KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC SKRIPSI. Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC

SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Disusun Oleh:

BAMBANG SETYAWAN NIM : 033214003

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


QUANTIZATION OF RLC CIRCUIT ENERGY

A THESIS Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Science Degree in Physic Study Program

by:

BAMBANG SETYAWAN NIM : 033214003

PHYSIC STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF PHYSIC FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008







HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan kepada Dia Juru Selamatku, sehingga kupercaya kepada semua anugerahNya yang senantiasa membimbingku dalam menghadapi berbagai rintangan hidup Kepada Bapak, Ibu, adik, dan saudara- saudaraku terkasih yang terus ada disampingku, yang terus bersabar menunggu sampai tiba waktunya aku menyelesaikan studi Kepada teman- teman seperjuangan, kakak angkatan, adik angkatan yang selalu membantu tanpa pamrih dalam kuliah Kepada sahabat- sahabat yang aku kasihi, karena merekalah ada canda dan tawa, ada suka dan duka



HALAMAN MOTTO

“Siapa yang mempunyai selera untuk membaca buku- buku yang baik, niscaya ia sanggup menanggung kesepian di suatu tempat dengan tentram”(Mahatma Gandhi)



PERNYATAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 17 September 2008 Penulis,

Bambang Setyawan




ABSTRAK KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC

Telah dilakukan kuantisasi energi pada rangkaian RLC dengan menggunakan pengkuantuman secara aljabar. Jika digunakan asumsi bahwa 1 muatan Q sebagai koordinat q, I sebagai momentum p, dan A sebagai , 2m maka energi total rangkaian RLC mirip dengan energi osilator harmonik. Energi pada rangkaian RLC dapat dituliskan menjadi Eδ = hω (δ + 1) dengan δ = 1,2,3, L .



ABSTRACT QUANTIZATION OF RLC CIRCUIT ENERGY

Quantization of energy RLC circuit using the algebraic quantization have been performed. If use assumption that the charge Q as coordinate q, I as the 1 momentum p, and A as the , then the total energy of the RLC circuit similar to 2m the energy of the harmonic oscillator. Energy of the RLC circuit can be written to be Eδ = hω (δ + 1) where δ = 1,2,3, L .



KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan karena

telah memberikan rahmatNya dan

karena peran sertaNya dalam membantu pembuatan skripsi ini. Berkat Dialah alam semesta dan segala isinya diciptakan, sehingga kita dapat mempelajari gejala- gejala alam yang luar biasa melalui ilmu fisika. Banyak pihak telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ini. Oleh karena itu dengan rendah hati saya mengucapkan banyak terima kasih kepada 1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing tugas akhir yang dengan sabar membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Bapak, Ibu, Adik, yang telah berkorban sedemikian banyak dan yang telah memberi dukungan kepada saya. 3. Dekan fakultas Sains danTeknologi Rm. Gregorius Heliarko SJ, beserta staf. 4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak Dr. Edi Santosa, M.Si, Bapak Prasetyadi, S.Si, M.Si, Ibu Dwi Nugrahaeni Rositawati, S.Si, M.Si, Bapak Prof. Dr. Liek Wilardjo, Bapak Drs. BA. Tjipto Sujitno, M.T, APU, dan semua dosen yang telah membantu saya dalam menyelesaikan studi S1. 5. Laboran program studi fisika Bapak Gito, dan Mas Sis 6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.



7. Teman- teman dari fisika baik kakak angkatan dan adik angkatan seperti Mbak Ayu, Mbak Yuni, Mbak Ratna, Mas Ridwan, Mas Adit, Mas Basil, Manggar, Sujad, Ade, Siska, dan teman- teman lainnya yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu. 8. Ibu dan Bapak Kost yang telah menjaga saya selama berada di Yogya. 9. Teman- teman kost Danang, Yansen, dan Willy. Saya menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat berguna bagi perkembangan skripsi ini.

Yogyakarta, 16 September 2008 Penulis,

Bambang Setyawan



DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………………………………………….

i

HALAMAN PERSETUJUAN………………………………………………..

ii

HALAMAN PENGESAHAN………………………………………………… iii HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………

iv

HALAMAN MOTTO…………………………………………………………

v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………...

vi

ABSTRAK…………………………………………………………………….. vii ABSTRACT…………………………………………………………………… viii KATA PENGANTAR…………………………………………………………

ix

DAFTAR ISI…………………………………………………………………..

xii

BAB I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang…………………………………………….

1

1.2 Perumusan Masalah……………………………………….

3

1.3 Batasan Masalah…………………………………………..

3

1.4 Tujuan Penelitian………………………………………….

3

1.5 Kegunaan Penelitian………………………………………

4

1.6 Sistematika Penulisan…………………………………….

4



BAB II

BAB III

DASAR TEORI 2.1 Hamiltonian Osilator harmonik…………………………

6

2.2 Persamaan Nilai Eigen………………………………….

7

2.3 Operator Kreasi dan Operator Annihilasi........................

12

2.4 Persamaan Differensial Orde Dua………………………

15

METODE PENELITIAN 3.1 Studi dan Elaborasi Persamaan Differensial Orde Dua...

18

3.2 Perumusan Energi pada Kapasitor yang Terangkai pada

BAB IV

BAB V

Rangkaian RLC ………………………………………..

18

3.3 Kuantisasi Energi pada Rangkaian RLC………………

18

KUANTISASI ENERGI RANGKAIAN RLC 4.1 Energi Rangkaian RLC………………………………..

19

4.2 Kuantisasi Energi Rangkaian RLC……………………

19

4.3 Implikasi Kuantisasi Energi Rangkain RLC..................

24

PENUTUP 5.1 Kesimpulan……………………………………………

25

5.2 Saran………………………………………………….

25

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………

26



BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Fisika merupakan ilmu yang mengalami perkembangan yang sangat pesat dibandingkan dengan ilmu lain. Perkembangan ilmu fisika dapat dilihat dari beberapa bidang seperti astronomi, fisika kuantum, energi dan beberapa bidang fisika terapan. Banyak gejala fisis yang diamati dari eksperimen, yang tidak dapat dijelaskan oleh fisika klasik. Sebagai contoh, energi elektron, energi radiasi benda hitam, efek fotolistrik, hamburan Compton, spektrum garis dari atom, dan lainlain yang menunjukkan bahwa energi terkuantisasi. Kuantisasi energi dalam fisika merupakan suatu yang sangat penting terkait dengan fenomena-fenomena fisis yang teramati dalam eksperimen. Dalam fisika dikenal kuantisasi kanonik yang dikaitkan dengan teori medan gelombang dalam bentuk harmonik dengan melakukan generalisasi formalisme Hamiltonian. Generalisasi formalisme Hamiltonian adalah suatu transisi dari teori medan klasik ke teori medan terkuantisasi yang dilakukan dengan cara mengganti Poisson bracket klasik menjadi Poisson bracket kuantum (Silaban, 1977). Jika suatu medan suatu sistem fisis terkuantisasi, maka secara otomatis energi sistem fisis itu juga terkuantisasi. Cara yang lain untuk mengkuantisasi energi adalah cara aljabar dengan mendefinisikan operator kreasi dan operator annihilasi. Sebagai contoh, energi

( )

osilator harmonik yang dinyatakan oleh operator Hamiltonian Hˆ



pˆ 2 ˆ Hˆ = +V 2m dengan pˆ operator momentum, m massa partikel, dan Vˆ operator energi potensial 1 Vˆ = mω 2 xˆ 2 , 2 menghasilkan energi terkuantisasi 1  Eδ = hω  δ + , 2  dengan h =

δ = 1,2,3, L

h , h adalah tetapan Planck, dan ω frekuensi sudut. 2π

Dalam fisika dikenal rangkaian seri RLC yang terdiri dari tahanan ( R ), kumparan ( L ), dan kapasitor ( C ). Kapasitor dapat menyimpan muatan listrik (Q). Muatan listrik yang tersimpan dalam kapasitor diberikan oleh Q = CV dengan V adalah beda potensial listrik. Energi yang tersimpan dalam kapasitor tersebut dikenakan oleh E=

1 CQ 2 . 2

Energi yang tersimpan di dalam kapasitor mirip dengan energi potensial osilator harmonik V=

1 mω 2 x 2 2



1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan sebelumnya bahwa energi potensial dari kapasitor keping sejajar yang terangkai seri dengan L dan R mirip dengan energi potensial osilator harmonik. Oleh sebab itu, permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mengkuantisasi energi yang tersimpan pada rangkaian RLC.

1.3 Batasan Masalah Masalah yang diteliti dibatasi pada 1. Rangkaian RLC yang tersusun secara seri pada rangkaian pengosongan dan rangkaian pengisian. 2. Masalah kuantisasi energi rangkaian RLC menggunakan pengkuantuman secara aljabar.

1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk 1. Mengkuantisasi energi dalam rangkaian RLC secara aljabar. 2. Implikasi dari kuantisasi energi yang tersimpan di dalam kapasitor pada rangkaian RLC seri.



1.5 Kegunaan Penelitian Penelitian ini berguna untuk 1. Menjelaskan kuantisasi energi rangkaian RLC. 2. Mengembangkan

ilmu

pengetahuan

khususnya

mengenai

konsep

kuantisasi energi pada rangkaian RLC seri.

1.6 Sistematika Penelitian Bab I pendahuluan Dalam bab ini dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, kegunaan penelitian, dan sistematika penelitian.

Bab II Dalam bab ini akan dijelaskan teori kuantisasi secara aljabar, persamaan nilai eigen, operator kreasi dan annihilasi, dan perumusan persamaan diferensial rangkaian RLC beserta penyelesaiannya.

Bab III Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam penelitian ini.



Bab IV Bab IV menjabarkan kuantisasi energi rangkaian RLC menggunakan metode kuantisasi pada osilator harmonik secara aljabar.

Bab V Bab V berisi kesimpulan dan saran.



BAB II DASAR TEORI 2.1 Hamiltonian Osilator Harmonik Secara umum osilator harmonik diibaratkan sebagai sebuah massa m yang ditempatkan pada sebuah pegas dengan konstanta k dan kemudian ditarik dengan jarak tertentu dari posisi setimbangnya kemudian dilepas. Persamaan geraknya mengikuti hukum Hooke (Griffihs,1995) F = − kx = m

d2x dt 2

(2.1)

dan solusi dari persamaan (2.1) menjadi x(t ) = A sin(ωt ) + B cos(ωt )

(2.2)

dimana ω≡

k m

(2.3)

adalah frekuensi osilasi. Energi potensial osilator harmonik (V) dapat diperoleh dari relasi F =−

dV dx

(2.4)

atau dV = − Fdx ,

(2.5)

sehingga x

V = − ∫ (−kx)dx = 0

1 2 kx . 2

Jika x diberikan oleh persamaan (2.2), maka


(2.6)


1 Vˆ ( x) = mω 2 xˆ 2 . 2

.

(2.7)

Energi suatu sistem fisis diwakilkan oleh sebuah operator yang disebut

( )

Hamiltonian Hˆ . Operator Hamiltonian diberikan oleh Hˆ = Tˆ + Vˆ

(2.8)

dengan Tˆ operator tenaga kinetik dan Vˆ operator tenaga potensial. Jika osilator harmonik dengan tenaga potensial Vˆ diberikan oleh persamaan (2.7), maka Hamiltonian menjadi 1 Hˆ = Tˆ + mω 2 xˆ 2 , 2

(2.9)

pˆ 2 Tˆ = 2m

(2.10)

dengan

2.2 Persamaan Nilai Eigen Operator yang berkorespondensi untuk menunjukkan suatu momentum linear diberikan oleh (Liboff, 1980) pˆ = −ih∇ .

(2.11)

Jika ditinjau hanya ke arah x saja, maka operator momentum pˆ menjadi pˆ x = −ih Persamaan nilai eigen dari operator

∂ . ∂x

(2.12)

pada persamaan (2.12) diberikan oleh

(Liboff, 1980)



− ih

∂ ψ n = p xψ n . ∂x

(2.13)

dengan ψ n fungsi eigen dan pˆ x nilai eigen yang tidak lain adalah momrntum ke arah x. Operator yang berkorespondensi terhadap energi adalah Hamiltonian Hˆ . Untuk partikel tunggal bermassa m berada dalam medan potensial V (x) , persamaan Hamiltonian diberikan oleh pˆ 2 h2 2 Hˆ = + V ( x) = − ∇ + V ( x) 2m 2m

(2.14)

Persamaan nilai eigen untuk Hˆ menjadi Hˆ ψ n ( x ) = Eψ n ( x)

(2.15)

Hˆ ψ n = E ψ n .

(2.16)

atau

Hamiltonian untuk partikel bebas (V = 0 ) menjadi pˆ 2 h2 2 Hˆ = =− ∇ 2m 2m

(2.17)

Jika gerak partikel ditinjau ke satu arah saja ( misalnya ke arah sumbu x ), maka persamaan Schrodinger yang tak bergantung waktu menjadi −

h2 ∂2 ψ n = Eψ n . 2m ∂x 2

(2.18)

Jika dituliskan ξ2 =

2mE , h2


(2.19)


maka persamaan (2.18) menjadi d 2ψ n + ξ 2ψ n = 0 dx 2

(2.20)

Penyelesaian persamaan (2.20) adalah ψ n = Aeiξx + Be− iξx

(2.21)

Dengan A dan B adalah tetapan integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas. Persamaan (2.21) adalah fungsi eigen dari Hˆ yang berkorespondensi untuk energi nilai eigen (Liboff, 1980) E=

h 2k 2 . 2m

(2.22)

Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu diberikan oleh −

h 2 d 2ψ n 1 + mω 2 x 2ψ n = Eψ n 2 2m dx 2

(2.23)

Persamaan energi osilator harmonik dalam bentuk Hamiltonian dapat memperoleh persamaan Schrodinger tak bergantung waktu seperti persamaan (2.23) (Purwanto, 2006). Dengan memenuhi variabel x =

h z , membuat persamaan mω

(2.23) menjadi d 2ψ n 1 1 − hω + mω 2 xˆ 2ψ n = Eψ n 2 2 2 dz

(2.24)

d 2ψ n + (λ − z 2 )ψ n = 0 dz 2

(2.25)

atau

dengan



2E . hω

λ= Untuk

memperoleh

solusi

persamaan

(2.26) (2.25)

diberikan

nilai

2

ψ n = u ( z ) = e −ηz , sehingga diperoleh 2

2 d 2 e −ηz = (− 2η + 4η 2 z 2 )e −ηz . 2 dz

(2.27)

Sehingga persamaan ( 2.25) menjadi

(− 2η + 4η z )e 2

2

+ (λ − z 2 )e −ηz = 0

−ηz 2

2

(2.28)

Sebagai contoh, persamaan (2.28) terpenuhi jika diberikan η = u( z ) = e − z

2

/2

merupakan

solusi

pada

persamaan

(2.25)

1 , λ = 1. Fungsi 2 dengan

λ =1

(Purwanto,2006) d 2ψ n + 1− z2 ψ n = 0. 2 dz

(

)

(2.29)

Dengan mengambil bentuk umum sembarang yang merupakan perkalian dengan f (z) = e− z

2

/2

, ψ n = e− z

2

/2

f (z)

(2.30)

dan mensubstitusikan ke persamaan (2.30) dengan persamaan (2.29) diperoleh persamaan baru dalam f(z) d2 f df − 2z + (λ − 1) f = 0 . 2 dz dz

(2.31)

Pemecahan dari persamaan (2.31) dapat diperoleh dengan menggunakan metode

Frobrnius,

yaitu

dengan

mengekspansi

(Purwanto,2006).


ke

deret

takhingga


∞

f (z )∑ a r z r = a 0 + a1 z + a 2 z 2 + L

(2.32)

r =0

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.32) ke persamaan (2.31) diperoleh persamaan baru ∞

0 = ∑ [a k + 2 (k + 2 )(k + 1) − a k {2 k − (λ − 1)}]z k .

(2.33)

k =0

Persamaan (2.33) terpenuhi oleh semua z jika koefisien z k = 0 a k + 2 (k + 2 )(k + 1)a k {2k − (λ − 1)} = 0 .

(2.34)

Persamaan (2.34) menunjukkan bahwa pemecahannya akan berbentuk deret takhingga, yakni berhenti pada k = δ λ − 1 = 2δ ,

δ = 0,1,2,3,4,L .

(2.35)

Dari persamaan (2.35) dan persamaan (2.26) diperoleh energi dari osilator harmonik 1  Eδ =  δ + hω , 2 

(2.36)

dan sketsa dari energi osilator harmonik diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1.

V ( x) =

V

1 mω x 2 2

E2 E1 x Gambar 2.1 Sketsa aras- aras tenaga pada osilator harmonik



2.3 Operator Kreasi dan Operator Annihilasi Melalui pedoman persamaan Schrodinger, dan melihat kembali osilator harmonik secara aljabar diperoleh operator-operator aˆ − = γxˆ + iρpˆ aˆ + = γxˆ − iρpˆ

(2.37)

atau 1

 1 2 aˆ − =   (mωxˆ + ipˆ )  2hωm  1 2

(2.38)

 1  aˆ + =   (mωxˆ − ipˆ )  2hωm  dengan γ =

mω ,ρ = 2h

1 2hmω

(2.39)

Persamaan ( 2.38) mempunyai hubungan komutator dasar

[xˆ, pˆ ] = ih

(2.40)

Hubungan komutator dasar menunjukkan bahwa

[aˆ − , aˆ + ] = 1 aˆ − aˆ + = 1 + aˆ + aˆ −

(2.41)

Dengan menambahkan aˆ + dengan aˆ − dan dengan mengurangkan aˆ + dengan aˆ − diperoleh xˆ =

aˆ + + aˆ − , 2γ

pˆ =

aˆ + − aˆ − . 2iρ

(2.42)

Sehingga persamaan Hamiltonian untuk osilator harmonik menjadi pˆ 2 1 2 1  Hˆ = + kxˆ = hω  aˆ + aˆ − +  . 2m 2 2 


(2.43)


Persoalan untuk menemukan nilai eigen dari Hˆ telah diubah bentuk untuk menemukan nilai eigen dari operator Nˆ ≡ aˆ + aˆ −

(2.44)

Perhitungan komutator dari Nˆ dengan aˆ − dan aˆ + yaitu (Cohen-Tannoudji,1977)

[Nˆ , aˆ ] = [aˆ aˆ , aˆ ] = aˆ [aˆ , aˆ ] + [aˆ , aˆ ]aˆ [Nˆ , aˆ ] = [aˆ aˆ , aˆ ] = aˆ [aˆ aˆ ] + [aˆ , aˆ ]aˆ +

+

−

+

−

−

+

+

−

+

−

−

+

−

−

= −aˆ −

+

+

+

−

= aˆ +

(2.45)

dan

[Nˆ , aˆ ] = −aˆ [Nˆ , aˆ ] = aˆ − +

−

(2.46)

+

Fungsi ψ n menjadi fungsi eigen dari Nˆ yang berkorespondensi dengan nilai eigen n sehingga diperoleh (Liboff, 1980) Nˆ ψ n = nψ n .

(2.47)

Hubungan antara aˆ −ψ n dengan Nˆ diberikan oleh Nˆ aˆ −ψ n = aˆ + aˆ − aˆ −ψ n = (aˆ − aˆ + − 1)aˆ −ψ n = aˆ − (aˆ + aˆ − − 1)ψ n Nˆ aˆ −ψ n = aˆ − Nˆ − 1 ψ n = aˆ − (n − 1)ψ n = (n − 1)aˆ −ψ n

(

)

(2.48)

Fungsi aˆ −ψ n adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang berkorespondensi dengan nilai eigen n − 1 aˆ −ψ n = ψ n −1

(2.49)

aˆ −ψ n −1 = ψ n − 2 .

(2.50)

dan

Karena dari sifatnya aˆ − disebut sebagai operator annihilasi (Liboff, 1980).



Dengan cara yang sama seperti persamaan (2.47) , maka operasi dalam bentuk Nˆ aˆ +ψ n menghasilkan Nˆ aˆ +ψ n = (n + 1)aˆ +ψ n

(2.51)

Persamaan (2.51) mengindikasikan bahwa aˆ +ψ n adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang berkorespondensi dengan nilai eigen n + 1 aˆ +ψ n = ψ n +1

(2.52)

aˆ +ψ n +1 = ψ n+ 2

(2.53)

dan

Operator aˆ + disebut sebagai operator kreasi. Jika operator annihilasi aˆ− dan operator kreasi aˆ+ dikenakan pada suatu keadaan δ maka menghasilkan (Cohen-Tannoudji,1977) aˆ + δ = δ + 1 δ + 1

(2.54)

aˆ − δ = δ δ − 1 .

(2.55)

dan



2.4 Persamaan Differensial Orde Dua Persamaan differensial orde dua mempunyai bentuk d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dx dx

(2.56)

d 2 y a1 dy a 0 + + y = F ( x) dx 2 a 2 dx a 2

(2.57)

a2 dan

dimana a 2 , a1 , a 0 merupakan konstanta. Persamaan (2.56) merupakan persamaan differensial orde dua homogen, sedangkan persamaan (2.57) merupakan persamaan differensial orde dua takhomogen. Suatu rangkaian RLC terdiri dari kapasitor, resistor, dan induktor yang disusun seri kemudian dihubungkan dengan sumber tegangan baterai sebesar V0 , seperti Gambar 2.2

R

V0

C

L Gambar 2.2 Rangkaian RLC dengan sumber

Persamaan differensial orde dua dari rangkaian RLC yang disusun seri seperti pada Gambar 2.2 diberikan oleh



d 2Q dQ 1 +R + Q = V0 2 dt C dt

(2.58)

V 1 d 2 Q R dQ + + Q= 0 . 2 L dt LC L dt

(2.59)

L atau

Dengan menggunakan operator D =

d , persamaan (2.59) menjadi dt

D 2Q +

V R 1 DQ + Q= 0 L LC L

(2.60)

Akar-akar penyelesaian dari persamaan (2.60) diberikan oleh  R 1 D1 = − −  2L 2   R 1 D2 = −  +  2L 2 

  = −α   2 4  R = −β   + LC   L  2

4 R   − LC  L

(2.61)

Penyelesaian persamaan (2.59) secara lengkap menjadi Q(t ) =

V0 K 1V0 KV + e − βt + 2 0 e −αt αβ L (α − β )L L

(2.62)

dengan K 1 dan K 2 adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan kemudian. R C

L

Gambar 2.3 Rangkaian RLC tanpa sumber



Jika tanpa sumber tegangan, maka persamaan differensial orde dua rangkaian RLC pada Gambar 2.3 menjadi L

d 2Q dQ 1 +R + Q=0 2 dt C dt

Dengan menggunakan operator D =

(2.63)

d , persamaan (2.63) menjadi dt

D 2Q +

R 1 DQ + Q = 0. L LC

(2.64)

Karena mempunyai akar-akar penyelesaian yang sama seperti pada persamaan (2.61), maka penyelesaian secara lengkap persamaan (2.64) menjadi Q(t ) = K 3 e −αt + K 4 e − βt

.

(2.65)

dengan K 3 dan K 4 adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan kemudian.



BAB III METODE PENELITIAN Penelitian dilakukan dengan studi pustaka terhadap teori osilator harmonik dan penyelesaian persamaan differensial orde dua untuk rangkaian RLC yang disusun secara seri. Langkah- langkah yang ditempuh sebagai berikut.

3.1 Studi dan Elaborasi Persamaan Differensial Orde Dua Rangkaian RLC Persamaan differensial orde dua pada rangkaian RLC tersebut diselesaikan persamaan umum untuk nilai Q(t ). Dari persamaan umum yang diperoleh, kemudian dicari persamaan khusus dengan memasukkan syarat batas.

3.2 Perumusan Energi pada Kapasitor yang Terangkai pada Rangkaian RLC Dengan mengunakan hubungan yang ada dalam persamaan osilator harmonik, dijabarkan kembali energi pada kapasitor yang terangkai pada rangkaian RLC. 3.3 Kuantisasi Energi pada Rangkaian RLC Kuantisasi energi pada rangkaian RLC dilakukan dengan mengubah r energi E menjadi operator, dengan memperhatikan persyaratan matematis dan fisis r yang harus dipenuhi. Energi E dinyatakan sebagai kombinasi linear dari operator kreasi aˆ + dan operator annihilasi aˆ − .



BAB IV KUANTISASI ENERGI RANGKAIAN RLC 4.1 Energi Rangkaian RLC Dari persamaan (2.69), dan dengan menggunakan syarat

batas

Q(t = 0) = q 0 dan Q(t = ∞) = 0 dimana K 1 = 0 dan K 2 = q0 diperoleh persamaan baru Q(t ) = Q0 e − βt .

(4.1)

Persamaan (4.1) menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah muatan yang berasal dari proses pengosongan. Hal tersebut terjadi karena rangkaian tidak diberi sumber tegangan. Sedangkan dari persamaan (2.68), dengan menggunakan syarat batas Q(t = 0) = 0 dan Q' (t = 0) = 0 diperoleh persamaan baru Q(t ) =

V0 V0 −αt α −β 1 + e − βt + 2 e αβ L (α + β )(α − β ) α + αβ L

(4.2)

Persamaan (4.2) menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah muatan yang berasal dari proses pengisian. Peristiwa tersebut terjadi karena rangkaian diberi sumber tegangan Melalui persamaan (4.1) dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada rangkaian RLC, yaitu sebesar I=

dQ(t ) = −β Q0 e − βt dt

(4.3)

Melalui persamaan (4.2) dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada rangkaian RLC, yaitu sebesar



I=

V0 −αt dQ(t ) α −β 1 = −β e − βt − α 2 e t (α + β )(α − β ) α + αβ L

(4.4)

Energi potensial yang dimiliki oleh muatan yang disimpan di kapasitor yang terhubung pada rangkaian RLC sebesar V=

1 CQ 2 2

(4.5)

Sedangkan energi kinetik yang dimiliki pada rangkaian RLC yaitu sebesar  1   T = IR = I  R + i ωL −  . ωC   

(4.6)

Dari persamaan (4.5) dan persamaan (4.6) diperoleh energi total dari rangkaian RLC  1  1  2 Etot = H = T + V = I  R + i ωL −  + CQ . ωC  2  

(4.7)

4.2 Kuantisasi Energi Rangkaian RLC Persamaan (4.7) mirip dengan persamaan energi osilator harmonik dengan operator Hamiltonian H= dengan

pˆ 2 1 + mω 2 qˆ 2 2m 2

pˆ menyatakan momentum dan qˆ sebagai koordinat, dan dengan

menganggap  1   A =  R + i ωL −  diperoleh hubungan ωC    1 H = IA + CQ 2 . 2


(4.8)


Jika mengunakan hubungan antara persamaan (4.8) dengan persamaan energi osilator harmonik dengan operator Hamiltonian, maka diperoleh pˆ 2 = I dan 1 =A 2m yang menghasilkan pˆ = I

(4.9)

dan 1 1 mω 2 qˆ 2 = CQ 2 2 2 yang menghasilkan qˆ = Q

(4.10)

Metode pengkuantuman osilator harmonik secara aljabar dengan menggunakan operator annihilasi aˆ − dan operator kreasi aˆ + didefinisikan sebagai 1

 1 2 aˆ − =   (mωqˆ + ipˆ )  2hωm  1

 1 2 aˆ + =   (mωqˆ − ipˆ )  2hωm  Jika pasangan momentum (persamaan (4.9)) dan koordinat (persamaan (4.10)) disubstitusikan ke dalam operator annihilasi dan operator kreasi, maka untuk rangkaian pengosongan muatan, operator annihilasi menjadi  1  aˆ − =    2hωm 

1

2

(mωQ e


0

− βt

+i I

)

(4.11)


sedangkan operator kreasi menjadi  1  aˆ + =    2hωm 

1

2

(mωQ e

− βt

0

−i I

)

(4.12)

Untuk rangkaian pengisian muatan, operator annihilasi menjadi  1  aˆ − =    2hωm 

1

2

  V0 (α − β )e − βt + V0 e −αt  + i I  (4.13)  m ω +    2   αβ L (α + β )(α − β ) (α + αβ )L  

sedangkan operator kreasi menjadi  1  aˆ + =    2hωm 

1

2

  V0 (α − β )e − βt + V0 e −αt  − i I  (4.14) + mω   2   αβ L (α + β )(α − β ) (α + αβ )L  

Penjumlahan persamaan(4.11) dengan persamaan (4.12) menghasilkan aˆ + + aˆ − = 2

mω Q0 e − β t 2h

(4.15)

Pengurangan persamaan (4.11) dengan persamaan (4.12) menghasilkan aˆ + − aˆ − = i 2

I 2hmω

(4.16)

Penjumlahan persamaan (4.13) dan persamaan (4.14) menghasilkan aˆ + + aˆ − = 2

(α − β )e − βt + V0 e −αt  mω  V0  + 2h  αβ L (α + β )(α − β ) (α 2 + αβ )L 

(4.17)

Pengurangan persamaan (4.13) dan persamaan (4.14) menghasilkan aˆ + − aˆ − = i 2

I 2hmω

(4.18)

Dari persamaan (2.47) dan persamaan (4.8) terdapat hubungan korespondensi bahwa energi dari rangkaian RLC mengikuti 1 1  1 Eˆ = IA + CQ 2 = hω  aˆ + aˆ − +  2 2  2


(4.19)


Mengingat sifat- sifat operator kreasi aˆ + dan operator annihilasi aˆ − seperti pada persamaan (2.58) dan persamaan (2.59) maka energi rangkaian RLC untuk suatu keadaan δ

dapat diperoleh dengan menggunakan operator energi rangkaian

RLC Eˆ pada keadaan δ

yang diberikan oleh 1  Eˆ δ = hω  aˆ + aˆ − +  δ 2  1  = hω  + δ δ + 1 − 1  δ + 1 − 1 2 

(4.20)

1  = hω  δ +  δ 2  Sehingga energi rangkaian RLC pada keadaan δ diberikan oleh 1  Eδ = hω  δ +  2 

; δ = 0,1,2,3,L

(4.21)

Jadi energi rangkaian RLC terkuantisasi sebagaimana terlihat pada persamaan (4.20). Kuantisasi energi rangkaian RLC dapat dilakukan karena terdapat hubungan korespondensi koordinat q dan momentum p sebagaimana terdapat pada osilator harmonik.



4.3 Implikasi Kuantisasi Energi Rangkaian RLC Anggapan bahwa ada kesetaraan atau kemiripan antara energi rangkaian RLC dengan energi dari osilator harmonik dapat dilihat pada persamaan (4.8). Energi kinetik dari rangkaian RLC yaitu IA merupakan energi kinetik yang mirip dengan energi kinetik dari osilator harmonik, sedangkan energi potensial dari rangkaian RLC yaitu 1/2CQ2 mirip dengan energi potensial dari osilator harmonik



BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Pengkuantuman rangkaian RLC dapat dilakukan karena arus rangkaian yaitu I dan muatan yang dimiliki kapasitor Q memenuhi hubungan antara koordinat q dan momentum p sebagaimana yang terdapat pada osilator harmonik yaitu q=−

dp dq dan p = . dt dt

Arus pada rangkaian I dan muatan pada kapasitor Q merupakan kombinasi linear dari operator kreasi aˆ + dan operator annihilasi aˆ − sebagaimana yang dipakai dalam osilator harmonik.

5.2 Saran Karena yang diteliti adalah pengkuantuman rangkaian RLC dan kapasitor yang dipakai adalah kapasitor keping sejajar maka disarankan agar dilakukan penelitian ini dengan menggunakan jenis kapasitor yang lain, seperti kapasitor silinder maupun jenis kapasitor yang lain.



DAFTAR PUSTAKA Liboff, R.L, 1980, Introductory Quantum Mechanics, Cornell University, USA Cohen-Tannoudji, C., Diu, B.,dan Laloe, F.,1977, Quantum Mechanics, Vol.I, John Wiley& Sons, New York, USA Silaban, P., 1977, Teori Grup dalam Fisika, Angkasa, Bandung Purwanto, A., 2006, Fisika Kuantum, Gava Media, Yogyakarta Griffiths, D.J, 1995, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, Inc, USA


KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC SKRIPSI. Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Recommend Documents