DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Titik Murwani NIM: 063114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2011


FRACTAL DIMENSION OF JULIA SETS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree In Mathematics

By : Titik Murwani Student Number: 063114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2011

ii




HALAMAN PERSEMBAHAN

Jika Anda menerima Tuhan, Anda harus memahami bahwa Dia ada dalam semua yang kita lakukan. dalam semua relasi, dalam semua tantangan, dalam semua rintangan. Kerja menjadi sebuah ibadah jika dilakukan bersamaNya di pikiran kita. (Vijay Eswaran)

Semuanya kupersembahakan untuk Bapak dan Ibu Marto Wiyono Orang tuaku dan saudaraku dan juga Dia

v



ABSTRAK Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi. Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu ( )=

+ dan

: ℂ → ℂ, dengan

adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh

himpunan titik-titik di ℂ yang memiliki orbit yang terbatas terhadap Julia ( ) adalah batas dari himpunan Julia penuh

( ) adalah . Himpunan

( ). Beberapa sifat dari sistem

fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama.

vii


ABSTRACT Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry. Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated from the quadratic complex function, i.e complex number. The filled Julia set orbits with respect to

: ℂ → ℂ, where

( )=

+

and

is a

( ) is the collection of points in ℂ whose

are bounded. The Julia set ( ) is the boundary of

( ).

Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and box counting dimension of Julia sets are the same.

viii



KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kepada Tuhan yang selalu memberikan kasih dan berkat sehingga penulis dapat meneyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa skripsi tidak akan selesai tanpa dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Prof. Drs. Frans Susilo, S.J.,Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah berkenan membimbing, memberikan ilmu, dan perhatiannya kepada penulis selama penulisan skripsi. 2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini. 3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Kaprodi Matematika dan Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si.,M.Si. selaku Wakaprodi Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2006 yang telah berkenan untuk menguji skripsi ini dan selalu memberikan nasehat, saran, dukungan dan ilmu yang sangat berharga kepada penulis. 4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si yang telah memberikan ide dalam pemilihan topik skripsi ini, atas nasehat, saran, pengalaman, pengetahuan serta atas pinjaman buku-bukunya dan berbagai kesempatan diskusi yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan. 5. Bapak Zaerilus Tukija dan segenap staff sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dalam penulis selama menempuh studi. 6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan fasilitas dan kemudahan kepada penulis selama masa studi.

x


7. Orang tuaku, Bapak Darwinto dan Ibu Sri Darmini yang selalu memberikan dukungan, nasehat dan doa dalam segala hal dan menyediakan apa saja yang dibutuhkan. 8. Sahabat-sahabatku, Diyah Sayekti, S.Si., Rochi Ifahyani Siagian, S.Si., Laurencia Rosarianes Yogimurti, Maria Endah Savitri, Marcellina Dewi Abu, Fery Kristianingrum, Metta Diwya Kundalini, dan Sisiria Mardiawati yang selalu menemani dalam suka dan duka dan yang selalu memahami penulis. 9. Teman-teman 2004-2009 yang telah menemani, mendukung dan berbagi banyak pengalaman kepada penulis. 10. Semua pihak yang telah membantu penulis selama menempuh studi dan penuyusunan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 24 Januari 2010 Penulis

Titik Murwani

xi


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................................

i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .........................................

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING..................................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................

v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .........................................

vi

HALAMAN ABSTRAK ....................................................................................

vii

HALAMAN ABSTRACT..................................................................................

viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ...........................................................

ix

KATA PENGANTAR .......................................................................................

x

DAFTAR ISI .....................................................................................................

xii

BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah .....................................................................

1

B. Rumusan Masalah ...............................................................................

3

C. Pembatasan Masalah ...........................................................................

3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................

4

E. Manfaat Penulisan ...............................................................................

4

xii


F. Metode Penulisan ................................................................................

4

G. Sistematika Penulisan .........................................................................

4

BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL ......................................

6

A. Ruang Metrik....................................................................................

6

B. Ruang Fraktal ...................................................................................

26

C. Ukuran Lebesgue ..............................................................................

28

D. Fungsi Kompleks .............................................................................

37

E. Sistem Fungsi Iterasi ........................................................................

39

BAB III DIMENSI FRAKTAL ..........................................................................

43

A. Ukuran Hausdorff ............................................................................

43

B. Dimensi Hausdorff ...........................................................................

51

C. Dimensi Hitung Kotak......................................................................

54

BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA ........................................

63

A. Himpunan Julia ................................................................................

63

B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia ................................

68

BAB V PENUTUP ............................................................................................

73

5.1 Kesimpulan .....................................................................................

73

5.2 Saran ...............................................................................................

74

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................

75

xiii


BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH Fraktal adalah cabang baru dalam matematika dan seni. Orang semakin mengenali fraktal karena gambar–gambar yang dihasilkan menarik. Sistem–sistem fisika dan benda–benda kreatifitas manusia bukanlah bentuk–bentuk geometri yang teratur. Hal yang membuat fraktal semakin menarik adalah kemampuannya dalam mendeskripsikan fenomena-fenomena alam seperti garis pantai, gunung, kehidupan organisme dalam persamaan matematika. Fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola sehingga memiliki struktur yang serupa dengan bentuk semula untuk tiap bagiannya. Pengulangan pola–pola tersebut menyebabkan suatu fraktal dapat memiliki detil tak hingga. Geometri fraktal mampu mendeskripsikan bentuk–bentuk yang tak hingga banyaknya. Meskipun fraktal sangat berkaitan dengan teknologi komputer, tetapi fraktal ditemukan sebelum teknologi komputer berkembang. Benoit Mandelbrot adalah orang yang pertama kali mengenalkan istilah fraktal pada tahun 1982 dalam bukunya yang berjudul “ The Fractal Geometry of Nature ”. Kata fraktal berasal dari kata fractus ( Bahasa Latin ) yang berarti patah, rusak atau tidak teratur. Sebelum istilah fraktal digunakan, benda–benda yang tidak teratur disebut kurva monster. Dua sifat penting yang dimiliki fraktal adalah sifat self–similarity ( kesebangunan diri ) dan dimensinya yang tidak bulat. Sifat self–similarity dapat terlihat jelas pada pohon pakis. Setiap bagian dari pohon pakis itu memiliki bentuk yang serupa dengan bentuk awalnya atau bentuk utuhnya. Mandlebrot mendefinisikan fraktal sebagai himpunan yang mempunyai dimensi tak bulat. Setiap bangun dalam geometri Euclid memiliki dimensi yang bulat, misalnya titik berdimensi nol, garis lurus dan kurva berdimensi satu, bidang datar dan luasan berdimensi dua, dan benda–benda ruang seperti bola, kubus berdimensi tiga. Secara umum fraktal memiliki bentuk yang tidak teratur dan dimen-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

sinya tidak bulat, sehingga konsep fraktal tidak dapat dijelaskan dengan konsep geometri klasik (Geometri Euclid). Bilangan yang digunakan untuk membandingkan fraktal yang satu dengan yang lain disebut dimensi fraktal. Secara intuitif, gagasan mengenai dimensi mengarah pada bilangan bulat seperti pada objek geometri pada umumnya, namun gagasan tersebut dipatahkan oleh Hausdorff dan Besicovitch. Konsep mengenai dimensi yang takbulat ini pertama kali dikenalkan oleh Felix Hausdorff dan Abram Samoilovitch Besicovitch pada tahun 1918, dan kemudian dimensi ini disebut dimensi Hausdorff- Besicovitch, atau dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff dari himpunan nan , yaitu

sangat bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi

dari himpu-

( ), dengan adalah bilangan real positif, yaitu ( ) = inf{ :

dengan ℋ ( ) = lim

→

inf{∑

( ) = 0} = sup{ :

( ) = ∞},

| | : { } adalah selimut- dari }.

Metode lain yang sering digunakan untuk mencari dimensi fraktal dari suatu himpunan adalah dimensi hitung kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand. Untuk menghitung dimensi hitung kotak dari suatu himpunan, misal himpunan , himpunan tersebut diselimuti oleh jaring-jaring kemudian dihitung banyaknya jaring yang menyelimuti . Gagasan mendasar dari dimensi ini adalah menghitung berapa

banyak perubahan yang terjadi bila ukuran dari jaring tersebut diubah. Dimensi hitung kotak bergantung pada konsep lim inf dan lim sup. Misalkan jumlah minimum dari jaring-jaring bersisi kotak bawah dari

( , ) adalah

yang menyelimuti . Dimensi hitung

dihitung dengan rumus dim

= lim inf

log ( ) − log

= lim sup

log ( ) . − log

→

dan dimensi hitung kotak atas dari dım Jika dim

= dım

→

, maka nilainya disebut dimensi hitung kotak .

Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, himpunan Julia, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva Koch. Himpunan Mandelbrot dan himpunan Julia adalah dua contoh fraktal


yang sangat terkenal, yang tergolong ke dalam fraktal bilangan kompleks. Himpunan Julia ditemukan lebih dulu daripada himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh Gaston Maurice Julia, seorang matematikawan Perancis yang berprofesi sebagai tentara. Himpunan Julia dibangun dari pemetaan fungsi teriterasi =

didefinisikan dengan

bilangan kompleks , ( ), titik

+ , dengan ( ), … ,

adalah bilangan kompleks. Barisan

( ), … yang terbentuk disebut orbit dari

ℂ terhadap pemetaan fungsi kompleks

. Barisan bilangan kompleks dari

dikatakan terbatas jika terdapat bilangan positif |

( )| <

: ℂ → ℂ yang

sedemikian sehingga

untuk semua bilangan bulat positif . Himpunan semua titik

orbitnya terhadap pemetaan dinotasikan dengan

yang

yang terbatas disebut himpunan Julia penuh, dan

( ). Batas dari himpunan Julia penuh tersebut yang ke-

mudian disebut himpunan Julia dan dinotasikan dengan ( ). Dimensi himpunan Julia dihitung dengan menggunakan sifat invarian terhadap suatu pemetaan kontraksi : ℝ → ℝ , = 1, 2, … dengan

di ruang metrik ( , )

adalah konstanta kontraksi untuk . Himpunan Julia bersifat invarian

terhadap

sehingga dim ( ) =

memenuhi ∑

( )=

untuk tertentu dan dengan

= 1.

B. RUMUSAN MASALAH 1. Apa yang dimaksud dengan dimensi fraktal? 2. Bagaimana menghitung dimensi hitung kotak dan dimensi Hausdorff ? 3. Bagaimana menghitung dimensi fraktal pada himpunan Julia?

C. PEMBATASAN MASALAH Dalam penulisan skripsi ini hanya akan dibahas dimensi fraktal. Penulis tidak akan membahas mengenai komputasi tentang dimensi fraktal. Penulis hanya akan menggunakan dua metode untuk menghitung dimensi fraktal, yaitu dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak.


D. TUJUAN PENULISAN Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari dimensi fraktal, khususnya dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

E. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami dimensi fraktal dan mengetahui langkah penghitungan dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

F. METODE PENULISAN Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan karangan-karangan yang berkaitan dengan topik skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.

G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II. RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL A. Ruang Metrik B. Ruang Fraktal C. Ukuran Lebesgue D. Fungsi Kompleks E. Sistem Fungsi Iterasi


BAB III. DIMENSI FRAKTAL A. Ukuran Hausdorff B. Dimensi Hausdorff C. Dimensi Hitung Kotak BAB IV. DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA. A. Himpunan Julia B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran


BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL

Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi.

A. Ruang Metrik Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, kekontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik

ke titik

, ditulis

( , ), adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep himpunan terbuka, himpunan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan dalam ruang metrik.

Definisi 2.1.1 Misalkan real :

×

adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada

adalah fungsi bernilai

→ ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1.

( , ) ≥ 0, ∀ ,

.

2.

( , )=0↔

= ,∀ ,

3.

( , ) = ( , ), ∀ ,

4.

( , ) ≤ ( , ) + ( , ), ∀ , ,

Sebuah metrik

. (Simetri).

juga disebut

dilengkapi dengan sebuah metrik

(Ketaksamaan segitiga).

fungsi jarak. Himpunan takkosong

pada

yang

disebut ruang metrik, ditulis ( , ). Ang-

gota-anggota dari himpunan , yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.


Contoh 2.1.1 Akan dibuktikan bahwa fungsi : ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan sebagai berikut: ( , )=| − | merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real ℝ. Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa

( , ) merupakan metrik pada himpunan ℝ cukup

dibuktikan bahwa ( , ) memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1. (1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu ( , ) = | − | ≥ 0, ∀ ,

ℝ.

( , ) = 0, ∀ ,

ℝ⇔

| − | = 0, ∀ ,

ℝ⇔

(2)

−

= 0, ∀ ,

ℝ⇔

= ,∀ ,

ℝ

( , ) = | − |, ∀ ,

(3)

ℝ

= |− + |, ∀ ,

(4)

ℝ

= | − |, ∀ ,

ℝ

= ( , ), ∀ ,

ℝ

( , ) = | − |, ∀ ,

ℝ

= | − + − |, ∀ , ,

ℝ

≤ | − | + | − |, ∀ , ,

ℝ

≤ ( , ) + ( , ), ∀ , ,

ℝ

Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa ( , ) merupakan metrik pada himpunan ℝ, dan disebut metrik biasa pada ℝ.

Contoh 2.1.2 Misalkan

=ℝ ,

=( ,

) dan

=( ,

). Jarak Euclides ( , ) yang diberi-

kan oleh ( , )=

(

−

) +(

−

) ,


adalah metrik dan disebut metrik biasa pada ℝ .

Definisi 2.1.2 Misal

adalah metrik pada ,

adalah titik di , dan ∈

song dari . Jarak antara titik

adalah subhimpunan takko-

dengan subhimpunan

( , )=

didefinisikan:

{ ( , ): ∈ }.

Contoh 2.1.3 = { ∈ ℝ: 0 <

Misalkan

≤ 1} dan

adalah metrik biasa pada ℝ. Jarak

(0, ) =

{ (0, ): 0 <

≤ 1}

(0, ) =

{|0 − |: 0 <

≤ 1}

(0, ) =

{ :0 <

≤ 1} = 0


adalah metrik pada , dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong

dan

dari ruang metrik ( , ). Jarak antara dua subhimpunan takkosong

dari

didefinisikan ( , ) = sup{ ( , ):

dan

∈ }.


adalah metrik pada

. Diameter dari

subhimpunan takkosong dari

didefinisikan: ( )= Bila ( ) < ∞, maka diameter ter

{ ( , ): ,

∈ }.

dikatakan berhingga. Bila ( ) = ∞, maka diame-

dikatakan takhingga. Selanjutnya (∅) didefinisikan sama dengan −∞.

Definisi 2.1.5 Suatu metrik real

pada himpunan takkosong

> 0 sedemikian sehingga

dikatakan terbatas jika terdapat bilangan


( , ) ≤ ,∀ ,

∈ .

Ruang metrik ( , ) dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas.

Definisi 2.1.6 Diketahui ( , ) suatu ruang metrik, dan jari-jari

∈

> 0. Bola terbuka dengan pusat

dan

didefinisikan ( )={ ∈ : ( , )< }

Himpunan [ ]={ ∈ : ( , )≤ } disebut bola tertutup dengan pusat

dan jari-jari

Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa > 0. Himpunan kosong dan jari-jari

= 0 dan jari-jari

.

( )⊂

[ ], untuk setiap

∈

dan

dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan = ∞. Dalam ruang metrik (ℝ, ), bola terbuka

merupakan selang terbuka ( − , + ), sedangkan bola tertutup

( )

[ ] merupakan

selang tertutup [ − , + ]. Dalam ruang diskret ( , ), bola terbuka ( )=

( ) dapat didefinisikan seperti berikut:

{ } jika 0 < ≤ 1 jika > 1.

Dan bola tertutup didefinisikan [ ]=

{ } jika 0 < < 1 jik ≥ 1.

Definisi 2.1.7 Misalkan ( , ) adalah sebuah ruang metrik dan

∈ . Subhimpunan

sebut kitar dari titik

jika terdapat sebuah bola terbuka

termuat di

( )⊆

, yaitu

untuk suatu

> 0.

Contoh 2.1.4 Setiap bola terbuka merupakan kitar dari setiap titiknya.

dari

di-

( ) yang berpusat di

dan


( ) bola terbuka dan ambil sebarang

Misalkan ∈

( )⊆

( ), yaitu

( ) kitar dari . Jika

∈

( ). Jika

= , maka

≠ , untuk menunjukkan bahwa

( ) merupakan kitar dari , harus ditunjukkan bahwa terdapat

> 0 sedemikian

sehingga ( )⊆

bil sebarang ∈

( ), maka ( , ) < . Diambil

∈

Diketahui bahwa

( ).

( ) , maka ( , ) <

=

−

( , ) > 0. Am-

, sehingga dengan menggunakan ke-taksa-

maan segitiga diperoleh ( , )≤ ( , )+ ( , ) < Diperoleh bahwa ( , ) < , berarti

∈

+ ( , )= .

( ). Jadi

( )⊆

( ), yaitu

( )

kitar dari .

Definisi 2.1.8 Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan ∈


disebut titik interior dari subhimpunan

hingga

jika terdapat

. Titik

> 0 sedemikian se-

( )⊂ .

Definisi 2.1.9 Subhimpunan

di

disebut himpunan terbuka jika semua titik dari

interior. Dengan kata lain, subhimpunan terbuka di tuk setiap

terhadap metrik ∈ , terdapat

jika

adalah titik

dari suatu ruang metrik ( , ) dikatakan

merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu un-


( )⊂ .

Teorema 2.1.1 Setiap bola terbuka

( ) adalah himpunan terbuka.

Bukti: Diketahui

( ) bola terbuka yang berpusat di . Ambil sebarang ∈

( , ) < . Misalkan

( ) , maka

= − ( , ) > 0 adalah jari-jari bola terbuka dengan pusat


, yaitu

( ). Ambil sebarang

( ), maka ( , ) < . Dengan menggunakan

∈

sifat ketaksamaan segitiga diperoleh ( , ) ≤ ( , )+ ( , )< + ( , )= . ( , ) < , yang menunjukkan bahwa

Jadi

∈

( ). Maka

( )⊆

( ). Ter-

( ) merupakan himpunan terbuka.

bukti bahwa bola terbuka

∎

Teorema 2.1.2 Dalam setiap ruang metrik ( , ) (1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka (2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka. Bukti: (1) Diberikan

sebarang himpunan dan

terbuka. Akan dibuktikan bahwa ∈ , maka terdapat

∈

∈

dengan =⋃

∈

adalah keluarga himpunan

adalah terbuka. Ambil sebarang

. Maka

( )⊆⋃

∈

= . Jadi terbukti

(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka tikan

=⋂

terbuka. Ambil sebarang

= 1, 2, 3, … , . Diketahui > 0 sedemikian sehingga Jika diambil

Himpunan

,

terbuka. ,

∈ , maka

,…,

. Akan dibuk-

∈

, untuk setiap

adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat ( )⊆

= min { , , , … ,

untuk setiap = 1, 2, 3, … , . Maka terbuka.

.

> 0, sedemikian sehingga

merupakan himpunan terbuka, maka terdapat ( )⊆

∈

sedemikian sehingga

, untuk masing-masing

= 1, 2, 3, … , .

}, maka

> 0 dan

( )⊆

⊆⋂

= . Terbukti bahwa

( )⊆ adalah ∎


Definisi 2.1.10 Diberikan ( , ) suatu ruang metrik dan ∈


disebut titik limit dari subhimpunan

jika untuk setiap

. Titik

> 0 berlaku

( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅.

Definisi 2.1.11 Himpunan

di

disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota

dari .

Lema 2.1.1 Misalkan ( , ) ruang metrik. Himpunan kosong ∅ dan

adalah himpunan terbuka.

Bukti: Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi “jika

∈ ∅,

adalah titik interior dari ∅” adalah pernyataan yang benar untuk setiap

∈ .

maka

Jadi ∅ adalah himpunan terbuka. Selanjutnya, ambil sebarang Terbukti

∈ . Dipilih

= 1, maka

( )⊆ . ∎

terbuka.

Teorema 2.1.3 Himpunan

dalam ruang metrik ( , ) adalah tertutup jika dan hanya jika

ter-

buka. Bukti: Akan dibuktikan bahwa jika nan

tertutup. Jika

rang

∈

limit

, sehingga ada

, berarti

Terbukti bahwa

=

tertutup, maka −

= ∅, maka

∉ . Diketahui bahwa

terbuka. Diberikan sebarang himputerbuka. Jika

himpunan tertutup, maka


terbuka.

≠ ∅, diambil seba-

( )∩

= ∅. Jadi

bukan titik ( )⊆

.


Sebaliknya, diberikan himpunan

∈ . Andaikan

. Akan dibuktikan kian sehingga


( )⊆

( )∩

. Maka

Hal ini kontradiksi karena

∉ , yaitu

titik limit

∈

∈

, maka ada

= ∅. Akibatnya ∈ . Terbukti

. Jadi

dan

titik limit

> 0 sedemi-

bukan titik limit

. ∎

tertutup.

Teorema 2.1.4 Dalam setiap ruang metrik ( , ) (1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup (2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup Bukti: (1) Misalkan ℱ = { ,

∈ Λ} adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hu-

kum De Morgan diperoleh = ∈

Menurut Teorema 2.1.3, jika

. ∈

tertutup, maka

terbuka. Himpunan

lah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, ⋃ buka. Jadi (⋃

) =⋂

∈

∈

ada-

adalah ter-

∈

adalah tertutup karena komplemen himpunan

terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3. (2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup =⋃

dan misalkan

,

=

adalah himpunan tertutup untuk setiap

=⋂

Terbukti bahwa

=⋃

}

.

= 1, 2, 3, … , . Jadi

terbuka untuk setiap = 1, 2, 3, … , . Dengan Teorema 2.1.2, maka ⋂ buka. Jadi

,…,

. Dengan hukum De Morgan diperoleh =

Himpunan

={

terbuka. Karena tertutup.

terbuka, maka

ter-

tertutup. ∎


Teorema 2.1.5 Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup. Bukti: [ ] sebarang bola tertutup di ruang metrik ( , ). Akan dibuktikan

Diberikan

[ ] terbuka. Ambil sebarang

bahwa

( , ) > . Misalkan ( , )<

∈

[ ] , maka

[ ]. Hal ini berarti

∉

= ( , ) − > 0. Ambil sebarang

∈

( ), maka

, sehingga ( , )< ( , )− < ( , )− ( , ) < ( , )+ ( , )− ( , ) < ( , ).

Karena

( , ) > , maka

ngan demikian

∉

[ ], yaitu

∈

[ ] . Jadi

( )⊂

[ ] . De-

[ ] terbuka.

∎

Definisi 2.1.12 Misal ( , ) adalah ruang metrik dan ngan dari

⊆ . Penutup dari , ditulis ̅, adalah gabu-

dengan himpunan semua titik limitnya. Jadi ̅ =

∪ ′, dengan ′ ada-

lah himpunan semua titik limit .

Contoh 2.1.5 Misal (ℚ, ) ruang metrik dengan metrik biasa dan anggota himpunan =

=

:

∈ ℕ ⊂ ℚ. Semua titik

bukan titik limit. Satu-satunya titik limit

adalah nol. Jadi

∪ {0}.

Teorema 2.1.6 Misalkan (1)

dan

tertutup.

adalah sebarang himpunan dari ruang metrik ( , ). Maka


(2) Jika

⊆ , maka ̅ ⊆ .

=

jika dan hanya jika

(3)

tertutup.

(4) ̅ adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat . (5) ̅ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat . (6)

∪

= ̅∪ .

(7)

∩

⊆ ̅∩ .

Bukti: (1) Untuk membuktikan bahwa ̅ tertutup, akan dibuktikan bahwa ∈ ̅ ada

untuk setiap maka ∉

sebarang ∈

̅ ≠ ∅, ambil sebarang

∉ ′. Maka ada

dan

( ), maka ( , ) <

∈ ̅ , maka

( ). Jadi

∈

= ∅, yang berarti

= ∅. Ambil

− ( , ). Ambil sebarang

=

. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

( , )≤ ( , )+ ( , )< − sehingga

̅ = ∅,

∉ ̅, sehingga

( )∩


( ), maka ( , ) < . Misal

∈

( ) ⊆ ̅ . Jika


̅ terbuka. Jika

̅ terbuka, yaitu

( )⊆

∉

( ). Karena ∉ ′, yaitu

dan

+

=

( )∩

( )∩

= ∅, maka

∉ ̅, sehingga

∈ ̅ . Maka

( ) ⊆ ̅ Jadi ̅ terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti ̅ tertutup. (2) Ambil sebarang ( )∩

∈ ̅, maka

≠ ∅. Jadi

(3) Akan dibuktikan jika tertutup. Karena tup, maka

( )∩

≠ ∅, ∀ > 0. Karena

∈ , sehingga terbukti ̅ ⊆ . = ̅, maka

= ̅, jadi

tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa

tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika

= ̅. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa

⊇ ̅. Berdasarkan definisi penutup , yaitu ̅ = Kemudian diambil sebarang ⊇ ̅. Jika

⊆ , maka

∈ ′, maka

. Jadi terbukti

∈ ̅, maka titik limit

∈

∪ ′, maka atau

⊇ ̅. Dengan demikian terbukti bahwa

tertu-

⊆ ̅ dan

⊆ ̅.

∈ ′. Jika

. Diketahui bahwa

∈ , maka

tertutup, maka

= ̅.

̅

∈


(4) Misalkan

adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat

⊆ . Dengan menggunakan (2) dan (3)

merupakan himpunan tertutup dan ̅⊆

diperoleh

=

karena

̅ ⊆ . Selanjutnya

tertutup. Jadi

himpunan tertutup yang memuat . Himpunan

̅ merupakan

adalah irisan dari semua himpu-

⊆ ̅. Terbukti

nan tertutup yang memuat . Jadi

. Jadi

(5) Akibat dari bukti (4), maka ̅ ⊆ . Penutup dari

= ̅. merupakan himpunan tertutup

yang memuat . Jadi ̅ merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat . (6) Karena ⊆

⊆

∪

∪ . Jadi

∪ , maka dengan (2) diperoleh

⊆

dan ̅∪

⊆

∈

∪ . Andaikan

∉ , sehingga terdapat bola terbuka

min { , }. Bola terbuka

tidak benar. Jadi (7) Karena ∩

∩

⊆

⊆ . Jadi

∉ ̅ ∪ . Maka

dan ∪

⊆

∉ ̅ dan

( ) yang tidak memuat titik di , dan

( ) yang tidak memuat titik di

terdapat bola terbuka

∈

∪

∪ . Kemudian, harus dibuktikan bahwa

̅ ∪ . Diambil sebarang

kontradiksi karena

̅⊆

=

. Misalkan

( ) tidak memuat titik-titik dari

∪ . Hal ini ∉ ̅∪

∪ . Dengan demikian pengandaian bahwa ⊆ ̅∪ .

∪

⊆ , maka dengan (2) diperoleh

∩

dan

⊆ ̅ dan

∩

⊆ ̅∩ .

∩

∎

Teorema 2.1.7 Misalkan ( , ) ruang metrik dan

⊂ , maka

̅={ ∈ :

( )∩

≠ ∅, ∀ > 0}

Bukti: Ambil sebarang ( )∩ hingga

∈ ̅, maka

≠ ∅, ∀ > 0. Jika ( )∩

atau

∈ ′, maka

∈ ′. Jika

∉ , maka

=

( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅, ∀

∈

∈ , maka jelas bahwa

( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅, ∀ > 0, se-

≠ ∅, ∀ > 0. Terbukti ̅ ⊆ { ∈ :

Selanjutnya, ambil sebarang Misalkan

∈

( )∩

sedemikian sehingga

− { }. Diketahui bahwa > 0, yaitu

∈ ′. Jadi

∈

( )∩ atau

≠ ∅, ∀ > 0}. ( )∩

≠ ∅, ∀ > 0.

≠ ∅, ∀

> 0, maka

∈ ′, yaitu

∈ ̅.


̅⊇{ ∈ :

Terbukti

( )∩

≠ ∅, ∀ > 0}.

Dengan demikian terbukti ̅ = { ∈ :

( )∩

≠ ∅, ∀ > 0}.

∎

Definisi 2.1.13 Misalkan ( , ) suatu ruang metrik. Barisan { ∈

titik ( lim

=

→

≥

sedemikian sehingga

disebut limit barisan {

. Titik

} dan ditulis

→ . Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan

atau

perkataan lain, barisan {

} di

dikatakan konvergen ke suatu titik ( ) yang berpusat di

hanya jika untuk sebarang bola terbuka positif

dikatakan konvergen ke suatu

> 0 terdapat bilangan positif

jika untuk setiap

, ) < , untuk setiap

} di

sedemikian sehingga

∈

( ) untuk semua

≥

∈

jika dan

terdapat bilangan

.

Teorema 2.1.8 Jika ( , ) adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di

yang konvergen akan

konvergen ke satu titik. Bukti: Diberikan barisan {

} yang konvergen. Andaikan barisan {

dan titik

yang berbeda. Ambil sebarang

> 0, maka ada

sehingga

(

dan

Ambil

, )<

= max {

untuk setiap ,

}, maka untuk

( , )≤ ( , Jadi untuk setiap

≥

> 0 berlaku

≥

)+ (

(

, )<

} konvergen ke titik ,

∈ ℕ sedemikian

untuk setiap

≥

.

berlaku , )<

2

( , ) < . Ini berarti

+

2

= .

= . Terbukti bahwa bari∎

san konvergen ke satu titik.

Definisi 2.1.14 Sebuah barisan { setiap

} dalam ruang metrik ( , ) disebut barisan Cauchy jika untuk

> 0 terdapat bilangan bulat positif

untuk setiap ,

>

.

sedemikian sehingga

(

,

)< ,


Teorema 2.1.9 Setiap barisan {

} yang konvergen di ruang metrik ( , ) adalah barisan Cauchy.

Bukti: Diberikan ruang metrik ( , ) dan barisan { ngan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap (

, )<

berlaku (

>

untuk setiap ,

)≤ (

} di ( , ) yang konvergen ke . De> 0 terdapat

sedemikian sehingga ,

. Dengan ketaksamaan segitiga, untuk

, )+ ( ,

) < + = . Jadi {

≥

} merupakan barisan ∎

Cauchy.

Contoh 2.1. 6 Diberikan barisan { real dan

}=

di ruang metrik ( , ) dengan

adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan {

= (0, 1] pada garis } merupakan barisan

Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ . Penyelesaian: Diberikan dimisalkan

> 0, terdapat ≥

< . Untuk setiap

≥

≥

dan

dan

berlaku (

Barisan {

sehingga

,

1 1 1 1 1 1 , = − < ≤ < .

)=

} merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉

.

Definisi 2.1.15 Misalkan {

} adalah barisan di ruang metrik ( , ). Barisan {

langan bulat positif dengan san dari {

}.

<

<

< ⋯, maka barisan

} adalah barisan bidisebut subbari-


Korolari 2.1.1 Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik ( , ) memuat subbarisan yang konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya. Bukti: Diberi {

} barisan Cauchy di

positif

sedemikian sehingga

> 0, terdapat bilangan bulat

. Maka untuk setiap (

)<

,

adalah subbarisan yang konvergen ke . Karena { ,

positif yang bersifat naik, maka ( , Untuk

)≤

→ ∞, maka

,

<

+

,

≥

. Misalkan

} adalah barisan bilangan

,

untuk <

→ 0, sehingga ( ,

,

,

untuk setiap

≥

. Diperoleh

,

+ .

)< .

∎

Definisi 2.1.16 Suatu ruang metrik ( , ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam

kon-

vergen ke suatu titik di .

Contoh 2.1.7 Ruang ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap. Diberikan {

} barisan Cauchy di ℝ, maka untuk

sehingga |

−

|<

untuk semua

sedemikian sehingga|

−

,

, dan misalkan

=

kian sehingga |

−

dan diperoleh barisan {

= =

dan misalkan

≥

. Misal

sedemikian sehingga |

>

. Kemudian dipilih |<

,

∈ ℕ sedemikian

= , maka terdapat

. Dipilih

| < , untuk semua

= , maka terdapat

Kemudian dipilih

≥

> 0 terdapat

, maka terdapat

>

= −

. |<

sedemi-

. Langkah di atas terus berlanjut

} sedemikian sehingga

|

−

|=

−

< , untuk

|

−

|=

−

<

, untuk

> >

. .


|

|=

−

−

<

, untuk

>

.

⋮

Karena

−

|

−

=

− |

Diperoleh |

|= +

− |=

−

| < . Jadi {

−

terbukti bahwa {

−

<

+ |

, untuk

−⋯−

}=

.

, maka

|<

−

>

2

= . 2

konvergen ke

. Dengan Korolari 2.1.1,

} barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16,

ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap.

Contoh 2.1.8 = { ∈ ℝ|0 <

Himpunan

≤ 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik ti-

= . Dalam Contoh 2.1.6 sudah dibuktikan bahwa {

dak lengkap. Diberikan

adalah barisan Cauchy yang konvergen ke 0. Ruang metrik terdapat barisan Cauchy di

}

tidak lengkap karena

yang tidak konvergen.

Definisi 2.1.17 Misal ( , ∈

) dan ( ,

jika untuk setiap

untuk setiap Jika

) adalah ruang metrik . Fungsi : > 0 terdapat

yang memenuhi

→

dikatakan kontinu di ( ), ( ) <


( , )< .

kontinu di setiap titik di , maka

dikatakan kontinu pada .

Contoh 2.1.9 Jika ( ,

) dan ( ,

) ruang metrik, maka fungsi konstan :

→

kontinu.

Penyelesaian: Diberikan

>0

( ), ( ) =

dan

∈ .

( , )=0<

Untuk

fungsi

untuk setiap

konstan

∈ .

( )= ,

berlaku


Contoh 2.1.10 Diketahui ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Diberikan fungsi : ℝ → ℝ dengan definisi ( ) =

untuk semua

∈ ℝ. Tunjukkan bahwa

kontinu.

Penyelesaian: ∈ ℝ. Diberikan

Diambil sebarang

∈ ℝ yang memenuhi | − | <

untuk setiap Jika

> 0, harus dicari


berlaku | ( ) − ( )| < .

= 1, maka untuk | − | < 1 berlaku | + | = | − + 2 | ≤ | − | + |2 | < 1 + |2 |

Dengan demikian jika dipilih | − |<

untuk = 1 ≤

|

Terbukti

|

|

− |

| ( ) − ( )| = | =

1,

|

|

, maka untuk

yang memenuhi

berlaku

| ( ) − ( )| = |

untuk

= min

| = | − || + | < (1 + |2 |) ≤

|

|

|

|

(1 + |2 |) = ,

, dan −

| = | − || + | < ( + |2 |) ≤

(1 + |2 |) =

,

< 1.

kontinu di .

Contoh 2.1.11 Diberikan fungsi : ℝ → ℝ yang didefinsikan oleh ( ) = sin di ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Fungsi

merupakan fungsi yang kontinu.

Himpunan terbuka (0, 2 ) di ℝ dipetakan ke himpunan tertutup [−1,1] di ℝ.

Teorema 2.1.10 Diketahui ( ,

) dan ( ,

) ruang metrik. Fungsi :

jika untuk setiap himpunan terbuka Bukti:

di ,

→

kontinu jika dan hanya

( ) adalah himpunan terbuka di .


Misalkan

kontinu dan

adalah sebarang subhimpunan terbuka di

( ) = { ∈ : ( ) ∈ } terbuka di

ditunjukkan

( ) terbuka. Jika Diketahui bahwa

( ) ≠ ∅, ambil sebarang

terbuka, maka terdapat bola terbuka

( ) ⊆ . Karena

hingga

( ) ⊆

kian sehingga

( ) = ∅, maka

. Jika ∈

( ), maka

( )⊆

( )∈ .

( ) sedemikian se-

kontinu, maka terdapat bola terbuka ( ) ⊆ . Jadi

. Akan

( ) sedemi-

( ) sehingga

( )

terbuka. ( ) terbuka untuk setiap himpunan terbuka

Berikutnya akan dibuktikan jika , maka :

→

( )

himpunan terbuka di , maka Karena

∈

kontinu. Ambil sebarang

( ) . Jadi

( ) ⊆

> 0. Bola

( ) adalah

juga terbuka.

( ) , maka terdapat

∈

dan

di


( ) . Terbukti bahwa

( )⊆

kontinu di setiap titik ∎

dari .

Teorema 2.1.11 Diketahui ( ,

) dan ( ,

) ruang metrik. Fungsi :

jika untuk setiap subhimpunan tertutup

di ,

→

kontinu jika dan hanya

( ) tertutup di .

Bukti: Diberikan :

→

kontinu dan

terbuka sehingga

(

himpunan tertutup di . Karena

) terbuka. Karena

( ) tertutup. Jadi terbukti bahwa Sebaliknya, misalkan Maka

=

terbuka di

)=

( )

terbuka, maka

( ) tertutup di .

( ) tertutup di dan

(

tertutup, maka

( )

ngan Teorema 2.1.10 terbukti bahwa fungsi

untuk setiap subhimpunan tertutup =

(

kontinu.

)=

di .

( ) terbuka di . De∎


Definisi 2.1.18 Misalkan ( ,

) dan ( ,

) adalah dua ruang metrik. Fungsi : > 0 ada

kontinu seragam jika untuk setiap ( ), ( ) <

untuk setiap ,

∈

→

dikatakan

> 0 sedemikian sehingga ( , )< .

yang memenuhi

Contoh 2.1.12 Fungsi : (0, 1) → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) = tidak kontinu seragam. Ambil

= dan sebarang

> 0. Dipilih

=

dan

=

1

1 +1

< .

di mana

Maka ( , )=| − |= = tetapi

−

1 1 < < ( + 1)

( ), ( ) = | − ( + 1)| = 1 > .

Contoh 2.1.13 Fungsi : [0, 1] → ℝ yang didefinisikan oleh ( ) = tinu seragam. Diberikan

> 0 dan dipilih

merupakan fungsi yang kon-

= . Untuk sebarang

,

∈ [0, 1] yang

memenuhi | − | < , berlaku | ( ) − ( )| = |

−

|

= | + || − | ≤ 2| − | < . Terbukti bahwa fungsi

kontinu seragam pada interval [0, 1].

Definisi 2.1.19 Misal ( , ) adalah ruang metrik. Keluarga subhimpunan sebut selimut dari subhimpunan Jika setiap

terbuka di , maka

di

jika

={

:

⊆⋃

∈

={

:

∈ } di

.

∈ } disebut selimut terbuka dari .

di-


Jika ℋ merupakan selimut terbuka dari

dan ℋ ⊂ , maka ℋ disebut subselimut

terbuka dari .

Definisi 2.1.20 dari ruang metrik ( , ) dikatakan kompak jika setiap selimut ter-

Subhimpunan buka dari

memuat subselimut berhingga, yaitu untuk setiap keluarga himpunan ter-

={

buka ,

,

∈ } dengan

: ,…,

⊆⋃

,

∈

sedemikian sehingga

terdapat subkeluarga berhingga

⊆⋃

.

Contoh 2.1.14 Ruang metrik ( , ) dengan Misalkan ⊆⋃ ∈

∈

={ ,

,

himpunan berhingga adalah himpunan kompak. }, dan

…,

. Untuk

sedemikian sehingga

kian sehingga

∈

, ada

∈

∈

={

:

∈ } selimut terbuka untuk , yaitu ∈

sedemikian sehingga , dan seterusnya, untuk

. Diperoleh ℋ =

,

,

,…,

berhingga dari

yang merupakan subselimut dari , maka

hingga ℋ. Jadi

kompak.

, untuk

ada

∈

ada sedemi-

adalah subkeluarga memuat subselimut ber-

Teorema 2.1.12 Setiap subhimpunan tertutup dari ruang metrik yang kompak merupakan himpunan yang kompak. Bukti: Misalkan ( , ) ruang metrik yang kompak, dan

adalah sebarang subhimpunan

takkosong dan tertutup dari . Akan ditunjukkan bahwa Misalkan ⋃

∈

bahwa kompak.

={

. Jika

:

kompak.

∈ } keluarga himpunan-himpunan terbuka di

= (⋃

∈

kompak, maka

)∪

, maka

selimut terbuka dari

dan

⊆

. Diketahui

memiliki subselimut berhingga yang memuat

. Jadi ∎


Contoh 2.1.15 Ruang metrik ℝ dengan metrik biasa bukan merupakan ruang yang kompak. Selimut – ,

terbuka

:

(− , ) = ℝ tidak memiliki subselimut ber-

∈ ℕ dengan ⋃

hingga. Jadi ℝ tidak kompak.



dikatakan terbatas jika terdapa bilangan

untuk setiap ,

berlaku ( , ) <

∈

.

Teorema 2.1.13 Setiap subhimpunan

yang kompak di ruang metrik ( , ) adalah himpunan yang

tertutup dan terbatas. Bukti : Diketahui

subhimpunan yang kompak. Untuk membuktikan bahwa

dibuktikan

∈

terbuka. Diambil sebarang

sehingga dapat dibuat bola terbuka ( )( ) ∩ dari ,

( ) = ∅. Koleksi ⊆⋃

, yaitu ,

,…,

∈

=

dan

∈ . Misal

=

( , )>0

( ) dan

( ) sedemikian sehingga

( ): ∈

merupakan selimut terbuka

( ). Diketahui bahwa

sedemikian sehingga

tertutup, akan

⊆⋃

kompak, maka ada

( ). Misal

=⋂

( ).

Dengan Teorema 2.1.2 (2), yaitu irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka adalah terbuka, maka ( )∩

( ) = ∅, ∀ = 1,2,3, … , maka

( )∩ ⋂ Karena

merupakan himpunan yang terbuka yang memuat . Karena

⊆⋃

( ) =

( )∩

( ), maka

( )∩

= ∅. Sehingga ⋃ ∩

= ∅. Jadi

⊆

. Karena

= ∅. =


⋃

, maka dengan Teorema 2.1.2 (1)

∈

bukti bahwa

tertutup. adalah himpunan terbatas. Misalkan {

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa adalah selimut dari ,

,

terbuka. Dengan Teorema 2.1.3 ter-

,…,

= max

sedemikian ,

∈

kompak, maka terdapat

. Ambil sebarang ,

( ) dan

( ).

Misalkan

∈ , maka ada

dan

⊆⋃

sehingga

,1 ≤ < ≤

sedemikian sehingga

( ). Karena

⊆⋃

, yaitu

∈

( )}

. Dengan ketaksamaan segitiga

diperoleh ( , )≤ ( , Terbukti bahwa

)+

,

+

,

≤1+

+1= 2+

. ∎

terbatas.

B. Ruang Fraktal Diberikan ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Misalkan ℋ( ) adalah keluarga subhimpunan takkosong yang kompak dari , yaitu ℋ( ) = { :

⊂ ,

≠ ∅,

kompak}.

Definisi 2.2.1 Misal ( , ) adalah ruang metrik lengkap. Jarak Hausdorff antara

dan

di ℋ ( )

adalah ℎ( , ) = max{ ( , ), ( , )}. Teorema 2.2.1 ℎ adalah sebuah metrik pada ℋ( ). Bukti: Untuk menunjukkan bahwa ℎ adalah metrik, maka harus dibuktikan bahwa ℎ memenuhi sifat-sifat metrik. (1) ℎ( , ) = max { ( , ), ( , )}. Jika ℎ( , ) = ( , ), maka ℎ( , ) = ( , ) = sup{ ( , ):

∈ }

= sup inf{ ( , ): ∈ } :

∈

≥ 0,


karena

adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥ 0.

Jika ℎ( , ) = ( , ), maka ℎ( , ) = ( , ) = sup{ ( , ):

∈ }

= sup inf{ ( , ): karena (2) Jika

∈ }: ∈

≥ 0,

adalah sebuah metrik, sehingga ( , ) ≥ 0. = , maka untuk ∀ ∈

memenuhi ( , ) = 0 dan ∀ ∈

memenuhi

( , ) = 0. Dengan Definisi 2.2.1, maka ℎ( , ) = max{ ( , ), ( , )} = max sup{ ( , ):

∈ }, sup{ ( , ): ∈ }

=0 Selanjutnya, jika ℎ( , ) = 0, maka max{ ( , ), ( , )} = 0 sehingga ( , ) = 0 dan ( , ) = 0. Karena } = 0 sehingga ∀ ∈

( , ) = 0, maka sup { ( , ):

berlaku inf{ ( , ): ∈ } = 0. Ambil sebarang

maka inf{ ( , ): ∈ } = 0. Jadi terdapat ( , ) = 0, yaitu Begitu juga untuk

= . Jadi

( , ) = 0. Karena

} = 0 sehingga ∀ ∈ maka inf{ ( , ): ( , ) = 0, yaitu maka

∈ , maka

sedemikian sehingga

( , ) = 0, maka sup { ( , ): ∈

berlaku inf{ ( , ):

Jadi

∈ ,

⊆ . ∈ } = 0. Ambil sebarang

∈ } = 0. Jadi terdapat =

∈

∈

∈ , maka

∈

∈ ,

sedemikian sehingga

⊆ . Terbukti jika ℎ( , ) = 0,

= . Dengan demikian terbukti bahwa ℎ( , ) = 0 jika dan hanya jika

= . (3) ℎ( , ) = max { ( , ), ( , )} = max { ( , ), ( , ) } = ℎ( , ). (4) ℎ( , ) = max { ( , ), ( , )} ≤ max{ ( , ) + ( , ), ( , ) + ( , )} ≤ max{ ( , ), ( , )} + max{ ( , ), ( , )} ≤ ℎ ( , ) + ℎ( , )


Dari (1), (2), (3) dan (4) terbukti bahwa ℎ adalah metrik pada ℋ ( ).

∎

C. Ukuran Lebesgue Sebelum pembahasan yang lebih lanjut, berikut ini adalah kesepakatan-kesepakatan yang akan digunakan dalam pembahasan Teori Ukuran: (1) Jika

∈ ℝ, maka −∞ <

(2) Jika

∈ ℝ, maka

< ∞.

+ ∞ = ∞,

− ∞ = −∞, ∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞, ∞ −

∞ = tidak terdefinisi. (3) Jika

∈ ℝ dan

> 0, maka

× ∞ = ∞.

(4) Jika

∈ ℝ dan

< 0, maka

× ∞ = −∞, × (−∞) = ∞.

(5) Jika

= 0 ∈ ℝ, maka

× ∞ = 0.

Definisi 2.3.1 Panjang interval-interval ( , ), ( , ], [ , ), [ , ] adalah ℓ( ) =

− .

Definisi 2.3.2 Misalkan

, , , … adalah interval-interval yang saling asing. Maka ℓ( ∪

∪

∪ … ) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯.

Berdasarkan definisi di atas jelas bahwa panjang dari gabungan interval-interval yang saling asing adalah jumlah panjang interval-interval tersebut.

Definisi 2.3.3 Panjang dari himpunan terbuka

=⋃

, dengan

adalah interval-interval ter-

buka yang saling asing, adalah ℓ( ) = ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯ = Panjang dari himpunan kosong adalah

ℓ( ) .


ℓ(∅ ) = 0. Contoh 2.3.1 Hitunglah panjang himpunan 1 ≤ 2

<

1 ≤ 2

<

1 1 , 2 2

=

=

:

=

:

1

.

2

Penyelesaian:

=

=

, 1), maka ℓ( ) = 1 − ,

=

,

, maka ℓ( ) = − ,

=

,

, maka ℓ( ) = − ,

dan seterusnya sampai ke −

. Interval

=

dan diperoleh

1 2

yang panjangnya ℓ( ) =

,

adalah interval yang saling asing sehingga ℓ( ) = ℓ

=∑

ℓ( )

= ℓ( ) + ℓ( ) + ℓ( ) + ⋯ + ℓ( ) + ⋯ = 1− + − + − +⋯+ = lim Jadi panjang himpunan

→

1−

−

+⋯

= 1.

adalah 1.


dikatakan terhitung jika

≠ ∅ atau

yang ekivalen dengan himpunan semua bilangan asli.

berhingga atau

tak berhingga


Definisi 2.3.5 Koleksi

yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari

disebut aljabar

himpunan jika dan hanya jika memenuhi (1) ∅,

∈

; ∈

(2) Jika (3) Jika ,

∈

, maka ∈

;

∪

, maka

∈

.

Definisi 2.3.6 Koleksi

yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari

disebut aljabar- jika

dan hanya jika memenuhi (1) ∅,

∈

;

(2) Jika

∈

(3) Jika

,

∈

, maka ,

Pasangan ( ,

,… ∈

; ∈

, maka ⋃

.

) disebut ruang terukur.

Definisi 2.3.7 Fungsi : (1) (2)

→ ℝ, dengan

suatu aljabar- disebut ukuran pada

( ) ≥ 0 untuk setiap ,

Jika

(⋃

)=∑

Tripel ( ,

,

,… ∈

∈ dan

jika :

; ∩

= ∅ untuk ≠ , maka

( ) (sifat aditif terhitung)

, ) disebut ruang ukuran.

Definisi 2.3.8 Ukuran luar Lebesgue dari suatu himpunan ∗(

= {∑

dengan ⋃

}.

ℓ( ) :

⊆ ℝ adalah bilangan real tak negatif

) = inf

adalah barisan interval sedemikian sehingga

⊆


Barisan interval { }

merupakan selimut dari . Jadi, ukuran luar Lebesgue dari

adalah infimum dari semua panjang selimut yang mungkin untuk dijamin oleh

. Adanya inf

yang merupakan himpunan takkosong dan merupakan barisan yang

terbatas ke bawah, yaitu oleh nol.

Teorema 2.3.1 Jika

⊆ , maka

∗(

∗(

)≤

).

Bukti: Misalkan ⊆

. Ambil sebarang barisan { } selimut dari . Maka

Jadi, setiap selimut dari ≤ inf

inf

. Jadi

∗(

⊆

juga merupakan selimut dari , sehingga ∗(

)≤

).

⊆⋃ ⊂

.

, maka ∎

Teorema 2.3.2 Ukuran luar {

∗

bersifat subaditif terhitung, yaitu untuk sebarang barisan himpunan

} berlaku ∗

∗(

≤

).

Bukti: = 2, yaitu

Pertama akan dibuktikan untuk n = 1 sampai ∗(

∪

∗(

)≤

∗(

)+

).

Akan ditunjukkan ∗(

Ambil

∪

)≤

∗(

)+

∗(

> 0, maka terdapat barisan selimut { } dari

)+ . dan { } dari

sehingga ℓ( ) ≤

∗(

)+

ℓ( ) ≤

∗(

)+ . 2

2

sedemikian


Mak ∑

ℓ( ) + ∑

∗(

ℓ( ) ≤

Barisan dari interval-interval { , ∗(

∪

)≤∑

Jika ∑

,

ℓ( ) + ∑

∗(

)+ ,

,

)+ .

, … } menyelimuti

,

∪

ℓ( ) . Jadi

∗(

∪

∗(

) = ∞, maka pertidaksamaan benar. Misalkan ∑

)≤

ℓ( ) +

∗(

ℓ( ) ≤

> 0, terdapat barisan selimut { } dari

Untuk setiap

sehingga

ℓ( ) ≤

∗(

)+

2

∗(

)+

)+ . ∗(

) < ∞.

sedemikian sehingga .

Kemudian diperoleh bahwa ∗(

ℓ( ) ≤

∗(

ℓ( ) ≤

)+

2

)+ <∞

,

Barisan interval { } menyelimuti ⋃ ∗

sehingga ∗(

ℓ( ) ≤

≤

) + < ∞.

,

Jadi terbukti bahwa

∗(

⋃

)≤∑

∗(

∎

).

Contoh 2.3.2 Buktikan jika ∗(

∗(

) = 0 maka untuk sebarang himpunan

berlaku

∗(

∪ )=

).

Penyelesaian: Diketahui

∗(

) = 0. Ambil sebarang himpunan

, maka

rema 2.3.1 ∗(

Dengan Teorema 2.3.2

)≤

∗(

∪ ).

⊆

∪ . Dengan Teo-


∗(

Karena

Jadi

∗(

∗(

)≤

∗(

∗(

)≤

∗(

)+

∪ )≤

∗(

∪ )≤

∗(

).

) = 0, maka

∪ )=

∗(

∗(

).

).

Contoh 2.3.3 ∗(

Buktikan jika

∗(

∆ ) = 0, maka

∗(

)=

).

Penyelesaian: Diketahui bahwa ⊆

Karena

∗(

∆ ) = 0. Himpunan

∪ , maka

∪

=

∪ ( ∆ ).

∪ ( ∆ ). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema

⊆

2.3.2 ∗(

Jadi

∗(

Karena

∗(

)≤ ⊆

∪

)≤

∗

∪( ∆ ) ≤

∗(

)+

∗(

∆ ).

). juga, maka

∪ ( ∆ ). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema

⊆

2.3.2 ∗(

Jadi

∗(

)≤

Terbukti

∗(

∗(

)=

)≤

∗

∪( ∆ ) ≤

∗(

)+

∗(

∆ ).

). ∗(

).


⊆ ℝ dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap ∗(

dan ditulis

)=

∗(

∩ )+

∗(

∩

⊆ ℝ berlaku

),

∈ ℳ, dengan ℳ adalah koleksi semua himpunan yang terukur Lebes-

gue. Karena

= ( ∩ )∪( ∩ ∗(

), maka dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh ∗(

)≤

sehingga untuk membuktikan bahwa ∗(

)≥

∗(

∩ )+

∗(

∩

),

terukur Lebesgue cukup ditunjukkan

∩ )+

∗(

∩

), ∀ ⊆ ℝ.


Selanjutnya himpunan yang terukur Lebesgue disebut himpunan terukur.

Teorema 2.3.3 (1) ℝ ∈ ℳ. (2) Jika

∈ ℳ, maka

∈ ℳ.

(3) Jika

∈ ℳ,

= 1, 2, 3, …, maka ⋃

(4) Jika

∈ ℳ,

= 1, 2, 3, …, maka

∈ ℳ.

∈ ℳ. Bukti:

∀ ⊆ ℝ. ∗(

∗(

∩ ℝ = , maka ∗(

∩ℝ )=

∗(

⊆ ℝ. Akan dibuktikan

(1) Ambil sebarang

).

∗(

∩ ℝ) +

∗(

∩ ℝ) +

∩ ℝ = ∅, maka

∗(

∩ℝ )=

∈ ℳ dan sebarang ∗(

∗(

)+0 =

⊆ ℝ. Karena ∗(

)

∈ ℳ, maka berlaku

)=

∗(

∩ )+

=

∗(

∩

)+

∗(

∩ )

=

∗(

∩

)+

∗(

∩(

∈ ℳ dan

∩

= ∅. Karena

∗(

)=

∗(

∩

)+

∗(

∩

),

)=

∗(

∩

)+

∗(

∩

)

)

∩

) ).

∈ ℳ.

Terbukti

,

(3) Misalkan

dan karena

∈ ℳ, maka

∈ ℳ, maka ∗(

untuk setiap

⊆ ℝ.

Maka ∗(

∩

∩ ℝ ),

∅) = 0. Maka

∗(

(2) Ambil sebarang

∗(

∩ ℝ) =

∗(

)=

)=

∗

( ∩

=

∗

∩(

=

∗(

∩

+

∗

( ∩

) +

∗

∩(

)∩ ∩ )+

∗(

∩(

∪

) ).

)∩ ∩

. ) .


Jadi ∗(

∗(

)=

∗(

)+

∩

∩

)+

∗(

∗

∩(

∪

) ,

∩(

∪

) ).

∩(

) ).

∪

Dengan sifat subaditif ukuran luar, diperoleh ∗(

∩

∗(

)+

∩

)≥

∪

) +

sehingga ∗(

)≥

∗

∩(

∗(

∪

Hasil di atas cukup untuk menunjukkan bahwa

∈ ℳ.

Selanjutnya ∗(

(

∪

∪

)=

∗

=

∗(

)+

∗(

)+

=

∗(

)+

∗(

)

(

∪

)∩

∗

+

(

∪

)∩

+

∗

(

∪

)∩

) ∅)

= 1, 2.

Terbukti untuk

Sudah dibuktikan bahwa untuk ∗(

untuk setiap

∗(

∗(

)=

∩

dan

yang saling asing berlaku ∗(

)+

∩

∗(

)+

∩(

∪

) )

⊆ ℝ. = 1, 2, …

Secara umum, untuk ∗(

)=

berlaku ∗(

∩

)+

∗

∩

.

Dari persamaan di atas, maka ketidaksamaan berikut juga berlaku ∗(

Karena ∗ ((

⋃

(⋃

)≥

) ⊆ (⋃ ) )≤

∗ ((

∗(

⋃

)≥

∗(

)

∩

)+

maka

∗

∩

menurut

.

Teorema

) ) sehingga ∗(

∩

)+

Dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh

∗

∩

.

2.3.1

berlaku


∗(

)≥

∩

∗

∩

,

sehingga ∗(

)≥

∩

∗

+

∩

.

∈ ℳ.

Terbukti bahwa ⋃

= 1,2, …, maka menurut Teorema 2.3.3(2)

∈ ℳ,

(4) Diketahui

∗

= 1,2, … sehingga dengan Teorema 2.3.3(3) diperoleh bahwa ⋃ Menurut Teorema 2.3.3(2) maka (⋃ (⋃

) =⋂

(

) =⋂

∈ ℳ, ∈ ℳ.

) ∈ ℳ. Dengan Hukum De Morgan, ∈ ℳ . Jadi, terbukti bahwa irisan dari

himpunan-himpunan di ℳ juga berada di ℳ.

∎

Teorema 2.3.3 menunjukkan bahwa ℳ tertutup terhadap komplemen gabungan dan irisan koleksi terhitung himpunan.

Definisi 2.3.10 Jika

∈ ℳ, maka

∗(

) ditulis

( ) dan disebut ukuran Lebesgue himpunan .

Teorema 2.3.4 Jika ,

∈ ℳ dan

⊂ , maka

( )≤

( ).

Bukti: Diketahui maka

∗(

⊆ , maka menurut Teorema 2.3.1 )=

( ) dan

∗(

)=

( ). Jadi

∗(

)≤

( )≤

∗(

). Karena ,

( ).

∈ ℳ, ∎

Definisi 2.3.11 Misalkan ( , ) ruang metrik. Aljabar- terkecil yang memuat semua himpunan terbuka dalam

disebut Aljabar- Borel . Anggota ℬ disebut himpunan Borel.


D. Fungsi Kompleks Definisi 2.4.1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk ngan Jika

dan =

+

atau

=

+

de-

= −1.

bilangan real dan +

=

menyatakan sebarang bilangan kompleks, maka

dari , ditulis Re( ), sedangkan

adalah bagian real

adalah bagian imajiner dari , ditulis Im( ).

Himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan ℂ. Bilangan kompleks

dapat digambarkan secara geometris sebagai titik ( , ) di

+

bidang Cartesius ℝ × ℝ.

Definisi 2.4.2 =

Untuk setiap bilangan kompleks

+

, bilangan kompleks ̅ =

−

disebut

konjugat bilangan .

Definisi 2.4.3 Bilangan kompleks =

dan

=

=

+

= +

dan

dikatakan sama jika dan hanya jika

. Dengan kata lain, dua bilangan kompleks sama jika dan hanya

jika bagian realnya sama dan bagian imajinernya juga sama.

Definisi 2.4.4 Jika

=

+

dan

= +

adalah dua bilangan kompleks, maka penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian didefinisikan sebagai berikut: (1) ( +

)+( +

)=( + )+ ( + )

(2) ( +

)−( +

)=( − )+ ( − )

(3) ( +

)×( +

)=(

(4) ( +

)÷( +

)=

−

)+ ( +

+

)


Definisi 2.4.5 Modulus dari bilangan kompleks real taknegatif | | = √

+

=

+

, dinyatakan dengan | |, adalah bilangan

. Modulus dari

juga disebut nilai mutlak dari .

Definisi 2.4.6 =

Bilangan =

yaitu

+

(cos

= cos

dapat dinyatakan dengan rumus Euler + sin ) =

+ sin ,

, yang disebut bentuk kutub bilangan kompleks

z.

Definisi 2.4.7 Fungsi

yang terdefinisi pada himpunan semua bilangan kompleks ℂ dikatakan kon∈ ℂ jika untuk setiap

tinu pada titik tuk

∈ ℂ yang memenuhi | −

Fungsi

|<

dikatakan kontinu pada ℂ jika

> 0 terdapat

> 0 sedemikian sehingga un-

berlaku | ( ) − ( )| < . kontinu di setiap

∈ ℂ.

Definisi 2.4.8 Fungsi kompleks lai dari lim

dikatakan terdiferensial di

( )

(

)

→

disebut turunan f di

∈ ℂ jika lim

( )

(

)

→

, dinotasikan dengan

ada. Ni-

( ).

Definisi 2.4.9 Diberikan (ℂ, ) dengan kan analitik di ∈

metrik biasa¸yaitu ( ,

jika terdapat

)=|

−


|. Fungsi

dikata-

( ) ada untuk setiap

( ).

Definisi 2.4. 10 Jika : ℂ → ℂ, maka

adalah komposisi sebanyak n-kali dari

diri, dan disebut iterasi dari .

dengan dirinya sen-


Definisi 2.4.11 Jika

: ℂ → ℂ dan

( ), … disebut orbit

∈ ℂ, maka barisan

= ( ),

,

=

( ), … ,

=

terhadap .

Definisi 2.4.12 Titik

∈ ℂ disebut titik tetap dari fungsi : ℂ → ℂ jika ( ) =

Misalkan

= ′( ), maka titik tetap

.

disebut

(1) Penarik jika | | < 1 (2) Superpenarik jika | | = 0 (3) Penolak jika | | > 1 (4) Netral secara rasional jika | | = 1 dan

=1

(5) Netral secara irasional jika | | = 1 tetapi

≠ 1.

Definisi 2.4.13 Titik

∈ ℂ disebut titik periodik dari fungsi : ℂ → ℂ jika

∈ ℕ. Bilangan Misalkan

=(

( )=

terkecil yang memenuhi )′( ), maka titik periodik

( )=

untuk suatu

disebut periode dari

.

disebut

(1) Penarik jika | | < 1 (2) Superpenarik jika | | = 0 (3) Penolak jika | | > 1 (4) Netral secara rasional jika | | = 1 dan

=1

(5) Netral secara irasional jika | | = 1 tetapi

≠ 1.

E. Sistem Fungsi Iterasi Definisi 2.5.1 Diberikan ( , ) ruang metrik. Suatu pemetaan : pat

→

disebut kontraksi jika terda-

∈ [0, 1) sedemikian sehingga ( ), ( ) ≤

( , ), ∀ ,

∈ .


Bilangan

disebut konstanta kontraksi.

Definisi 2.5.2 Orbit

terhadap pemetaan : ℂ → ℂ dikatakan terbatas jika terdapat

kian sehingga | ( )| <

> 0 sedemi-

.

Teorema 2.5.1 Diberikan ( , ) ruang metrik. Jika :

→

adalah pemetaan kontraksi pada ruang

metrik ( , ) dengan konstanta kontraksi , maka tuk setiap

( ),

( ) ≤

( , ) un-

= 2,3,4, ….

Bukti: Teorema tersebut akan dibuktikan dengan induksi matematika. Teorema benar untuk = 2, sebab ( ),

Andaikan Teorema benar untuk

( ) =

( ) ,

≤

( ), ( )

≤ ∙

( , )=

= , yaitu

( ),

( )

( , ) ( ) ≤

( , ).

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Teorema juga benar untuk ( ),

Terbukti bahwa

( ),

( ) =

( ) ≤

( ) ,

=

+1

( )

≤

( ),

( )

≤ ∙

( , )=

( , ) untuk setiap

( , ). = 2,3,4, ….

∎

Teorema 2.5.2 Diberikan ( , ) ruang metrik lengkap. Pemeteaan kontraksi : ki satu titik tetap dan setiap orbitnya konvergen ke titik tetap.

→

hanya memili-


Bukti: Didefinisikan barisan {

},

∈

= (

dengan

∈ [0, 1) sedemikian sehingga ber-

merupakan pemetaan kontraksi, maka terdapat laku ( ( ), ( )) ≤ (

). Diketahui bahwa

( , ). Maka )=

,

(

(

), (

,

) ≤

(

).

,

)≤

(

,

)

≤

(

,

)

≤

(

,

)

⋮ ( ,

≤ >

Maka untuk (

)≤ (

,

Untuk setiap >

)+ (

,

)+⋯+ (

, ( ,

( ,

)+

( ,

) +⋯+

<

( ,

)+

( ,

)+⋯

=(

+

+ ⋯) ( , ( ,

1−

> 0 dipilih

, maka

(

,

barisan Cauchy. Karena titik di

,

≤

=

>

)

. Misalkan {

) )

)

) ( ,

) < . Untuk

) < . Jadi {

} merupakan

≥ 1 sedemikian sehingga )<

( ,

<

lengkap, maka barisan Cauchy { } konvergen ke

} konvergen ke suatu

∈ . Akan dibuktikan

adalah titik tetap

dari . ( )= Akan dibuktikan bahwa

→

= lim ( →

) = lim →

dikalikan dengan

( , )

= .

hanya memiliki satu titik tetap. Misal

≠ . Maka ( , ) = ( ( ), ( )) ≤

tetap , dengan

bukti bahwa

lim

, maka diperoleh

juga adalah titik

( , ). Jika kedua ruas

≥ 1. Kontradiksi karena

∈ [0, 1). Ter-

hanya memiliki satu titik tetap. Dengan demikian terbukti bahwa


pemetaan kontraksi hanya memiliki satu titik tetap

dan setiap orbit dari

konver∎

gen ke .

Definisi 2.5.3 Himpunan berhingga dari kontraksi-kontraksi

,

∈ ℕ dalam ruang metrik lengkap

( , ) disebut sistem fungsi iterasi (Iterated Function System-IFS).

Definisi 2.5.4 Diberikan ( , ) ruang metrik. Jika

:

→

( = 1, … ,

) adalah pemetaan-peme-

taan kontraksi pada ruang metrik ( , ) dengan konstanta kontraksi nan

⊂

disebut invarian dari pemetaan

jika

=⋃

( ).

, maka himpu-


BAB III DIMENSI FRAKTAL

Dimensi digunakan untuk mengukur, mendeskripsikan dan membandingkan suatu objek. Mandelbrot mengatakan bahwa fraktal adalah himpunan yang memiliki dimensi tidak bulat. Gagasan mendasar dari dimensi fraktal adalah menginvestigasi himpunan-himpunan pada ukuran yang berbeda. Dalam bab ini akan dibahas dua metode penghitungan dimensi fraktal, yaitu dimensi Hausdorff dan dimensi kotak. Sebelum membahas lebih dalam tentang dimensi Hausdorff, akan dibahas terlebih dahulu tentang ukuran Hausdorff.

3.1 Ukuran Hausdorff Definisi 3.1.1 Misalkan (ℝ , ) ruang metrik dengan metrik biasa,

⊂ ℝ , dan

> 0. Jika { }

adalah koleksi terhitung dari himpunan-himpunan yang menyelimuti , yaitu ⊂⋃

, dan 0 < ( ) ≤ , maka { } disebut selimut- dari .

Agar lebih sederhana, untuk sebarang himpunan takkosong

⊂ ℝ , ( ) ditulis | |.

Definisi 3.1.2 Misalkan (ℝ , ) ruang metrik dengan 0,

> 0, didefinisikan ℋ ( ) = inf{∑

metrik biasa. Untuk

⊂ ℝ dan

| | : { } adalah selimut- dari }.

Lema 3.1.1 Misalkan

⊂ ℝ , > 0, dan

> 0. Jika

< , maka

ℋ ( ) ≥ ℋ ( ). Bukti: Misalkan { ′ } adalah selimut− ′ dari

>

dan { } adalah selimut− ′ dari .


Karena

< , maka | ′ | ≤

< . Jadi setiap selimut- ′ dari

adalah selimut-

dari . Maka

inf

| ′ | :|

|< ′ ⊂

| | :| | <

| ′ | :|

| < ′ ≥ inf

| | :| | <

ℋ ( ) ≥ ℋ ( ).

∎

Definisi 3.1.3 Untuk himpunan

⊂ ℝ dan

> 0 didefinisikan ℋ ( ) = lim ℋ ( ) →

yang disebut ukuran Hausdorff dimensi- dari .

Teorema 3.1.1 a) Jika

⊂

, maka ℋ ( ) ≤ ℋ (

) (kemonotonan). dari himpunan-himpunan di ℝ , ber-

b) Untuk sebarang keluarga terhitung laku ℋ

c) Jika

=

∪

∩

, dan ℋ (

d) Jika

=⋃

≤

ℋ

.

= ∅ maka ) = ℋ ( ) + ℋ ( ).

∪

saling asing, maka ℋ ( ) = ∑

,

ℋ

.

Bukti: a) Ambil sebarang selimut- { selimut- untuk

karena |

| :

} dari ⊂ ⊂

. Setiap selimut- dari

⊂⋃ ⊂

. Maka |

| :

⊂

merupakan


|

inf

| :

⊂

|

≤ inf

ℋ ( lim ℋ ( →

)≤ℋ (

) ≤ lim ℋ (

)

→

).

> 0. Untuk setiap dipilih selimut-

hingga untuk

⊂

)

Dengan Definisi 3.1.3 maka ℋ ( ) ≤ ℋ ( b) Diberi

| :

dari

sedemikian se-

> 0 berlaku ≤ℋ

+

2

.

Maka ≤

ℋ

+

≤

ℋ

+

≤

ℋ

+

2

2

,

,

Barisan selimutinf

≤ ,

≤

, maka

ℋ

+

,

ℋ ( )≤

ℋ

lim ℋ ( ) ≤ lim →

→ 0. Jadi terbukti ℋ ⋃

+

ℋ

→

ℋ ( )≤

untuk

=⋃

adalah selimut- dari

+

ℋ

≤∑

ℋ

.


c) Dengan Teorema 3.1.1(b), maka ℋ ( Misal { } adalah selimut- untuk turut-turut adalah selimut∪

) ≤ℋ ( )+ℋ (

∪

sedangkan {

∪

untuk

dan

juga merupakan selimut- untuk | |

′

′

+

′′

ℋ ( )+ℋ ( Ambil

dan +

∪

untuk

′′

| |

≤

| |

)≤ℋ ( )

→ 0 dan diperoleh ℋ ( ) > ℋ ( ) + ℋ (

Dengan demikian terbukti ℋ (

} secara ber-

, maka

≤

′′

+

} dan {

. Karena setiap selimut-

′

⊂

).

).

)= ℋ ( )+ℋ (

).

d) Akan dibuktikan dengan induksi matematis. Untuk

= 2 telah dibuktikan dalam ( ). Dimisalkan bahwa berlaku =∑

ℋ ⋃ ku untuk

ℋ

. Akan dibuktikan bahwa sifat tersebut juga berla-

+ 1. ℋ

=ℋ

∪

+ℋ (

=ℋ

Terbukti ℋ ⋃

=∑

ℋ

=

ℋ

=

ℋ

.

+ℋ (

)

)

∎


Teorema 3.1.2 Jika

⊂ ℝ dan

tu himpunan

> 0, maka ℋ (

)=

ℋ ( ), di mana

={

: ∈ }, yai-

diskala oleh faktor .

Bukti: Misalkan { } adalah selimut- dari , maka {

} adalah selimut-

dari

, se-

hingga ℋ (

)=

=

| |

=

| |

=

| |

= Untuk

→ 0, maka ℋ (

)=

|

|

ℋ ( )

ℋ ( ).

∎

Lema 3.1.2 Untuk setiap

⊂ ℝ dan setiap , ∈ ℝ dengan > ℋ ( )≥

> 0 berlaku

ℋ ( ).

Bukti: Misalkan { } adalah selimut- dari . Untuk setiap berlaku 0 < | | | |

≥ ≥

| | ≥

| | | |

| |

|

|

≤ 1, sehingga


| | ≥

| |

Dengan mengambil infimumnya diperoleh ℋ ( ) ≥

ℋ ( ).

∎

Teorema 3.1.3 Untuk sebarang

, ∈ ℝ dengan > , jika ℋ ( ) < ∞, maka ℋ ( ) = 0. Jika

ℋ ( ) > 0, maka ℋ ( ) = ∞. Bukti: Dengan Lema 3.1.2, maka ℋ ( )≥

ℋ ( )

ℋ ( )≥ℋ ( ) lim →

ℋ ( ) ≥ lim ℋ ( ) →

0 ≥ ℋ ( ). Maka ℋ ( ) = 0. Selanjutnya, ℋ ( )≥ lim ℋ ( ) ≥ lim →

→

ℋ ( ) ℋ ( )=∞

ℋ ( ) = ∞. Dengan demikian terbukti ℋ ( ) = 0 jika ℋ ( ) < ∞, dan ℋ ( ) = ∞ jika ℋ ( ) > 0.

∎

Lema 3.1.3 Untuk setiap

⊂ ℝ dan untuk setiap

> , maka

Bukti: Dengan Lema 3.1.2, untuk

>

berlaku ℋ ( )≥

ℋ ( )

ℋ ( )≤

ℋ ( )

( ) = 0.


ℋ ( ) = lim ℋ ( ) ≤ lim →

Terbukti

ℋ ( ) = 0.

→

( ) = 0 untuk setiap

> .

∎

Teorema 3.1.4 Untuk setiap

⊂ ℝ , terdapat bilangan tunggal ℋ ( )=

∈ [0, ∞) sedemikian sehingga

+∞ jika < 0 jika > .

Bukti: = { > 0:

Dengan Lema 3.1.3, himpunan

( ) < +∞} merupakan himpunan tak

kosong dan terbatas ke bawah sehingga himpunan tersebut memiliki infimum. Misalkan infimum dari

adalah

. Selanjutnya dengan Lema 3.1.2 , untuk > ℋ ( )≥

berlaku

ℋ ( ),

sehingga ℋ ( ) = lim ℋ ( ) ≤ lim →

Dan untuk <

ℋ ( ) = 0.

→

berlaku ℋ ( )≥

ℋ ( ),

sehingga ℋ ( ) = lim ℋ ( ) ≥ lim →

ℋ ( ) = lim

→

1

→

ℋ ( ) = +∞.

Dengan demikian terbukti bahwa terdapat bilangan tunggal , yaitu demikian sehingga ℋ ( ) = 0 untuk >

= inf( ) se-

dan ℋ ( ) = +∞ untuk < .

Teorema 3.1.5 Jika

adalah himpunan terhitung, maka ℋ ( ) = 0.

Bukti: Diberi

> 0 dan

> 0. Misalkan

tung. Diberikan selimut- dari

= { : = 1,2, … , } adalah himpunan terhi-

yaitu

=

−

,

+

sehingga

∎


| |=

+

−

+

2 2

=

2 =

2

. 2

Maka ℋ ( )≤

| | =

1 = 2

≤ 2

Dengan mengambil limit untuk

.

→ 0 diperoleh ℋ ( ) ≤ lim

= 0.

→

Kemudian, dengan mengambil limit ℋ ( ) untuk

→ 0 diperoleh

lim ℋ ( ) ≤ 0 →

ℋ ( ) ≤ 0. Jadi ℋ ( ) = 0.

∎

Teorema 3.1.6 Jika : ℝ → ℝ ℋ ( ).

merupakan suatu kontraksi, maka untuk

⊂ℝ , ℋ

( ) ≤

Bukti: Ambil ( ).

> 0, misalkan { } adalah selimut- dari | |=

{ ( , ′) :

, ′ ∈ ( )}

( ), ( ) : ,

= ≤

dan { } adalah selimut- dari

{

= = | | Diperoleh bahwa | | ≤ | |, maka

( , ): ,

∈ }

{ ( , ): ,

∈ }

∈


| | ≤

| | ℋ Dengan mengambil

| |

| |

≤

( ) ≤

ℋ ( ).

( ) ≤

→ 0, maka ℋ

ℋ ( ).

∎

3.2 Dimensi Hausdorff Berikut akan didefinisikan dimensi Hausdorff dengan berdasarkan Teorema 3.1.4.

Definisi 3.2.1 Untuk setiap

⊂ ℝ , dimensi Hausdorff (dimensi Hausdorff-Besicovitch) dari ,

yaitu dim ( ), adalah bilangan tunggal ≥ 0 sedemikian sehingga ( )=

+∞ jika < 0 jika > .


⊂ ℝ , dim ( ) = inf{ :

( ) = 0}.

Bukti: Jika dim ( ) = ( ) = +∞ untuk

, maka dengan Definisi 3.2.1, <

. Maka inf = { :

Dengan demikian terbukti bahwa

( ) = 0 untuk

( ) = 0} = inf{ : >

= dim ( ) = inf{ :

( ) = 0}.

>

}=

dan . ∎



⊂ , maka dim ( ) ≤ dim ( ).

b) Jika

=⋃

, maka dim ( ) = sup dim ( ).

Bukti: ⊂ , maka dengan Teorema 3.1.1( ) berlaku ℋ ( ) ≤ ℋ ( ). Jadi

a) Karena

sup{ : ℋ ( ) = ∞} ≤ sup{ : ℋ ( ) = ∞} dim ( ) ≤ dim ( ). =⋃

b) Misalkan

, maka

dim ( ) ≤ dim ( ),

⊂

sehingga

untuk setiap

= 1, 2 …. Dengan ( ), maka

sup dim ( ) ≤ dim ( )

untuk

setiap

= 1,2, … ∈ ℝ sedemikian se-

Untuk ketidaksamaan yang sebaliknya, misalkan terdapat hingga

> sup dim ( ). Dengan Lema 3.1.3, maka

rema 3.1.2, maka ℋ ( ) ≤ ∑

( ) = 0. Dengan Teo-

ℋ ( ) = 0. Jadi ℋ ( ) ≤ 0. Jadi ℋ ( ) = 0.

Dengan Teorema 3.2.1 maka dim ( ) = inf { : ℋ ( ) = 0} ≤ sup dim ( ). Jadi

dim ( ) ≤ sup dim ( ).

Dengan

demikian

terbukti

sup dim ( ) .

∎

Contoh 3.2.1 dim (ℝ ) = . Penyelesaian: Untuk 0 <

<

berlaku ℋ (ℝ ) ≥

ℋ (ℝ )

lim ℋ (ℝ ) ≥ lim →

Sedangkan untuk 0 <

<

→

ℋ (ℝ ) = ∞.

berlaku ℋ (ℝ ) ≥

ℋ (ℝ )

ℋ (ℝ ) ≤

ℋ (ℝ )

lim ℋ (ℝ ) ≤ lim →

Diperoleh bahwa

dim ( ) =

→

ℋ (ℝ ) = 0.


∞ untuk < ℋ (ℝ ) = 0 untuk > . Jadi dim (ℝ ) = . (ℝ) = 1,

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa

(ℝ ) = 2,

(ℝ ) = 3, dan seterusnya.

Contoh 3.2.2 Hitung dimensi Hausdorff untuk himpunan Cantor . Penyelesaian: Himpunan Cantor =⋂

merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1] dengan

. = [0,1]

0

1

0

1

= 0,

∪

,1

0

1

= 0,

∪

,

, ⋮

⋮

⋮

Pada langkah ke- diperoleh himpunan saling asing dengan panjang interval = ∑

dan

≥

. Agar dan

yang terdiri dari 2 interval tertutup dan . Misal { } adalah selimut- dari

( ) ≤ 1, maka 2

→ 0, maka

,1

⋮

merupakan interval –interval tertutup.

| | =2

untuk

⋮

∪

∪

( ) ≤ 1.

( ) = inf ∑

≤ 1. Diperoleh

≥

dengan | |

≤

. Jadi


Akan dibuktikan bahwa

=

adalah dim ( ).

= dim ( ), akan ditunjukkan bahwa ( ) ≤ 1 jika

≥

( ) ≤ 1. Sudah dibuktikan bahwa

≤

. Selanjutnya, akan ditunjukkan ditunjukkan

( ) ≥ . Ka-

kompak, maka terdapat subselimut berhingga yang menyelimuti . Misal { }

rena

adalah selimut berhingga dari . Untuk setiap selimut Jika

Untuk membuktikan bahwa

≤| |≤

sehingga

dapat beririsan dengan paling banyak satu interval tertutup penyusun

≥ , maka banyak interval penyusun

nyak 2

berlaku

. Karena

=

, maka 2

yang beririsan dengan =2 3

=2 3

.

paling ba= 1, sehingga

2 = 3 . Selanjutnya, 2 Karena

=2 2

=2 3

=2 3 3

(

)

≤2 3 | | .

beririsan dengan semua 2 interval penyusun , maka | |

2 ≤2 3

| | ≥3

=3

Dengan demikian terbukti bahwa s = dim ( ) =

1 = . 2 .

3.3 Dimensi Kotak Dimensi dimensi kotak adalah salah satu metode penghitungan dimensi yang sering digunakan karena relatif lebih mudah dalam penghitungan. Metode ini dinilai lebih mudah diterapkan daripada dimensi Hausdorff. Gagasan mendasar penghitungan dimensi kotak adalah pengukuran pada skala . Objek yang akan dihitung dimensinya ditempatkan pada jaring-jaring persegi berukuran

, kemudian dihitung banyaknya

kotak yang memuat objek tersebut. Banyaknya kotak yang memuat objek tersebut, misalnya disimbolkan dengan

, yang tergantung pada skala .


Definisi 3.3.1 Dalam ruang metrik lengkap ℝ dengan metrik biasa, misalkan

( ) adalah jumlah minimum himpunan-himpunan dengan di-

nan takkosong dan ameter tidak lebih dari

yang dapat menyelimuti .

Dimensi kotak bawah dari

adalah = lim inf

log ( ) − log

= lim sup

log ( ) . − log

dim dan dimensi kotak atas dari

= dım

→

adalah dım

Jika dim

adalah subhimpu-

→

, maka nilai yang sama itu disebut dimensi kotak dari dim

= lim →

log ( ) . − log

Contoh 3.3.1 Himpunan Cantor

adalah irisan dari keluarga himpunan {

tertutup [0,1] dengan

= [0,1],

kotak dari himpunan Cantor

= 0,

∪

:

∈ ℕ} dalam selang

, 1 dan seterusnya. Hitung dimensi

.

Penyelesaian: Himpunan Cantor

merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1].

0

1

= [0,1]

0

1

= 0,

∪

,1

0

1

= 0,

∪

,

,

Pada langkah ke- diperoleh himpunan

∪

∪

,1

yang terdiri dari 2 interval tertutup yang

saling asing dan panjang masing-masing interval adalah

. Barisan {

} adalah seli-


mut dari . Jadi

( ) = 2 dan =

<

. Jika

≤

, maka

hingga dim ( ) = lim sup →

log ( ) − log

log 2

≤ lim

1 3 log 2 = lim → ( − 1) log 3 →

Jadi dim ( ) ≤

− log

=

log 2 1 lim log 3 → ( − 1)

=

log 2 log 3

. <

Selanjutnya, jika

≤

( ) ≥ 2 , sehingga

, maka

dim ( ) = lim inf →

log 2

≥ lim →

log ( ) − log

− log

1

3 log 2 = lim → ( + 1) log 3

Jadi dim ( ) ≥ Karena lim

→

inf

=

log 2 1 lim log 3 → ( + 1)

=

log 2 log 3

. ( )

< lim

→

sup

( )

, maka

( ) ≤ 2 , se-


log 2 log 2 ≤ dim ( ) ≤ dim ( ) ≤ log 3 log 3 Dengan demikian dimensi kotak dari himpunan Cantor adalah dim ( ) =

.

Contoh 3.3.2 Hitung dimensi kotak dari persegi satuan. Penyelesaian: Misal diberikan

persegi satuan. Persegi

akan diselimuti dengan persegi-persegi

kecil dengan sisi . Jadi dibutuhkan sebanyak

untuk bisa menyelimuti .

Jadi dim ( ) = lim →

= lim →

log ( ) − log

log

1

− log

= lim

log − log

= lim

−2log − log

→

→

=2 Jadi dimensi kotak dari persegi satuan adalah 2.


⊂ , maka dim

b) Jika

adalah kubus takkosong di ℝ , maka dim

c) Jika

⊂ ℝ adalah himpunan terbatas, maka dım

d) Jika

⊂ ℝ adalah himpunan yang terbuka, maka dim

e) dım ( ∪ ) = max

≤ dim

dım

, dım

dan dım

≤ dım

(monoton).

= .

(kestabilan).

≤ . = .


Bukti: a) Misalkan ter

( ) adalah jumlah minimum dari himpunan-himpunan berdiame-

yang menyelimuti

nan-himpunan berdiameter ( )≤

( ) adalah jumlah minimum dari himpu-

, dan

yang menyelimuti

. Karena

⊂ , maka

( ), sehingga log

( ) ≤ log

( )

log ( ) log ( ) ≤ − log − log lim inf →

log ( ) log ( ) ≤ lim inf → − log − log dim

≤ dim

Demikian pula, lim sup →

log ( ) log ( ) ≥ lim sup → − log − log dım

b) Misalkan

≥ dım

memiliki panjang sisi , dan

=

. Jelas bahwa

( )=

(2 ) , sehingga dim

log ( ) log(2 ) = lim → → log log 2 log ( ) log 2 = lim = lim → → log − log 2 log

= lim

= lim →

log log 2 −

log 2 log 2

1

= lim →

=

1

1 = 1

log log 2 − lim →

log 2 log 2


⊂ ℝ . Ambil kubus

c) Diketahui himpunan terbatas

⊂ . Dengan ( ) diperoleh dim

hingga

kubus di ℝ , maka dim

dım

e) Akan

≤

dan dım

dım ( ∪ ) ≥ max

dım

⊂ ( ∪ ) dan

, dım

dan dım

menurut ( ).

=

dım

, dım

dan

.

⊂ ( ∪ ), maka dım

≤ dım ( ∪ ) dan

≤ dım ( ∪ ), sehingga dım ( ∪ ) ≥ max

dım

, dım

Selanjutnya, untuk membuktikan dım ( ∪ ) ≤ max

dım

, dım

dım

( ),

dimisalkan

( ) dan

,

( ∪ ) ≤ log 2 max{

log

( ∪ ) ≤ log 2 +max{log

lim

→

( )}

( )}

( ), log

( )}

( ∪ ) log 2 +max{log ( ), log ≤ − log − log

( )}

log 2 +max{log ( ), log ( ∪ ) ≤ lim → − log − log

log

max{log ( ), log ( ∪ ) ≤ lim → − log − log

log

( ∪ ) log ( ) log ( ) ≤ lim max , → − log − log − log

→

lim

( ),

( ),

log

→

lim

( ) ≤ 2 max{

log

log

Jika diambil lim sup untuk

→ 0, maka

,

∪ , yang diameternya

dan

kurang dari . Maka ( )+

.

( ∪ ) berturut-turut adalah jumlah mini-

mum jaring-jaring yang beririsan dengan ( ∪ )≤

≥

= .

dım ( ∪ ) ≤ max

bahwa

di ℝ sedemi-

≥ dim

≥ , sehingga dim

adalah

≤ .

adalah kubus di ℝ , maka dim

dibuktikan

Karena

. Karena

⊂ ℝ . Ambil sebarang kubus

⊂ . Dengan ( ) diperoleh dim

. Karena

di dim

≤ dim

menurut ( ). Jadi dim

=

d) Diketahui himpunan terbuka kian sehingga

di ℝ sedemikian se-

( )}

( )}


lim sup

log

→

lim sup →

log

( ∪ ) log ( ) log ( ) ≤ lim sup max , → − log − log − log

( ∪ ) log ( ) log ( ) ≤ max limsup , lim sup → → − log − log − log dım ( ∪ ) ≤ max dım

Jadi, terbukti bahwa dım ( ∪ ) = max

dım

, dım

.

, dım

.

∎


⊂ ℝ , berlaku dim

≤ dim

.

Bukti: Jika dim < dim

= 0, maka jelas bahwa dim , maka

< dim

ℋ ( ) = ∞. Untuk nilai Himpunan

. Karena

≤ dim < dim

. Akan ditunjukkan, jika berakibat lim

→

ℋ ( )=

> 0 yang cukup kecil, maka ℋ ( ) > 1. Ambil

> 1.

( ), yaitu jumlah minimum dari himpunan-

dapat diselimuti oleh

himpunan yang diameternya kurang dari . Maka, 1<ℋ ( )<

( )

log 1 < log ℋ ( ) < log 0 < log ℋ ( ) < log 0 < log − log > s < liminf →

( )

( )+log

( ) + log < log

( )

log ( ) −log

log ( ) = dim −log

Dengan demikian terbukti bahwa dim

≤ dim

.

. ∎

Teorema 3.3.2 menunjukkan adanya hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak.


Teorema 3.3.3 Misal

: ℝ → ℝ ( = 1, . . ,

traksi

. Jika

, maka dim ( ) = dim ( ) =

adalah invarian dari pemetan

memenuhi ∑

dengan

) adalah pemetaan kontraksi dengan konstanta kon-

= 1.

Bukti:

saling asing. Jika maka rena

( )+


Ambil

( , )=

( )+

,

,

( )+

, …,

( )+

( , ) adalah jumlah minimum jaring-jaring yang memuat

( ( ), ) + ( ( ), ) + ( ( ), ) + ⋯ + (

,

( ), ). Ka-

merupakan pemetaan kontraksi maka dengan konstanta kontraksi , maka ( , )=

( ), +

= =(

1

( ),

+ +

+

( ),

+

1

+

+ )

dan

memenuhi ∑

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa dimensi Hausdorff dari

rema 3.1.6, ℋ

( ) =

Karena ∑

dan

( ) =

ℋ ( ).

= 1, maka ℋ

= 1.

juga .

adalah selimut- dari ( ). Dengan Teo-

ℋ ( ), maka ℋ

+⋯

+⋯+

+⋯+

adalah selimut- dari

1

1

Dari persamaan di atas, maka dim ( ) =

Misalkan

( ),

( ) = ℋ ( ).

Barisan { } merupakan selimut- dari ( ), maka | |≤ | | ≤


| | ≤ Infimum dari ℋ

.

( ) tidak akan melebihi anggota-anggotanya, maka ℋ

Dengan mengambil limit untuk

( ) ≤

| | ≤

.

menuju nol diperoleh

lim ℋ →

( ) ≤ lim →

= 0.

Sehingga ℋ ( )=

ℋ

( ) ≤ 0.

Jadi dim ( ) = . Dengan demikian terbukti dim ( ) = dim = .

∎


BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA

A. Himpunan Julia Himpunan Julia, yang pertama kali diselidiki oleh matematikawan Perancis, Gaston Julia, merupakan salah satu contoh fraktal yang didefinsikan pada bilangan kompleks. Himpunan Julia dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks dengan dirinya sendiri. Banyak fraktal dari himpunan titik-titik di bidang kompleks didefinisikan dengan fungsi yang sederhana. Salah satu fungsi yang membangun himpunan =

Julia adalah

+ , dengan

adalah bilangan kompleks. Fungsi tersebut ser-

ing disebut pemetaan kuadratik. Dalam matematika, khususnya Dinamika Kompleks, himpunan Julia sangat erat kaitannya dengan himpunan Mandelbrot yang ditemukan oleh Benoit Mandelbrot.

Definisi 4.1.1 : ℂ → ℂ dengan

Diberikan

( )=

+ , ∈ ℂ. Himpunan semua titik di ℂ yang

mempunyai orbit yang terbatas terhadap

, yaitu { ∈ ℂ: {

( )} terbatas} , disebut

himpunan Julia penuh, dan dinotasikan dengan ( ).

Definisi 4.1.2 Misalkan ( , ) ruang metrik dan nan

jika untuk setiap

anggota

⊂ . Titik

> 0, bola terbuka

∈

disebut titik batas dari himpu-

( ) memuat titik anggota

. Himpunan semua titik batas dari himpunan

dan dinotasikan dengan

dan titik

disebut batas himpunan ,

.

Lema 4.1.1 Misalkan ( , ) ruang metrik dan nan tertutup.

⊂ . Batas himpunan , yaitu ∂ adalah himpu-


Bukti: ∈ ∂ , maka untuk setiap

Ambil sebarang

∈∂ ,

Jadi sebarang

> 0 berlaku

( )∩(

− { }) ≠ ∅.

merupakan titik limit. Jadi ∂ tertutup.

∎

Definisi 4.1.3 Diberikan

( )=

: ℂ → ℂ dengan

+ . Batas dari himpunan Julia penuh disebut

himpunan Julia, dan dinotasikan dengan ( ).

Definisi 4.1.4 Komplemen dari himpunan Julia, yaitu ( ) = ℂ\ ( ) disebut himpunan Fatou.

Contoh 4.1.1 ( )=

Diberikan fungsi

+ . Untuk

=

dan

= 0, maka

( )= (

( )=

)

( )= ⋮ (

( )= Orbit

terhadap

adalah

,

(

)

,

→ ∞, nilai

→ 0. Jadi orbit dari

maka untuk

→ ∞, nilai

→ ∞. Jadi orbit dari

maka untuk

→ ∞, nilai

→ 1. Jadi orbit dari

(

)

, …. Jika

< 1,

akan menuju ke 0. Jika

> 1,

akan menuju ∞. Jika

= 1,

, …,

maka untuk

sifat orbit dari

)

lingkaran satuan. Dengan melihat

tersebut dapat diketahui bahwa himpunan Julia dari

( )=

ada-

lah berbentuk lingkaran.

Teorema 4.1.1 Diberikan

: ℂ → ℂ dengan

| | ≥ | | berlaku lim

→

( )= ( ) = ∞.

+ ,

∈ ℂ. Jika | | > 2, maka untuk setiap


Bukti: Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh | ( )| = |

+ | ≥ | | − | |. Diketahui

| | ≥ | | > 2, maka | ( )| = |

+ | ≥ | | − | | ≥ | | − | | = | |(| | − 1).

Karena | | > 2, maka terdapat

> 0 sedemikian sehingga | | − 1 = 1 + , sehingga | ( )| ≥ (1 + )| |.

= 2, maka

Untuk

|

( )| =

( )

≥ (1 + )| ( )| ≥ (1 + )(1 + )| | = (1 + ) | |.

Dengan perulangan iterasi, diperoleh | lim

→

|

( )| ≥ lim

→

( )| ≥ (1 + ) | |, sehingga

(1 + ) | | = ∞.

∎

Korolari 4.1.1 Jika | | > max{| |, 2}, maka |

( )| ≥ (1 + ) | | dan lim

→

( ) = ∞.

Bukti : Jika | | > 2, maka | | > max {| |, 2} = | |, sehingga dengan Teorema 4.1.1 diperoleh lim

( ) = ∞.

→

∎

Korolari 4.1.2 Jika untuk suatu bilangan

∈ ℕ, |

( )| > max {| |, 2}, maka lim

→

( ) = ∞.

Bukti: Karena |

( )| > max {| |, 2}, maka dengan Korolari 4.1.1 diperoleh ( ) =∞

lim →

lim

→

lim →

( )=∞ ( )=∞

∎


Korolari 4.1.3 Jika | | > 2, maka lim

(0) = ∞.

→

Bukti: Untuk

= 0, maka | (0)| = | | dan |

(0)| = |

+ |>| |−| |=

| |(| | − 1) > 2(| | − 1) > | | + | | − 2 > | | + 2 − 2 = | | = max {| |, 2}. Maka dengan Korolari 4.1.2 diperoleh lim

(0) = ∞.

→

∎

Teorema 4.1.2 Diberikan fungsi

( )=

+ , , ∈ ℂ. Himpunan Julia penuh ( ) adalah

himpunan tertutup. Bukti: ( ) tertutup, akan dibuktikan komplemennya, yaitu

Untuk membuktikan

pat

( ), maka |

∈


∈ ℕ sedemikian sehingga |

( )| → ∞. Dengan demikian terda-

( )| > max{| |, 2}. Fungsi

merupakan fungsi

> 0 sedemikian sehingga untuk | −

kontinu, maka dapat dicari

( ),

|<

berlaku

0 < | ( ) − ( )| < . Dengan ketaksamaan segitiga

|

|

( )| − |

( )| ≤ |

( )−

( )|

|

( )| − |

( )| ≤ |

( )−

( )|

( )| ≥ |

( )| − |

Dengan Korolari 4.1.2, maka | pat

( )⊂

( ). Jadi

( )−

( )| > max{| |, 2}

( )| → ∞. Jadi

∈

( ) terbuka. Karena

( ). Dengan demikian terda( ) terbuka, maka

( ) tertu∎

tup.

Korolari 4.1.4 Himpunan Julia ( ) tertutup dan ( ) ⊂

( ).

Bukti: Karena ( ) =

( ), maka dengan Lema 3.1.1 ( ) tertutup. Selanjutnya, karena

( ) bersifat tertutup, maka semua titik limit

( ) berada di

( ). Akan dibukti-


( ), maka untuk setiap ∈

( ),

( ),

∈

kan bahwa untuk sebarang

∈

( ) ∩ ( − { }) ≠ ∅. Jadi untuk sebarang

> 0,

( ). Karena

juga merupakan titik limit ( ). Jadi

titik limitnya berada di

( ). Ambil sebarang

titik limit

( ) tertutup, maka semua

( ) untuk sebarang

∈

( ). Dengan

∈

demikian terbukti bahwa himpunan Julia ( ) tertutup dan ( ) ⊂

( ).

∎

Teorema 4.1.3 Himpunan Julia ( ) bersifat kompak. Bukti: Ambil sebarang

∈ ( ), maka

∈ ( ) sehingga lim

≠ ∞. Dipilih

→

= max{| |, 2} sehingga dengan Korolari 4.1.1 berlaku jika lim | | ≤ . Jadi untuk sebarang

∈ ( ),

∈

→

≠ ∞, maka

(0). Jadi ( ) ⊂

(0). Terbukti

bahwa ( ) terbatas. Selanjutnya dengan Korolari 4.1.4, ( ) tertutup. Dengan demikian ( ) kompak.

∎

Teorema 4.1.4 Diberikan

= { || | < | |}. Jika (

oleh pemetaan

) ( )={ |

, maka ( ) = ⋂ (

( ) ∈ }, yaitu prapeta dari

) ( ).

Bukti: Jika

∉⋂

∈ℕ(

) ( ), maka

( )∉

∈ ℕ, yaitu |

untuk suatu

∉

Dengan Korolari 4.1.2 maka orbit dari tidak terbatas. Jadi Sebaliknya, jika

∈⋂

∈ℕ(

( ) terbatas, sehingga

) ( ), maka

( )∈

( )| ≥ | |.

( ).

untuk setiap

∈ ℕ. Jadi

∈ ( ).

Dengan demikian terbukti ( ) = ⋂

( ).

∎

Definisi 4.1.5 bila ( ) ⊆ .

Himpunan

dikatakan invarian maju terhadap pemetaan

Himpunan

dikatakan invarian mundur terhadap pemetaan

bila

( )⊆ .


Himpunan

bila ( ) ⊆

dikatakan invarian lengkap terhadap pemetaan

dan

( )⊆ .

Teorema 4.1.5 Himpunan Julia ( ) bersifat invarian lengkap terhadap

.

Bukti: ( ) ⊆ ( ) dan

Akan dibuktikan bahwa

∈ ( ), maka

Ambil sebarang

merupakan titik batas dan lim

(

→

hingga untuk | diberi. Jadi

( ). Maka lim

∈

∈

maka ada

) = ∞. Karena − |<

( ) ⊆ ( ). ( ) < ∞. Karena

→

( )sedemikian sehingga lim

kontinu, maka dapat dicari

berlaku | (

( ) ∈ ( ) untuk semua

)−

( )| <

=

→

sedemikian se> 0 yang

untuk setiap

∈ ( ). Dengan demikian terbukti bahwa

( ) ⊆ ( ). Selanjutnya, ambil sebarang

∈ ( ) dan

( ) sehingga ( ) = . Untuk

∈

kian sehingga lim (

) dan lim ( ) =

( )=

→ →

=

dan (

(

∈ )=

) = ∞. Karena

( ) dan lim

∈ ( ) diperoleh bahwa

seperti di atas. Ambil sebarang ( ) dapat dicari (

. Maka ( )=

∈ )=

(

∈ ( ), maka

( ) ≠ ∞. Maka

→

( ) sedemi-

∈ ( ). Terbukti bahwa

Dengan demikian terbukti bahwa ( ) bersifat invarian lengkap.

) = ( )=

∈ ( ). Jadi untuk ( ) ⊆ ( ). ∎

B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia Himpunan Julia yang akan dihitung dimensinya adalah himpunan Julia untuk parameter

yang besar.

Misal

adalah lingkaran dengan pusat 0 dan berjari-jari | | dan

, yaitu

= { : | | < | |}. Invers dari

hingga gambar dari

( )=

+

adalah

adalah interior dari ( ) = √ − , se-

( ) berbentuk angka delapan yang berpotongan di titik asal.


Misalkan

,

:

→

, karena

( ) yang memetakan

subhimpunan dari ran

( ). Misal

( ) ke , maka

memetakan

dan

ke interior dari masing-masing lingka-

adalah lingkaran di dalam lingkaran

yang berpusat di titik 0 ( ). Dipilih

dan memiliki jari-jari minimum sedemikian sehingga memuat = |2 | . Karena ran

⊂ , maka

( ) dan

adalah

( ) termuat di masing-masing lingka-

( ). | ( )−

( )| = (

− ) −(

− )

(

− ) −(

− )

(

− ) +(

− )

= ( |

= (

− −

|

Pandang (

− ) +(

−

− ) |

− ) +(

− )

| | − |2 | − ) +(

| | − |2 |

+ | | − |2 |

2 | | − |2 | 1 2 | | + |2 |

− )

. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

| | − |2 | ≤ | | − | | ≤ |

Jadi untuk (

− )

+ |

− ) +(

= (

− ) +(

≤|

− | ≤ | | + | | ≤ | | + |2 | − | ≤ | | + |2 |

.

− ) berlaku < (

< (

− ) +(

− ) < | | + |2 |

− ) +(

− )

1

< (

− ) +(

< 2 | | + |2 | <

− )

+ | | + |2 |

1 2 | | − |2 |


1

<

| ( )− | −

( )| < |

2 | | + |2 | |

2 | | − |2 |

|

−

<| ( )−

Pemetaan

|

dan

|<| ( )−

−

( )| <

1 | | − |2 | 2

<1

2 | | − |2 |

>1

| | − |2 | | | − |2 | −

√

Jadi

√

, sehingga | | >

hingga | | <

√

( ) dan

>

1 2

>

1 4

√

=

√ √

=

√

=

√

|

|

−

< 1, maka

1 > 0. 4

maka pertidaksamaan di atas

0. Penyelesaian pertidaksamaan adalah

1 | | − |2 | 2

| | − |2 |

| | − |2 |

√

|

−

2 | | − |2 |

merupakan kontraksi jika

Misal | | = ,

|

( )| <

2 | | + |2 |

1 | | + |2 | 2

1

>

√

=

√ √

− √2 − >

menjadi

atau

<

√

= 2.47 atau

√

| |>

. Maka | |<√

√

se-

= 0.25.

( ) merupakan kontraksi jika | | > 2.47 atau 0 ≤ | | < 0.25.

Himpunan Julia yang akan dihitung adalah himpunan Julia dengan | | > 2.47 atau 0 ≤ | | < 0.25.


Karena dan merupakan konstanta kontraksi, maka nan Julia jika memenuhi ∑ = 1.

adalah dimensi dari himpu-

Maka 1 | | + |2 | 2

=

1=2

1 | | + |2 | 2

1 1 | | + |2 | = 2 2 1 1 | | + |2 | log = log 2 2 1 1 log = log + log | | + |2 | 2 2 1 1 log = log − log | | + |2 | 2 2 2 1 1 1 log = log − log | | + |2 | 2 2 2 1 log 2 = 1 1 log 2 − 2 log | | + |2 | − log 2 = 1 −log 2− 2 log | | + |2 | 4 log 2 = 4log 2+2 log | | + |2 | =

2 log 2 2log 2+ log | | + |2 |

=

2 log 2 log 4 | | + |2 |


Diperoleh nilai

. Jadi dimensi himpunan Julia untuk | | > 2.47

= | | |

|

atau 0 ≤ | | < 0.25 adalah

. | | |

Dengan Teorema 3.3.3, dim

|

( ) = dim

( ) =

=

. | | |

|


BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Dimensi fraktal adalah ukuran sebuah himpunan yang digunakan untuk menggambarkan struktur suatu fraktal serta untuk membandingkan kompleksitas fraktal yang satu dengan yang lain. Dimensi dari suatu fraktal didekati dengan menggunakan himpunan-himpunan yang mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak sering digunakan untuk mengukur suatu fraktal.

Dimensi Hausdorff bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi , yaitu .

Bilangan adalah dimensi Hausdorff dari suatu himpunan bila adalah

dengan adalah infimum atas semua jumlahan selimut-

yang menyelimuti himpunan tersebut Dimensi kotak didasarkan pada pengukuran

skala . Penghitungan dimensi ini dilakukan dengan menghitung banyaknya

perubahan yang terjadi bila skala dari himpunan yang menyelimutinya diubah.

Salah satu contoh fraktal yang terkenal adalah himpunan Julia yang dibangun

oleh . Jika himpunan Julia sifat invarian terhadap pemetaan kontraksi , maka

!" !# , dengan memenuhi

$% &' ( dimana adalah konstanta kontraksi dari . Untuk yang memenuhi

)) * +,- atau . )) / +0, !" !#

123

8

.

123456))7))9 :;


B. Saran Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas dimensi fraktal yang mengarah pada dimensi takbulat dan digunakan untuk menghitung dimensi himpunan Julia yang dibangun dari fungsi , untuk )) * +,- atau . )) / +0. Skripsi ini masih bisa dikembangkan dengan membahas dimensi himpunan Julia dengan fungsi

pembentuknya berderajat < * +. Selain dimensi Hausdorff dan dimensi kotak, masih terdapat dimensi lain yang digunakan untuk menghitung dimensi fraktal, misalnya

dimensi Minkowski, dimensi kompas, dimensi Lyapunov, dimensi Renyi dan lainlain.


DAFTAR PUSTAKA

Arora, Savita dan Malik, S.C. (1992). Mathematical Analysis: (Second Edition). New Delhi: New Age International(P) Limited Publisher. Barnsley, M. (1988). Fractals Everywhere. Boston: Academic Press, Inc. Devaney, Robert L. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical System. (Second Editon). New York: Addison – Wesley. ________________. (1990). Chaos, Fractals, and Dynamics, Computer Experiments in Mathematics. New York: Addison – Wesley. ________________.The Complex Dynamics of Quadratic Polynomials. Diakses http://www.math.uic.edu/~demarco/math546/Devaney_quadratic.pdf. tanggal 7 Juni 2010. ________________. (1992). A First Course in Chaotic Dynamical System: Theory and Experiment. New York: Addison – Wesley. Edgar, Gerald. (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. (Second Edition). New York: Springer. Falconer, K. (1990). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley&Sons. _________.(2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications Second Edition. New York: John Wiley&Sons. Fraser, Jonathan. An Introduction to Julia Sets. http://www.neiu.edu/~mgidea/Julia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010. Gamelin, Theodore W. (2000). Complex Analysis. New York: Springer. Helmberg, Gilbert. (2007).Getting Acquainted with Fractals. Berlin: Walter de Gruyter. Jaya, Andi Kresna. Analisis Orbit Fraktal Pada Himpunan Julia. http://akademik.unhas.ac.id/proxylib/public_html/files/akresna/Analisis%20orbit%20fractal_Kresn a.pdf. Diakses tanggal 15 Mei 2010. Knap, Anthony W. (2005). Basic Real Analysis. Boston: Birkhauser. Kitchen, Sarah. A Comparison of Three Fractal Dimensions. http://www-users.math.umd.edu/ ~lidador/fractal.pdf. Diakses tanggal 8 September 2009.


Lee, Seong In. Nonstandard Approach to Hausdorff Measure. www.math.uiuc.edu/~ mim2/zzzthesis.pdf. Diakses tanggal 8 Spetember 2009. Lev, Nir. Hausdorff Dimension. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~levnir/files/ Hausdorff.pdf. Diakses tanggal 9 Desember 2009. Munkres, James R. (1978). Topology A First Course. New Delhi: Prentice Hall of India. Muscat, J. Metric Spaces.http://staff.um.edu.mt/jmus1/metrics.pdf. Diakses tanggal 10 Juni 2009. Nielsen,Ole A. (1996). An Introduction to Integration and Measure Theory. New York: John Willey&Sons. Petersent, Bent. Contraction Mappings. http://people.oregonstate.edu/~peterseb/ Mth614/docs/80-iter-func-systems.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2009. Schleicher, Dierk. Hausdorff Dimension, Its Properties and Its Surprise. http://org.uib.no/hcaa/HausdorffMonthly.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010. Searcoid, Michael O. (2007). Metric Spaces. London:Springer. Solomyak, B. Additional Facts About Julia Set. http://www.itl.nist.gov/div898/ software/dataplot/refman2/ch6/julia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010. Susilo, Dr. F. (1996). “Himpunan Julia dan Klasifikasinya dalam Himpunan Mandelbrot”. Dalam Dr.F.Susilo, SJ dan Drs. St. Susento. [ed]. Sebuah Bunga Rampai.Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma. Soemantri, R. (1998). “Dimensi Tak Utuh: Pendekatan Praktis dan Teoritis”. Dalam: Frans Susilo S.J, dkk[penyunting]. Tantangan dan Harapan. Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma. Worth, David. Construction of Geometric Outer-Measure and Dimension Theory. http://www.math.unm.edu/~loring/research/DaveWorthThesis.pdf. Diakses tanggal 26 Sepetember 2009.

DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Recommend Documents