karena tidak ada aliran air yang masuk pada B1 , maka

A1

dh1 (t ) + λ1h1 (t ) = 0 dt

(4.1.6)

dh1 (t ) q (t ) = − 12 dt A1

(4.1.7)

Persamaan (4.1.7), yakni menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada bejana. Misalkan D ≡

d , persamaan (4.1.6) dapat ditulis dt

( A1D + λ1 )h1 (t ) = 0

(4.1.8)

Dengan cara yang sama, maka untuk B2 diperoleh dh1 (t ) 1 = (q12 (t ) − q0 (t )) dt A2

(4.1.9)

Karena diasumsikan di atas, maka persamaan (4.1.9) dinyatakan sebagai laju bertambahnya tinggi air pada B2 . Misalkan D ≡

d , persamaan (4.1.9) dapat dt

ditulis A2

dh1 (t ) + λ 2 h2 (t ) = q12 (t ) dt

(4.1.10)


Misalkan D ≡

d , maka persamaan (4.1.10) dapat ditulis dt

(A D + λ )h (t ) = q 2

2

12 (t )

(4.1.11)

1 h1 (t )

(4.1.12)

2

Dari persamaan (4.1.5), diperoleh

(A D + λ )h (t ) = λ 2

2

2

(

Bila kedua ruas pada persamaan (4.1.12) dikalikan dengan A1 D + λ

1

),

diperoleh

(A D + λ )h (t )(A D + λ ) = λ Karena (A D + λ )h (t ) = 0 , maka 2

2

1

1

2

1

1

1 h1 (t )

(A D + λ ) 1

1

(4.1.13)

1

(A D + λ )h (t )( A D + λ ) = 0 . 2

2

(A A D

2

2 1

Karena D ≡

2

1

1

+ ( A2 λ 1 +λ 2 A1 ) D + λ 1λ

2

)h (t ) = 0 2

d2 d maka D 2 ≡ 2 , maka dt dt

⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎜ A2 A1 ⎜ d ⎟ + ( A2 λ 1 + λ 2 A1 ) ⎛⎜ d ⎞⎟ + λ 1λ 2 ⎟h2 (t ) = 0 ⎜ dt 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ dh (t ) d 2 h2 (t ) 2 + 2 ξ ω n 2 + ω n h2 (t ) = 0 2 dt dt

dengan

ξ=

λ 1 A2 + λ 2 A 1 dan 2 A1 A2 λ1λ 2

ωn2 =

λ 1λ

2

A1 A2

dimana

ξ : Rasio Peredam dan ω n : Frekuensi Alami.

(4.1.14)


Penyelesaian persamaan (4.1.14) terda pat tiga kasus yaitu : a) Kasus Diredam Berlebihan bila ξ > 1 , mempunyai penyelesaian yaitu :

h2 (t ) = c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ

2

−1) t

(4.1.15)

Persamaan (4.1.15) menyatakan tinggi air pada bejana B2 saat t. Karena V2 (t ) = A2 h2 (t), maka V2 (t ) = A2 (c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ

2

−1) t

)

(4.1.16)

Persamaan (4.1.16) menyatakan volume air pada bejana B2 saat t . Dengan c1 , c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan

dh2 (0) , seperti yang diuraikan dt

dibawah ini. Misalkan

h2 (t ) = c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ

2

−1) t

h2 (0) = A ,

dh2 (0) = B maka diperoleh c1 dan c2 adalah sebagai berikut. dt

(

⎛⎛ B ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ + A ξ + ξ 2 −1 ⎜⎜ω ⎟ c2 = ⎜ ⎝ n ⎠ 2 ξ 2 −1 ⎜ ⎜ ⎝

)⎞⎟⎟

(

⎛⎛ B ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ + A ξ + ξ 2 −1 ⎜ ⎜⎝ ω n ⎟⎠ = − c A dan 1 ⎜ ⎟ 2 ξ 2 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

)⎞⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Sehingga untuk t → ∞ maka h2 (t ) → 0 dan V2 (t ) → 0 , yang berarti untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana B2 .


Contoh 4.1.1 Misalkan diketahui bahwa bahwa ξ =

5 2 6

, ω n = 6 , keadaan mula-

mula air pada B2 adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada B2 adalah 1 dan 2, maka dapat ditulis sebagai berikut

dh (0) d 2 h2 (t ) dh (t ) + 5 2 + 6h2 (t ) = 0 , h2 (0) = 0 , 2 = 1,2 ,3 2 dt dt dt Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.1 dibawah Tabel 4.1.1 Tinggi Air

h2 (0)

0

dh2 (0) dt 1

0,148 m

Waktu h2 max 0,405 detik

−3t

0,296 m

0,405 detik

0,444 m

0,405 detik

h2 max

h2 (t )

h2 (t ) = e −2t − e −3t −2 t

0

2

h2 (t ) = 2 e

−2 e

0

3

h2 (t ) = 3 e −2t − 3 e −3t

Pada tabel 4.1.1 di atas, walaupun waktu peningkatan air yang terjadi pada B2 adalah sama akan tetapi peningkatan air yang terjadi pada B2 berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya

tinggi air

pada B2 , sehingga semakin besar laju awal pada B2 maka semakin tinggi peningkatan air B2 . Akibatnya semakin lama untuk mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.


Gambar 4.1.1 Tinggi Air

b) Kasus Diredam Kritis bila ξ = 1 , mempunyai penyelesaian yaitu :

h2 (t ) = e

− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc2 )

(4.1.17)

Persamaan (4.1.17) menyatakan tinggi air pada bejana B2 saat t. Karena V2 (t ) = A2 h2 (t), maka V2 (t ) = A2 e

− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc2 )

(4.1.18)

Persamaan (4.1.18) menyatakan volume air pada bejana B2 saat t. Dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan


dibawah ini. Misalkan h2 (t ) = = e

− (ω n ) t

(c1 + tc 2 ) ,

h2 (0) = A ,

maka diperoleh c1 dan c2 adalah sebagai berikut c2 = (B − A(1 − ω n )) dan c1 = A

dh2 (0) =B dt


Sehingga untuk t → ∞ maka h2 (t ) → 0 dan V2 (t ) → 0 , yang berarti untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana B2 .

Contoh 4.1.2

Misalkan diketahui bahwa bahwa ξ = 1 , ω n = 3 , keadaan awal B2 adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada B2 adalah 1,2,3 maka dapat ditulis sebagai berikut dh2 (0) d 2 h2 (t ) dh (t ) = 1 ,2 ,3 + 6 2 + 9h(t ) = 0 , h2 (0) = 0 , 2 dt dt dt

Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.2 dibawah Tabel 4.1.2 Tinggi Air

h2 (t )

h2 max

h2 (t ) = e −3t t

0,12 m

Waktu h2 max 0,333 detik

0

dh2 (0) dt 1

0

2

h2 (t ) = 2 e −3t t

0,24 m

0,333 detik

0

3

h2 (t ) = 3 e −3t t

0,36 m

0,333 detik

h2 (0)

Pada tabel 4.1.2 di atas, walaupun peningkatan air yang terjadi pada B2 adalah sama akan tetapi peningkatan yang terjadi pada B2 berbeda-

beda sesuai dengan laju awal bertambahnya

tinggi air pada B2 ,

sehingga semakin besar laju awal pada B2 maka semakin tinggi peningkatan air B2 . Akibatnya semakin lama untuk mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.



c) Kasus Diredam Berkurang bila 0 < ξ < 1 , mempunyai penyelesaian yaitu : h2 (t ) = e

− (ξω

n

(

)

(

)

⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜ c1 cos⎜ ω n 1 − ξ t ⎟ + c2 sin ⎜ ω n 1 − ξ t ⎟ ⎟ (4.1.19) ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝

)⎛

Persamaan (4.1.19) menyatakan tinggi air bejana B2 saat t. Karena V2 (t ) = A2 h2 (t), maka V2 (t ) = A2 e

− (ξω

n

(

)

(

)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ 2 2 ⎜ c1 cos⎜ ω n 1 − ξ t ⎟ + c2 sin ⎜ ω n 1 − ξ t ⎟ ⎟ (4.1.20) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝

)⎛

Dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan


dibawah ini. Misalkan h2 (t ) = e

− (ξω

n

(

)

(

)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ 2 2 ⎜ c1 cos⎜ ω n 1 − ξ t ⎟ + c2 sin ⎜ ω n 1 − ξ t ⎟ ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝

)⎛


h2 (0) = A ,

dh2 (0) =B dt

maka diperoleh c1 dan c2 adalah sebagai berikut c2 =

B + Aω nξ

ωn 1 − ξ 2

, dan c1 = A

Sehingga untuk t → ∞ maka h2 (t ) → 0 dan V2 (t ) → 0 , yang berarti untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana B2 . Dengan menggunakan identitas trigonometri, maka persamaan (4.1.19) dapat ditulis lagi menjadi h2 (t ) = e

− (ξ .ω ) t

= Ce

n

(c cos((S ) t ) + c sin ((S ) t )) 1

− (ξ .ω ) t n

2

(cos((S ) t − γ ))

(4.1.21)

dengan S = ω n 1 − ξ 2 , C = c1 + c2 , sin γ = 2

2

c2 c c , cos γ = 1 , tan γ = 2 C C c1

Jadi tinggi air B2 dapat juga ditulis pada persamaan (4.1.21).

Contoh 4.1.3

Misalkan diketahui bahwa ξ =

4 , ω n = 13 , keadaan mula-mula 2 13

pada B2 adalah kosong, dan laju bertambahnya air B2 pada mulanya adalah 1,2,3 maka dapat ditulis sebagai berikut dh (0) d 2 h2 (t ) dh (t ) + 4 2 + 13h(t ) = 0 , h2 (0) = 0 , 2 = 1 ,2,3 2 dt dt dt


Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.4.3 dibawah ini. Tabel 4.1.3 Tinggi Air

h2 (0)

dh2 (0) dt

1

1

2

2

3

3

h2 (t )

1 h2 (t ) = e − 2t sin (3t ) 3 2 h2 (t ) = e − 2t sin (3t ) 3 h2 (t ) = e −2t sin (3t )

Waktu Waktu h2 max B2 kosong 0,144 m 0,327 π 3 0,288 m 0,327 π 3 0,432 m 0,327 π 3 h2 max

dimana π : 3,14 Pada tabel 4.1.3 di atas, air pada B2 dapat menjadi kosong saat

π 3

, dan

peningkatan air yang terjadi pada B2 sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada B2 , jadi semakin besar laju awal pada B2 maka semakin tinggi peningkatan air

B2 . Akibatnya semakin

besar laju awal bertambahnya air pada

B2 semakin lama untuk

mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.

Gambar 4.1.3 Tinggi Air .


Dari ketiga kasus yang telah dipaparkan di atas untuk ketinggian dan volume air yang terdapat pada sistem bejana yang terletak di bawah untuk waktu yang lama akan mendekati nol yang berarti untuk jangka waktu yang lama sistem bejana yang terletak dibawah akan kosong, hal ini disebabkan karena pada sistem bejana yang terletak di atas tidak ada aliran yang masuk kedalam sistem tersebut. Sehingga hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa selalu ada air yang terdapat pada bendungan, baik bendungan yang terletak di atas maupun bendungan yang terletak dibawahnya. Akibatnya model matematika pada dua bejana yang telah dipaparkan di atas dikatakan belum baik. Sehingga model matematika pada dua bejana yang telah diuraikan di atas perlu dikembangkan lagi seperti yang dipaparkan berikut ini.

B.

Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya

Model matematika pada dua bejana di atas dikembangkan lagi dengan memberikan aliran yang masuk pada sistem bejana yang terletak diatasnya seperti pada gambar 4.2, sehingga masalah yang muncul pada sistem bejana pada gambar 4.2 adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada B2 . Untuk itu penyedehanaan atau asumsi-asumsi di atas perlu diberikan lagi

yaitu a) Tidak ada pengaturan pada pipa untuk aliran air yang masuk pada B1 . b) Aliran yang masuk pada B1 dianggap konstan.


Karena adanya aliran yang masuk pada B1 , maka dari persamaan (4.1.12) diperoleh

(( A A D 2 1

2

)

+ ( A2λ 1+ λ2 A1 ) D + λ1λ2 h2 (t ) = λ1qi

d2 d 2 Karena D ≡ maka D ≡ 2 , sehingga diperoleh dt dt d 2 h2 (t ) dt

2

⎛ A λ 1 + A1λ + ⎜⎜ 2 A1 A2 ⎝

2

⎞ dh2 (t ) ⎟ ⎟ dt + ⎠

⎛ λ 1λ 2 ⎜ ⎜ AA ⎝ 1 2

⎞ ⎛ ⎟h2 (t ) = ⎜ λ 1 ⎜AA ⎟ ⎝ 1 2 ⎠

⎛ λ1 ⎞ d 2 h2 (t ) dh (t ) 2 ⎟q1 + 2 ξ ω n 2 + ω n h2 (t ) = ⎜⎜ 2 ⎟ dt dt ⎝ A1 A2 ⎠

⎞ ⎟q1 ⎟ ⎠

(4.2.1)

Penyelesaian pada persamaan (4.2.1) terdiri dari dua, yaitu penyelesaian ruas kiri dan penyelesaian ruas kanan, dimana penyelesaian ruas kiri telah diuraikan di atas, maka dicari penyelesaian ruas kanan, yakni dengan cara misalkan h2 (t ) = b

(4.2.2)

dh2 (t ) d 2 h2 (t ) = 0 dan =0 dt d 2t

(4.2.3)

maka

Dari persamaan (4.2.2) dan (4.2.3), maka persamaan (4.2.1) diperoleh

⎛ α1 b=⎜ ⎜ A1 A2ω ⎝

2

⎞ ⎟q1 ⎟ n ⎠

(4.2.4)

Sehingga ⎛ α1 ⎞ ⎛α q ⎟q = ⎜ 1 1 h2 (t ) = ⎜⎜ 2 ⎟ i ⎜AA ⎝ 1 2 ⎝ A1 A2ω n ⎠

⎞ 1 R ⎟⎟ 2 = 2 ωn ⎠ ωn

(4.2.5)


⎛ α q (t ) ⎞ dengan R = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ . ⎝ A1 A2 ⎠

a) Kasus Diredam Berlebihan bila ξ > 1 , mempunyai penyelesaian, yaitu .

h2 (t ) = c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ

2

−1) t

+

R

(4.2.6)

ωn2

dimana c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ −1 ) t 2

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ −1) t 2

R

: Tinggi Air B2 Sementara. : Tinggi Air B2 Stabil.

ωn2

Persamaan (4.2.6) menyatakan tinggi air bejana B2 saat t. Karena V2 (t ) = A2 h2 (t), maka V2 (t ) = A2 (c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ 2 −1) t

)+

A2 R

ωn2

(4.2.7)

Persamaan (4.2.7) menyatakan volume air pada bejana B2 saat t dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan


dibawah ini. Misalkan h2 (t ) = c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ

2

−1) t

+

R

ωn2

, h2 (0) = A ,



(

⎛⎛ B ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜ A − R ⎟ −ξ − ξ 2 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ω n ⎟⎠ ⎜ ω c2 = ⎜ ⎝ n ⎠ ⎝ 2 ξ 2 −1 ⎜ ⎜ ⎝

)⎞⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(

⎛⎛ B ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜ A − R ⎟ − ξ − ξ 2 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ω n ⎟⎠ R ⎜ ⎝ ωn ⎠ ⎝ c1 = A − −⎜ ωn ⎜ 2 ξ 2 −1 ⎜ ⎝ Untuk t → ∞ maka dan h2 (t ) =

R

ωn

2

dan V2 (t ) =

)⎞⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

R

ωn2

Contoh 4.2.1

Misalkan diketahui bahwa bahwa ξ =

5 2 6

, ω n = 6 , tinggi mula-

mula air pada B2 adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada B2 adalah 1, 2,3 dengan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai

berikut dh (0) d 2 h2 (t ) dh (t ) + 5 2 + 6h2 (t ) = 1 , h2 (0) = 0 , 2 = 1,2 ,3. 2 dt dt dt Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.2.1 berikut ini Tabel 4.2.1 Tinggi Air

h2 (0)

h2 (t )

0

dh2 (0) dt 1

0

2

1 − 2 t 2 − 3t 1 e − e + 2 3 6 3 5 1 h2 (t ) = e − 2t − e − 3t + 2 3 6 h2 (t ) =

h2 max

Waktu h2 max

0,208 m

0,693 dtk

0,346 m

0,510 detik


0

3

h2 (t ) =

5 − 2 t 8 − 3t 1 e − e + 2 3 6

0,492 m

0,470 deitk

Pada tabel 4.2.1 diatas, peningkatan air yang terjadi pada B2 adalah berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada B2 sehingga

semakin besar laju awal pada B2 maka semakin tinggi

peningkatan

air

B2 .

Akibatnya semakin besar laju awal

bertambahnya air pada B2 semakin lama untuk mendekati 0,66 m. Cepat atau lamanya air pada B2 akan stabil bergantung dari besar kecilnya laju awal bertambahnya air pada B2 yang diberikan, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.

Gambar 4.2.1 Tinggi Air b) Kasus Diredam Kritis bila ξ = 1 , yang mempunyai penyelesaian, yaitu

h2 (t ) = e

− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc 2 ) +

R

(4.2.8)

ωn2

dimana e

− (ξ .ω ) t n

R

ωn2

(c1 + tc2 ) : Tinggi Air

B2 Sementara

: Tinggi Air B2 Stabil.



− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc2 ) + A2 R2

(4.2.9)

ωn

Persamaan (4.2.9) menyatakan volume air bejana B2 saat t. Dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan


dibawah ini. Misalkan h2 (t ) = = e

− (ω n ) t

(c1 + tc 2 ) +

R

ωn

2

,

h2 (0) = A ,

dh2 (0) =B dt

maka diperoleh c1 dan c2 adalah sebagai berikut ⎛ R ⎞ c2 = B − ⎜⎜ A − 2 ⎟⎟ ωn ⎠ ⎝ Untuk t → ∞ maka dan h2 (t ) =

dan

R

ωn

2

c1 = A −

dan V2 (t ) =

R

ωn2

R

ωn2

Contoh 4.2.2

Misalkan diketahui bahwa bahwa ξ = 1 , ω n = 3 , tinggi mula-mula air pada B2 kosong, dan laju awal bertambahnya air pada B2 adalah 1,2,3 dan dengan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai berikut dh2 (0) d 2 h2 (t ) dh (t ) + 6 2 + 9h(t ) = 1 , h2 (0) = 0 , = 1 ,2,3 2 dt dt dt


Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.2.2 dibawah ini. Tabel 4.2.2 Tinggi Air

0

dh2 (0) dt 1

0

2

0

3

h2 (0)

h2 (t )

1 − 3t 2 − 3t 1 e + e t+ 9 3 9 1 5 1 h2 (t ) = − e − 3t + e − 3t t + 9 3 9 1 5 1 h2 (t ) = − e − 3t + e − 3t t + 9 3 9 h2 (t ) = −

h2 max Waktu h2 max 0,16 m 0,5 dtk

0,27 m 0,4 dtk 0,39 m 0,375 dtk

Pada tabel 4.2.2 di atas, peningkatan air yang terjadi pada B2 adalah berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada B2 sehingga semakin besar laju awal pada B2 maka semakin tinggi peningkatan air B2 .. Akibatnya semakin besar laju awal bertambahnya air pada B2 semakin lama untuk mendekati 0,11 m Cepat atau lamanya air pada B2 akan stabil bergantung dari besar kecilnya laju awal bertambahnya air pada B2 yang diberikan, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.



c) Kasus Diredam Berkurang bila 0 < ξ < 1 , mempunyai penyelesaian,

ya itu : h2 (t ) = Ce

− (ω n ) t

(cos((S ) t − γ ))+

R

(4.2.10)

ωn2

dengan

S = ω n 1 − ξ 2 , C = c1 + c2 , sin γ = 2

2

c c2 c , cos γ = 1 , tan γ = 2 c1 C C

dimana Ce

− (ω n ) t

(cos((S ) t − γ )) : Tinggi Air B

2

R

Sementara


ωn2

Persamaan (4.2.10) menyatakan tinggi air pada bejana B2 saat t. Karena V2 (t ) = A2 h2 (t), maka V2 (t ) = A2 Ce

− (ω n ) t

(cos((S ) t − γ )) + A R 2

(4.2.11)

ωn2

Persamaan (4.2.11) menyatakan volume air pada bejana B2 saat t Dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan


dibawah ini. Misalkan h2 (t ) = e

− (ω n ) t

h2 (0) = A ,

(c cos(ω 1

dh2 (0) =B dt

n

)

(

))

1 − ξ 2 t + c2 sin ω n 1 − ξ 2 t +

R

ωn2


maka diperoleh c1 dan c2 adalah sebagai berikut

c2 =

⎞ ⎛ B + ⎜⎜ A − R 2 ⎟⎟ (ξω n ) ωn ⎠ ⎝

ωn 1 − ξ 2

Sehingga untuk t → ∞ maka h2 (t ) =

dan c1 = A −

R

ωn

2

R

ωn2

dan V2 (t ) =

R

ωn2

.

Contoh 4.2.3

Misalkan diketahui bahwa bahwa ξ =

4 2 13

, ω n = 13 , pada

awalnya tidak ada air pada B2 , dan laju awal bertambahnya tinggi air B2 adalah 1,2,3 dan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai berikut

dh (0) d 2 h2 (t ) dh (t ) + 4 2 + 13h(t ) = 1 , h2 (0) = 0 , 2 = 1 ,2,3 2 dt dt dt Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada Tabel 4.2.3 berikut ini Tabel 4.2.3 Tinggi Air

h2 (0)

dh2 (0) dt

0

1

0

2

0

3

h2 (t )

h2 max

1 − 2t ⎛ 1 0,18 m e ⎜ − cos(3t ) + 11 sin(3t ) ⎞⎟ + 3 ⎝ ⎠ 13 13 0,32 m 1 1 h2 (t ) = e − 2t (− cos(3t ) + 8 sin(3t ) ) + 13 13 1 − 2t ⎛ 1 0,35 m h2 (t ) = e ⎜ − cos(3t ) + 37 sin(3t ) ⎞⎟ + 3 ⎝ ⎠ 13 13 h2 (t ) =

Wktu h2 max 0.486 0,369 0,466


Pada tabel 4.2.3 di atas, peningkatan air yang terjadi pada B2 adalah berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada B2 semakin besar laju awal pada B2 maka semakin tinggi

sehingga

peningkatan air

B2 . Akibatnya semakin besar laju awal bertam

bahnya air pada B2 semakin lama untuk mendekati 0,076 m.. Cepat atau lamanya air pada B2 akan stabil bergantung dari besar kecilnya laju awal bertambahnya air pada B2 yang diberikan, seperti yang diilustrasikan pada gambar dibawah ini.


Dari ketiga kasus tersebut, maka ketinggian air pada B2 dalam jangka waktu yang lama mendekati

akan stabil sebesar

R

ωn2

R

ωn2

, yang berarti dalam jangka waktu yang lama B2

.

Untuk dapat mengetahui pengaruh rasio peredam pada bejana B2 pada keadaan stabil diasumsikan bahwa bejana B2 dalam keadaan kosong dan tanpa laju bertambahnya ketinggian air pada bejana B2 , seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut.


Gambar 4.2.4. Rasio Peredam 0 < ξ < 1

Gambar 4.2.4 di atas dapat dipisahkan menjadi dua bagian seperti berikut.

Gambar 4.2.5 Rasio Peredam 0,1 < ξ < 0,5

Gambar 4.2.6 Rasio Peredam 0,7 < ξ < 0,9


Pada gambar (4.2.5) dan (4.2.6 ) di atas, dapat dilihat bahwa semakin kecil rasio peredam semakin besar kelebihan air dan kekurangan air yang terjadi pada bejana B2 . Sehingga untuk mencapai tinggi air yang stabil semakin lama. Sedangkan untuk rasio peredam lebih besar dari 1, tinggi air pada bejana B2 akan semakin mengecil, semakin lama untuk mencapai tinggi air yang stabil semakin lama, seperti yang pada gambar berikut.

Gambar 4.2.7 Rasio Peredam ξ > 1

Sedangkan untuk rasio peredam sama dengan 1 tinggi air pada bejana B2 akan semakin mengecil, semakin lama untuk mencapai tinggi air yang stabil semakin lama, seperti yang pada gambar berikut.

Gambar 4.2.8 Rasio Peredam ξ = 1


Pada ketiga gambar di atas, terlihat bahwa rasio peredam kurang dari satu yang mengalami beberapa gejolak, yakni kelebihan air dan kekurangan air, sehingga keadaan air pada bejana B2 tidak menentu. Semakin kecil rasio peredamnya semakin besar kelebihan dan kekurangan air yang terjadi, sehingga semakin lama tinggi air akan stabil. Untuk itu perlu dicari rasio peredam yang sesuai agar waktu yang diperlukan untuk stabil tidak terlalu lama. Agar memudahkan perhitungan, misalkan bahwa R = ω n 2 , sehingga dapat dicari waktu bejana B2 kelebihan dan kekurangan air untuk jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 4.2.4

Misalkan diketahui bahwa rasio peredam sebesar 0,03, 0,1, 0,3, frekuensi alaminya sebesar 1, tidak adanya tinggi dan laju tinggi air pada B2 , dan R = 1 , maka tinggi air pada bejana B2 saat t seperti diilustrasikan pada gambar berikut ini.



Pada gambar 4.2.9 di atas, dapat dilihat bahwa semakin kecil rasio peredam, maka semakin besar kelebihan dan kekurangan air pada B2 . Kelebihan air pada bejana B2 dirumuskan sebagai berikut h2 (t ) =

C−B B

(4.2.12)

Kekurangan air pada bejana B2 dirumuskan sebagai berikut h2 (t ) =

B−D B

(4.2.13)

dimana B : Ketinggian Air Pada Bejana B2 Saat Stabil. C : Ketinggian Air Pada Bejana B2 Saat Maksimum. D : Ketinggian Air Pada Bejana B2 Saat Manimum.

Contoh 4.2.5

Misalkan diketahui bahwa rasio peredam sebesar 0,02, frekuensi alaminya sebesar 100, tidak adanya tinggi dan laju tinggi air pada B2 , dan hDW = 1 00, maka tinggi air pada bejana B2 saat t adalah

( )

( )

⎛ ⎞ 6 h2 (t ) = e −2t ⎜⎜ − sin 4 6 t + cos 4 6 t ⎟⎟ + 1 ⎝ 12 ⎠ Tinggi air pada bejana B2 akan maksimum dan minimum bila

( )

⎛ 25 6 ⎞ h2 ' (t ) = e −2t ⎜⎜ sin 4 6 t ⎟⎟ = 0 ⎝ 6 ⎠ diperoleh

t=

nπ

ωn 1−ξ

2

untuk n = 1,2,3 …


Tinggi maksimum terjadi pada saat n = 1 , yaitu t=

π 10 1 − 0,02 2

=

3,14 = 0,314 9,9979

Sehingga untuk t = 0,314 diperoleh h2 (0,314 ) = 1,53 meter

Jadi tinggi maksimum air adalah h2 (t ) =

1,53 − 1 = 0,53 meter 1

Tinggi maksimum terjadi pada saat n = 2 , yaitu t=

2π 10 1 − 0,02 2

=

6,28 = 0,628 meter 9,9979

Sehingga untuk t = 0,314 diperoleh h2 (0,628) = 0,725 meter

Jadi tinggi minimum air adalah

h2 (t ) =

1 − 0,725 = 0,275 1

Sehingga tinggi maksimum air pada bejana B2 sekitar 54 % dan tinggi minimum air pada bejana B2 sekitar 27,5 % , untuk jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.



Perbandingan (rasio) untuk tinggi air maksimumnya yang pertama dengan yang kedua, yaitu

⎛x ⎞ 2πξ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎝ x3 ⎠ ⎛⎜ 1 − ξ ⎝ dimana x1 : Tinggi Maksimum Pertama.

2

⎞ ⎟ ⎠

x3 : Tinggi Maksimum Kedua.

Dengan cara yang sama dapat dibuat perbandingan (rasio) untuk tinggi air

minimumnya yang pertama dengan yang kedua, yaitu ⎛x ln⎜⎜ 2 ⎝ x4

⎞ 2πξ ⎟⎟ = ⎠ ⎛⎜ 1 − ξ ⎝

dimana x 2 : Tinggi Maksimum Pertama.

2

⎞ ⎟ ⎠

x 4 : Tinggi Maksimum Kedua.

Jadi interval waktu kelebihan dan kekurangan air yang pertama dan kedua sebesar 2π

t=

ωn 1−ξ

2

Agar lebih mudah dibuat perumusan umum untuk mencari saat terjadinya tinggi maksimum dan tinggi minimumnya dengan menganggap R = ω n 2 , diperoleh h2 (t ) = e

−ω ξ t ⎛

Untuk h2 (0) = 0, dan

n

⎛ ⎜ c1 cos⎜ 1 − ξ ⎝ ⎝

2

⎞⎟ω t + c sin ⎛⎜ 1 − ξ 2 ω t ⎞⎟ ⎞ + 1 ⎟ n 2 ⎠ n ⎝ ⎠⎠

dh2 (0 ) = 0 , maka dt


⎡ ⎛ 1−ξ ⎜ sin ⎢ω n 1 − ξ 2 t − tan −1 ⎜ ⎢ ⎜ −ξ ⎢⎣ ⎝

e −ω ξ .t n

h2 (t ) =

1−ξ

2

2

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ + 1 ⎟ ⎠⎥⎦

Jadi dh2 (t ) ω n e −ω ξ .t = sin ⎡ω n 1 − ξ 2 t ⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ dt 1−ξ n

Untuk

dh2 (t ) = 0 , diperoleh dt

nπ

t=

untuk n = 1,2,3 …

2

ωn 1−ξ

(4.2.14)

Bila n adalah ganjil maka terjadi kelebihan air pada bejana B2 dan untuk n genap maka terjadi kekurangan air pada bejana B2 1

Amplitudo yang terjadi pada tinggi air di bejana B2 adalah Amplitudo B = 2

Amplitudo B = 2

e −ω ξ .t n

1−ξ

2

e −ω ξ .t n

1−ξ

±1

2

(4.2.15)

+ 1 = 1,05 , maka dengan menyelesaikan dalam

bentuk tω n diperoleh tω n = −

t=−

1

ξ

ln ⎡0,05 1 − ξ ⎢⎣

ln ⎡0,05 1 − ξ ⎢⎣ ω nξ 1

2

2

⎤ ⎥⎦

⎤ ⎥⎦

Untuk rasio peredam yang sangat kecil dapat ditulis 1

Amplitudo adalah besar simpangan maksimum

(4.2.16)


t≅

Amplitudo B = 1 − 2

3

(4.2.17)

ω nξ

e −ω ξ .t n

1−ξ

t=

1

ω nξ

2

= 0,95 , maka dengan analog dapat dituli

ln ⎡0,05 1 − ξ ⎢⎣

2

⎤ ⎥⎦

(4.2.18)

Untuk rasio peredam yang sangat kecil dapat ditulis t≅

3

(4.2.19)

ω nξ

Persamaan (4.2.16) sampai dengan (4.2.19) dikenal dengan Settling Time yakni waktu yang diperlukan untuk dapat memberikan respon terhadap tinggi air bejana B2 dan sisanya sekurang-kurangnya 5 % dari ketinggian air pada bejana B2 saat t. Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut ini.

1+

exp(−ξ ω n t ) 1−ξ

2

1,05

0,95 1−

exp(−ξ ω n t ) 1−ξ

2


Pemilihan rasio peredam yang baru dapat dicari dengan beberapa cara, akan tetapi yang dibahas pada skripsi ini hanya tiga cara yaitu


⎡ ξ a) Dengan nilai maksimum dari tan ⎢ ⎢ 1−ξ ⎢⎣

⎡ ξ tan ⎢ ⎢ 1−ξ ⎢⎣

2

2

⎤ ⎥ , yakni ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ = 45 0 . ⎥ ⎦⎥

(4.2.20)

diperoleh ξ = 0,707 b) Dengan membandingkan saat tinggi air pada bejana maksimum yaitu

π

t=

ωn 1−ξ

dengan settling timenya untuk rasio peredam yang

2

sangat kecil yaitu t ≅

3

ω nξ

, maka di peroleh

πξ = 3 1 − ξ .2 9,8ξ .2 = 9(1 − ξ .2 )

(4.2.21)

Dari persamaan (4.2.21) diperoleh ξ = 0,6 c) Dengan cara menggunakan kesalahan pada sistem, yaitu : E = [output − input ]

maka

E=

e −ω ξ .t n

1−ξ

2

⎡ ⎛ 1−ξ 2 −1 ⎜ ⎢ sin ω n 1 − ξ t − tan ⎜ ⎢ ⎜ −ξ ⎢⎣ ⎝

Perhatikan gambar berikut ini.

2

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎥⎦

(4.2.22)


h2 (t )

h2 maks

t

h2 stabil a

b

Gambar 4.2.12 Daerah Tinggi Air Maksimum Dan Stabil.

dimana

a=

0,5π

ωn 1−ξ

2

dan

b=

π ωn 1−ξ

2

Pada gambar 4.2.12 di atas, titik a adalah saat ketinggian air pada bejana B2 mencapai stabil sedangkan titik b adalah saat ketinggian air pada bejana B2 mencapai maksimum. Sehingga luas daerah antara titik a dan b terjadi yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan (4.2.22) dengan batas kedua titik tersebut, yang hasilnya diturunkan sekali terhadap rasio peredam sehingga diperoleh rasio peredam sekitar 0,8 Rasio peredam yang sesuai diperoleh di atas berada 0,6 < ξ < 0,8 yang dipilih untuk menenangkan redaman yang terjadi pada bejana tidak terlalu lama, untuk jelasnya perhatikan gambar berikut.


% 100

ξ 0

1

Gambar 4.2.13 Perbandingan Persentase Tinggi Air Maksimum dengan Rasio Peredam

Dari gambar 4.2.13 di atas terlihat bahwa semakin rasio peredam mendekati satu maka persentase tinggi air maksimum pada bejana B2 akan semakin mendekati nol.. Setelah mendapatkan rasio peredam yang sesuai pada bejana B2 , berikut ini akan dijelaskan bagaimana memperoleh ketinggian yang sesuai pada bejana B2 seperti yang dijelaskan berikut ini.

C.

Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan Model

matematika

dua

bejana yang

didapatkan

di atas

perlu

dikembangkan lagi dengan cara setiap pipa pada kedua sistem bejana diberi sebuah katup, dimana fungsi dari katup tersebut telah dipaparkan diatas. perhatikan gambar 4.3.1 berikut ini


v1 q1 v2

h1

q12 A1

v3

h2 A2

q0

Gambar 4.3.1 Sistem Dua Bejana dengan Aliran yang Disesuaikan

dengan

v1 : Katup pada pipa pertama. v2 : Katup pada pipa kedua.

v3 : Katup pada pipa ketiga. Agar dapat menggerakkan suatu generator dimisalkan tinggi air yang sesuai adalah (hD ) . Sehingga masalah yang muncul adalah bagaimana model matematika agar diperoleh tinggi air (h2 ) sama dengan tinggi air (hD )

yang

sesuai pada sistem bejana. Sehingga untuk menyelesaikan masalah yang muncul diatas perlu diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut a) Ketiga pipa diberi sebuah katup, dan ketiga pipa dianggap sama. b) Tinggi air yang sesuai (hD ) pada sistem bejana dianggap konstan. c) Diberikan sebuah sensor pada B2 .


d) Aliran air yang masuk pada B1 dianggap tidak konstan. Kerja dari katup pada kedua sistem bejana sebagai berikut a) Jika hD = h2 , maka pengaturan pada katup v1 tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada B2 akan mengalir keluar diatur oleh katup v3 . b) Jika hD ≠ h2 , maka pengaturan pada katup v1

diubah kembali

agar tinggi air (h2 ) sama dengan tinggi air (hD ) yang sesuai pada sistem bejana. Jika sudah diperoleh hD = h2 , maka pengaturan pada katup v1 yang diatur tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada B2 diatur oleh katup v3 . Untuk menjawab permasalahan yang muncul tersebut, pada gambar 4.6.1 diberikan suatu alat yang disebut dengan sensor posisi, seperti di berikut ini.

Pengendalian v1 q1 v2

Pen det eksi Kesalahan

h1

sensor q 12

h2

v3 q0

Gambar 4.3.2 Cara Kerja Sensor


Tujuan sensor ini yaitu agar tinggi air (h2 ) disamakan dengan tinggi air

(hD )

yang sesuai pada sistem bejana, dan jika sudah diperoleh hD = h2 , maka

aliran air yang keluar pada B2 keluar melalui katup v3 . Dan jika diperoleh

hD ≠ h , terjadi dua kasus yaitu a) Jika hD > h2 , maka terdapat kekurangan tinggi air pada sistem bejana sehingga katup v1 dikontrol kembali agar dapat diperoleh hD = h2 .

b) Jika hD < h2 , maka terdapat kelebihan tinggi air pada sistem bejana, sehingga katup v1 dikontrol kembali agar dapat diperoleh hD = h2 .

Dengan cara yang analog pada sistem satu bejana, diperoleh

q1 (t ) = K [hD (t ) − h2 (t )]

(4.3.1)

dimana

K : Konstanta ( m 2 s −1 ) Dari persamaan (4.2.1) dan persamaan (4.3.1) dengan q1 tidak konstan diperoleh

d 2 h2 (t ) ⎛ A2 λ 1 + A1λ + ⎜⎜ A1 A2 dt 2 ⎝

2

⎞ dh2 (t ) ⎟⎟ + ⎠ dt

⎛ λ 1λ 2 ⎜ ⎜ AA ⎝ 1 2

⎞ ⎛λ K ⎞ ⎟h2 (t ) = ⎜ 1 ⎟ [hD (t ) − h2 (t )] ⎜AA ⎟ ⎟ ⎝ 1 2⎠ ⎠

⎛λ K ⎞ d 2 h2 (t ) dh2 (t ) + 2ξ ω n + ω 2 n h2 (t ) = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ hD 2 dt dt ⎝ A1 A2 ⎠

dengan

(4.3.2)


ξ=

λ 1 A2 + λ 2 A1 2 A1 A2 λ 1λ

2

+ Kλ

ω 2n =

dan

λ 1 (λ 2 + K ) A1 A2

1

dengan

ξ : Rasio Peredam yang Baru.

ω n : Frekuensi Alami yang Baru..

Penyelesaian pada persamaan (4.3.2) terdiri dari dua, yaitu penyelesaian ruas kiri dan penyelesaian ruas kanan, dimana penyelesaian ruas kiri telah diuraikan diatas, maka dicari penyelesaian ruas kanan, yakni dengan cara misalkan

h 2 h (t ) = b

(4.3.3)

maka

dh2 h (t ) d 2 h2 h (t ) = 0 dan =0 dt d 2t

(4.3.4)

Dari persamaan (4.3.3) dan persamaan (4.3.4) maka persamaan (4.3.2) diperoleh :

⎛ λ 1K ⎞ ⎟⎟ hD A A 1 2 ⎝ ⎠

ω 2 n h2 h (t ) = ⎜⎜

⎛ λ1K b = hD ⎜⎜ ⎝λ1 λ 2 + K

(

)

⎞ ⎟⎟ ⎠

(4.3.5)

Dari persamaan (4.3.5) maka persamaan (4.3.3) diperoleh ⎛ λ1K h2 h (t ) = hD ⎜⎜ ⎝λ1 λ 2 + K

(

h2 h (t ) = hD W

)

⎞ ⎟⎟ ⎠

(4.3.6)


⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 Dengan W = ⎜ ⎟ , sehingga penyelesaian (4.3.2) diperoleh. ⎜ ⎛⎜1 + λ 2 ⎞⎟ ⎟ ⎜⎜ K ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝⎝ a) Kasus Diredam Berlebihan bila ξ > 1 , mempunyai penyelesaian yaitu .

h2 (t ) = c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ

2

−1) t

+ hD W

(4.3.7)

dimana c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ −1 ) t 2

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ −1) t 2

hD W

: Tinggi Air B2 Sementara.


Persamaan (4.3.7) menyatakan tinggi air pada bejana B2 saat t . Karena V2 (t ) = A2 h2 (t), maka V2 (t ) = A2 (c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ 2 −1) t

) + A2 hD W (4.3.8)

Persamaan (4.3.8) menyatakan volume air pada bejana B2 saat t Dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan


dibawah ini. Misalkan

h2 (t ) = c1 e

( −ξ ω n − ω n

ξ 2 −1 ) t

+ c2 e

( −ξ ω n + ω n

ξ

2

−1) t

+ hD W h2 (0) = A ,



(

⎛⎛ B ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ − ( A − hDW ) − ξ − ξ 2 − 1 ⎜ ⎜ω ⎟ c2 = ⎜ ⎝ n ⎠ 2 ξ 2 −1 ⎜ ⎜ ⎝

)⎞⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(

⎛⎛ B ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ − ( A − hDW ) − ξ − ξ 2 − 1 ⎜ ⎜ω ⎟ c1 = A − hDW − ⎜ ⎝ n ⎠ 2 ξ 2 −1 ⎜ ⎜ ⎝

)⎞⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Untuk t → ∞ maka dan h2 (t ) = hD W dan V2 (t ) = hD W

b) Kasus Diredam Kritis bila ξ = 1 , mempunyai penyelesaian, yaitu h2 (t ) = e

− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc 2 ) +

hD W

(4.3.9)

dimana e

− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc 2 ) : Tinggi Air

B2 Sementara

: Tinggi Air B2 Pada Stabil.

hD W


− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc 2 ) + A2 hD W

(4.3.10)

Persamaan (4.3.10) menyatakan volume air B2 saat t. Dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta tersebut bergantung dari h2 (0) dan dibawah ini.



Misalkan

h2 (t ) = e

− (ξ .ω ) t n

(c1 + tc2 ) + hD W ,

h2 (0) = A ,

dh2 (0) =B dt

maka diperoleh c1 dan c2 adalah sebagai berikut c2 = B + ( A − hDW )ω n

c1 = A − hD W

dan

Untuk t → ∞ maka dan h2 (t ) = hD W

c) Kasus

Diredam

Berkurang

dan V2 (t ) = hD W

0 < ξ < 1,

bila

mempunyai

penyelesaian yaitu h2 (t ) = Ce

− (ξ .ω ) t n

(cos((S ) t − γ )) + h

D

(4.3.11)

W

dengan

S = ω n 1 − ξ 2 , C = c1 + c2 , sin γ = 2

2

c2 c c , cos γ = 1 , tan γ = 2 C C c1

dimana Ce

− (ξ .ω ) t n

(cos((S ) t − γ )) : Tinggi Air

B2 Sementara


hD W

Persamaan (4.3.11) menyatakan tinggi air pada bejana B2 saat t. Karena V2 (t ) = A2 h2 (t), maka V2 (t ) = A2 Ce

− (ξ .ω ) t n

(cos((S ) t − γ ))+ A

2

hD W

Persamaan (4.3.12) menyatakan volume air B2 saat t

(4.3.12)


Dengan c1 dan c2 adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta


tersebut bergantung dari h2 (0) dan dibawah ini. Misalkan h2 (t ) = e

(c cos(ω

− (ξ .ω ) t

h2 (0) = A ,

n

1

n

)

))

(

1 − ξ 2 t + c 2 sin ω n 1 − ξ 2 t + hD W ,

dh2 (0) =B dt

maka diperoleh c1 dan c2 adalah sebagai berikut

c2 =

B + ( A − hDW )(ξω n )

c1 = A − hD W

dan

ωn 1 − ξ 2

Sehingga untuk t → ∞ maka h2 (t ) = hD W dan V2 (t ) = hD W

Untuk contoh pada ketiga kasus di atas analog dengan contoh yang sudah dipaparkan sebelumnya, akan tetapi untuk kasus pada bagian ini tidak ada laju ketinggian pada bejana B2 . Pada contoh sebelumnya untuk jangka lama tinggi stabil akan mendekati

⎛R ⎞ ⎜⎜ 2⎟ ⎟ , sedangkan pada kasus yang terdapat pada bagian ini, untuk jangka lama ⎝ ωn ⎠ tinggi stabil akan mendekati ( hD W ). Untuk nilai K → ∞ maka

untuk nilai K → 0 maka

λ

2

K

λ

2

K

→ 0 , sehingga [1 (1 + λ2 K )] → 1 , dan

[(

→ ∞ , sehingga 1 1 + λ

2

)]

K → 0 . Sedangkan


untuk nilai λ

nilai λ

2

2

→ ∞ maka

→ 0 maka

λ

2

K

λ

2

K

[(

→ ∞ , sehingga 1 1 + λ

2

)]

K → 0 , dan untuk

→ 0 , sehingga [1 (1 + λ2 K )] → 1 .

Jadi agar diperoleh h2 (t ) sama dengan hD , dipilih nilai K sebesar mungkin dan nilai λ

2

sekecil mungkin. Akibatnya rasio peredam yang baru akan menjadi

kecil dan frekuensi alami yang baru akan menjadi besar seperti yang dijelaskan berikut ini. Untuk K → ∞ dan λ

2

(

→ 0 maka λ

2

)

+ K → ∞ , sehingga ω n → ∞ 2

yang mengakibatkan ω n → ∞ . Sedangkan untuk K → ∞ dan λ2 → 0 maka

λ 1λ 2 + Kλ 1 → ∞ dan λ1 A 2 + λ 2 A 1 → 0 , yang mengakibatkan ξ → 0 .


BAB V PENUTUP

A.

Kesimpulan

Untuk dapat memodelkan dua bendungan secara metematika, diasumsikan bahwa sistem dua bendungan berbentuk seperti sistem dua bejana, dimana sistem bejana yang satu terletak di atas sistem bejana yang lain. Akan tetapi pada kenyataannya bentuk bendungan tersebut tidak teratur. Pemodelan matematika pada satu dan dua sistem bejana merupakan salah satu penerapan dari persamaan diferensial orde. Dimana untuk sistem dua bejana mempunyai tiga penyelesaian berdasarkan rasio peredamnya, yakni ξ = 1, ξ > 1 , dan 0 < ξ < 1 Untuk ξ = 1 tinggi air akan lebih cepat stabil dibandingkan ξ > 1 , 0 < ξ < 1 . Sedangkan untuk ξ > 1 , dan 0 < ξ < 1 membutuhkan waktu yang lebih lama, akan tetapi untuk rasio peredam 0 < ξ < 1 terjadi beberapa gejolak pada air, di mana gejolak air tersebut menunjukkan kelebihan dan kekurangan air pada bejana. Kelebihan dan kekurangan air yang terjadi pada bejana, akan semakin besar jika rasio peredamnya mendekati nol. Sehingga perlu dilakukan pemilihan rasio peredam yang sesuai agar dapat meredamkan gejolak pada air tersebut tidak terlalu lama. Ada beberapa cara untuk pemilihan rasio peredam akan tetapi yang dibahas pada penulisan skripsi ini yakni dengan mencari besarnya sudut


maksmum pada ketinggian air bejana saat t, membandingkan tinggi air bejana saat maksimum dengan saat settling time, menggunakan fungsi sinyal kesalahan.

B.

Saran

Pemodelan matematika mengenai Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air yang dibahas pada skripsi ini hanya terbatas pada bagaimana menganalisa input yang dianggap konstan pada sistem dua bendungan. Sering sekali dijumpai pada bahwa bendungan terjadi kekurangan air, dan juga input yang terjadi pada dua bendungan tidak selalu konstan Oleh sebab itu saya sebagai penulis skripsi tentang Pemodelan Matematika Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air perlu saran untuk melengkapi lebih jauh bagaimana menganalisa input yang tidak konstan, dan juga menggunakan sensor kecepatan dan percepatan pada sistem satu dan dua bendungan.


Daftar Pustaka Borroli, R.L and Coleman, C.S. 2004. Differential A Modeling Perspective Equation. 2nd edition. New York. D’azzo J.J and Houpis, C.H.. 1964. Feedback Control And Synthesis. 2nd edition. New York. Ellis, R. and Gullick, D. 1982. Calculus With Analytic Geometry. 2nd edition. San Diego Giordano, Weir, and Fox. 1997. A First Course in Mathematical Modeling. 2nd edition New York . Halliday, D dan Resnick, Robert.. 1995. Fisika. Erlangga. Jakarta, Ogata, K, 1997, Modern Control Engineering. 2nd edition. New Jersey Prentice Hall Rice and Strange. 1994. Ordinary Differential Equation With Application. 3rd edition California. Ross, S.L., 1997, Differential Equation, 2nd edition, New York

ii

PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA AIR. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Recommend Documents