15, 20, 23, 25 HAPUS SALAH SATU BILANGAN DAN BERIKAN ALASAN, KENAPA BILANGAN ITU ANDA HAPUS.
Dst.
KESIMPULAN : (hubungkan dengan SIKAP yang harus Anda miliki untuk memilih dan memberikan alasan)
Olimpiade Sains Nasional SMA tahun 2013 Kadek Adi Wibawa, S.Pd.
PROBLEM SOLVING Menurut POLYA ada 4 langkah yang perlu dilakukan dalam menyelesaikan soal, 1. Memahami soal yang ada (Understand the problem)
Apakah kita mengetahui arti semua kata yang digunakan? Kalau tidak, carilah di indeks, kamus, definisi, dan lain sebagainya.
Apakah kita mengetahui yang dicari atau ditanya?
Apakah kita mampu menyajikan soal dengan cara lain?
Apakah kita dapat menggambar sesuatu yang dapat digunakan sebagai bantuan?
Apakah informasi cukup untuk dapat menyelesaikan soal?
Apakah informasi berlebihan?
Apakah ada yang perlu dicari sebelum mencari jawaban dari soal?
2. Menyusun suatu strategi (Devise a plan)
Kita akan membahas berbagai strategi yang ada, dan harus BERANI untuk mencoba salah satu dari strategi untuk digunakan dalam menyelesaikan soal yang kita hadapi.
Pada umumnya, strategi yang berhasil diketemukan setelah beberapa kali mencoba strategi yang gagal. Kegagalan adalah satu langkah kecil untuk mencapai tujuan yang kita inginkan.
3. Melakukan strategi yang telah dipilih (Carry out the plan) Langkah ini lebih mudah dibandingkan menyusun strategi. Di sini hanya diperlukan KESABARAN dan KEHATI-HATIAN untuk menjalankan. 4. Melihat kembali (Look back) Melihat kembali pekerjaan yang telah kita lakukan. Selanjutnya, kalau perlu menyusun strategi baru yang lebih baik atau menuliskan jawaban dengan lebih baik.
Olimpiade Sains Nasional SMA tahun 2013 Kadek Adi Wibawa, S.Pd.
ALJABAR 1. PEMFAKTORAN DAN PENGURAIAN Beberapa bentuk pemfaktoran maupun penguraian yang harus diketahui adalah : 2 2 x − y = (x + y)(x − y) 3
3
2
2
3
3
2
2
x − y = (x − y)(x + xy + y )
x + y = (x + y)(x − xy + y )
5 5 3 3 2 2 x + y = (x + y )(x + y ) – (x + y)
x + y + z − 3xyz = (x + y + z)(x + y + z − xy − xz − yz)
(x + y)(x − y) = x − x y − xy + y
(a − b ) = (a − b)(a
(a + b ) = (a + b)(a
(x + 1)(y + 1)(z + 1) = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1
x + 4y = (x + 2y + 2xy)(x + 2y − 2xy)
(x + y) = x + 2xy + y
(x + y + z) = x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz
(x − y) = x − 2xy + y
(x + y) = x + y + 3xy(x + y)
(x − y) = x − y − 3xy(x − y)
(x + y) = x + 4x y + 6x y + 4xy + y
(x − y) = x − 4x y + 6x y − 4xy + y
3
3
3
2
2
4
3
2
n
n
n-1
n
n
n-1
4 2
2
2
2
3
n-2
n-3 2
n-2
n-2
n-3 2
n-2
+ a b + a b + ⋅⋅⋅ + ab − a b + a b − ⋅⋅⋅ − ab
2
2
2
2
2
2
n-1
+ b ) dengan n ∈ bilangan asli n-1
+ b ) dengan n ∈ bilangan ganjil
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
3
2 2
3
3
4
4
3
2 2
3
3
n
n
Berdasarkan bentuk (vi) dan (vii) didapat fakta bahwa (a − b) membagi (a − b ) untuk n n n asli dan (a + b) membagi (a + b ) untuk n ganjil yang terkadang digunakan untuk menyelesaikan soal pada teori bilangan. Contoh 1 (OSK SMP 2004 SMP/Mts) Nilai dari 50502 − 49502 = ⋯
Solusi :
Olimpiade Sains Nasional SMA tahun 2013 Kadek Adi Wibawa, S.Pd.
Contoh 2 x
−x
x
−x
2
2
(OSK 2011 Tipe 1) Jika A = 5 + 5 dan B = 5 − 5 maka A − B adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Solusi :
Contoh 3 2
2
Jika a + b = 6ab maka tentukan nilai dari
𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
untuk a, b ≠ 0.
Solusi :
Contoh 4 Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
2𝑥 + 3 − 7 − 𝑥 = 1
Solusi :
Olimpiade Sains Nasional SMA tahun 2013 Kadek Adi Wibawa, S.Pd.
*MBO 1 3
3
1. Salah satu faktor dari 17 − 5 adalah . . . (OSK 2005 SMP/MTs) 2. Jika 9𝑥 + 9−𝑥 = 23, tentukan nilai dari 3𝑥 + 3−𝑥 . 3. Jika 𝑎2 = 7𝑏 + 2013 dan 𝑏 2 = 7𝑎 + 2013 dengan a dan b adalah bilangan real berbeda, maka nilai dari 𝑎𝑏 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ 1 14 − 13
4. Jika p =
dan q =
1 14 + 13
2
2
maka nilai dari p + pq + q adalah . . .
(OSP 2010 SMP/MTs) 𝑥
5. Misalkan 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan tak nol yang memenuhi 𝑥𝑦 = 𝑦 = 𝑥 − 𝑦. Berapakah nilai 𝑥 + 𝑦? (OSK SMA tahun 2003/2004) *MBO 2 6. Jika a dan b bilangan bulat sedemikian sehingga a2 – b2 = 2003, maka berapakah nilai dari a2 + b2 ? (diketahui bahwa 2003 merupakan bilangan prima) (OSK SMA tahun 2003/2004)
7. Jika 𝑥 > 0 dan 𝑥 2 +
1 𝑥2
= 7, maka 𝑥 5 +
1 𝑥5
= ⋯ (OSK SMA tahun 2004/2005)
8. Diberikan tiga bilangan positif 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 yang semuanya berbeda. Jika maka nilai
𝑥 𝑦
𝑦 𝑥−𝑧
=
𝑥+𝑦 𝑧
=
𝑥 𝑦
sama dengan . . . (OSK SMA tahun 2005/2006)
9. Jika diberikan 𝑥 2 − 𝑥 − 1
𝑥+2
= 1, maka banyak bilangan bulat 𝑥 yang merupakan
solusi dari persamaan tersebut adalah . . . (OSK SMA tahun 2005/2006) 10. Bilangan real x sehingga pernyataan 𝑥 2 = 𝑥 jika dan hanya jika 𝑥 3 = 𝑥 bernilai salah adalah . . . (OSK SMA tahun 2009/2010) *MBO 3 1
11. Tentukan semua bilangan real 𝑥 yang memenuhi 𝑥 4 + 𝑥 4 ≤ 2. (OSK SMA tahun 2005/2006) 12. Tentukan banyak pasangan bilangan bulat positif 𝑚, 𝑛 yang merupakan solusi dari persamaan
4 𝑚
2
+ 𝑛 = 1. (OSK SMA tahun 2005/2006)
13. Banyak solusi pasangan bilangan bulat positif dari persamaan 3𝑥 + 5𝑦 = 501 adalah . . . (OSK SMA tahun 2006/2007)
14. Banyak pasangan bilangan asli sehingga 𝑥 4 + 4𝑦 4 merupakan bilangan prima adalah . . (OSK SMA tahun 2009/2010)
15. Diketahui ada tepat 1 bilangan asli 𝑛 sehingga 𝑛2 + 𝑛 + 2010 merupakan bilangan kuadrat sempurna. Bilangan asli tersebut adalah . . . (OSK SMA tahun 2010/2011)
Olimpiade Sains Nasional SMA tahun 2013 Kadek Adi Wibawa, S.Pd.
*MBO 4 16. Bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan 𝑥 4 ≤ 18𝑥 2 − 81 ada sebanyak . . . (OSK SMA tahun 2010/2011)
17. Diketahui 𝑥1 , 𝑥2 , dan 𝑥3 adalah akar-akar dari persamaan 𝑥 3 − 64𝑥 + 14 = 0. Nilai dari 𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 adalah . . . 18. Pasangan bilangan asli 𝑥, 𝑦 yang memenuhi 2𝑥 + 5𝑦 = 2010 ada sebanyak . . . (OSK SMA tahun 2010/2011)
19. Jika 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat sehingga
2010 + 2 2009 merupakan solusi persamaan
𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, maka nilai 𝑎 + 𝑏 adalah . . . (OSK SMA tahun 2010/2011) 20. Diketahui 𝑝 adalah bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan bulat positif 𝑥, 𝑦 yang memenuhi 𝑥 2 + 𝑥𝑦 = 2𝑦 2 = 30𝑝. Banyak pasangan bilangan bulat positif 𝑥, 𝑦 yang memenuhi ada . . . pasang. (OSK SMA tahun 2010/2011)
*MBO = Mari Berlatih Olimpiade
Olimpiade Sains Nasional SMA tahun 2013 Kadek Adi Wibawa, S.Pd.
