Obsah 1
Creep
2
1.1
Úvod do problematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Pevnostní charakteristiky p°i creepu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Fyzikální mechanismy creepu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Creep p°i jednoosé napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4.1
Návrhy funkcí nap¥tí, £asu a teploty . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.2
Cyklické namáhání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.3
Creepová relaxace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4
Ustálený a neustálený creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5
Creep p°i víceosé napjatosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Zpracoval Ctirad Novotný pro
matmodel.cz.
1
Kapitola 1 Creep 1.1
Úvod do problematiky
Creep je typem £asov¥ závislé plastické deformace, stejn¥ jako viskoplasticita. Nabývá na významu zvlá²t¥ v p°ípad¥ dlouhodobého zat¥ºování za zvý²ených teplot. P°i pokojové teplot¥ jsou deformace v p°ípad¥ kov· obvykle velmi malé, ale rostou se zvy²ující se teplotou. Významné deformace se objevují p°i ( 31 ÷ 47 ) násobku teploty tání. Creepová deformace s £asem roste aº do moºného lomu.
Obrázek 1.1: Creepová k°ivka deformace-£as. Typická k°ivka deformace-£as pro p°ípad jednoosého zatíºení zku²ebního vzorku konstantní silou p°i konstantní teplot¥ je na obrázku 1.1, odpovídající závislost rychlost deformace-£as potom na obrázku 1.2. V okamºiku aplikace nap¥tí se okamºit¥ objeví po£áte£ní deformace odpovídající elastické nebo elastoplastické deformaci podle velikosti zatíºení. S rostoucím £asem rychlost deformace ε˙ klesá. Potom se ustálí na konstantní hodnot¥. Po ur£ité dob¥ za£ne rychlost deformace op¥t nar·stat a dochází k nestabilnímu chování, jeº vede k lomu. Creepovou k°ivku tedy m·ºeme rozd¥lit na t°i stádia:
• primární (tranzitní). Na po£átku je rychlost deformace vysoká, s rostoucím £asem v²ak dochází k jejímu poklesu. Tato fáze je relativn¥ krátká. 2
Obrázek 1.2: Creepová k°ivka rychlost deformace-£as.
• sekundární (stacionární). Charakterizováno konstantní rychlostí deformace. Rozhodující z hlediska ºivotnosti konstrukce za podmínek creepu. • terciální. Dochází k nár·stu rychlosti deformace zap°í£in¥né po²kozováním materiálu a tedy oslabováním nosného pr·°ezu vzorku. Kon£í lomem. Délka (doba) jednotlivých stádií závisí na materiálu. Creepové experimenty jsou obvykle provád¥ny za podmínek konstantní zat¥ºující síly. Pro primární a sekundární fázi je moºno zanedbat zm¥ny pr·°ezu vzorku a povaºovat nap¥tí za konstantní. Proto jsou creepové k°ivky získané i ze zkou²ek p°i konstantní síle ozna£ovány jako charakteristiky p°i konstantním nap¥tí.
Obrázek 1.3: Creepové k°ivky - závislost na velikosti nap¥tí a teploty. Creepové k°ivky siln¥ závisí na velikosti nap¥tí a teplot¥ (obr 1.3). Creepová deformace se zv¥t²uje s nap¥tím a teplotou. Lze si pov²imnout, ºe v p°ípad¥ konstantní teploty existuje nap¥tí, p°i kterém lze vliv creepu jiº zanedbat, deformace s £asem neroste. Podobn¥ p°i konstantním nap¥tí existuje teplota, p°i níº je efekt creepu jiº zanedbatelný. Podívejme se je²t¥ blíºe na creepové k°ivky p°i konstantním nap¥tí pro rostoucí teploty. Podle charakteru lze k°ivky rozd¥lit na:
• nízkoteplotní creep - probíhá p°i (0, 2 ÷ 0, 3) násobku teploty tání. Terciální stádium chybí. 3
• vysokoteplotní creep - probíhá p°i (0, 3 ÷ 0, 5) násobku teploty tání. Vykazuje v²echny stádia creepu • difúzní creep - probíhá p°i (0, 5 ÷ 0, 9) násobku teploty tání. Primární stádium p°echází p°ímo v terciální. Creepové mechanismy se uskute£¬ují difúzí vakancí. Pov²imn¥me si dále efektu, kdy je vzorek po ur£itou dobu konstantn¥ zat¥ºován, takºe se rozvine creep, a poté odleh£en. Na obrázku 1.4 je zobrazena odezva materiálu. asu t1 odpovídá deformace ε (t1 ). V tomto £ase dojde k úplnému odleh£ení. Deformace okamºit¥ poklesne o velikost elastické deformace εE . Posléze dochází k dal²ímu poklesu εC R , jenº je funkcí £asu. Tomuto jevu se °íká creepové zotavení. Výsledná trvalá deformace εF je dána vztahem Creepové zotavení.
εF = ε − εE − εC R .
(1.1)
Obrázek 1.4: Creepové zotavení. Dal²ím d·leºitým jevem svázaným s creepem je creepová relaxace. Pokud je udrºována konstantní deformace, nap¥tí se s £asem zmen²uje. P°i po£áte£ním zatíºení vzorku σ0 dojde k po£áte£ní deformaci ε0 . Pokud budeme tuto deformaci udrºovat konstantní, materiál bude mít odezvu znázorn¥nou na obrázku 1.5. Nap¥tí bude s £asem klesat. Je moºné najít po£áte£ní nap¥tí, pro které je relaxace zanedbatelná. P°íklad výpo£tu poklesu nap¥tí p°i relaxaci je uveden v sekci 1.4. Creepová relaxace.
Doposud bylo uvaºováno chování materiálu p°i jednoosém tahovém zatíºení. Obvykle se p°edpokládá, ºe creepová k°ivka p°i jednoosém tahu je stejná jako p°i jednoosém tlaku.
1.2
Pevnostní charakteristiky p°i creepu
P°i výb¥ru materiálu pro vysokoteplotní aplikace je nutné uvaºovat vliv creepu. Kovové konstruk£ní materiály pouºívané pro za°ízení pracující za zvý²ených teplot obecn¥ obsahují legující prvky chrom, nikl, kobalt. Odolnost t¥chto materiál· roste s obsahem t¥chto kov·. S tím se pojí pojem ºárupevnost. Je to schopnost materiálu odolávat za daných vn¥j²ích podmínek dlouhodobému statickému namáhání p°i zvý²ených £i vysokých 4
Obrázek 1.5: Creepová relaxace. teplotách. Vliv zvý²ené teploty se projevuje i na jiné vlastnosti oxidace, korozní praskání. Dal²ím komplexn¥ p·sobícím faktorem je spolup·sobení únavy a creepu. Creep zpravidla zp·sobí urychlení únavového procesu. Dovolená nap¥tí v konstrukcích pracujících za vysokých teplot se neur£ují z charakteristických hodnot daných mechanickými vlastnostmi za normálních teplot (mez kluzu, pevnosti), ale na základ¥ dovolených deformací pro pot°ebnou dobu. Hodnota nap¥tí, p°i které dojde ke creepovému poru²ení nap°. po 105 hodin (u kov·) se nazývá mez pevnosti p°i creepu RmT 105 /T (T je teplota). Ze závislosti creepové deformace ε na p·sobícím nap¥tí lze pro danou teplotu T a zvolený £as (nap°. 105 hodin) stanovit mez te£ení p°i creepu RmT 105 /ε/T . Nejobecn¥j²í zp·sob zkou²ení creepových vlastností je jednoduché zav¥²ení závaºí na zku²ební ty£. Zkou²ky pro daný materiál se provád¥jí pro r·zné teploty a nap¥tí. Doba trvání zkou²ek se m·ºe m¥nit od minut aº po n¥kolik let.
1.3
Fyzikální mechanismy creepu
Mechanismy zp·sobující creep jsou pro r·zné skupiny materiál· velmi rozdílné. Dokonce i pro stejný materiál m·ºe být mechanismus creepu r·zný podle toho, jaké jsou podmínky zat¥ºování (teplota, nap¥tí). Základní p°í£inou £asové závislosti deformace je pohyb atom·, vakancí nebo molekul v pevné fázi vyvolaný tepelnou aktivací. Creepové chování materiálu je podmín¥no procesy, které pat°í do kategorie difúze. Creep kovových materiál· se realizuje dv¥ma základními mechanismy. Podle toho rozeznáváme:
• difúzní creep. Je aktivován p°i vy²²ích teplotách a niº²ích nap¥tích. Dochází k pohybu v¥t²ího mnoºství atom· difúznímu toku z oblastí namáhaných na tlak do tahových oblastí. • disloka£ní creep. Defekty (dislokace) krystalické m°íºky kovové struktury p°ekonávají p°irozenou tuhost m°íºky a odpor r·zných p°ím¥sí zabra¬ujících creepu a pohybují se po m°íºce. P°i nízkých nap¥tích se pohyb dislokací zastavuje nebo zpomaluje. 5
Difúze atom· m·ºe vyvolat uvoln¥ní dislokací a tak usnadnit trvalou deformaci. Disloka£ní creep je tedy také ovládán difúzními procesy. Nejvýznamn¥j²ím mechanismem u v¥t²iny inºenýrských struktur je disloka£ní creep.
Obrázek 1.6: Mapa deforma£ních mechanism·. Dominance t¥chto mechanism· v nap¥´ové a teplotní oblasti m·ºe být shrnuta do map deforma£ních mechanism· viz obrázek 1.6. Kaºdé z polí deforma£ní mapy representuje obor podmínek namáhání, nap¥tí a teploty, za nichº p°ispívá k rychlosti creepu rozhodující m¥rou jediný deforma£ní mechanismus.
1.4
Creep p°i jednoosé nap jatosti
Dále uvaºujme jednoosý creep v tahu. Hlavní úlohou matematické teorie creepu je sestavit vztahy, které popisují creep p°i libovoln¥ m¥nících se zát¥ºných podmínkách. Nejuºívan¥j²í p°ístup je zaloºen na p°edpokladu, ºe creepová odezva materiálu v jistém £ase t závisí výhradn¥ na velikosti £asových prom¥nných. Creepovou k°ivku lze zapsat ve tvaru
εC =
n ∑
fi (σ) gi (t) hi (T ) ,
(1.2)
i=1
kde εC je creepová deformace, fi je funkce nap¥tí σ , gi funkce £asu t, hi funkce teploty T . Dále uvaºujme zjednodu²ený tvar
εC = f1 (σ) f2 (t) f3 (T ) ,
(1.3)
kde f1 p°edstavuje funkci nap¥tí, f2 funkci £asu a f3 funkci teploty. Tomuto vztahu se °íká zákon creepu. Analogicky v p°ípad¥ plasticity je jako základní charakteristika k dispozici plastické k°ivka. Pro moºnost aplikovat creepový zákon p°i prom¥nném zat¥ºování a prom¥nných teplotních podmínkách je t°eba ur£it rychlost creepové deformace v daném £ase
ε˙C =
∂εC = f (σ, t, T ) . ∂t 6
(1.4)
Tato charakteristika se obvykle ur£uje následujícím zp·sobem
ε˙C =
∂εC df2 (t) = f1 (σ) f3 (T ) , ∂t dt
(1.5)
Zanedbává se derivace nap¥tí a teploty vzhledem k £asu, coº striktn¥ platí pouze pro konstantní nap¥tí a teplotu. V praxi jsou konstrukce, u nichº je významný efekt creepu, obvykle dlouhodob¥ zat¥ºovány na konstantní hladin¥ nap¥tí p°i konstantní teplot¥. Zm¥na t¥chto hodnot bývá náhlá. Za t¥chto podmínek je rovnice (1.5) p°ijatelná. Tato rovnice representuje jeden ze základních vztah· pouºívaných k modelování creepového efektu. Uvaºujme p°ípad, kdy je vzorek jednoose namáhán v £ase t0 = 0 aº t1 konstantním nap¥tím σ1 , které se skokov¥ zm¥ní na konstantní nap¥tí σ2 (viz obr. 1.7). Teplotu zde uvaºujme za nem¥nnou. Konstantnímu zatíºení σ1 odpovídá k°ivka 1, konstantnímu zatíºení σ2 k°ivka 2. Po£áte£nímu zatíºení tedy odpovídá úsek OA k°ivky 1. Pro modelování odezvy p°i zm¥n¥ nap¥tí existují dva základní p°ístupy pro ur£ení deformace εC : Creep p°i prom¥nném zatíºení.
• £asové zpev¬ování. P°edpokládá se, ºe rychlost creepové deformace je funkcí nap¥tí, £asu a teploty - rovnice (1.5). Tvar creepové k°ivky tedy závisí na dosaºeném £ase v okamºiku zm¥ny zatíºení. Creepová k°ivka po zm¥n¥ nap¥tí na σ2 (úsek AB) tedy odpovídá posunuté k°ivce A2t B2t (obr. 1.8). • deforma£ní zpev¬ování. P°edpokladem je, ºe rychlost creepové deformace závisí na nap¥tí, akumulované creepové deformaci a teplot¥. Ve vztahu (1.5) se eliminuje £as εC pomocí rovnice (1.3). Funkce £asu se z této rovnice je f2 = f1 (σ)f . Její inverzní 3 (T ) −1 podoba f2 se dosadí do funkce £asu v (1.5) a získá se [ ] ( ) df2 f2−1 (εC , σ, T ) C ε˙ = f1 (σ) f3 (T ) = f σ, εC , T . (1.6) dt Tvar creepové k°ivky tedy závisí na akumulované creepové deformaci v okamºiku zm¥ny zatíºení. Creepová k°ivka po zm¥n¥ nap¥tí na σ2 (úsek AB) tedy odpovídá posunuté k°ivce A2s B2s (obr. 1.9). Oba p°ístupy jsou zaloºeny na stejných základních rovnicích. Favorizován bývá p°ístup deforma£ního zpev¬ování, protoºe podává výsledky bliº²í experiment·m. Tento p°ístup je zvlá²t¥ vhodný pro modelování cyklického zat¥ºování. Je vhodný pro primární stádium creepu a krátkodobé zkou²ky. asové zpev¬ování m·ºe být korektní, pokud se uvaºuje pouze sekundární stádium creepu. V p°ípad¥ konstantního zatíºení jsou výsledky obou teorií shodné. 1.4.1
Návrhy funkcí nap¥tí, £asu a teploty
Návrhy funkce nap¥tí vystupující ve vztahu (1.3) jsou uvedeny v tabulce 1.1. Mocninný vztah dle Nortona dob°e aproximuje creepová data p°i niº²ích nap¥tích, pro vy²²í nap¥tí bývá p°esn¥j²í exponenciální vztah dle Dorna. P°ehled £asových funkcí je v tabulce 1.2. Pro
7
nap tí
2
1
0
t1
as
Obrázek 1.7: Skoková zm¥n¥ nap¥tí. primární stádium creepu v¥t²inou posta£uje mocninný vztah dle Bayleyho. Jako funkce nap¥tí se pouºívá Arrheni·v vztah vhodný pro men²í rozmezí teplot ( ) Q f3 = exp − , (1.7) RT kde Q je aktiva£ní energie, R Boltzmannova konstanta a T absolutní teplota. Aktiva£ní energie je fyzikální konstanta. Vyjad°uje míru potenciálové bariéry, kterou musí p°ekonat atom £i molekula, aby byly zm¥n¥na jejich poloha. Velikost aktiva£ní energie se m·ºe m¥nit vlivem mechanismu creepového te£ení. Teplota má ale také vliv na konstanty ve funkcích nap¥tí a £asu. Tabulka 1.1: Funkce nap¥tí f1 . m, m1 , m2 , A, B , D1 , D2 , K , σ0 jsou materiálové konstanty. autor funkce f1 autor funkce f1 ( ) Norton K σm Dorn C exp σσ0 ] [ ( ) ( ) Soderberg B exp σσ0 − 1 Johnson A sinh σσ0 [ ( )]m McVetty A sinh σσ0 Garofalo D1 σ m1 + D2 σ m2
Tabulka 1.2: Funkce £asu f2 . ai , b, k , n, ni , q , G, H , Θ1 , Θ2 jsou materiálové konstanty. autor funkce f2 autor funkce f2 ) ( ∑ 1 ni Andrade 1 + b t 3 exp (k t) − 1 Graham i ai t Bailey McVetty
F tn G [1 − exp (−q t)] + H t
Garofalo
8
Θ1 [1 − exp (−Θ2 t)] + ε˙S t
B
creepová deformace
2t
2
A
2t
B
1
A
0
as
Obrázek 1.8: Crepová k°ivka dle teorie £asového zpev¬ování p°i skokové zm¥n¥ nap¥tí. 1.4.2
Cyklické namáhání
Pouºijme pro °e²ení problému cyklického zat¥ºování v podmínkách creepu teorii deforma£ního zpev¬ování. Uvaºujme, ºe creepová k°ivka v tlaku je ozrcadlením creepové k°ivky v tahu. Pro modelování pouºijeme modi kované pravidlo zpev¬ování vyvinuté na Oak Ridge National Laboratory. Proto bývá toto kritérium také ozna£ováno jako pravidlo O.R.N.L. P°íklad pouºití tohoto kritéria je uveden dále pro p°ípad prom¥nného nap¥tí dle obrázku 1.10. Výsledný pr·b¥h deformace na obrázku 1.11b OA odpovídá k°ivce p°i zatíºení nap¥tím σ OA1 (obr. 1.11a). Tlakovému zatíºení −σ (výsledný pr·b¥h AB) odpovídá k°ivka p°i zatíºení nap¥tím −σ OB2 . Dosaºené zpevn¥ní εC (A1 ) v tahu není na k°ivce 2 uvaºováno, protoºe se jedná o tlakové zatíºení. P°i zm¥n¥ na tahové nap¥tí σ je uvaºována akumulovaná kladná creepová deformace (εC (A1 ) − εC (B2 )). Tímto rozdílem je de nován bod B3 , takºe p°íslu²ným posunutím obdrºíme výslednou k°ivku. V p°ípad¥, ºe by rozdíl(εC (A1 ) − εC (B2 )) byl záporný, bod B3 by odpovídal O. To znamená, ºe zpevn¥ní v tahu by bylo ztraceno. Pro praktické pouºití je vhodné zavést jako míru deforma£ního zpev¬ování tzv. modi kovanou creepovou deformaci εH . Vztah (1.6) pak p°ejde do podoby ( ) (1.8) ε˙C = ε˙C σ, εH , T . Pokud je materiál podroben v £asovém intervalu ⟨tn , tn+1 ⟩ tahu, pak
εH = εC − ε+ ,
(1.9)
kde ε+ p°edstavuje minimální creepovou deformaci dosaºenou v tlaku aº do £asu tn . Pokud do té doby nebylo tlakové zatíºení, pak ε+ = 0. εH tedy p°edstavuje na po£átku intervalu akumulovanou creepovou deformaci v tahu korigovanou tlakem. Podobn¥, pokud je materiál v £asovém intervalu ⟨tn , tn+1 ⟩ namáhán tlakov¥, pak
εH = εC − ε− ,
(1.10)
kde ε− p°edstavuje maximální creepovou deformaci dosaºenou v tahu aº do £asu tn . Pokud do té doby nebylo tahové zatíºení, pak ε− = 0. εH zde p°edstavuje na po£átku intervalu akumulovanou creepovou deformaci v tlaku korigovanou tahem. 9
2
B creepová deformace
2s
B
1
A
2s
A
0
as
Obrázek 1.9: Crepová k°ivka dle teorie deforma£ního zpev¬ování p°i skokové zm¥n¥ nap¥tí. 1.4.3
Creepová relaxace
Uvaºujme vzorek podrobený podmínce konstantní deformace ε0 . Ur£eme £asový pr·b¥h nap¥tí ve vzorku. Jedná se o p°ípad creepové relaxace uvedený v sekci 1.1. Pro deformaci platí relaxa£ní rovnice ε0 = konst = εE + εC . (1.11) Do této rovnice dosadíme Hook·v zákon
σ0 σ (t) = + εC . E E
(1.12)
Uvaºujme creepový zákon v mocninném tvaru (1.13)
εC = C σ m tn , potom dle teorie £asového zpev¬ování
(1.14)
ε˙C = C n σ m tn−1 . Pro dosazení tohoto vztahu provedeme £asovou derivaci rovnice (1.12)
0=
1 dσ dεC + . E dt dt
(1.15)
Po dosazení a vy°e²ení diferenciální rovnice s uvaºováním po£áte£ní podmínky t = 0 . . . σ = σ0 obdrºíme vztah pro nap¥tí ve vzorku jako funkci £asu 1
σ (t) = [σ0 − (1 − m) E C tn ] 1−m . 1.4.4
(1.16)
Ustálený a neustálený creep
V p°ípad¥, kdy je nap¥tí v sou£ásti nem¥nné, hovo°íme o ustáleném creepu. Pokud creep probíhá p°i £asov¥ prom¥nném nap¥tí, pak se jedná o neustálený creep. 10
tí nap
0
t1
t2
as
-
Obrázek 1.10: P°íklad cyklického zat¥ºování tah-tlak-tah. Obecn¥ je v zatíºeném t¥les nap¥tí rozd¥leno s jistým gradientem. Proto dochází v podmínkách creepu i p°i £asov¥ neprom¥nném vn¥j²ím zatíºení k £asové zm¥n¥ deformace a tedy k op¥tovnému p°erozd¥lování nap¥tí po objemu t¥lesa. Postupn¥ se proces p°erozd¥lování nap¥tí ustaluje. Od jistého £asového okamºiku je moºno rozd¥lení nap¥tí po objemu povaºovat za nem¥nné. Nastalo stádium ustáleného creepu. Tedy prvotní stádium neustáleného creepu p°echází v kvaziustálený creep.
1.5
Creep p°i víceosé nap jatosti
Zde bude zaveden creepový model pro obecnou napjatost isotropického kovu. P°edstavuje zobecn¥ní podmínek jednoosého creepu. Toto zobecn¥ní je zaloºeno na experimentálních pozorováních. Jsou formulovány následující fakta a poºadavky, které musí vícerozm¥rný model spl¬ovat: 1. Creepová deformace je nestla£itelná. 2. St°ední nap¥tí nemá vliv na creepové deformace. 3. Hlavní sm¥ry rychlosti creepové deformace a nap¥tí jsou shodné. 4. Obecné vztahy se v podmínkách jednoosé napjatosti musí zredukovat na vztahy platné p°i jednoosé napjatosti. Tyto poºadavky jsou analogické s poºadavky u plasticity, kde jsou jednoosé vztahy také zobecn¥ny pro víceosou napjatost. Navrhn¥me vztah vyjad°ující úm¥rnost rychlosti creepové deformace a deviátorického nap¥tí (1.17) ε˙C ij = γ Sij . Tato konstitutivní rovnice spl¬uje poºadavky 1. aº 3. 11
deformace
creepová
pro A
1
ε
ε
(A )
C
1
(A ) -
C
B
1
ε
(B )
C
2
3
ε
0 = A
2
(B )
C
t1
t2 - t1
as
2
B
2
deformace
creepová
pro -
A
B
0
t1
t2
as
Obrázek 1.11: Creepová k°ivka p°i cyklickém zat¥ºování tah-tlak-tah. C C P°edpoklad 1. vyºaduje, aby εC 11 + ε11 + ε11 = 0. Z toho vyplývá podmínka C C ε˙C 11 + ε˙11 + ε˙11 = 0 .
(1.18)
Pokud do tohoto vztahu dosadíme (1.17), bude tato podmínka spln¥na. V rovnici (1.17) vystupuje deviátor nap¥tí, st°ední nap¥tí tedy nemá na creepové deformace vliv a podmínka 2. je také spln¥na. Z de nice (1.17) taktéº vyplývá, ºe sm¥ry ε˙C ij a Sij (a tedy i σij ) jsou shodné. Podmínka 3. je také spln¥na. Ur£ení creepového multiplikátoru.
efektivní rychlost creepové deformace
Analogicky jako v teorii plasticity je zavedena
( ε˙C e
=
2 C C ε˙ ε˙ 3 ij ij
) 12 .
1 C C C C C Takºe p°i jednoosé napjatosti platí ε˙C 11 ̸= 0, ε˙22 = ε˙33 = − 2 ε˙11 a tedy ε˙e = ε˙11 .
12
(1.19)
Vynásobme vztah (1.17) tak, aby jeho levé stran¥ bylo moºno zavést ε˙C e
2 C C 2 ε˙ij ε˙ij = γ 2 Sij Sij , 3 3
(1.20)
potom je moºné tuto rovnici upravit do vztahu
( a po odmocn¥ní
)2 ε˙C e
( =
2 γ 3
)2 (σe )2
(1.21)
2 ε˙C e = γ σe . 3
(1.22)
Multiplikátor γ lze vyjád°it jako
3 ε˙C e . (1.23) 2 σe ) ( Ur£uje se z jednoosé creepové k°ivky γ = γ σe , εC e , T . Vychází se ze závislosti (1.6), kde je εC nahrazeno εC e a σ nahrazeno σe . Je tak spln¥na podmínka 4. Nap°. pro creepový zákon v mocninném tvaru m n εC (1.24) e = C σe t γ=
platí v p°ípad¥ teorie £asového zpev¬ování (1.25)
m n−1 ε˙C e = C n σe t
nebo dle teorie deforma£ního zpev¬ování 1
m
n n ε˙C e = C n σe
Potom je nebo
(
εC e
) n−1 n
.
(1.26)
3 γ = C n σem−1 tn−1 2
(1.27)
m−n ( ) n−1 3 1 n γ = C n n σe n εC . e 2
(1.28)
13
Literatura [1] Bathe, K.-J.: Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996 [2] Boyle, J. T., Spence, J.: Stress Analysis for Creep, Butterworths, 1983 [3] Dunne, F., Petrinic, N.: Introduction to Computational Plasticity, Oxford University Press, 2005 [4] Koji¢, M., Bathe, K.-J.: Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer-Verlag, 2005 [5] Penny, R. K., Marriott, D. L.: Design for Creep, Chapman & Hall, 1995
14
