HASIL DAN PEMBAHASAN Data Pengeluaran Per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008 Jawa Timur adalah provinsi yang terdiri dari 29 kabupaten dan 9 kota. Secara umum wilayah provinsi Jawa Timur dapat dibagi menjadi dua bagian besar yaitu Jawa Timur daratan dan Pulau Madura. Luas wilayah Jawa Timur daratan hampir mencapai 90 persen dari luas keseluruhan, sedangkan wilayah Madura hanya sekitar 10 persen.
Peta wilayah kabupaten/ kota di Jawa Timur disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1 Peta administratif Propinsi Jawa Timur Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data pengeluaran per kapita penduduk Jawa Timur tahun 2008 dengan jumlah contoh n = 8607 Kepala Rumah Tangga. Data ini diperoleh dari publikasi BPS dari hasil SUSENAS. Dari data
tersebut dapat diperoleh informasi bahwa rata-rata pengeluaran per kapita penduduk Jawa Timur adalah Rp337.105,93 dan ragam Rp8.49 x 1010. Pengeluaran minimum adalah sebesar Rp41.349,94 dan pengeluaran maksimum sebesar Rp5.442.241,45. Probability plot (p-p) diperlukan untuk menentukan apakah sebaran dari pengeluaran per kapita sesuai dengan jenis sebaran tertentu. Setelah dilakukan uji kenormalan Anderson Darling terhadap data pengeluaran per kapita, hasilnya
menunjukkan bahwa adanya penyimpangan asumsi kenormalan sepeti terlihat pada Gambar 2. Probability Plot of kapita Normal - 95% CI
Mean StDev N AD P-Value
99.99 99
337106 291371 8607 746.460 <0.005
Percent
95 80 50 20 5 1 0.01 -1000000
0
1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000
kapita
Gambar 2 Probability plot dari pengeluaran per kapita Untuk dapat memenuhi asumsi kenormalan telah dilakukan beberapa metode transformasi antara lain tansformasi akar dan transfomasi hubungan antara rataan dan simapangan baku. Akan tetapi hasilnya belum dapat memenuhi asumsi kenormalan. Transfomasi Box-Cox memberikan nilai lambda -0.11. Hasil dari transformasi ini belum dapat menunjukkan bahwa asumsi kenormalan dapat terpenuhi. Setelah dilakukan beberapa jenis tansformasi, hasil yang paling mendekati asumsi kenormalan adalah transformasi log seperti disajikan pada Gambar 3 sebagaimana terlihat bahwa titik-titik cenderung mengumpul di sekitar garis lurus. Log Kapita Normal
Mean StDev N AD P-Value
99.99 99
5.443 0.2502 8607 53.901 <0.005
Percent
95 80 50 20 5 1 0.01 4.5
5.0
5.5 6.0 Log_Kapita
6.5
7.0
Gambar 3 Probability plot pengeluaran per kapita setelah ditransformasi
17
Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata Untuk data contoh pengeluaran per kapita (nilai setelah diubah menjadi normal baku) dengan n = 8607 diperoleh nilai terkecil dan nilai terbesar masingmasing adalah
-3.302 dan
5.169. Ini menunjukkan bahwa jarak dari
distribusi adalah 5.169 – (-3.302) = 8.471 Sehingga fungsi objektif persamaan (20) dapat dinyatakan sebagai: Minimumkan ∑
,
√
*
(–
)
(
( (–
)
(
√
*
( (–
√
) )
( (
)
(
)
(
√
)
)
( *
)
√
√
√
)+
)+ )+ }
dengan kendala ∑ dan
(22)
Stratifikasi ke- (k-1) diberikan oleh
Substitusikan nilai
kedalam persamaan (21) dan dengan mengunakan
persamaan (16) dan (17), persamaan rekursif untuk menyelesaikan masalah pemrograman matematika persamaan (21) ditentukan sebagai berikut.
18
Untuk tahap pertama (k = 1): {
{
[
√
(–
(
(–
)
)
(
(
*
√
(
)
)
(
)
(
(–
(
)
√
)
√
)
√
(
[
)
(
)
√
)]
√
)+ }}
Pada
(23) Untuk tahap {
{
[
√
(–
) (
(
)
√
)
(
(–
)
(
* *
(
)
)
√
(
(–
)
√
)
(
(
√
)
)
√
)+
√
(
)+ }
} Penyelesaian
(24)
persamaan
rekursif
(22)
dan
(23)
menggunakan
pemrograman C++ (Lampiran 1) untuk menentukan lebar strata optimum
.
Tabel 1 menunjukkan hasil dari penyelesaian ini disertai dengan nilai optimum fungsi objektif ∑
∑
untuk 19
Tabel 1 Titik-titik batas optimum strata dari sebaran normal baku Jumlah Strata
Lebar Optimum Strata
Titik-titik Batas Optimum Strata
L 2
y1=3.303 y2=5.167
y1=2.756 3
y2=1.098 y3=4.617
y1=2.432 y2=0.873 4
y3=0.875 y4=4.291
y1=2.206 y2=0.765 y3=0.670 5
y4=0.767 y5=4.062
y1=2.035 y2=0.698 y3=0.574 6
y4=0.574 y5=0.702 y6=3.888
x0 = -3.302 x1= 0.002 xL = 5.169
Nilai Optimum Fungsi Objektif ∑ ∑ 0.599
x0 = -3.302 x1=-0.546 x2=0.552
0.424
xL = 5.169 x0 = -3.302 x1=-0.869 x2=0.003 x3=0.878 xL = 5.169
0.328
x0 = -3.302 x1=-1.096 x2=-0.331 x3=0.339
0.267
x4=1.106 xL = 5.169
x0 = -3.302 x1=-1.267 x2=-0.569 x3=0.005 x4=0.579 x5=1.280 xL = 5.169
0.225
Jumlah Contoh per Strata n1 = 4755 (55%) n2 = 3852 (45%) n1 = 2724 (31.65%) n2 = 3683 (42.79%) n3 = 2200 (25.56%) n1 = 1667 (19.37%) n2 = 3093 (35.93%) n3 = 2364 (27.47%) n4 = 1483 (17.23%) n1 = 983 (11.42%) n2 = 2534 (29.44%) n3 = 2300 (26.72%) n4 = 1668 (19.38%) n5 = 1122 (13.04%) n1 = 606 (7.04%) n2 = 2032 (23.61%) n3 = 2126 (24.70%) n4 = 1711 (19.88%) n5 = 1224 (14.22%) n6 = 908 (10.55%)
Untuk dua strata diperoleh titik batas optimum pada x1 = 0.002. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas akan masuk pada strata pertama dengan jumlah contoh sebanyak n1 = 4755 dan lebar strata pertama
20
adalah y1 = 3.303. Ragam strata pertama adalah sebesar
. Sedangkan
lebar strata kedua adalah y2 = 5.167 dengan jumlah contoh n2 = 3852 dan ragam sebesar
. Pada pembentukan dua strata diperoleh nilai optimum fungsi
objektifnya adalah 0.599. Pembentukan sebanyak tiga strata diperoleh titik batas optimum pada x1 = -0.546. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1
akan masuk pada strata pertama di mana jumlah contoh sebanyak n1 = 2724 dan lebar strata pertama adalah y1 = 2.756. Ragam strata pertama adalah sebesar . Titik batas optimum antara strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = 0.552. Untuk strata kedua lebarnya adalah y2 = 1.098 dengan jumlah contoh n2 =
3683 dan ragam sebesar
. Lebar strata ketiga adalah y3 = 4.617 dengan
jumlah contoh sebesar n3 = 2200 dan ragam
.
Untuk tiga strata
diperoleh nilai optimum fungsi objektifnya adalah sebesar 0.424. Untuk pembentukan sebanyak empat strata diperoleh titik batas optimum strata pertama dan kedua adalah x1 = -0.869. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1 akan masuk pada strata pertama dengan jumlah contoh sebanyak n1 = 1667 dan lebar strata pertama adalah y1 = 2.432. Ragam strata pertama adalah sebesar
. Titik batas optimum antara
strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = 0.003. Untuk strata kedua lebarnya adalah y2 = 0.873 dengan jumlah contoh n2 = 3093 dan ragam sebesar
. Titik
batas optimum antara strata ketiga dan keempat adalah x3 = 0.878. Lebar strata ketiga adalah y3 = 0.875 dengan jumlah contoh sebesar n3 = 2364 dan ragam . Sedangkan untuk strata keempat dengan lebar sebesar y4 = 4.291 memiliki jumlah contoh sebanyak n4 = 1483 dan ragam
.
Nilai
optimum fungsi objektif untuk empat strata adalah sebesar 0.328. Pada pembentukan sebanyak lima strata diperoleh titik batas optimum strata pertama dan kedua adalah x1 = -1.096. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1 akan masuk pada strata pertama dengan jumlah contoh sebanyak n1 = 983 dan lebar strata pertama adalah y1 = 2.206. Ragam strata pertama adalah sebesar
. Titik batas optimum antara
strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = -0.331. Untuk strata kedua lebarnya adalah
21
y2 = 0.765 dengan jumlah contoh n2 = 2534 dan ragam sebesar
. Titik
batas optimum antara strata ketiga dan keempat adalah x3 = 0.339. Lebar strata ketiga adalah y3 = 0.670 dengan jumlah contoh sebesar n3 = 2300 dan ragam . Untuk strata keempat dan kelima, titik batasnya adalah pada x4 = 1.106. Strata keempat memiliki lebar y4 = 0.767 dengan jumlah contoh sebesar n4 =
1668 dan ragam
. Sedangkan untuk strata kelima dengan lebar sebesar
y5 = 4.062 memiliki jumlah contoh sebanyak n5 = 1122 dan ragam
.
Nilai optimum fungsi objektif untuk lima strata adalah sebesar 0.267. Untuk pembentukan
sebanyak enam strata diperoleh titik batas
optimum strata pertama dan kedua adalah x1 = -1.267. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1 akan masuk pada strata pertama dengan jumlah contoh sebanyak n1 = 606 dan lebar strata pertama adalah y1 = 2.035. Ragam strata pertama adalah sebesar
. Titik batas optimum antara
strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = -0.569. Untuk strata kedua lebarnya adalah y2 = 0.698 dengan jumlah contoh n2 = 2032 dan ragam sebesar
Titik
batas optimum antara strata ketiga dan keempat adalah x3 = 0.005. Lebar strata ketiga adalah y3 = 0.574 dengan jumlah contoh sebesar n3 = 2126 dan ragam . Untuk strata keempat dan kelima, titik batasnya adalah pada x4 = 0.579. Strata keempat memiliki lebar y4 = 0.574 dengan jumlah contoh sebesar n4 =
1711 dan ragam
. Titik batas optimum antara strata kelima dan
keenam adalah pada x5 = 1.281. Untuk strata kelima dengan lebar strata y5 = 0.702 memiliki jumlah contoh sebanyak n5 = 1224 dan ragam sebesar
.
Sedangkan .untuk strata keenam dengan lebar sebesar y6 = 3.888 memiliki jumlah contoh
sebanyak n6 = 908 dan ragam
. Nilai optimum fungsi
objektif untuk enam strata adalah sebesar 0.225. Nilai optimum fungsi objektif yang dihasilkan dengan metode ini menunjukkan bahwa semakin banyak jumlah strata maka nilai optimum fungsi ini akan semakin kecil.
22
Pengujian Kehomogenan Ragam Hasil uji khi-kuadrat untuk setiap strata disajikan pada Tabel 2. Tabel 2 Hasil uji khi-kuadrat untuk setiap jumlah strata Jumlah Strata L 2
Jumlah Contoh Tiap Strata
Ragam Tiap Strata
n1 = 4755 n2 = 3852
Nilai
P-value
7268.946
0.000
13040.803
0.000
17100.023
0.000
20157.687
0.000
23967.310
0.000
n1 = 2724 3
n2 = 3683 n3 = 2200 n1 = 1667 n2 = 3093
4
n3 = 2364 n4 = 1483 n1 = 983 n2 = 2534
5
n3 = 2300 n4 = 1668 n5 = 1122 n1 = 606 n2 = 2032 n3 = 2126
6
n4 = 1711 n5 = 1224 n6 = 908
Dari Tabel 2 terlihat bahwa untuk semua jumlah strata L, menghasilkan nilai khi-kuadrat yang lebih besar daripada nilai khi-kuadrat tabel baik pada taraf nyata 5% maupun pada taraf nyata 1%. Ini berarti bahwa kehomogenan ragam ditolak, yaitu uji menunjukkan perbedaan yang nyata antara ragam-ragam pada setiap jumlah strata L. Hasil ini juga menunjukkan bahwa ada perbedaan keragaman pada masing-masing strata. Hal ini berarti bahwa antar strata lebih bervariasi karakteristiknya (heterogen).
23
Pembentukan Strata Pengeluaran Per Kapita Jawa Timur Tahun 2008 Lebar strata dan titik-titik batas optimum strata pada Tabel 1 merupakan hasil yang didapatkan dari data yang sudah ditransformasi. Untuk data pengeluaran per kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008 disajikan pada Tabel 3. Tabel 3 Titik-titik batas optimum strata pengeluaran per kapita Jawa Timur 2008 Jumlah Strata L
2
Lebar Optimum Strata y1 = 235933.33 y2 = 5164855.22 y1 = 160922.869
3
y2 = 178461.96 y3 = 5061394.43 y1 = 126525.06
4
5
y2 = 109712.00 y3 = 181764.55
x1 = 277325.345 xL = 5442241.452 x0 = 41349.940 x1 = 202272.809 x2 = 380751.914 xL = 5442241.452 x0 = 41349.940 x1 = 167875.686 x2 = 277605.081 x3 = 459449.009 xL = 5442241.452
y1 = 106024.82
x0 = 41349.940
y2 = 81428.1
x1 = 147398.356 x2 = 228973.673
y3 = 107872.16
x3 = 336869.805
y5 = 4918068.71
x4 = 524125.804 xL = 5442241.452
y1 = 92184.35
x0 = 41349.940
y2 = 66063.52
x1 = 133543.689 x2 = 199626.382
y3 =78167.16 y4 = 108808.63 y5 = 191543.53 y6 = 4862690.16
Nilai Ragam Strata
x0 = 41349.940
y4 = 4982767.37
y4 = 187136.51
6
Titik-titik Batas Optimum Strata
x3 = 277805.066 x4 = 386780.927
2339422490 1.281E+11 880588393 2436769947 1.746E+11
512400483 960333991 2599356842 2.159E+11
340941512 567979981 953660359 2739191510 2.492E+11
253204999 342296093 472878135 941057357 2840506289 2.774E+11
x5 = 579495.950 xL = 5442241.452
Untuk dua strata diperoleh titik batas optimum pada x1 = 277325.345. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas akan masuk pada strata pertama dengan jumlah populasicontoh sebanyak n1 = 4755 dan lebar
24
strata pertama adalah y1 = 235933.33. Ragam strata pertama adalah sebesar . Sedangkan lebar strata kedua adalah y2 = 5164855.22 dengan jumlah contoh n2 = 3852 dan ragam sebesar
.
Pembentukan sebanyak tiga strata diperoleh titik batas optimum pada x 1 = 202272.809. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1 akan masuk pada strata pertama di mana jumlah contoh sebanyak n1 = 2724 dan
lebar strata pertama adalah y1 = 160922.869. Ragam strata pertama adalah sebesar . Titik batas optimum antara strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = 380751.914. Untuk strata kedua lebarnya adalah y2 = 178461.96 dengan jumlah contoh n2 = 3683 dan ragam sebesar
. Lebar strata ketiga
adalah y3 = 5061394.43 dengan jumlah contoh sebesar n3 = 2200 dan ragam .
Untuk pembentukan sebanyak empat strata diperoleh titik batas optimum strata pertama dan kedua adalah x1 = 167875.686. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1 akan masuk pada strata pertama di mana jumlah contoh sebanyak n1 = 1667 dan lebar strata pertama adalah y1 = 126525.06. Ragam strata pertama adalah sebesar
. Titik batas
optimum antara strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = 277605.081. Untuk strata kedua lebarnya adalah y2 = 109712.00 dengan jumlah contoh n2 = 3093 dan ragam sebesar
. Titik batas optimum antara strata ketiga dan keempat
adalah x3 = 459449.009. Lebar strata ketiga adalah y3 = 181764.55 dengan jumlah contoh sebesar n3 = 2364 dan ragam
. Sedangkan untuk strata
keempat dengan lebar sebesar y4 = 4982767.37 memiliki jumlah contoh sebanyak n4 = 1483 dan ragam
.
Pada pembentukan sebanyak lima strata diperoleh titik batas optimum strata pertama dan kedua adalah x1 = 147398.356. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1 akan masuk pada strata pertama di mana jumlah contoh sebanyak n1 = 983 dan lebar strata pertama adalah y1 = 106024.82. Ragam strata pertama adalah sebesar
. Titik batas
optimum antara strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = 228973.673. Untuk strata kedua lebarnya adalah y2 = 81428.1 dengan jumlah contoh n2 = 2534 dan ragam
25
sebesar
567979981. Titik batas optimum antara strata ketiga dan keempat
adalah x3 = 336869.805. Lebar strata ketiga adalah y3 = 107872.16 dengan jumlah contoh sebesar n3 = 2300 dan ragam
. Untuk strata keempat dan
kelima, titik batasnya adalah pada x4 = 524125.804. Strata keempat memiliki lebar y4 = 187136.51 dengan jumlah contoh sebesar n4 = 1668 dan ragam . Sedangkan untuk strata kelima dengan lebar sebesar y5 = 4918068.71 memiliki jumlah contoh sebanyak n5 = 1122 dan ragam . Pada pembentukan sebanyak enam strata diperoleh titik batas optimum strata pertama dan kedua adalah x1 = 133543.689. Ini berarti bahwa semua data yang nilainya lebih kecil dari titik batas x1 akan masuk pada strata pertama di mana jumlah contoh sebanyak n1 = 983 dan lebar strata pertama adalah y1 = 92184.35. Ragam strata pertama adalah sebesar
. Titik batas
optimum antara strata kedua dan ketiga adalah pada x2 = 199626.382. Untuk strata kedua lebarnya adalah y2 = 66063.52 dengan jumlah contoh n2 = 2534 dan ragam sebesar
. Titik batas optimum antara strata ketiga dan keempat
adalah x3 = 277805.066. Lebar strata ketiga adalah y3 = 78167.16 dengan jumlah contoh sebesar n3 = 2300 dan ragam
. Untuk strata keempat dan
kelima, titik batasnya adalah pada x4 = 386780.9265. Strata keempat memiliki lebar y4 = 108808.63 dengan jumlah contoh sebesar n4 = 1668 dan ragam . Titik batas optimum antara strata kelima dan keenam adalah pada x5 = 579495.950. Untuk strata kelima dengan lebar sebesar y5 = 191543.53 memiliki jumlah contoh sebanyak n5 = 1122 dan ragam
. Sedangkan
.untuk strata keenam dengan lebar sebesar y6 = 4862690.16 memiliki jumlah contoh sebanyak n6 = 908 dan ragam sebesar
.
26
