FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úloha 9: Základní experimenty akustiky Datum měření: 27. 11. 2009
Jméno: Jiří Slabý
Pracovní skupina: 1
Ročník a kroužek: 2. ročník, 1. kroužek, pátek 13:30
Spolupracovala: Eliška Greplová
Hodnocení:
Abstrakt Změřili jsme lineární hustotu struny 𝜌 = (0, 0162 ± 0, 0002) kg/m. Rychlost šíření na struně jsme určili 𝑣 = (55, 0 ± 0, 4) m/s. Pomocí Quinckeho trubice jsme určili rychlost zvuku ve vzduchu 𝑣 = (347 ± 2) m/s. Pomocí Helmholtzova rezonátoru jsme určili rychlost zvuku 𝑣 = (305 ± 8) m/s. Tabulková hodnota pro danou teplotu je 𝑣𝑡 = 345, 8 m/s. Pomocí fourierovského analyzátoru jsme rozložili na spektrum sinus, pilovitý kmit a obdélník.
1
Úvod
Nejdříve se pokusíme najít a změřit vlastní a vyšší harmonické frekvence rozkmitané struny. Pomocí toho můžeme určit lineární hustotu struny a rychlost šíření po struně. Poté budeme pozorovat vlnění v Kundtově trubici. Z měření vztahu frekvence a vlnové délky v Quinckově trubici můžeme určit rychlost šíření zvuku ve vzduchu. Pomocí Helmholtzova rezonátoru ji změříme taktéž. Použijeme fourierovský analyzátor pro hledání rozkladu různých druhů kmitů a poté se je budeme snažit sami zesyntetizovat. Jean-Baptiste Fourier vytvořil teorii jak funkce rozkládat do nekonečných řad. Tato teorie nejdříve nebyla obecně přijímána zvláště ve Francii [1], ale pak našla mnohá uplatnění.
1.1
Pracovní úkoly
1. Domácí úkol: Spočíst vlastní a vyšší harmonické frekvence struny napjaté závažím o hmotnosti 5 kg a o délce 1 m pokud víme, že její lineární hustota je 𝜌𝑙 = 0,0162 kg/m. 2. Do vzorce z předchozího úkolu dosaďte délku struny v praktiku a spočítejte totéž. Ověřte experimentálně. Z naměřených hodnot vyšších harmonických frekvancí zpětně dopočítejte lineární hustotu (Použijte metodu nejmenších čtverců) a porovnejte s uvedenou konstantou. Dopočítejte rychlost šíření vlnění na struně. 3. Za pomoci osciloskopu najděte základní a vyšší harmonické frekvence a příslušné vlnové délky stojatých zvukových vln v uzavřené Kundtově trubici (délku trubice si zvolte libovolnou, avšak dostatečně velkou). Ze známé délky trubice dopočítejte rychlost zvuku. 4. Pro cca 10 různých frekvencí v rozsahu 2 až 6 kHz hledejte intergerenční minima prodlužováním a zkracováním Quinckeho trubice. Vyneste do grafu závislost vlnové délky zvuku (prodloužení trubice) na frekvenci. Z naměřenách údajů dopočítejte rychlost zvuku. 5. Najděte vlastní frekvence Helmholtzova dutinového rezonátoru. Vyneste závislost vlastní frekvence na objemu rozonátoru (změnu objemu rezonátoru provádějte vléváním vody). Pro hledání vlastní frekvence využijte Fourierovské frekvenční analýzy. Provádějte pro větší z rezonátorů. 6. Proveďte Fourierovskou analýzu základních signálů (sin, pila, obdélník). 7. Pomocí 10kanálového generátoru vyšších harmonických frekvencí syntetizujte základní signály – obdélník, pilu, jednostrannou pilu. Výsledný signál zaznamenejte pomocí fourierovského analyzátoru.
2
Experimentální uspořádání a metody
Pomůcky: Osciloskop, struna, generátor mechanického vlnění, 1kanálový generátor PASCO, závaží, kladka, stojany, Quinckeho trubice, reproduktor, PASCO mikrofony se zesilovači, Helmholtzův rezonátor, 100 ml ocejchovaná baňka, systém Cobra – fourierovský analyzátor k počítači, počítač, 10kanálový generátor, 2kanálový generátor, kondenzátor. 1
2.1
Stojaté vlnění na struně
Vlastní a vyšší harmonické frekvence 𝑓𝑛 na struně délky 𝐿 o hustotě 𝜌 napjaté tíhou 𝑇 jsou dány √︃ 𝑛 𝑇 𝑓𝑛 = = 𝑎 · 𝑛, kde 𝑛 ∈ N 2𝐿 𝜌
(1)
Aparaturu vidíme na obr. 1. Z generátoru vln vedeme signál do generátoru mechanického vlnění, který rozkmitá napjatou strunu, na které můžeme pak pozorovat vlastní frekvenci a vyšší harmonické a to právě tehdy, když uzly a kmitny nemění svoji polohu – tedy nedochází k rázům.
Obr. 1: Schéma při měření stojatého vlnění na struně
2.2
Stojaté vlnění v Kundtove trubici
Aparaturu vidíme na obr. 2. Generátorem signálu rozezvučíme reproduktor a následně prochází zvukové vlnění trubící, odráží se a putuje zpět k mikrofonu. Signál měříme osciloskopem. Pro módy otevřené trubice platí 𝐿 + 0, 8 · 𝑑 𝑛 = , 𝑙 2
kde 𝑛 ∈ N
a polouzavřené trubice 𝐿 + 0, 4 · 𝑑 2𝑛 − 1 = , 𝑙 4 kde 𝐿 je délka, 𝑙 vlnová délka, 𝑑 průměr trubice, 𝑛 mód.
kde 𝑛 ∈ N
Obr. 2: Schéma při měření stojatého vlnění v Kundtově trubici
2
2.3
Quinckeho trubice
Quinckeho trubici vidíme na obr. 3. Z generátoru vedeme signál do reproduktoru, který je těsně přimknut k jednomu konci Quinckeho trubice a zvuk se rozdělí do obou ramen, prochází trubicí, dochází ke zdržení signálu v prodlouženém rameni a zvuk se skládá u mikrofonu, signál je přiveden do osciloskopu, kde můžeme vnímat maxima a minima amplitudy při prodlužování resp. zkracování trubice. Pro vlnovou délku 𝜆 při měření Quinckeho trubicí platí 𝜆 = 2∆𝑑 =
𝑣 𝑓
(2)
kde ∆𝑑 je „vzdálenost“ minim na rameni Quinckeho trubice, 𝑣 je rychlost šíření a 𝑓 frekvence.
Obr. 3: Schéma při měření vlnové délky zvuku Quinckeho trubicí
2.4
Helmholtzův rezonátor
Schéma experimentu nalezneme na obr. 4. Z generátoru vedeme signál do reproduktoru, který rozezvučí Helmholtzův rezonátor – baňku. Postupným zmenšováním volného vnitřního objemu doléváním vody měníme prostor, ve kterém dochází ke změnám tlaku vzduchu. Podle [2] by měla být závislost rezonanční frekvence 𝑓 na volném objemu 𝑉 = 𝑉 ′ − ∆𝑉 (𝑉 ′ je celkový objem a ∆𝑉 je objem nalité vody) √︃ 𝑣 𝜋𝑟2 1 𝑓= (3) 2 2𝜋 𝑙 + 0,5 · 𝜋𝑟 𝑉 kde 𝑣 je velikost rychlosti zvuku, 𝑟 je poloměr hrdla baňky, 𝑙 je délka hrdla baňky a 𝑉 je objem prázdné části baňky. Avšak v literatuře bývá spíše uváděn vzorec (odvozený v [3]) √︂ 𝑣 𝜋𝑟2 1 (4) 𝑓= 2𝜋 𝑙′ 𝑉 kde 𝑙′ = 𝑙 +
2.5
16𝑟 3𝜋 .
Fourierova analýza
Fourierovou transformací se rozumí rozklad periodické funkce 𝑓 (𝑡) ∞
𝑓 (𝑡) =
𝑎0 ∑︁ + 𝑎𝑛 · cos(𝑛 · 2𝜋𝑓 · 𝑡) + 𝑏𝑛 · sin(𝑛 · 2𝜋𝑓 · 𝑡) 2 𝑛=1 ∫︁ 2 𝑡2 𝑎𝑛 = 𝑓 (𝑡) cos(𝑛 · 2𝜋𝑓 · 𝑡)d𝑡 𝑇 𝑡1 ∫︁ 2 𝑡2 𝑏𝑛 = 𝑓 (𝑡) sin(𝑛 · 2𝜋𝑓 · 𝑡)d𝑡 𝑇 𝑡1
Generátor může vyprodukovat několik druhů signálů. Připojíme-li ho do aparátu COBRA můžeme určit fourierovský rozklad v programu Phywe. Provedeme to pro tři tvary – sin, pilovitý kmit a obdélníkovitý kmit. 3
Obr. 4: Schéma při měření vlastní frekvence Helmholtzova rezonátoru
2.6
Fourierova syntéza
Pomocí 10kanálového syntetizátoru můžeme fourierovsky poskládat vlastně libovolné periodické kmihy, pokud máme samozřejmě dostatek kanálů. Syntetizátor můžeme připojit přes 2kanálový generátor, který nám signál ještě zesílí. Ten pak budeme vyhodnocovat přes analyzátor Cobra v počítači. Zaznamenáme jak tvar kmitu, tak spektrální rozklad.
3 3.1
Výsledky Stojaté vlnění na struně
Struna byla zatížena závažím o hmotnosti 𝑚 = 5 kg, takže 𝑇 = 𝑚𝑔 = 49,05 N. Její délka je 𝑙 = 1,325 m. Naměřená data včetně dopočítané vlnové délky 𝜆 a podle (1) spočítané frekvence 𝑓𝑡 jsou v tab. 1. Vynesli jsme závislost frekvence 𝑓𝑛 na počtu kmiten 𝑛 a to do obr. 5. Z fitování získáme hodnotu směrnice 𝑎 = 20,7 ± 0,1 Hz. Ze vztahu 𝑚𝑔 𝜌= (2𝐿𝑎)2 určíme hodnotu hustoty jako 𝜌 = (0, 0162 ± 0, 0002) kg/m. Ze závislosti frekvence 𝑓 na vlnové délce 𝜆 viz obr. 6 můžeme fitováním určit rychlost 𝑣 šíření vlnění na vlně. Po nafitování získáme 𝑣 = (55, 0 ± 0, 4) m/s. 𝑛 [–] 1 2 3 4 5 6
𝑓𝑛 [Hz] 20,6 41,6 62,2 82,9 103,8 124,7
𝜆 [m] 2,650 1,325 0,883 0,663 0,530 0,442
𝑓𝑡 [Hz] 20,8 41,5 62,3 83,1 103,8 124,6
Tab. 1: Měření lineární hustoty struny a rychlosti šíření vlnění na struně
3.2
Stojaté vlnění v Kundtove trubici
Tuto úlohu jsme z technických důvodů neměřili.
3.3
Quinckeho trubice
Při měření Quinckeho trubicí jsme zaznamenávali polohy posuvného ramena. V tab. 2 uvádíme už rozdíly mezi jednotlivými hodnotami ∆𝑑𝑖 , následně je vypočítán průměr ∆𝑑 a z něj i vlnová délka 𝜆 podle vzorce (2). Dále jsme vynesli graf závislosti vlnové délky 𝜆 na frekvenci 𝑓 a z fitování spočítali hodnotu rychlosti 𝑣 = (347±2) m/s. Pro fitování nebyla použita první hodnota pro√︀2000 Hz. Hodota tabulková je ze vzorce 𝑣𝑡 = 331, 3 · 1 + 24, 5/273, 15 m/s pro teplotu 24,5∘ C rovna 𝑣𝑡 = 345, 8 m/s. 4
proložená závislost
140 120
𝑓𝑛 [Hz]
100 80 60 40 20 0 1
2
3
4
5
6
𝑛 [–] Obr. 5: Měření lineární hustoty struny pomocí vyšších harmonických frekvencí 𝑓𝑛
proložená závislost
140 120
𝑓𝑛 [Hz]
100 80 60 40 20 0 0
2
4
6
8
10
𝜆 [𝑚] Obr. 6: Měření rychlosti šíření vlny pomocí vyšších harmonických frekvencí 𝑓𝑛
3.4
Helmholtzův rezonátor
Nejdříve jsme přeměřili rozměry baňky a to 𝑟 = 1, 9 cm a 𝑙 = 6, 7 cm. Objem jsme neměřili, takže ho bereme tabulkově 𝑉 = 1, 023 l. Vynesli jsme graf závislosti rezonanční frekvence 𝑓 na volném objemu 𝑉 Helmholtzova rezonátoru viz obr. 8. Proložili jsme jak funkcí (3) doporučovanou v [2] tak (4) z [3]. V prvním případě vyšla rychlost 𝑣 = (252 ± 7) m/s a v případě druhé funkce 𝑣 = (305 ± 8) m/s. Dosazením hodnoty do (4) získáme pro prázdný Helmholtzův rezonátor extrapolací 𝑓𝑟 = (158 ± 4) Hz.
3.5
Fourierova analýza
Rozložili jsme pomocí fourierovského analyzátoru na spektrum signál sinový (viz obr. 9), pilovitý (viz obr. 10) a obdélníkovitý (viz obr. 11).
3.6
Fourierova syntéza
I přes snahu asistentů nebylo možné z technických důvodů možno tuto úlohu naměřit.
5
𝑓 [Hz] 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 6000
∆𝑑𝑖 4,7 7,0 6,3 5,3 4,7 4,2 3,5 3,8 3,7 3,1 2,8
[cm] 4,3 7,3 6,5 5,6 4,9 4,5 4,3 3,6 3,4 3,2 2,9
4,5
4,0
6,1 5,4 5,0 4,1 3,6 3,4 3,0 3,1 3,0
5,4 4,8 4,2 4,2 3,5 3,3 3,1 2,8
4,3 3,9 4,0 4,1 3,4 3,1 3,5
4,8 3,4 3,2 3,2 2,4
∆𝑑 [cm] 4,38 7,15 6,30 5,43 4,74 4,28 3,92 3,63 3,33 3,13 2,90
𝜆 [m] 0,088 0,143 0,126 0,109 0,095 0,086 0,078 0,073 0,067 0,063 0,058
Tab. 2: Měření vlnové rychlosti šíření zvuku
0.16
proložená závislost
0.14 0.12 𝜆 [m]
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2000
3000
4000
5000
6000
𝑓 [Hz] Obr. 7: Závislost vlnové délky zvuku 𝜆 na frekvenci 𝑓 při měření v Quinckeho trubici
500
proložená závislost
𝑓 [Hz]
400 300 200 100 0 0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
3
𝑉 [m ] Obr. 8: Vlastní frekvence 𝑓 v závislosti na objemu 𝑉 Helmholtzova rezonátoru
6
0.001
1.2 1 𝑈 [V]
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5
2
1.5
2
𝑓 [kHz] Obr. 9: Fourierova analýza (spektrum) pro sinus
1.2 1 𝑈 [V]
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1 𝑓 [kHz]
Obr. 10: Fourierova analýza (spektrum) pro pilovitý kmit
0.5
𝑈 [V]
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
𝑓 [kHz] Obr. 11: Fourierova analýza (spektrum) pro obdélníkovitý kmit
7
2
4 4.1
Diskuze Stojaté vlnění na struně
Změřili jsme základní a vyšší harmonické frekvence napjaté struny. Srovnáme-li předpokládané hodnoty 𝑓𝑡 s námi naměřenými jsou v blízké shodě. Hustotu struny jsme určili přesně jako byla předpokládaná hodnota tj. 𝜌 = (0, 0162 ± 0, 0002) kg/m. Rychlost šíření vlnění po struně 𝑣 = (55, 0 ± 0, 4) m/s.
4.2
Quinckeho trubice
Měřili jsme vlnovou délku a frekvenci zvuku, který procházel Quinckeho trubicí. První měření při 2 000 Hz vyšlo velmi špatně. Tuto hodnotu jsme vyloučili z dalšího zpracování. Pravděpodobně docházelo k nějakému zvláštním odrážení či dvojitému průchodu trubicí. Rychlost zvuku nám pak vyšla 𝑣 = (347 ± 2) m/s. Tabulková hodnota pro danou teplotu v místnosti je 𝑣𝑡 = 345, 8 m/s, takže dochází k poměrně dobré shodě.
4.3
Helmholtzův rezonátor
Rychlost zvuku nám vyšla podle původního vzorce uvedeného v [2] 𝑣 = (252 ± 7) m/s a podle druhého vzorce z [3] 𝑣 = (305 ± 8) m/s. Vidíme, že druhý vzorec odpovídá realitě více. Proti prvnímu vzorci se staví i rozměrová analýza. V druhém případě by se hodnota tabulková nevešla ani do trojnásobku směrodatné odchylky. Rezonanční frekvenci prázdného Helmholtzova rezonátoru jsme určili jako 𝑓𝑟 = (158 ± 4) Hz.
4.4
Fourierova analýza
Fourierovským rozkladem jsem získali spektrum sinu, pilovitého kmitu a obdélníku.
5
Závěr
Změřili jsme lineární hustotu struny 𝜌 = (0, 0162 ± 0, 0002) kg/m, což je v souladu s předpokládanou hodnotou. Rychlost šíření vlnění na struně jsme určili 𝑣 = (55, 0 ± 0, 4) m/s. Pomocí Quinckeho trubice jsme určili rychlost zvuku ve vzduchu 𝑣 = (347 ± 2) m/s což je v souladu s teoretickou hodnotou pro danou teplotu 𝑣𝑡 = 345, 8 m/s. Pomocí Helmholtzova rezonátoru jsme určili rychlost zvuku 𝑣 = (305 ± 8) m/s. Pomocí fourierovského analyzátoru jsme rozložili na spektrum sinus, pilovitý kmit a obdélník.
6
Literatura [1] ŠTOLL, I., Dějiny fyziky, 1.vyd., Praha, 584 s, Prometheus, 2009 [2] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik – ZÁKLADNÍ EXPERIMENTY AKUSTIKY, [cit. 2009-11-27], URL: http://fyzika.fjfi.cvut.cz/Praktika/Akustika/akustikaPRA.pdf [3] O’BRIEN, W, Helmholtz rezonator, [cit. 2009-11-27], URL: http://www.brl.uiuc.edu/473/Lectures/Ch-10b-lectures-12-25.pdf
8
