FUNGSI KABUR. Tugas Akhir Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

FUNGSI KABUR

Tugas Akhir Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Disusun oleh: Nama : Retno Triyanti NIM : 023114012

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008


FUZZY FUNCTION

FINAL ASSIGNMENT Presented for the Partial Fulfillment of the Requirement To Obtain the Sarjana Sains Degree Study Program of Mathematics

By: Name : Retno Triyanti Student Number

: 023114012

STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008


ii


iii


HALAMAN PERSEMBAHAN

Kegagalan bukan berarti anda gagal Tetapi anda belum sukses Kegagalan bukan berarti anda tak mencapai apa-apa Tetapi anda telah mempelajari sesuatu Kegagalan bukan berarti anda bodoh karena pernah mencoba Itu pertanda anda berani, berhati teguh, bersemangat baja Maka berbanggalah dengan diri anda sendiri Kegagalan bukan berarti anda tidak akan sukses Tetapi dibutuhkan kesabaran Kegagalan bukan berarti anda sudah berakhir Tetapi anda masih punya peluang untuk memulainya kembali, dan berusaha mencari sesuatu yang baru Kegagalan bukan berarti Tuhan telah meninggalkan anda Tetapi Dia punya rencana yang lebih baik Jadi berarti bahwa kegagalan tidak akan pernah berakhir …

(Dr. Robert Schuller)

Tugas Akhir ini aku persembahkan kepada: 1. Kedua orangtua tercinta 2. Kakak-kakakku semua dan dek Tarra tersayang 3. Keluarga besarku

iv


v


ABSTRAK

Fungsi kabur diklasifikasikan menjadi tiga kelompok, yaitu fungsi tegas dengan kendala kabur, fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak bebas, dan fungsi pengaburan dengan variabel tegas. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tegas dengan daerah asal tegas maupun kabur dipakai himpunan pemaksimum dan himpunan peminimum. Integral kabur diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu integral fungsi kabur pada interval tegas dan integral fungsi tegas pada interval kabur. Diferensial fungsi tegas pada himpunan kabur dikerjakan dengan menggunakan prinsip perluasan.

vi


ABSTRACT

Fuzzy functions can be classified into three groups, namely crisp functions with fuzzy constraint, crisp functions that propagate fuzziness of independent variable to dependent variable, and fuzzifying functions of crisp variable. To find the maximum value of crisp function with crisp or fuzzy domain we use maximizing set and minimizing set. Fuzzy integration is classified into two groups, namely integration of fuzzy function on crisp interval and integration of crisp function on fuzzy interval. Differentiation of crisp function on fuzzy set is carried out using extension principle.

vii



KATA PENGANTAR

Alhamdullilahhirobil’alamin, puji syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan anugerah, kekuatan, kesabaran, kesehatan, dan kebahagiaan sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir yang berjudul “FUNGSI KABUR”. Tugas akhir ini disusun guna memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika. Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: 1. Romo Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penulisan tugas akhir ini. 2. Romo Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.A., M.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi 3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika. 4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing Akademik. 5. Bapak dan Ibu dosen Fakultas Sains dan Teknologi, khususnya Program Studi Matematika. 6. Segenap karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpustakaan, Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, BAA, dan AUK. 7. Bapak dan Ibu, yang telah memberikan kasih sayang, kepercayaan, doa, semangat, dan kesabaran menunggu kelulusan saya.

viii


8. Semua kakakku dan dik Tarra terima kasih atas kasih sayang, dukungan dan doanya. 9. Teman-teman angkatan 2002, terima kasih atas dukungan dan doanya. 10. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih banyak kesalahan dan kekurangan yang harus diperbaiki, oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan demi kesempurnaan tugas akhir ini.

Yogyakarta, …………………………. 2008

Penulis Retno Triyanti

ix


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL …………………………………………..……… ….… i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………….....… ii HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………....… iii HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………………. iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………….…… v ABSTRAK ……………………………………………………..……………… vi ABSTRACT ………………………………………………….……………….. vii KATA PENGANTAR ………………………………………...…….…….…... viii DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. x DAFTAR TABEL …………………………………………………………….. xii DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………. xiii BAB I PENDAHULUAN ………………………………………...…….…..….. 1 A. Latar belakang Masalah ……………………………….………...…..…. 1 B. Rumusan Masalah …………….………………………..………………. 2 C. Batasan Masalah ……………………………….………………………. 3 D. Tujuan Penulisan …………………………...……….………………….. 3 E. Metode Penulisan ……………………………….….…….…………….. 3 F. Manfaat Penulisan …………………………………….……..…………. 3 G. Sistimatika Penulisan …………………….…......................…………… 4 BAB II FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR ……….…….…..…….. 5 A. Fungsi Tegas …..…………………………………………..……….…… 5 1. Pengertian Fungsi ………………,,……………………….………. 5 2. Nilai maksimum dan Minimum Fungsi ………….……….……… 8 3. Diferensial ………………………………………..….…………… 9 4. Integral …………………………………….….…………………. 16 B. Himpunan Kabur …………………………………………….………... 20 1. Pengertian Himpunan Kabur ……………………….…………… 20 2. Fungsi Keanggotaan …………………………….…….…………. 25 3. Operasi pada Himpunan kabur …………………….………….…. 32

x


4. Potongan-α dari Himpunan Kabur ……………………………... 34 5. Prinsip Perluasan ……………………………………….………. 34 BAB III FUNGSI KABUR ………….........................................................…... 37 A. Jenis- jenis Fungsi Kabur …………………………….……………….. 37 1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur ……….………………….. 37 2. Penularan Kekaburan oleh Fungsi Tegas ………….……………. 39 3. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas ………….…………. 40 B. Ekstrim Kabur dari Fungsi ……………………………….…………… 44 1. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum …………….…….….. 44 2. Nilai Maksimum dari Fungsi tegas ……………….……..………. 47 a. Daerah Asal Tegas ………………………..…………………. 47 b. Daerah Asal Kabur ………………………….………………. 48 C. Integral dan Diferensial Kabur ………………….…………………….. 51 1. Integral ………………………………………….................……. 51 a. Integral Fungsi Kabur dengan Interval tegas ……….………. 52 b. Integral Fungsi Tegas dengan Interval kabur ……….….…… 54 2. Diferensial ………………………………………….…………… 56 D. Soal – soal ………………………………………………….………… 58 BAB IV KESIMPULAN ……………………………………….…………….. 70 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………….…….…….. 73

xi


DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Integral Kabur ………………………………………………………. 56 Tabel 3.2. Integral Kabur dari fungsi f ( x) = x 2 + 1 …………………………… 64

xii


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c ………….. 8 Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c ………..….. 9 Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x) ……………………….…………………15 Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel xi ….………. 18 Gambar 2.5. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 4” ……………………….…... 26 Gambar 2.6. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 4”……………………………. 27 Gambar 2.7. Grafik fungsi keanggotaan Segitiga(x; 3, 6, 15) ……………...... 28 Gambar 2.8. Grafik fungsi keanggotaan Trapesium(x; 3, 6, 9,15) …………... 29 Gambar 2.9. Grafik fungsi keanggotaan Gauss(x; 8, 8) ………………..….…. 30 Gambar 2.10. Grafik fungsi keanggotaan Cauchy(x;4,1, 8) …………...…….. 31 Gambar 3.1. Fungsi pengaburan …………………………………………..….. 41 Gambar 3.2. Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas ………..………………….. 44 Gambar 3.3. Contoh himpunan pemaksimum ……………………...…………. 45 Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum dari fungsi sinus ……………..……….. 46 Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas ……………..………. 48 Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar ………………………..……….. 49 Gambar 3.7. Nilai maksimum dari f ( x) = − x + 2 dengan daerah asal kabur .. 50 Gambar 3.8. Nilai maksimum f ( x) = cos x dengan daerah asal kabur ……..... 51

xiii


Gambar 3.9. Integral fungsi kabur dengan interval tegas ……………..….…... 54 Gambar 3.10. Interval kabur …………………………………………..……… 54

xiv


BAB I PENDAHULUAN

A.

Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai gejala kekaburan, yaitu

suatu himpunan yang tidak mempunyai batasan yang jelas. Misalkan kita ambil contoh dalam kehidupan nyata, manusia dapat dibagi menjadi dua yaitu laki-laki dan perempuan. Batasan laki-laki dan perempuan adalah jelas, tetapi tidak demikian dengan perempuan yang cantik dan perempuan tidak cantik. Himpunan perempuan yang cantik merupakan himpunan dengan obyek-obyek yang keanggotaanya tidak dapat ditentukan dengan tegas karena himpunan perempuan yang cantik dan himpunan perempuan yang tidak cantik mempunyai batasan yang tidak jelas. Karena himpunan perempuan yang cantik itu tergantung oleh penilaian seseorang. Misalnya menurut Anton mungkin Krisdayanti itu cantik sekali, tetapi menurut Budi itu mungkin hanya biasa saja. Jadi tidak jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Dengan adanya permasalahan yang tidak dapat diselesaikan dengan himpunan tegas, maka diperlukan konsep himpunan kabur. Konsep himpunan kabur diperkenalkan oleh Lotfi Asker Zadeh, seorang guru besar di University of California, Berkeley, Amerika Serikat. Konsep himpunan kabur tersebut memperluas konsep himpunan tegas menjadi konsep himpunan kabur. Dalam teori klasik, himpunan didefinisikan sebagai suatu kumpulan obyek-obyek yang terdefinisi secara tegas, yaitu dapat ditentukan apakah obyek tersebut merupakan anggota him-

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

punan itu atau tidak. Himpunan tegas A dapat didefinisikan menggunakan fungsi

χ A dengan nilai pada himpunan {0,1},yang disebut fungsi karakteristik dari himpunan A. Di mana nilai fungsi dari χ A (x) adalah: ⎧1 ⎩0

χ A ( x) = ⎨

jika x ∈ A jika x ∉ A

untuk setiap x ∈ X . Dengan memperluas konsep fungsi karakteristik tersebut, himpunan kabur didefinisikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan, yang nilainya berada dalam selang tertutup [0, 1]. Sehingga keanggotaan dalam himpunan kabur tidak lagi merupakan sesuatu yang tegas, melainkan sesuatu yang berderajat secara kontinu. Dalam perkuliahan telah dipelajari konsep himpunan tegas dan fungsi tegas, termasuk integral dan diferensial suatu fungsi. Dalam penulisan makalah ini akan dibahas tentang apakah fungsi kabur serta jenis-jenisnya, penggunaan himpunan pemaksimum dan peminimum, selain itu juga integral dan diferensial kabur.

B.

Rumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan seba-

gai berikut 1. Jenis-jenis dari fungsi kabur dan pengertiannya? 2. Apa yang dimaksud dengan himpunan pemaksimum dan peminimum dan bagaimana menentukan nilai maksimumnya? 3. Apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur?


C.

Batasan Masalah Pembahasan masalah dalam penulisan makalah ini hanya dibatasi pada

teori fungsi kabur serta integral dan diferensial kabur.

D.

Tujuan Penulisan Penulisan makalah ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu penulisan makalah ini bertujuan untuk: 1. Memahami dan memperdalam tentang jenis – jenis fungsi kabur dan pengertiannya. 2. Mengetahui apa yang dimaksud himpunan pemaksimum dan peminimum. 3. Mengetahui apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur.

E.

Metode Penulisan Penulisan makalah ini menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan

mempelajari bagian materi dari buku-buku yang berkaitan dengan fungsi kabur.

F.

Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dalam penulisan makalah ini adalah:

1. Dapat memperdalam pemahaman mengenai fungsi kabur. 2. Dapat memperdalam pemahaman tentang himpunan pemaksimum dan peminimum, serta integral dan diferensial kabur.


G.

Sistematika Penulisan

BAB I

Pendahuluan

Menjelaskan tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan serta sistematika penulisan.

BAB II

Teori himpunan kabur dan Fungsi

Menguraikan tentang teori himpunan kabur dan fungsi tegas. Dalam himpunan kabur akan dibahas tentang pengertian dari teori kabur dan operasi- operasi dalam himpunan kabur serta prinsip perluasan. Sedangkan dalam fungsi akan dibahas tentang penegertian dari fungsi, nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi, intergral dan diferensial.

BAB III Fungsi Kabur Menguraikan tentang masalah yang diangkat dalam penulisan ini yaitu tentang fungsi kabur, yang di dalamnya berisi tentang pegertian dari fungsi kabur, jenis-jenis fungsi kabur, himpunan pemaksimum dan peminimum serta menentukan nilai maksimum, integral dan diferensial kabur.

BAB IV Kesimpulan


BAB II FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR

A. Fungsi Tegas Banyak contoh yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari di mana nilai suatu besaran bergantung pada nilai besaran lainnya. Misalnya balas jasa seseorang bergantung pada banyaknya jam kerja; jarak yang ditempuh oleh mobil bergantung pada waktu sejak bergerak dari suatu titik tertentu; tahanan suatu kabel listrik dengan panjang tertentu bergantung pada garis tengahnya, dan lain-lain. Hubungan di antara besaran-besaran tersebut dapat dinyatakan dengan suatu fungsi. 1. Pengertian Fungsi Suatu fungsi melibatkan tiga hal, yaitu sebuah himpunan tak kosong yang disebut daerah asal fungsi, sebuah himpunan tak kosong lainnya yang disebut daerah kawan fungsi, dan suatu aturan pengaitan yang menentukan elemen dalam daerah kawan yang dikaitkan dengan tiap elemen dalam daerah asal.

Definisi 2.1 Fungsi adalah suatu aturan pengaitan antara elemen-elemen dua himpunan tak kosong, yaitu daerah asal dan daerah kawan fungsi, yang mengaitkan tiap elemen dalam daerah asal dengan tepat satu elemen dari daerah kawan. Dengan kata lain sebuah fungsi memetakan tiap elemen di daerah asal ke tepat satu elemen di daerah kawan.

5


Fungsi biasanya disajikan dengan hurur-huruf seperti f, g, F, φ, ψ. Jika x elemen dalam daerah asal f, maka f(x) adalah elemen dalam daerah kawan f yang dikaitkan dengan x. Elemen f(x) ini dinamakan nilai fungsi f di x, atau peta dari x. Himpunan semua nilai fungsi disebut daerah nilai (range) dari fungsi itu. Daerah nilai merupakan himpunan bagian dari daerah kawan. Suatu fungsi dapat ditulis sebagai berikut: f : x → f ( x) .

Definisi 2.2 Misalkan suatu fungsi ditentukan oleh persamaan y = f (x ) , maka x dinamakan variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable).

Suatu fungsi membangun himpunan pasangan terurut, sedemikian sehingga dalam tiap pasangan elemen yang pertama adalah elemen daerah asal fungsi dan elemen yang kedua adalah nilai fungsi itu yang berkaitan dengan elemen pertama tersebut.

Sekarang akan kita definisikan operasi-operasi pada fungsi, yaitu operasi jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi.


Definisi 2.3 Diberikan dua buah fungsi f dan g dengan daerah asal A dan daerah kawan B yang merupakan himpunan semua bilangan real. Maka i.

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

ii. ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) iii. ( f .g )( x ) = f ( x ).g ( x ) ⎛f⎞ f ( x) , g ( x) ≠ 0 iv. ⎜⎜ ⎟⎟( x) = g ( x) ⎝g⎠ untuk setiap x ∈ A .

Definisi 2.4 Andaikan f suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C. Komposisi fungsi dari dua fungsi itu adalah fungsi g o f dari A ke C yang didefinisikan sebagai berikut ( g o f )( x) = g ( f ( x ))

untuk setiap x ∈ A .

Contoh 2.1 Misalkan diberikan daerah asal f adalah himpunan semua bilangan real tak negatif dan daerah asal dari g adalah himpunan semua bilangan asli. Fungsi f dan g didefinisikan oleh f ( x) =

x dan g ( x) = 4 − x 2

tentukan F(x) jika F = f o g , dan tentukan daerah asal F.


Jawab: F ( x) = ( f o g )( x) = f ( g ( x)) = f (4 − x 2 ) = 4 − x2

Jadi daerah asal F adalah himpunan bilangan real sedemikian sehingga 4 − x 2 ≥ 0 , yaitu semua bilangan real dalam selang [−2, 2] .

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Definisi 2.5 Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika f (c ) ≥ f ( x ) untuk semua x di A.

Gambar 2.1 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai nilai maksimum di c.

Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c


Definisi 2.6 Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika f (c ) ≤ f ( x ) untuk semua x di A.

Gambar 2.2 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai nilai minimum di c.

Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c Bila suatu fungsi f mempunyai nilai maksimum relatif atau nilai minimum relatif di c, maka dikatakan f mempunyai nilai ekstrim relatif di c.

3. Diferensial Definisi 2.7 Diberikan fungsi f dengan daerah asal dan daerah kawan himpunan bilangan real. Turunan fungsi f adalah fungsi f ′ yang nilainya untuk sebarang elemen x adalah f ′( x) = lim

Δx → 0

f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx

jika limit itu ada dan Δx adalah pertambahan sebarang nilai x.


Jika suatu fungsi f mempunyai turunan di x, maka fungsi tersebut dikatakan terdiferensialkan (terturunkan) di x.

Jika (x, y) suatu titik pada grafik f, maka y = f(x), dan y ′ juga digunakan untuk menyatakan turunan dari f(x). Dengan fungsi f didefinisikan y = f(x), dapat diperoleh Δy = f ( x + Δx ) − f ( x )

di mana Δy adalah pertambahan dari y dan menyatakan suatu perubahan nilai fungsi bila x berubah sebesar Δx . Oleh karena itu f ′ dapat diganti dengan: dy Δy = lim . dx Δx →0 Δx dy d dinyatakan sebagai notasi turunan, dalam hal ini berarti ( y ) , yaitu turunan dx dx

dari y terhadap x. Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f yang menghasilkan f ′ . Seringkali kita memakai huruf D untuk menunjukkan operasi ini, sehingga dapat dituliskan Df = f ′ atau Df(x) = f ′(x ) .

Teorema 2.1 Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta, maka f ′(x ) = 0.

Bukti: f ′( x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) k −k = lim = lim 0 = 0 . h →0 h →0 h h

■


Teorema 2.2 Jika f ( x) = x n , dengan n bilangan bulat positif, maka f ′( x) = nx n −1 . Bukti: f ( x + h) − f ( x ) ( x + h) n − x n = lim h →0 h →0 h h n(n − 1) n − 2 2 x n + nx n −1 h + x h + ... + nxh n −1 + h n − x n 2 = lim h →0 h n ( n − 1 ) h(nx n −1 + x n −2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ) 2 = lim h →0 h

f ′( x) = lim

= nx n −1 .

■

Teorema 2.3 Misalkan f suatu fungsi, k suatu konstanta, dan g adalah fungsi yang didefinisikan oleh g(x) = k.f(x). Jika f ′(x ) ada, maka g ′( x ) = k . f ′( x ) .

Bukti: g ( x + h) − g ( x ) kf ( x + h) − kf ( x) = lim h →0 h →0 h h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ = lim k ⎢ ⎥ h →0 h ⎣ ⎦ f ( x + h) − f ( x ) = k lim h →0 h

g ′( x) = lim

= kf ′(x ) .

■


Teorema 2.4 Misalkan f dan g adalah fungsi dan F adalah fungsi yang didefinisikan oleh F ( x) = f ( x ) + g ( x) . Jika f ′(x ) dan g ′(x ) ada, maka F ′( x ) = f ′( x ) + g ′( x ) .

Bukti: ( f ( x + h) + g ( x + h)) − ( f ( x) + g ( x)) F ( x + h) − F ( x ) = lim h → 0 h h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) ⎤ = lim ⎢ + ⎥ h →0 h h ⎣ ⎦ f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) = lim + lim h →0 h →0 h h

F ( x) = lim h →0

= f ′( x ) + g ′( x ) .

■

Contoh 2.2 Diberikan fungsi f ( x) = x 3 − 3 x + 1 . Tentukan turunan dari fungsi tersebut. Jawab:

f ( x) = x 3 − 3 x + 1 f ′( x) = 3 x 2 − 3.

Teorema 2.5 Jika f didefinisikan pada selang [a, b], mempunyai ekstrim relatif di c, dan f ′(c ) ada, maka f ′(c) = 0 . Bukti: Jika f(c) nilai maksimum relatif f pada [a, b], maka f (c ) ≥ f ( x ), ∀x ∈ [a, b] atau f ( x ) − f (c ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a, b] .


Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh f ( x ) − f (c ) ≥ 0. x−c

Jika limitnya ada, maka lim x →c

f ( x ) − f (c ) ≥ 0. x−c

(1)

Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh f ( x ) − f (c ) ≤ 0. x−c


f ( x ) − f (c ) ≤ 0. x−c

(2)

Dari (1) dan (2), diperoleh f ′(c) = 0 .

Jika f(c) nilai minimum relatif f pada [a, b], maka f (c ) ≤ f ( x ), ∀x ∈ [a, b] atau f ( x ) − f (c ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b] .

Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh f ( x ) − f (c ) ≥ 0. x−c


f ( x ) − f (c ) ≥ 0. x−c

Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh f ( x ) − f (c ) ≤ 0. x−c

Jika limitnya ada, maka

(3)


lim x →c

f ( x ) − f (c ) ≤ 0. x−c

(4)

Dari (3) dan (4), diperoleh f ′(c) = 0 .

■

Teorema 2.6 Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada selang (a, b), sedangkan f(a) = f(b) = 0, maka ada bilangan c pada (a, b) sedemikian sehingga f ′(c) = 0 . Bukti: Karena f kontinu pada selang [a, b], maka fungsi f mempunyai nilai maksimum maupun nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut sama dengan 0, maka f(x) = 0 pada [a, b], akibatnya f ′( x ) = 0 untuk semua x dalam (a, b). Apabila salah satu nilai maksimum atau nilai minimum tidak sama dengan 0 dan f ( a ) = f (b) = 0 , maka nilai ekstrim tersebut dicapai pada suatu titik c ∈ ( a, b) .

Karena f terdiferensial pada selang (a, b), maka menurut Teorema 2.5 f ′(c) = 0 .■

Teorema 2.7 Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam (a, b), maka terdapat bilangan c dalam (a, b) sedemikian sehingga f ′(c) =

f (b) − f ( a ) . b−a


Bukti:

Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x) Misalkan fungsi s(x) = f(x) - g(x), dengan g adalah garis yang melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)). Karena garis g ini mempunyai kemiringan (f(b) – f(a))/(b - a) dan melalui (a, f(a)), maka persamaannya adalah g ( x) − f (a) =

f (b) − f (a ) ( x − a) b−a

sehingga s ( x) = f ( x) − f (a ) −

f (b) − f (a ) ( x − a) . b−a

Fungsi s kontinu dalam [a, b] karena merupakan selisih dua fungsi kontinu, dan s(a) = s(b) = 0. Fungsi s terdiferensialkan dalam (a, b), karena s mempunyai turunan di setiap titik dalam (a, b) yaitu s ′( x) = f ′( x) −

f (b ) − f ( a ) . b−a

Maka terdapat suatu bilangan c ∈ ( a, b) sedemikian sehingga s ′(c ) = 0 . Jadi f (b) − f (a ) b−a f (b) − f (a ) 0 = f ′(c) − b−a

s ′(c) = f ′(c) −


f ′(c) =

f (b) − f ( a ) . b−a

■

4. Integral Definisi 2.8 Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada suatu selang I jika untuk setiap

x ∈ I berlaku F ′( x ) = f ( x ) .

Pengintegralan merupakan cara untuk mendapatkan himpunan semua anti turunan dari suatu fungsi yang diberikan. Pengintegralan tersebut didefinisikan sebagai berikut:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C dan disebut integral tak tentu, di mana

∫

menyatakan lambang integral dan C

merupakan konstanta sembarang.

Teorema 2.8 Misalkan r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka r ∫ x dx =

x r +1 +C. r +1

Bukti:

⎡ x r +1 ⎤ 1 Dx ⎢ + C⎥ = (r + 1) x r = x r . ⎣r +1 ⎦ r +1

■


Teorema 2.9 Misalkan f suatu fungsi dan c suatu konstanta, maka

∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx . Bukti: D x [c ∫ f ( x) dx ] = c D x ∫ f ( x ) dx = cf (x ) .

■

Teorema 2.10 Misalkan f dan g mempunyai anti turunan, maka

∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ∫ ( f ( x) − g ( x))dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx Bukti: D x [ ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx ] = D x ∫ f ( x) dx + D x ∫ g ( x) dx = f ( x) + g ( x) .

D x [ ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx] = D x ∫ f ( x) dx + D x ∫ (−1) g ( x) dx = D x ∫ f ( x) dx + (−1) D x ∫ g ( x)dx = D x ∫ f ( x) dx − D x ∫ g ( x) dx = f ( x) − g ( x) .

■


Contoh 2.3 Tentukan intergral dari fungsi f ( x) = x 3 + 3 x + 1 . Jawab: Integral dari fungsi tersebut adalah

∫ f ( x)dx = ∫ ( x =

3

+ 3x + 1)dx

1 4 3 2 x + x + x + c. 4 2

Misalkan sebuah fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Pandang suatu partisi P pada selang [a, b] yang terdiri dari n selang bagian yang memakai

titik-titik

a = x0 < x1 < x 2 < ... < x n −1 < x n = b

dan

andaikan

Δxi = xi − xi −1 . Pada tiap selang bagian [ xi −1 , xi ] , ambil sebarang titik xi yang disebut titik sampel untuk selang bagian ke-i. Contoh partisi dapat dilihat dalam Gambar 2.9 dengan n = 6.

Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel xi

Bentuk jumlahan sebagai berikut n

R p = ∑ f ( x i ) Δx i i =1

yang disebut jumlah Riemann untuk f dengan partisi P.


19

Definisi 2.9

Misalkan fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika n

lim ∑ f ( xi ) Δxi P →0

i =1

ada, maka fungsi f dikatakan terintegralkan pada [a, b], di mana | P | yang disebut norma P, adalah panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Selanjutnya, b

∫

n

f ( x)dx = lim ∑ f ( xi )Δxi P →0

a

i =1

disebut integral tentu fungsi f dalam [a, b].

Teorema 2.11

Integral tentu fungsi f dalam [a, b] adalah b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a

di mana F adalah anti turunan dari fungsi f. Bukti: Misalkan P : a = x0 < xi < x 2 < ... < x n −1 < x n = b adalah sebarang partisi dari [a, b], maka F (b) − F ( a ) = F ( x n ) − F ( x n −1 ) + F ( x n −1 ) − F ( x n − 2 ) + ... + F ( x1 ) − F ( x0 ) n

= ∑ [ F ( xi ) − F ( xi −1 )]. i =1

Menurut Teorema 2.6, terdapat xi ∈ ( xi −1 , xi ) sedemikian sehingga F ( xi ) − F ( xi −1 ) = F ′( xi )( xi − xi −1 ) = f ( xi )Δx .


20

Jadi n

F (b) − F (a ) = ∑ f ( xi )Δx . i =1

Apabila kedua ruas diambil limitnya untuk | P | → 0 , maka diperoleh n

b

i =1

a

F (b) − F (a) = lim ∑ f ( xi )Δx = ∫ f ( x)dx. | P| → 0

■

Contoh 2.4

Diketahui fungsi f ( x) = x 2 + 2 . Hitungah integral tentu dari fungsi tersebut dalam interval [1, 2]. Jawab: 2

2 ∫ ( x + 2)dx = 1

=

2

1 3 ⎤ x + 2 x⎥ 3 ⎦1

20 7 1 − =4 . 3 3 3

B. Himpunan Kabur 1. Pengertian Himpunan Kabur

Kita telah mengenal himpunan tegas, yaitu himpunan yang terdefinisi secara tegas dalam arti bahwa untuk setiap elemen dalan suatu semesta pembicaraan selalu dapat ditentukan secara tegas apakah elemen tersebut termasuk anggota himpunan itu atau tidak. Ada batas yang tegas antara elemen yang termasuk anggota dan yang tidak termasuk anggota himpunan itu. Suatu himpunan tegas dapat dinyatakan dalam fungsi karakteristik, yaitu fungsi dari semesta X ke dalam him-


21

punan {0,1}. Suatu himpunan A dalam semesta X dapat dinyatakan dengan fungsi karakteristik χ A : X → {0,1} yang didefinisikan dengan ⎧1 ⎩0

χ A ( x) = ⎨

jika x ∈ A jika x ∉ A

untuk setiap x ∈ X . Sedangkan dalam himpunan kabur, keanggotaannya didefinisikan dengan menggunakan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian antara elemenelemen dalam semesta dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan, sedangkan nilai fungsinya disebut derajat keanggotaan suatu elemen dalam himpunan itu. Derajat keanggotaan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam interval tertutup [0,1].

Definisi 2.10 ~ Suatu himpunan kabur A dalam semesta X adalah himpunan yang mempunyai

fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan μ A~ dari X ke interval [0,1], ditulis:

μ A~ : X → [0,1] . Nilai fungsi μ A~ ( x ) menyatakan derajat keanggotaan elemen x ∈ X dalam him~ punan kabur A . Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, se-

dangkan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota dari himpunan kabur tesebut. Oleh karena itu himpunan tegas dapat dipandang sebagai kejadian khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keanggotaanya hanya mempunyai nilai 0 atau 1 saja.


22

~ Himpunan kabur A dalam semesta X dapat dinyatakan sebagai himpunan

~ pasangan terurut, yaitu A = {( x, μ A~ ( x)) x ∈ X } di mana μ A~ adalah fungsi keang~ gotaan dari himpunan kabur A . Apabila semesta X adalah himpunan yang kon~ tinu, maka himpunan kabur A dapat dinyatakan dengan

~ A=∫

x∈X

di mana

∫

μ A~ ( x) / x

bukan merupakan lambang integral, tetapi melambangkan himpunan

semua elemen x ∈ X bersama dengan derajat keanggotaanya dalam himpunan ~ kabur A . Sedangkan bila semesta X adalah himpunan yang diskret, maka him~ punan kabur A dapat dinyatakan dengan

~ A=

∑μ

x∈ X

di mana

∑

~ A

( x) / x

bukan merupakan lambang operator jumlah, tetapi melambangkan

himpunan semua elemen x ∈ X bersama dengan derajat keanggotaanya dalam ~ himpunan kabur A .

Contoh 2.5 ~ Dalam semesta X={-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3}, A adalah himpunan “bilangan bulat

yang dekat dengan nol” dapat dinyatakan dengan ~ A=

∑μ

x∈ X

~ A( x)

/x

= 0.10/-3 + 0.30/-2 + 0.50/-1 + 1/0 + 0.50/1 + 0.30/2 + 0.10/3.


23

Definisi 2.11 ~ Pendukung dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas yang memuat semua ~ elemen semesta yang memiliki derajat keanggotaan taknol dalam A , yang dilam-

~ bangkan dengan Pend ( A) , dinyatakan dengan

~ Pend ( A) = {x ∈ X μ A~ ( x) > 0} . ~ Himpunan kabur A disebut himpunan kabur elemen tunggal bila pendu-

kungnya adalah himpunan dengan elemen tunggal (singleton).

Definisi 2.12 ~ ~ Tinggi dari himpunan kabur A , dilambangkan dengan Tinggi ( A) , adalah

~ Tinggi ( A) = sup{μ A~ ( x)} . x∈ X

Himpunan kabur yang tingginya sama dengan 1 disebut himpunan kabur normal, sedangkan yang tingginya kurang dari 1 disebut himpunan kabur subnormal.

Definisi 2.13

Titik silang suatu himpunan kabur adalah elemen dari semesta pembicaraan himpunan kabur itu yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5.

Definisi 2.14 ~ Teras dari himpunan kabur A adalah himpunan dari semua elemen dari semesta

pembicaraan yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yang dilam~ bangkan dengan Teras ( A) , yaitu


24

~ Teras ( A) = {x ∈ X μ A~ ( x) = 1} .

Definisi 2.15

Pusat dari himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata tersebut. Jika nilai puratanya takhingga positif (atau negatif), maka pusat himpunan kabur itu adalah yang terkecil (atau terbesar) di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.

Contoh 2.6

Himpunan kabur dalam Contoh 2.5 di atas ~ Pend ( A) = {-1, -2, -3, 0,1, 2, 3} ~ Tinggi ( A) = 1 ~ Titik silang dari A adalah -1 dan 1

~ Teras ( A) = {0} ~ Pusat dari A adalah 0.

Definisi 2.16 ~ ~ Dua buah himpunan kabur A dan B dalam semesta X dikatakan sama, dinotasi~ ~ kan dengan A = B , bila dan hanya bila

μ A~ ( x ) = μ B~ ( x )


25

untuk setiap x ∈ X .

Definisi 2.17 ~ ~ Himpunan kabur A disebut himpunan bagian dari himpunan kabur B , dinotasi-

~ ~ kan dengan A ⊆ B , bila dan hanya bila

μ A~ ( x ) ≤ μ B~ ( x ) untuk setiap x ∈ X .

Contoh 2.7

Dalam semesta X = {1,2,3,4,5,6,7}, didefinisikan himpunan kabur sebagai berikut: ~ A = 0.10/1 + 0.30/2 + 0.50/3 + 1.0/4 + 0.50/5 + 0.30/6 + 0.10/7 ~ B = 0.30/2 + 0.40/3 + 1.0/4 + 0.40/5 + 0.30/6

~ ~ maka B ⊆ A .

2. Fungsi Keanggotaan

Himpunan kabur dinyatakan dengan fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan kabur dengan fungsi keanggotaannya. Untuk himpunan hingga

diskret, dengan menggunakan cara daftar, yaitu mendaftar

anggota-anggota himpunan dengan derajat keanggotaannya. Misalnya dalam semesta X = {Andi, Budi,

Iwan, Nanda, Anton}yang terdiri dari anak-anak

dengan tinggi berturut-turut 175, 168, 170, 172, dan 169, himpunan kabur


26

~ A = “himpunan anak-anak yang tinggi” dapat dinyatakan dengan cara daftar

berikut ini: ~ A = 0.9/Andi + 0.4/Budi + 0.6/Iwan + 0.7/Nanda + 0.5/Anton.

Sedangkan untuk himpunan takhingga yang kontinu, cara yang biasa dipakai adalah cara analitik yaitu untuk merepresentasikan fungsi keanggotaan himpunan kabur dalam suatu bentuk rumus matematis yang dapat dinyatakan dalam bentuk grafik. Misalkan A adalah himpunan kabur “bilangan real yang dekat de~ ngan 4”, maka A dapat dinyatakan dengan 2 ~ A = ∫ e − ( x −4) / x

x∈R

2 ~ di mana μ A~ ( x) = e − ( x − 4 ) merupakan fungsi keanggotaan A yang digambarkan

dalam bentuk grafik berikut

Gambar 2.5. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur

“bilangan real yang dekat dengan 4”


27

Bilangan 4 mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu

μ A~ ( x ) = 1 , sedangkan 3 dan 5 mempunyai derajat keanggotaan 0.37, yaitu μ A~ (3) = μ A~ (5) = 0.37 . ~ Himpunan kabur A “bilangan real yang dekat dengan 4”, juga dapat dinyatakan

dengan fungsi keanggotaan berikut

⎧x − 3 ⎪ μ A~ ( x) = ⎨5 − x ⎪0 ⎩

untuk 3 ≤ x ≤ 4 untuk 4 ≤ x ≤ 5 selainnya

grafiknya adalah sebagai berikut

Gambar 2.6. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur

“bilangan real yang dekat dengan 4”

Selanjutnya akan diperkenalkan beberapa himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan yang sering digunakan.


28

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga jika memiliki tiga parameter, yaitu a, b, c ∈ R dengan a < b < c , yang dinyatakan sebagai Segitiga ( x; a, b, c ) dengan aturan sebagai berikut:

⎧x − a ⎪ b − a untuk a ≤ x ≤ b ⎪ ⎪c − x Segitiga ( x; a, b, c) = ⎨ untuk b ≤ x ≤ c ⎪c − b selainnya ⎪0 ⎪ ⎩

Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut: ⎛ ⎛ x−a c− x⎞ ⎞ Segitiga( x; a, b, c) = max⎜⎜ min⎜ , ⎟, 0 ⎟⎟ ⎝b−b c−b⎠ ⎠ ⎝

Contoh 2.8

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Segitiga (x; 3, 6, 15) , maka grafik fungsi keanggotaan tersebut adalah

Gambar 2.7. Grafik fungsi keanggotaan Segitiga (x; 3, 6, 15)


29

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium jika memiliki empat parameter, yaitu a, b, c, d ∈ R dengan a < b < c < d , yang dinyatakan sebagai Trapesium ( x; a, b, c, d ) dengan aturan sebagai berikut:

⎧x − a ⎪b − a ⎪ ⎪1 Trapesium( x; a, b, c, d ) = ⎨ ⎪d − x ⎪d − c ⎪0 ⎩

untuk a ≤ x ≤ b untuk b ≤ x ≤ c untuk c ≤ x ≤ d selainnya

Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut: ⎛ ⎛ x−a c− x⎞ ⎞ Trapesium( x; a, b, c, d ) = max⎜⎜ min⎜ ,1, ⎟, 0 ⎟ . c − b ⎠ ⎟⎠ ⎝b−b ⎝

Contoh 2.9

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Trapesium (x; 3, 6, 9,15) , maka grafik fungsi keanggotaan tersebut adalah

Gambar 2.8. Grafik fungsi keanggotaan Trapesium (x; 3, 6, 9,15)


30

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Gauss jika memiliki dua parameter, yaitu

a, b ∈ R , yang dinyatakan dengan

Gauss ( x; a, b) jika memenuhi

Gauss( x; a, b) = e

⎛ x−a ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ b ⎠

2

di mana x = a adalah pusat dan b menentukan lebar dari fungsi keanggotaan tersebut. Gambar 2.5 merupakan grafik sebuah fungsi Gauss (x; 8, 8) .

Gambar 2.9. Grafik fungsi keanggotaan Gauss (x; 8, 8) .

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Cauchy jika memiliki tiga parameter, yaitu a, b, c ∈ R , yang dinyatakan dengan Cauchy ( x; a, b, c ) jika memenuhi

Cauchy ( x; a, b, c) =

1 x−c 1+ a

2b


31

di mana x = c merupakan pusat dan a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan (slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy. Misalkan diberikan contoh sebuah fungsi keanggotaan Cauchy (x;4,1, 8) , diperlihatkan dalam Gambar 2.6 berikut ini

Gambar 2.10. Grafik fungsi keanggotaan Cauchy (x;4,1, 8)

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Sigmoid jika memiliki dua parameter, yaitu a, c ∈ R , dinyatakan dengan Sigmoid ( x; a, c ) jika memenuhi Sigmoid ( x; a, c) =

1 1 + e − a ( x −c )

di mana a menentukan kemiringan fungsi keanggotaan sigmoid di titik silang

x = c. Masih banyak fungsi-fungsi keanggotaan lain yang dapat dibuat untuk memenuhi keperluan dalam penerapan tertentu. Fungsi keanggotaan sangat penting dalam teori himpunan kabur. Dalam setiap penerapan, harus disesuaikan


32

fungsi keanggotaan dari himpunan kabur yang akan digunakan untuk menyatakan istilah linguistik yang akan dipakai.

3. Operasi Pada Himpunan Kabur

Dalam himpunan kabur juga dikenal operasi-operasi antar himpunan, seperti dalam himpunan tegas. Karena himpunan kabur dinyatakan dengan fungsi keanggotaan, maka operasi pada himpunan kabur juga dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan. ~ ~ Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan kabur dalam semesta X.

Definisi 2.18 ~ ~ Komplemen dari himpunan kabur A adalah himpunan kabur A ' dengan fungsi

keanggotaan

μ A~ ' ( x ) = 1 − μ A~ ( x ) untuk setiap x ∈ X .

Definisi 2.19 ~ ~ ~ ~ Gabungan dua buah himpunan kabur A dan B adalah himpunan kabur A ∪ B

dengan fungsi keanggotaan

μ A~ ∪ B~ ( x) = max{μ A~ ( x ), μ B~ ( x )} untuk setiap x ∈ X .


33

Definisi 2.20 ~ ~ ~ ~ Irisan dua buah himpunan kabur A dan B adalah himpunan kabur A ∩ B de-

ngan fungsi keanggotaan

μ A~ ∩ B~ ( x ) = min{μ A~ ( x ), μ B~ ( x )} untuk setiap x ∈ X .

Contoh 2.10

Misalkan dalam semesta X = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} diketahui himpunan-himpunan kabur ~ A = 0.20/-2 + 0.30/-1 + 0.50/0 + 0.7/2 + 0.50/3 + 1.0/4 ~ B = 0.40/-1 + 0.30/0 + 0.80/1 + 0.70/3 + 0.40/4

Maka: ~ A'

= 0.80/-2 + 0.70/-1 + 0.50/0 + 1.0/1 + 0.30/2 + 0.50/3

~ B'

= 1.0/-2 + 0.60/-1 + 0.70/0 + 0.20/1 + 1.0/2 + 0.30/3 +0.60/4

~ ~ A ∪ B = 0.20/-2 + 0.40/-1 + 0.50/0 + 0.80/1 + 0.70/2 + 0.70/3 + 1.0/4 ~ ~ A ∩ B = 0.30/-1 + 0.30/0 + 0.50/3 + 0.40/4

Operasi-operasi yang telah didefinisikan di atas, yaitu komplemen, gabungan, dan irisan dalam himpunan kabur itu disebut operasi baku. Yang merupakan perampatan dari definisi operasi-operasi bersesuaian pada himpunan tegas.


34

4. Potongan-α dari Himpunan Kabur

Untuk suatu bilangan α ∈ [0, 1] , potongan-α dari suatu himpunan kabur

~ ~ A , yang dinotasikan dengan Aα , adalah himpunan tegas yang memuat semua ~ anggota dari semesta dengan derajat keanggotaan dalam A yang lebih besar atau

sama dengan α, yaitu Aα = {x ∈ X μ A~ ( x ) ≥ α } . ~ Sedangkan potongan-α kuat dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas

Aα′ = {x ∈ X μ A~ ( x ) > α } .

Contoh 2.11 ~ Dari Contoh 2.10 potongan-α dari himpunan kabur A , untuk α = 0.4 adalah

A0.4 = {0, 2, 3, 4} .

5. Prinsip Perluasan

Misalkan diberikan suatu fungsi tegas f : X → Y , maka fungsi tersebut dapat diperluas menjadi fungsi f : P ( X ) → P (Y ) , di mana P ( X ) dan P (Y ) berturut-turut adalah himpunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu dengan aturan

f ( A) : { y ∈ Y (∃x ∈ A) y = f ( x)} untuk setiap A ∈ P ( X ) . Demikian juga invers dari fungsi f : X → Y dapat diperluas menjadi fungsi f

−1

: P(Y ) → P( X ) dengan aturan

f −1 ( B) : {x ∈ X f ( x) ∈ B}


35

untuk setiap B ∈ P (Y ) . Himpunan f ( A) dan f

−1

( B ) juga dapat dinyatakan de-

ngan menggunakan fungsi karateristik yaitu sebagai berikut: ⎧⎪ sup {χ A ( x)}

jika (∃x ∈ X ) y = f ( x)

⎪⎩0

jika (∀x ∈ X ) y ≠ f ( x)

χ f ( A) ( y ) = ⎨ y = f ( x )

χf

−1

( B)

( x) = χ ( f B ( x)) .

Suatu fungsi tegas f : X → Y dikatakan dikaburkan bila fungsi itu diperluas menjadi fungsi f : F ( X ) → F (Y ) , di mana F ( X ) dan F (Y ) berturut-turut adalah himpunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu himpunan semua himpunan kabur dalam X dan Y. Selain itu invers dari f : X → Y juga dapat dikaburkan dengan memperluasnya menjadi fungsi f

−1

: F (Y ) → F ( X ) . Prinsip yang diguna-

kan untuk mengaburkan fungsi tegas disebut dengan prinsip perluasan.

Definisi 2.21

Suatu fungsi tegas f : X → Y dapat dikaburkan dengan memperluas fungsi terse~ but menjadi fungsi f : F ( X ) → F (Y ) dengan aturan: ∀A ∈ F ( X ) , f

−1

~ ( A ) me-

rupakan himpunan kabur dalam F (Y ) dengan fungsi keanggotaan

⎧⎪ sup {μ A~ ( x)}

jika (∃x ∈ X ) y = f ( x)

⎪⎩0

jika (∀x ∈ X ) y ≠ f ( x)

μ f ( A~ ) ( y) = ⎨ y = f ( x )

Invers dari fungsi tegas f : X → Y dapat dikaburkan dengan memperluas menjadi fungsi f

−1

~ ~ : F (Y ) → F ( X ) dengan aturan: ∀B ∈ F (Y ) , f (B ) meru-

pakan himpunan kabur dalam F ( X ) dengan fungsi keanggotaan


36

μf

−1

~ (B)

( x) = μ B~ ( f ( x))

Misalkan f adalah suatu pemetaan satu-satu, maka fungsi keanggotaan ~ himpunan kabur f ( A ) adalah

⎧μ A~ ( x)

jika (∃x ∈ X ) y = f ( x)

⎩0

jika (∀x ∈ X ) y ≠ f ( x)

μ f ( A~ ) ( y ) = ⎨

Jadi prinsip perluasan merupakan suatu prinsip yang mendasar dalam teori himpunan kabur. Sehingga dengan prinsip perluasan tersebut kita dapat mengaburkan konsep matematik yang tegas menjadi konsep yang kabur.

Contoh 2.12

Misalkan diberikan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan Y = {7, 8, 9, 10} . Pemetaan f : X → Y didefinisikan sebagai berikut: f (1) = f (2) = 7 , f (3) = 9 ,

f (4) = f (5) = f (6) = 10 .

Misalkan

diberikan

himpunan

~ A = 0.6 / 1 + 0.2 / 2 + 0.7 / 3 + 0.5 / 4 + 1 / 5 + 0.9 / 6 dan himpunan kabur ~ B = 0.3 / 7 + 0.7 / 8 + 0.9 / 9 + 0.5 / 10 . Dengan prinsip perluasan diperoleh f (1) = f (2) = 7 ⇒ sup{0.6 / 7 + 0.2 / 7} = 0.6 / 7 f (3) = 9 ⇒ 0.7 / 9 f (4) = f (5) = f (6) = 10 ⇒ sup{0.5 / 10 + 1 / 10 + 0.9 / 10} = 1 / 10

Jadi himpunan kaburnya adalah ~ f ( A) = 0.6 / 7 + 0.7 / 9 + 1 / 10 ~ f −1 ( B ) = 0.3 / 1 + 0.3 / 2 + 0.9 / 3 + 0.5 / 4 + 0.5 / 5 + 0.5 / 6.

kabur


BAB III FUNGSI KABUR

Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep fungsi kabur. Fungsi kabur terdiri dari fungsi tegas dengan kendala kabur dan fungsi yang mengaburkan. Himpunan pemaksimum dan peminimum juga diperkenalkan dan akan diaplikasikan untuk menentukan nilai maksimum dengan daerah asal kabur pada fungsi tegas. Dalam bagian ini juga akan dibahas tentang integral dan diferensial kabur dengan contoh-contohnya.

A. Jenis-jenis Fungsi Kabur Fungsi kabur dapat diklasifikasikan dalam tiga kelompok, yaitu 1. Fungsi tegas dengan kendala kabur. 2. Fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tidak bebas. 3. Fungsi pengaburan dengan variabel tegas.

1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur Definisi 3.1 Misalkan X dan Y adalah himpunan semesta tegas, dan f : X → Y adalah suatu fungsi tegas. A dan B adalah himpunan kabur yang berturut-turut didefinisikan dalam himpunan semesta X dan Y. Jika fungsi f memenuhi kondisi

37


μ A ( x) ≤ μ B ( f ( x)) ∀x ∈ X , maka f disebut fungsi tegas dengan kendala kabur pada daerah asal A dan daerah hasil B.

Contoh 3.1 Misalkan diberikan suatu fungsi y = f (x) , dan fungsi f mempunyai kendala kabur: “Derajat keanggotaan μ A (x) dari x dalam A adalah lebih kecil atau sama dengan μ B ( y) dari y dalam B” atau

μ A ( x) ≤ μ B ( y ) untuk setiap x ∈ X . Jika derajat keanggotaan dari x dalam A adalah a , maka derajat keanggotaan y dalam B tidak lebih kecil dari a .

Contoh 3.2 Diberikan dua himpunan kabur A = {(1, 0.5), (2, 0.8)} dan B = {( 2, 0.7), ( 4, 0.9)} , dan fungsi f ( x ) = 2 x,

maka fungsi f memenuhi kondisi μ A ( x) ≤ μ B ( f ( x)), ∀x ∈ X .

Diberikan fungsi-fungsi yang memenuhi kendala kabur

f : X → Y,

g : Y → Z dan A, B, dan C adalah himpunan kabur dalam X, Y, dan Z berturut-

turut. Komposisi kedua fungsi tersebut hasilnya adalah fungsi kabur


go f :X →Z

yang kondisinya adalah

μ A ( x) ≤ μ C ( g ( f ( x))), ∀x ∈ X .

2. Penularan Kekaburan oleh Fungsi Tegas Definisi 3.2 Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel takbebas. Jika f adalah fungsi tegas dari X ke Y, fungsi perluasan kabur f mendefinisikan bayangan kabur f ( A) dalam Y dari himpunan kabur A dalam X, yaitu

⎧ sup μ A ( x) ⎪ μ f ( A) ( y ) = ⎨ x∈ f −1 ( y ) ⎪⎩0 di mana f

−1

jika f

−1

( y) ≠ φ

jika f −1 ( y ) = φ

( y ) adalah bayangan invers dari y.

Contoh 3.4 Misalkan ada suatu fungsi tegas f ( x ) = 3 x + 1 , dan A = {(0, 0.9), (1, 0.8), ( 2, 0.7), (3, 0.6), (4, 0.5)} dan B = [0, 20]

Variabel bebas mempunyai kekaburan dan kekaburannya itu ditularkan ke himpunan tegas B, sehingga diperoleh himpunan kabur B ′ dalam B, yaitu B ′ = {(1, 0.9), (4, 0.8), (7, 0.7), (10, 0.6), (13, 0.5)} .


3. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas Fungsi pengaburan dengan variabel tegas adalah suatu fungsi yang menghasilkan bayangan dari daerah asal tegas berupa suatu himpunan kabur.

Definisi 3.3 ( Fungsi Pengaburan Tunggal ) ~ Fungsi pengaburan f dari X ke Y adalah pemetaan dari X ke himpunan kuasa ka-

~ bur P (Y ) ~ ~ f : X → P (Y )

yaitu pemetaan dari daerah asal tegas ke daerah hasil yang elemen-elemennya adalah himpunan-himpunan kabur.

Contoh 3.5 Diberikan dua himpunan tegas A = {2, 3, 4} dan B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12} . Suatu ~ ~ fungsi kabur f memetakan anggota-anggota dalam A ke himpunan kuasa P ( B )

dengan aturan berikut ini

~ f (2) = B1 ,

~ f (3) = B2 ,

~ f (4) = B3

~ di mana P ( B) = {B1 , B2 , B3 } dengan B1 = {(2, 0.5), (4, 1), (6, 0.5)} ,

B2 = {(3, 0.5), (6, 1), (9, 0.5)} , dan B3 = {( 4, 0.5), (8, 1), (12, 0.5)} . Secara detail, hubungan dalam pemetaan tersebut disajikan dalam Gambar 3.1.


Gambar 3.1. Fungsi pengaburan


Jika kita aplikasikan operasi potongan-α pada fungsi pengaburan tersebut, akan diperoleh f : 2 → {2, 4, 6} f : 2 → {4}

untuk α = 0.5 untuk α = 1

dengan cara yang sama f : 3 → {3, 6, 9} f : 3 → {6}


f : 4 → {4, 8, 12} f : 4 → {8}


kemudian

Definisi 3.4 Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas dari X ke Y didefinisikan sebagai himpunan kabur fungsi-fungsi tegas f i (i = 1, ..., n} dan dinotasikan sebagai ~ f = {( f i , μ ~f ( f i )) f i : X → Y , i = 1,..., n}

f i fungsi tegas pada X. Fungsi tersebut menghasilkan himpunan kabur.

Contoh 3.6 Jika fungsi-fungsi tegasnya adalah f1 , f 2 dan f 3 , maka himpunan kabur fungsifungsi tersebut dengan daerah asal X = {1, 2, 3} adalah ~ f = {( f 1 , 0.4), ( f 2 , 0.7), ( f 3 , 0.5)} f 1 ( x ) = x,

f 2 ( x) = x 2 ,

f 3 ( x) = − x + 1


~ dari f1 , diperoleh f 1 = {(1, 0.4), (2, 0.4), (3, 0.4)} ~ dari f 2 , diperoleh f 2 = {(1, 0.7), ( 4, 0.7), (9, 0.7)}

~ dari f 3 , diperoleh f 3 = {(0, 0.5), (−1, 0.5), (−2, 0.5)} maka dapat kita ringkas keluarannya sebagai berikut: ~ f (1) = {(1, 0.4), (1, 0.7), (0, 0.5)} = {(0, 0.5), (1, 0.7)} ~ f ( 2) = {( 2, 0.4), ( 4, 0.7), ( −1, 0.5)} = {( 2, 0.4), (4, 0.7), ( −1, 0.5)} ~ f (3) = {(3, 0.4), (9, 0.7), ( −2, 0.5)} = {(3, 0.4), (9, 0.7), (−2, 0.5)}

Dapat kita lihat bahwa fungsi kabur tersebut memetakan 2 ke 2 dengan derajat keanggotaan 0.4 dengan memakai fungsi f1 , ke 4 dengan derajat keanggotaan 0.7 memakai fungsi f 2 , dan ke –1 dengan derajat keanggotaan 0.5 dengan fungsi f 3 . ~ Hasil tersebut digambarkan oleh f 2 ( 2) di atas.

Contoh 3.7 Misalkan ada suatu himpunan kabur dengan fungsi kontinu pada X = [0, 2] (Gambar 3.2)

~ f = {( f1 , 0.4), ( f 2 , 0.7), ( f 3 , 0.5)} f 1 ( x ) = x,

f 2 ( x) = x 2 ,

f 3 ( x) = x 2 + 1

Fungsi kabur tersebut memetakan 1.5 ke 1.5 dengan derajat keanggotaan 0.4 dengan memakai fungsi f1 , ke 2.25 dengan derajat keanggotaan 0.7 dengan memakai f 2 , dan ke 3.25 dengan derajat keanggotaan 0.5 memakai f 3 . Jadi ~ f (1.5) = {(1.5, 0.4), ( 2.25, 0.7), (3.25, 0.5)} .


Gambar 3.2. Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas

B. Ekstrim Kabur dari Fungsi 1. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum Definisi 3.5 (Himpunan Pemaksimum) Misalkan f adalah fungsi dengan nilai real dalam X dan nilai terbesar dan terkecil dari f adalah sup( f ) dan inf( f ) berturut-turut. Himpunan pemaksimum M didefinisikan sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan

μ M ( x) =

f ( x) − inf( f ) , ∀x ∈ X sup( f ) − inf( f )

yaitu himpunan pemaksimum M adalah suatu himpunan kabur dengan derajat keanggotaan x ∈ X didefinisikan sebagai derajat kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum sup( f ) . Kemungkinan x berada dalam M didefinisikan dari posisi normal relatif dalam interval [inf( f ), sup( f )] . Interval [inf( f ), sup( f )] adalah


daerah hasil yang mungkin dari f (x ) . Himpunan peminimum dari f didefinisikan sebagai himpunan pemaksimum dari –f.

Contoh 3.8 Misalkan suatu fungsi f (Gambar 3.3) dengan interval nilai sebagai berikut [inf( f ), sup( f )] = [10, 20], 1 ≤ x ≤ 10 .

Jika x = 5 , maka f ( x ) = 15 . Derajat keanggotaan dari x = 5 dalam himpunan pemaksimum M dapat dihitung sebagai berikut:

μ M (5) = (15 − 10) /(20 − 10) = 5 / 10 = 0.5 Jika x = 8 , maka f ( x ) = 19 , dan

μ M (8) = (19 − 10) /(20 − 10) = 9 / 10 = 0.9 μ M (x) menyatakan kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum dari f. Dapat dikatakan bahwa x = 5 dan x = 8 menghasilkan nilai maksimum f ( x ) = 20 dengan kemungkinan 0.5 dan 0.9 berturut-turut.

1 ≤ x ≤ 10 10 ≤ f ( x) ≤ 20

Gambar 3.3. Contoh himpunan pemaksimum


Contoh 3.9 Diberikan suatu fungsi f ( x ) = sin x (0 ≤ x ≤ 2π ) seperti dalam Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum M dari fungsi tersebut mempunyai fungsi keanggotaan sin x − inf(sin x) sup(sin x) − inf(sin x) sin x − (−1) = 1 − (−1) sin x + 1 = 2 1 1 = sin x + 2 2

μ M ( x) =

Jika x = π , maka f ( x ) = sin π = 0 . Kemungkinan bahwa f ( x ) = 0 adalah nilai maksimum dari fungsi sinus adalah

1 . 2

(a) f ( x ) = sin x

(b) Himpunan pemaksimum M Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum dari fungsi sinus


2. Nilai Maksimum dari Fungsi Tegas a. Daerah Asal Tegas Misalkan x 0 adalah nilai variabel bebas yang membuat fungsi f mencapai nilai maksimum dalam daerah asal D. Kita dapat menggunakan himpunan pemaksimum M untuk menemukan nilai x 0 , yaitu x 0 adalah elemen yang membuat

μ M (x) menjadi nilai maksimum: μ M ( x0 ) = sup μ M ( x) x∈D

μ M (x) adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum. Nilai maksimum dari f adalah f ( x 0 ) . μ M ( x 0 ) dapat ditulis sebagai berikut (dengan daerah asal D suatu himpunan tegas):

μ M ( x0 ) = sup μ M ( x) x∈D

= sup min[ μ M ( x), μ D ( x)]. x∈ X

Perhatikan bahwa daerah asal D digantikan oleh himpunan semesta X dalam rumus di atas. Kemungkinan x berada dalam D dinotasikan dengan μ D (x) .

Contoh 3.10 Diberikan suatu fungsi dan daerah asalnya: f ( x ) = cos x,

x ∈ D = [0, 2π ]

cos x − inf(cos x) sup(cos x) − inf(cos x) cos x − (−1) cos x + 1 1 1 = = = cos x + 1 − (−1) 2 2 2

μ M ( x) =


48

⎧1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π ⎩0 selainnya

μ D ( x) = ⎨

Nilai maksimum f ( x0 ) dicapai di x 0 di mana

μ M ( x 0 ) = sup min[ μ M ( x), μ D ( x)] 0 ≤ x ≤ 2π

= sup μ M ( x) 0 ≤ x ≤ 2π

= 1 untuk x0 = 0 atau 2π .

Maka nilai maksimum f ( x0 ) = 1 dicapai ketika x0 = 0 atau 2π .

Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas

b. Daerah Asal Kabur

Sekarang dibahas cara mendapatkan nilai maksimum f ( x0 ) jika daerah asalnya didefinisikan dalam himpunan kabur. Agar f mencapai nilai maksimum di x 0 , dua kondisi berikut harus dipenuhi: - μ M (x) maksimum - μ D (x) maksimum


49

Elemen x1 yang menghasilkan nilai maksimum f harus memenuhi dua kondisi di atas. Kemungkinan x1 menghasilkan nilai maksimum dari f ditentukan oleh minimum dari μ M ( x1 ) dan μ D ( x1 ) yaitu:

min[ μ M ( x1 ), μ D ( x1 )] . Titik x 0 yang membuat fungsi f menjadi maksimum didefinisikan sebagai berikut: f ( x0 ) = sup min[ μ M ( x), μ D ( x)] x∈ X

di mana μ M (x) adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum dan μ D (x) adalah fungsi keanggotaan daerah asal kabur (Gambar 3.6). Perbandingan x 0 dengan x1 dalam Gambar 3.6, kemungkinan x1 menghasilkan maksimum untuk f lebih besar dari x 0 : f ( x1 ) > f ( x0 ) atau μ M ( x1 ) > μ M ( x0 ) . Tetapi karena μ D ( x1 ) jauh lebih kecil dari pada μ D ( x0 ) , maka f ( x0 ) dipilih sebagai nilai maksimum.

Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar


50

Contoh 3.11

Diberikan suatu fungsi dengan daerah asal kabur (Gambar 3.7):

f ( x) = − x + 2, x ∈ D ⎧ x 2 untuk 0 ≤ x ≤ 1 ⎩0 yang lainnya

μ D ( x) = ⎨

Fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum:

μ M ( x) =

− x + 2 −1 = −x + 1 . 2 −1

Dari persamaan f ( x0 ) = sup min[ μ M ( x), μ D ( x)] x∈ X

titik x 0 diperoleh ketika

μ M ( x0 ) = μ D ( x0 ) − x0 + 1 = x02 , x0 = 0.6 Maka kita mempunyai nilai maksimum f ( x0 ) = 1.4 untuk x0 = 0.6 .


51

Gambar 3.7. Nilai maksimum dari f ( x) = − x + 2 dengan daerah asal kabur Contoh 3.12

Misalkan diberikan suatu fungsi tegas f dan daerah asal kaburnya D: f ( x) = cos x, x ∈ D x ⎧ ⎪min[1, ] untuk 0 ≤ x ≤ 2π μ D ( x) = ⎨ π ⎪⎩0 untuk lainnya 1 2

μ M ( x) = cos x +

1 2

seperti dalam Gambar 3.8. Maka max min[ μ M ( x), μ D ( x)] diperoleh ketika x0 = 2π x∈ X

dan f ( x0 ) = 1 .

Gambar 3.8. Nilai maksimum f ( x ) = cos x dengan daerah asal kabur

C. Integral dan Differensial Fungsi Kabur 1. Integral

Sekarang kita akan membahas integral fungsi kabur pada interval tegas dan pada interval kabur.


52

a. Integral Fungsi Kabur pada Interval Tegas Definisi 3.6 (Integral Fungsi Kabur)

Dalam interval tegas [ a, b] , misalkan fungsi kabur mempunyai nilai kabur ~ ~ f ( x ) untuk x ∈ [ a, b] . Integral I ( a, b) dari fungsi kabur dalam [ a, b] dide-

finisikan sebagai berikut b

b

a

a

~ I (a, b) = {( ∫ f α− ( x)dx + ∫ f α+ ( x)dx, α ) α ∈ [0, 1]} ~ di mana f α− dan f α+ adalah fungsi potongan-α dari f ( x ) . Tanda (+) dalam rumus

di atas menggambarkan keseluruhan unsur-unsur dalam himpunan kabur, bukan penjumlahan

aritmetika.

Selanjutnya,

integral

total

diperoleh

dengan

mengumpulkan semua integral dari setiap fungsi potongan-α. Jika kita mengerjakan operasi potongan-α untuk fungsi kabur, diperoleh f α− atau f α+ sehingga kita dapat menghitung integral dari masing-masing fungsi itu: b

b

a

a

~ ~ I α− = ∫ f α− ( x)dx dan I α+ = ∫ f α+ ( x)dx

~ ~ Jadi dapat dikatakan bahwa kemungkinan I α− atau I α+ adalah anggota dari ~ integral total I ( a, b) adalah α.

Contoh 3.13

Misalkan ada suatu himpunan kabur dari fungsi-fungsi dan kita akan menghitung integralnya pada [1, 2]:


53

~ f = {( f1 , 0.4), ( f 2 , 0.7), ( f 3 , 0.4)} X = [1, 2]

f 1 ( x ) = x,

f 2 ( x) = x 2 ,

f 3 ( x) = x + 1

i. Untuk α = 0.7 f = f 2 ( x) = x 2 2

1 ⎤ 7 I α (1, 2) = ∫ x ( x)dx = x 3 ⎥ = 3 ⎦1 3 1 2

2

Hasil integralnya adalah

7 dengan kemungkinan 0.7 3

7 Maka I 0.7 (1, 2) = {( , 0.7)} . 3

ii. Untuk α = 0.4 ada dua fungsi

f f

+

= f1 ( x) = x

−

= f 3 ( x) = x + 1 2

1 ⎤ 3 I α (1, 2) = ∫ xdx = x 2 ⎥ = 2 ⎦1 2 1 2

2

1 5 ⎤ I α (1, 2) = ∫ ( x + 1)dx = x 2 + x ⎥ = 2 ⎦1 2 1 2

Hasil integralnya adalah

3 5 dengan kemungkinan 0.4 dan dengan kemungkin2 2

an 0.4. Maka 3 5 I 0.4 (1, 2) = {( , 0.4), ( , 0.4)} 2 2

sehingga kita mempunyai integral total


54

7 3 5 ~ I (1, 2) = {( , 0.7), ( , 0.4), ( , 0.4)} . 3 2 2

Gambar 3.9. Integral fungsi kabur dengan interval tegas

b. Integral Fungsi Tegas pada Interval kabur

Selanjutnya akan diuraikan integral fungsi tegas pada interval kabur [A, B] yang batasnya ditentukan oleh dua himpunan kabur A dan B (Gambar 3.10).

Gambar 3.10. Interval kabur


55

Definisi 3.7 (Integral pada interval kabur)

Integral I(A, B) dari fungsi tegas f pada interval kabur [A, B] didefinisikan sebagai berikut

μ I ( a ,b ) = max min[ μ A ( x), μ B ( x)]. x, y

y

∫

z = f ( u ) du x

Contoh 3.14

Berikut ini ditunjukkan integral dari fungsi f ( x) = 2 pada interval kabur [A, B]. A = {(4, 0.8), (5, 1), (6, 0.4)} B = {(6, 0.7), (7, 1), (8, 0.2)} f ( x ) = 2,

x ∈ [ 4, 8]

B

B

A

A

~ I ( A, B ) = ∫ f ( x) dx = ∫ 2dx

Lihat Tabel 3.1. Diperoleh integral I(A, B).


56

Tabel 3.1. Integral Kabur b

∫ 2dx

min[μ A (a), μ B (b)]

[4, 6]

4

0.7

[4, 7]

6

0.8

[4, 8]

8

0.2

[5, 6]

2

0.7

[5, 7]

4

1

[5, 8]

6

0.2

[6, 6]

0

0.4

[6, 7]

2

0.4

[6, 8]

4

0.2

[A, B]

a

~ I ( A, B ) = {(0, 0.4), (2, 0.7), ( 4, 1), (6, 0.8), (8, 0.2)}

Sebagai contoh, integral dalam [6, 6], diperoleh 0 sebagai nilai integral dengan kemungkinan 0.4. Sedangkan dalam interval [5, 6] dan [6, 7], diperoleh nilai integral 2 dengan kemungkinan 0.7 dan 0.4. Jadi kemungkinan nilai integralnya 2 adalah max[0.7, 0.4] = 0.7.

2. Diferensial


57

Selanjutnya akan diperkenalkan differensial fungsi tegas pada interval kabur.

Definisi 3.8 (Diferensial pada himpunan kabur)

Dengan prinsip perluasan, diferensial f ′( A) dari fungsi tegas f pada himpunan kabur A didefinisikan sebagai berikut

μ f ′( A) ( y ) = max μ A ( x) . f ( x )= y

Contoh 3.15

Misalkan fungsi f ( x) = x 3 , maka diferensial dari fungsi tersebut pada himpunan kabur A = {(-1, 0.4), (0, 1), (1, 0.6)}: f ′( x) = 3 x 2 f ′( A) = {(3, 0.4), (0, 1), (3, 0.6)} = {(0, 1), (3, 0.6)}.

Contoh 3.16

Diberikan suatu fungsi kabur

~ f = {( f 1 , 0.4), ( f 2 , 0.7), ( f 3 , 0.4)} f 1 ( x ) = x,

Kita peroleh

f 2 ( x) = x 2 ,

f 3 ( x) = x 3 + 1


58

f1′( x) = 1, f 2′( x) = 2 x, f 3′( x) = 3x 2 f1′(0.5) = 1 jika α = 0.4 f 2′(0.5) = 1 jika α = 0.7 f 3′(0.5) = 0.75 jika α = 0.4 ~ df ( x 0 ) = {(1, 0.4), (1, 0.7), (0.75, 0.4)} dx = {(1, 0.7), (0.75, 0.4)}.

D. Soal – soal

1.

Tunjukkan bahwa fungsi berikut

y = f ( x) = 3x 2 ,

x ∈ A,

y∈B

A = {( 2, 0.5), (3, 0.4)} B = {( 4, 0.4), (12, 0.5), ( 27, 0.5)}

memenuhi kondisi μ A ( x) ≤ μ B ( y ) .

Jawab: Untuk x = 2 , maka y = f ( x) = 3(2) 2 = 12 , sedangkan

μ A (2) = 0.5 dan μ B (12) = 0.5 . Jadi μ A ( x) ≤ μ B ( y ) . Untuk x = 3 , maka y = f (3) = 3(3) 2 = 27 , sedangkan

μ A (3) = 0.4 dan μ B (27) = 0.5 . Jadi μ A ( x) ≤ μ B ( y ) . Jadi fungsi f ( x) = 3 x 2 memenuhi kondisi μ A ( x) ≤ μ B ( y ) .

2.

Tunjukkan bahwa fungsi berikut adalah suatu fungsi pengaburan.


59

~ ~ f : A → P ( B)

di

mana

A = {1, 2, 3} ,

B = {1, 2, 3, 4, 6} ,

~ P ( B) = ( B1 , B2 , B3 } ~ f (1) = B 1 ~ f ( 2) = B 2 ~ f (3) = B3

B1 = {(1, 0.9), (2, 0.5)} B2 = {(2, 0.5), (4.0.9)} B3 = {(3, 1.0), (6, 0.5)}

Jawab: ~ Fungsi f adalah fungsi pengaburan, sebab

~ f : 1 → B1 = {(1, 0.9), (2, 0.5)} ~ f : 2 → B2 = {( 2,0.5), (4,0.9)} ~ f : 3 → B3 = {(3,1.0), (6,0.5)}.

Jadi menurut definisi 3.3 fungsi tersebut adalah fungsi pengaburan.

3.

Diberikan himpunan kabur fungsi-fungsi tegas dengan daerah asal X = {2, 3, 4} :

f1 ( x) = x + 1, f 2 ( x) = x 2 , f 3 ( x) = x 2 + 1 ~ f = {( f1 , 0.4), ( f 2 , 0.5), ( f 3 , 0.9)}. ~ ~ ~ Tentukan f ( 2), f (3), f ( 4).

Jawab:


60

Untuk x = 2 , maka f1 (2) = 3 , f 2 (2) = 4 , f 3 (2) = 5 Untuk x = 3 , maka f1 (3) = 4 , f 2 (3) = 9 , f 3 (3) = 10 Untuk x = 4 maka f1 (4) = 5 , f 2 (4) = 16 , f 3 (4) = 17 Jadi ~ f ( 2) = {(3, 0.4), ( 4, 0.5), (5, 0.9)} ~ f (3) = {( 4, 0.4), (9, 0.5), (10, 0.9)} ~ f ( 4) = {(5, 0.4), (16, 0.5), (17, 0.9)} .

4.

Diberikan suatu fungsi f ( x) = x 3 , x ∈ D = [−1, 3] . Tentukan himpunan pemaksimum kabur dan himpunan peminimum kabur, dan hitung kemungkinan x = 0 dalam setiap himpunan tersebut.

Jawab: a. Himpunan pemaksimum kabur adalah himpunan kabur M dengan fungsi keanggotaan

μ M ( x) = =

f ( x) − inf( f ) sup( f ) − inf( f ) x 3 − (−1) 27 − (−1)

x3 + 1 28 1 3 1 x + = 28 28

=

Untuk x = 0 nilai kemungkinannya adalah


61

1 3 1 x + 28 28 1 = = 0.04. 28

μ M ( 0) =

b. Himpunan peminimum kabur adalah himpunan kabur M dengan fungsi keanggotaan

μ M ( x) = =

− f ( x) − inf(− f ) sup( − f ) − inf( − f ) − x 3 − (−27) 1 − (−27)

− x 3 + 27 28 1 27 = − x3 + 28 28

=

Untuk x = 0 nilai kemungkinannya adalah 1 3 27 x + 28 28 27 = = 0.96. 28

μ M ( 0) = −

5.

Tentukan himpunan pemaksimum kabur dan himpunan peminimum kabur dari f ( x ) = cos x , dan tentukan kemungkinan maksimum dan minimum.

Jawab: a. Himpunan pemaksimum kabur

π 2

dan 2π menghasilkan nilai


62

f ( x) − inf( f ) sup( f ) − inf( f ) cos x − (−1) = 1 − (−1) cos x + 1 1 1 = = cos x + 2 2 2

μ M ( x) =

Untuk x =

π 2

nilai kemungkinannya adalah

π π 1 1 μ M ( ) = cos( ) + 2

2 1 = 2

2

2

dan untuk x = 2π nilai kemungkinannya adalah 1 2

μ M (2π ) = cos(2π ) + =

1 2

1 1 + = 1. 2 2

b. Himpunan peminimum kabur − f ( x) − inf(− f ) sup(− f ) − inf(− f ) − cos x − (−1) = 1 − (−1) − cos x + 1 = 2 1 1 = − cos x + . 2 2

μ M ( x) =

Untuk x =

π 2

nilai kemungkinannya adalah


63

π π 1 1 μ M ( ) = − cos( ) + 2

2

=

2

2

1 2

dan untuk x = 2π nilai kemungkinannya adalah 1 2

μ M (2π ) = − cos(2π ) + =−

6.

1 2

1 1 + = 0. 2 2

Hitunglah nilai maksimum dari fungsi berikut f ( x) = x 2 a. di mana x ∈ D = [0, 1], μ D ( x) = 1.0 b. di mana x ∈ D = [0, 1], μ D ( x) = x

Jawab: a. f ( x) = x 2 , di mana x ∈ D = [0, 1], μ D ( x) = 1.0

μ M ( x) =

x 2 − inf( x 2 ) sup( x 2 ) − inf( x 2 )

=

x2 − 0 = x2 1− 0

Nilai maksimum f ( x0 ) dicapai di titik x 0 di mana

μ M ( x0 ) = sup min[μ M ( x), μ D ( x)] 0≤ x ≤1

= sup min[ x 2 ,1] = sup[ x 2 ] 0≤ x ≤1

0≤ x ≤1

= 1 untuk x0 = 1. Jadi kita peroleh nilai maksimum f ( x0 ) = 1 untuk x0 = 1 .


64

b. f ( x) = x 2 , di mana x ∈ D = [0, 1], μ D ( x) = x . Dari soal di atas telah didapatkan μ M ( x) = x 2 . Nilai maksimum f ( x0 ) dicapai di titik x 0 di mana

μ M ( x0 ) = μ D ( x0 ) x 02 = x 0 x02 − x0 = 0 x0 = 0 atau

x0 = 1

Jadi nilai maksimum f ( x0 ) = 1 dicapai untuk x0 = 1 . 7.

Misalkan diberikan fungsi f ( x) = x 2 + 1 . Integralkan fungsi tersebut dalam interval [A, B], di mana A = {(1, 0.5), ( 2, 0.9)} dan B = {(8, 0.1), (9, 0.5)} .

Jawab: f ( x) = x 2 + 1, x ∈ [1, 9] B

B

A

A

~ I ( A, B) = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x 2 + 1 )dx

Tabel 3.2. Integral Kabur dari fungsi f ( x) = x 2 + 1 b

[a, b]

∫x

2

+1

min[μ A (a), μ B (b)]

a

[1, 8]

177

1 3

0.1

[1, 9]

250

2 3

0.5


65

[2, 8] [2, 9]

174 247

1 3

0.1 0.5

Sehingga diperoleh 1 1 2 ~ I ( A, B) = {(174, 0.1), (177 , 0.1), (247 , 0.5), (250 , 0.5)} . 3 3 3

8.

Diberikan fungsi

f ( x) = 5 x 2 + 1 . Diferensialkan fungsi tersebut pada

himpunan kabur A = {( −2, 0.5), ( −1, 0.9), (0, 1.0)} .

Jawab: f ( x) = 5 x 2 + 1 f ′( x ) = 10 x f ′( −2) = −20 f ′( −1) = −10 f ′(0) = 0

Jadi f ′( A) = {( −20, 0.5), ( −10, 0.9), (0, 1.0)} .

9.

Diketahui himpunan kabur dari fungsi-fungsi tegas

~ f = {( f1 , 0.4), ( f 2 , 0.9), ( f 3 , 0.5), ( f 4 ,0.4)}


66

x ∈ D = [1, 3] f1 ( x) = x + 1, f 3 ( x) =

1 , x

f 2 ( x) = x 2 + 1 f 4 ( x) =

1 + 5. x

~ ~ Tentukan himpunan kabur f ( 2) dan f (3) .

Jawab: Untuk x = 2 , maka f1 (2) = 2 + 1 = 3

f 2 (2) = 4 + 1 = 5 f 3 ( 2) =

1 2

f 4 ( 2) =

1 + 5 = 5 .5 . 2

Untuk x = 3 , maka f1 (3) = 3 + 1 = 4

f 2 (3) = 9 + 1 = 10 f 3 (3) =

1 3

f 4 ( 2) =

1 16 +5= . 3 3

~ ~ Jadi diperoleh himpunan-himpunan kabur f ( 2) dan f (3) yaitu ~ f ( 2) = {(3, 0.4), (5, 0.9), (0.5, 0.5), (5.5, 0.4)}

~ 1 1 f (3) = {( 4, 0.4), (10, 0.9), ( , 0.5), (5 , 0.4)}. 3 3


67

10. Tentukan himpunan pemaksimum kabur M dan nilai maksimumnya dari fungsi berikut: f ( x) = sin x + 1, x ∈ D ⎧ x untuk 0 ≤ x ≤ 2π ⎪ μ D ( x) = ⎨ 2π ⎪⎩0 untuk lainnya Jawab: sin x + 1 − inf(sin x + 1) sup(sin x + 1) − inf(sin x + 1) (sin x + 1) − 0 sin x + 1 1 1 = = = sin x + 2−0 2 2 2

μ M ( x) =

Nilai maksimum f ( x0 ) dicapai dititik x 0 di mana

μ M ( x0 ) = μ D ( x0 ) 1 1 x sin x0 + = 0 2 2 2π x0 = π Jadi nilai maksimum f ( x0 ) = 1 dicapai untuk x0 = π .

11. Diketahui fungsi kabur

~ f = {( f1 , 0.4), ( f 2 , 0.5), ( f 3 , 0.4), ( f 4 ,0.9)}, x ∈ D = [1, 3] dengan f1 ( x) = x + 1, f 3 ( x) = x 2 + 1,

f 2 ( x) = x − 1 f 4 ( x) = x 2 − 1

Hitunglah integral dari fungsi tersebut dalam [1, 3].

Jawab:


68

a. Intrgral untuk α = 0.5 :

f 2 ( x) = x − 1 3

I 0.5 (1, 3) = ∫ ( x − 1) dx = 1

3

1 2 3 1 ⎤ x − x ⎥ = − (− ) = 2 2 2 ⎦1 2

Jadi integralnya adalah 2 dengan kemungkinan 0.5. b. Intrgral untuk α = 0.9 : f 4 ( x) = x 2 − 1 3

I 0.9 (1, 3) = ∫ ( x 2 − 1 )dx = 1

Jadi integralnya adalah 6

3

1 3 2 2 ⎤ x − x ⎥ = 6 − (− ) = 6 3 3 3 ⎦1

2 dengan kemungkinan 0.9. 3

c. Intrgral untuk α = 0.4 ada dua fungsi:

f 1 ( x) = x + 1 f 3 ( x) = x 2 + 1 3

I 0.4 (1, 3) = ∫ ( x + 1 )dx = 1

3

I 0.4 (1, 3) = ∫ ( x 2 + 1) dx = 1

3

1 2 15 3 ⎤ x + x⎥ = − = 6 2 ⎦1 2 2 3

1 3 4 2 ⎤ x + x ⎥ = 12 − ( ) = 10 3 3 3 ⎦1

Jadi integralnya adalah 6 dengan kemungkinan 0.4, dan 10 kemungkinan 0.4. Maka integral totalnya adalah 2 2 ~ I (1, 3) = {(6, 0.4), (2, 0.5), (6 , 0.9), (10 , 0.4)}. 3 3

2 dengan 3


69

12. Diberikan suatu fungsi kabur

~ f = {( f1 , 0.5), ( f 2 , 0.9), ( f 3 , 0.5)} dengan f 1 ( x ) = x 2 + 1,

f 2 ( x ) = x 3 + x 2 + 1,

f 3 ( x) = x .

Diferensialkan fungsi tersebut di x0 = 2 .

Jawab: f 1 ( x ) = x 2 + 1, f 1′( x ) = 2 x,

f 2 ( x ) = x 3 + x 2 + 1,

f 2′ ( x ) = 3 x 2 + 2 x,

f 3 ( x) = x

f 3′( x) = 1

Diferensial fungsi untuk x0 = 2 adalah f1′(2) = 4

dengan α = 0.5

f 2′(2) = 3 x 2 + 2 x = 12 + 4 = 16 dengan α = 0.9 f 3′(2) = 1 dengan α = 0.5 ~ df (2) = {( 4, 0.5), (16, 0.9), (1, 0.5)}. dx


BAB IV KESIMPULAN

Fungsi kabur dapat diklasifikasikan dalam tiga kelompok, yaitu fungsi tegas dengan kendala kabur, fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak bebas, dan fungsi pengaburan dengan variabel tegas. Fungsi tegas dengan kendala kabur adalah suatu fungsi f yang memenuhi kondisi

μ A ( x) ≤ μ B ( f ( x)) ∀x ∈ X , di mana X dan Y adalah himpuan semesta tegas dan A dan B adalah himpunan kabur yang didefinisikan dalam semesta tegas tersebut. Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak bebas. Jika f adalah fungsi tegas dari X ke Y, maka fungsi perluasan kabur f mendefinisikan bayangan kabur f(A) dalam Y dari himpunan kabur A dalam X, yaitu

⎧ sup μ A ( x) jika f −1 ( y ) ≠ φ ⎪ μ f ( A) ( y ) = ⎨ x∈ f −1 ( y ) ⎪⎩0 jika f −1 ( y ) = φ di mana f

−1

( A) adalah bayangan invers dari y. Sedangkan fungsi pengaburan de-

ngan variabel tegas adalah suatu fungsi yang menghasilkan bayangan dari daerah asal tegas berupa suatu himpunan kabur. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tegas dengan daerah asal tegas maupun kabur dipakai himpunan pemaksimum dan himpunan peminimum. Himpunan pemaksimum M didefinisikan sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan

70


71

μ M ( x) =

f ( x) − inf( f ) , ∀x ∈ X . sup( f ) − inf( f )

Himpunan pemaksimum M tersebut adalah suatu himpunan kabur dengan derajat keanggotaan x ∈ X didefinisikan sebagai derajat kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum sup(f). Sedangkan himpunan peminimum dari f didefinisikan sebagai himpunan pemaksimum dari –f. Nilai maksimum dari fungsi tegas f adalah f ( x0 ) , di mana x 0 suatu titik yang membuat fungsi f mencapai nilai maksimum dalam daerah asal tegas D. Dengan himpunan pemaksimum M dapat ditemukan nilai x 0 , yaitu elemen yang membuat μ M (x) mencapai nilai maksimum:

μ M ( x0 ) = sup μ M ( x) x∈D

= sup min[μ M ( x), μ D ( x)]. x∈ X

Sedangkan nilai maksimum dari fungsi tegas f dalam daerah asal kabur dicapai ketika ada titik x 0 yang membuat fungsi f menjadi maksimum yang didefinisikan sebagai f ( x0 ) = sup min[ μ M ( x), μ D ( x)] x∈ X

di mana μ M (x) adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum dan μ D (x) adalah fungsi keanggotaan daerah asal kabur. Integral fungsi kabur diklasifikasikan dalam dua kelompok, yaitu integral fungsi kabur pada interval tegas dan integral fungsi kabur pada interval kabur. Integral fungsi kabur dalam interval tegas [a, b] didefinisikan sebagai b

b

a

a

~ I (a, b) = {( ∫ f a− ( x)dx + ∫ f a+ ( x)dx, α ) α = [0,1]}


72

~ di mana f a− dan f a+ adalah fungsi potongan-α dari f ( x ) . Integral total diperoleh

dengan mengumpulkan semua integral dari setiap fungsi potongan-α. Selanjutnya integral I(A, B) dari fungsi tegas pada interval kabur [A, B] didefinisikan sebagai berikut

μ I ( A, B ) = max min[ μ A ( x), μ B ( x)] . x, y

y

∫

z = f ( u ) du x

Sedangkan diferensial f ′( A) dari fungsi tegas f pada himpunan kabur A didefinisikan sebagai berikut

μ f ′( A) = max μ A ( x). f ( x)= y


DAFTAR PUSTAKA

Baisuni, H. M. Hasyim. (1986). Kalkulus. Jakarta: Penerbit Unversitas Indonesia.

Lee, Kwang H. (2005). First Course on Fuzzy Theory and Applications. New York: Springer – Verlag.

Purcell, J. Edwin. and Varberg, Dale. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga.

Susilo, F. (2003). Pengantar Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.

Zimmermann, H.-J. (1991). Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston: Kluwer Academic Publisher.

FUNGSI KABUR. Tugas Akhir Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Recommend Documents