´ ´I PRAKTIKUM FJFI CVUT ˇ FYZIKALN V PRAZE Datum mˇ eˇ ren´ı: 8.4.2011 Jm´ eno: Jakub K´akona Pracovn´ı skupina: 4 Roˇ cn´ık a krouˇ zek: Pa 9:30 Spolupracovn´ıci: Jana Navr´atilov´a Hodnocen´ı:
´ Uloha 10: Interference a ohyb svˇetla Abstrakt C´ılem u ´lohy je vyzkouˇset metody mˇeˇren´ı rozmˇer˚ u kruhov´ ych otvor˚ u a ˇstˇerbin pomoc´ı difrakce optick´eho z´ aˇren´ı a v´ ysledky porovnat s klasick´ ymi metodami mˇeˇren´ı rozmˇer˚ u.
´ Uvod
1 1.1
Zad´ an´ı
1. Bonus: spoˇc´ıtejte hodnotu konstanty C u kruhov´eho otvoru pro 4. a 5. tmav´ y krouˇzek. 2. Rozˇsiˇrte svazek laseru pomoc´ı dvou spojek (+250 a +50). 3. Zmˇeˇrte pr˚ umˇer tˇr´ı nejmenˇs´ıch kruhov´ ych otvor˚ u pomoc´ı Fraunhoferova ohybu svˇetla z He-Ne Laseru vlnov´e d´elky 594 nm a pomoc´ı mˇeˇr´ıc´ıho mikroskopu - tato mˇeˇren´ı srovnejte mezi sebou. Kter´e mˇeˇren´ı je pˇresnˇejˇs´ı? (Mˇejte na pamˇeti, ˇze pokud srovn´av´ate pˇresnost dvou mˇeˇren´ı, mus´ıte m´ıt u obou stejn´e mnoˇzstv´ı namˇeˇren´ ych dat) Doporuˇcen´e mnoˇzstv´ı namˇeˇren´ ych dat je 5 hodnot pro kaˇzd´ y otvor. 4. Zmˇeˇrte 5 ˇs´ıˇrek ˇstˇerbiny (ˇs´ıˇrka nastaviteln´a ˇsroubem) pomoc´ı Fraunhoferova ohybu svˇetla z He-Ne Laseru vlnov´e d´elky 594 nm a pomoc´ı indik´atorov´ ych hodinek, kter´e se dot´ ykaj´ı ˇsroubu. M´ısto prost´eho pr˚ umˇerov´an´ı namˇeˇren´ ych hodnot pouˇzijte ve zpracov´an´ı postupnou metodu. V´ ysledky z indik´atorov´ ych hodinek a interference srovnejte. Pro jak´e ˇs´ıˇrky ˇstˇerbiny je v´ yhodnˇejˇs´ı mˇeˇren´ı interferenc´ı a pro jak´e indik´atorov´ ymi hodinkami? 5. Zmˇeˇrte pomoc´ı He-Ne laseru 543 nm (zelen´ y laser) mˇr´ıˇzkovou konstantu optick´e mˇr´ıˇzky a srovnejte s hodnotou uvedenou na mˇr´ıˇzce. 6. Pomoc´ı mˇr´ıˇzky a goniometru zmˇeˇrte vlnovou d´elku hlavn´ıch spektr´aln´ıch ˇcar Rtut’ov´e v´ ybojky. 7. Pomoc´ı He-Ne laseru 594 nm, dvou rovinn´ ych zrcadel a dˇeliˇce svazku (Abbeho kostka) sestavte Michelson˚ uv interferometr a zmˇeˇrte vlnovou d´elku svˇetla laseru.
2 2.1
Experiment´ aln´ı uspoˇ r´ ad´ an´ı a metody Pom˚ ucky
ˇ Zelezn´ a deska s magnetick´ ymi stoj´anky, He-Ne laser Lasos LGK 7512P (593.932 nm, 5 mW), He-Ne laser Lasos LGK 7770 (543.365 nm, 5 mW), 2 zrcadla, 1 dˇeliˇc svazku (Abbeho kostka), laboratorn´ı zved´ak, optick´a lavice s jezdci, 2 spojn´e ˇcoˇcky (+50, +250), rozptylka (-50), sada
kruhov´ ych otvor˚ u, ˇstˇerbina s nastavitelnou ˇs´ıˇrkou, drˇz´ak na mˇr´ıˇzku, opt. mˇr´ıˇzka 600 vryp˚ u ’ na mm, st´ın´ıtko na zdi, p´asmo (5 m), mˇeˇr´ıtko (1 m), rtut ov´a v´ ybojka, goniometr, lampiˇcka s reostatem, mˇeˇr´ıc´ı mikroskop.
2.2
Teoretick´ yu ´ vod
Pˇri odvozov´an´ı vzorce ohybu na kruhov´em otvoru vych´az´ıme z Babinetova principu, kter´ y n´am ˇr´ık´a , ˇze ˇstˇerbinu si m˚ uˇzeme nahradit stejnˇe velkou plochou s nekoneˇcnˇe mnoha zdroji, jejichˇz vlny budou interferovat. Tedy pro kruhov´ y otvor m˚ uˇzeme sˇc´ıtat pˇr´ıspˇevky √ 2 R 2 − s2 ds, (1) dE = E0 πR2 z toho se lze dostat k eliptick´emu integr´alu J(C) =
Z 1
√ 1 − u2 cos(2πCu)du,
(2)
−1
Odsud je potˇreba numericky z´ıskat konstantu C, ta se pak vyuˇzije do fin´aln´ıho vztahu pro interferenˇcn´ı minima λ sinϕi = Ci . R
(3)
K odvozov´an´ı vztahu se ohybu na ˇstˇerbinˇe se pouˇzije opˇet Babinet˚ uv princip a v´ ysledn´ y vztah pro interferenˇcn´ı minima je sin θ =
mλ D
m = 1, 2, 3, . . . .
(4)
Pro difrakci na mˇr´ıˇzce se z Babinetova principu d´a odvodit vztah pro hlavn´ı interferenˇcn´ı maxima limmλ
sin ϑ→
3 3.1
d
I = N 2 , v bodech I0
sin ϑm =
mλ 2πm = , kde m = 0, 1, 2, . . . kd d
(5)
V´ ysledky a postup mˇ eˇ ren´ı Mˇ eˇ ren´ı pr˚ umˇ eru kruhov´ ych otvor˚ u
Sestavili jsme kolim´ator a pot´e prodlouˇzili optickou dr´ahu laseru pomoc´ı zrcadel. Po um´ıstˇen´ı otvor˚ u jsme vˇzdy na st´ın´ıtku odeˇc´ıtali rozmˇery interferenˇcn´ıch obrazc˚ u a zapisovali je. Tabulka 1: Mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru otvoru 2mm ˇ ad R´ 1 2 3 4 5
R [mm] 1.1 2.7 3.5 4.8 5.7
namˇeˇren´e vypoˇcten´e D [mm] D [mm] 2,250 2.67 2,000 1.99 2,120 3.01 2,120 2.88 2,000 2.99
Tabulka 2: Mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru otvoru 1mm ˇ ad R´ 1 2 3 4 5
R [mm] 2.4 5.2 7.6 10.1 12.4
namˇeˇren´e vypoˇcten´e D [mm] D [mm] 1,250 1.23 1,120 1.04 1,250 1.03 1,370 1.01 1,250 1.02
Tabulka 3: Mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru otvoru 0,5mm ˇ ad R´ 1 2 3 4 5
R [mm] 6 11.1 16.7 22.1 27.9
namˇeˇren´e vypoˇcten´e D [mm] D [mm] 0,750 0.49 0,670 0.49 0,750 0.47 0,750 0.46 0,870 0.45
Pro otvor 2mm n´am z mˇeˇren´ı na mˇeˇr´ıc´ım mikroskopu vyˇsel pr˚ umˇer (2,098 ± 0,093) mm a pro mˇeˇren´ı z difrakˇcn´ıch obrazc˚ u (2.71 ± 0.19) mm. Pro otvor 1mm n´am z mˇeˇren´ı na mˇeˇr´ıc´ım mikroskopu vyˇsel pr˚ umˇer (1,248 ± 0,079) mm a pro mˇeˇren´ı z difrakˇcn´ıch obrazc˚ u (1.06 ± 0.08) mm. Pro otvor 0,5mm n´am z mˇeˇren´ı na mˇeˇr´ıc´ım mikroskopu vyˇsel pr˚ umˇer (0,758 ± 0,064) mm a pro mˇeˇren´ı z difrakˇcn´ıch obrazc˚ u (0.47 ± 0.01) mm.
3.2
Mˇ eˇ ren´ı ˇ s´ıˇ rek ˇ sterbin
Obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım bodˇe jsme postupovali i zde, ovˇsem nyn´ı jsme mˇeˇrili ˇstˇerbinu s promˇenlivou ˇs´ıˇrkou nastavitelnou indik´atorov´ ymi hodinkami. Tabulka 4: Mˇeˇren´a difrakˇcn´ı minima pro ˇs´ıˇrku ˇstˇerbiny 1.5mm ˇ ıslo mˇeˇren´ı C´ DI [mm] Dpostupnou [mm] 1 6.0 2 11.0 3 15.0 4 19.5 2.25 5 24.0 2.17 6 28.0 2.17 Pr˚ umˇer 2.19 Smˇerodatn´a odchylka 0.04
Tabulka 5: Mˇeˇren´a difrakˇcn´ı minima pro ˇs´ıˇrku ˇstˇerbiny 1.3mm ˇ ıslo mˇeˇren´ı C´ DI [mm] Dpostupnou [mm] 1 7.8 2 12.2 3 17.7 4 22.5 2.45 5 27.6 2.57 6 32.6 2.48 Pr˚ umˇer 2.50 Smˇerodatn´a odchylka 0.05
Tabulka 6: Mˇeˇren´a difrakˇcn´ı minima pro ˇs´ıˇrku ˇstˇerbiny 1.1mm ˇ ıslo mˇeˇren´ı DI [mm] Dpostupnou [mm] C´ 1 8.9 2 16.3 3 20.7 4 27.0 3.02 5 33.2 2.82 6 39.4 3.12 Pr˚ umˇer 2.98 Smˇerodatn´a odchylka 0.12
Tabulka 7: Mˇeˇren´a difrakˇcn´ı minima pro ˇs´ıˇrku ˇstˇerbiny 0.9mm ˇ ıslo mˇeˇren´ı C´ DI [mm] Dpostupnou [mm] 1 11.7 2 18.2 3 24.6 4 32.9 3.53 5 40.1 3.65 6 47.6 3.83 Pr˚ umˇer 3.67 Smˇerodatn´a odchylka 0.12
Tabulka 8: Mˇeˇren´a difrakˇcn´ı minima pro ˇs´ıˇrku ˇstˇerbiny 0.7mm ˇ ıslo mˇeˇren´ı C´ DI [mm] Dpostupnou [mm] 1 14.4 2 23.7 3 33.7 4 43.3 4.82 5 53.0 4.88 6 63.0 4.88 Pr˚ umˇer 4.86 Smˇerodatn´a odchylka 0.03
Tabulka 9: DI vypoˇcten´e hodnoty ˇstˇerbin, DH zmˇeˇren´e indik´atorov´ ymi hodinkymi, +chyby ˇ Stˇerbina DI [mm] Smˇerodatn´a odchylka[mm] DH [mm] ±ChybaH [mm] 1.5 1.48 0.03 1.5 0.1 1.3 1.30 0.03 1.3 0.1 1.1 1.09 0.05 1.1 0.1 0.9 0.89 0.03 0.9 0.1 0.7 0.67 0.01 0.7 0.1
3.3
Mˇ r´ıˇ zkov´ a konstanta
Pˇri tomto mˇeˇren´ı, jako jedin´em jsme pouˇzili zelen´ y laser (543nm), kter´ y jsme poloˇzili na st˚ ul a k v´ ystupn´ımu otvoru pˇriloˇzili mˇr´ıˇzku. V urˇcit´e vzd´alenosti od mˇr´ıˇzky jsme pozorovali na prav´ıtku interferenˇcn´ı maxima laseru. Tabulka 10: Mˇeˇren´ı mˇr´ıˇzkov´e konstanty - X je pozice maxim vzhledem k 0. ˇr´adu na prav´ıtku vzd´alen´em 50cm od mˇr´ıˇzky R´ad -2 -1 1 2
X [cm] 17.5 43.3 17.5 44,3
D [mm] 0,00164 0,00166 0,00164 0,00082
Z namˇeˇren´ ych hodnot vych´az´ı hodnota mˇr´ıˇzkov´e konstanty (0,0014 ± 0,0004) mm, coˇz by odpov´ıdalo 693 ˇcar´am na mm. (Na mˇr´ıˇzce bylo uvedeno 600/mm).
3.4
Spektr´ aln´ı ˇ c´ ary rtut’ov´ e v´ ybojky
Seˇr´ıdili jsme si u ´hlomˇer goniomeru na nulu, vloˇzili mˇr´ıˇzku, zaostˇrili na rtut’ovou v´ ybojku a zmˇeˇrili u ´hly pod kter´ ymi byly viditeln´e spektr´aln´ı ˇc´ary dan´ ych barev. Tabulka 11: Namˇeˇren´e spektr´aln´ı ˇc´ary rtutov´e v´ ybojky a spoˇcten´e jejich vlnov´e d´elky ◦ ´ Barva Uhly[ ] ± 0, 05 λ[nm] Stˇredn´ı kvadratick´a odchylka[nm] fialov´a 15.25 413 39 zelen´a 18.25 491 47 ˇzlut´a1 20.50 549 52
3.5
Michelson˚ uv interferometr
Dle sch´ematu jsme sestavili Michelson˚ uv interferometr a v´ ystupn´ı svazek rozˇs´ıˇrili pˇres rozptylku, pot´e jsme mˇeˇrili interferenˇcn´ı pˇrechody v z´avislosti na pˇribliˇzov´an´ı nebo oddalov´an´ı jednoho zrcadla posunovan´eho mikrometrick´ ym ˇsroubem.
4
Diskuse • Pomoc´ı numerick´ ych metod, se podaˇrilo spoˇc´ıtat dalˇs´ı dvˇe konstanty, kdy nab´ yv´a dan´ y eliptick´ y integr´al nuly. Vˇsech pˇet konstant tedy ˇc´ıselnˇe vych´az´ı C1 = 0.610, C2 = 1.117,
Tabulka 12: Namˇeˇren´e a vypoˇcten´e hodnoty vlnov´ ych d´elek laseru pomoc´ı Michelsonova interferometru [nm] λ1 610 λ2 600 λ3 625 Pr˚ umˇer 611.7 Smˇerodatn´a odchylka 10.3
C3 = 1.619, C4 = 2.121, C5 = 2.622. • Laserov´ y svazek jsme rozˇs´ıˇrili pomoc´ı dvou spojek +250 a +50 pouˇzit´ ych jako kolim´ator, tak aby divergence svazku byla co nejmenˇs´ı. • Zmˇeˇrili jsme pr˚ umˇer tˇr´ı nejmenˇs´ıch kruhov´ ych otvor˚ u z karuselu, jak pomoc´ı ohybu svˇetla tak pomoc´ı mikroskopu. Namˇeˇren´e a vypoˇcten´e hodnoty jsou uvedeny v tabulk´ach 1, 2 a 3. Popˇr´ıpadˇe v jejich popisu. • Zmˇeˇrili jsme ˇs´ıˇrky 5ti ˇstˇerbin, ohybem svˇetla a indik´atorov´ ymi hodinkami. Namˇeˇren´e a vypoˇcten´e hodnoty postupnou metodou jsou v tabulk´ach 4-8, celkov´e vyhodnocen´ı v tabulce 9. Mˇeˇren´ı ohybem svˇetla pˇredpokl´ad´ame zvl´aˇstˇe v´ yhodn´e pˇri mal´ ych velikostech otvor˚ u, naopak pˇri vˇetˇs´ıch otvorech zaˇc´ın´a b´ yt v´ yhodnˇejˇs´ı jin´ y metoda. Avˇsak tato hranice je relativn´ı, nebot’ mˇeˇren´ı je z´avisl´e na pouˇzit´e vlnov´e d´elce, takˇze i pr˚ umˇery vˇetˇs´ıch otvor˚ u by pˇri pouˇzit´ı vhodn´eho laseru pravdˇepodobnˇe bylo moˇzn´e mˇeˇrit difrakˇcn´ı metodou. • Pomoc´ı He-Ne laseru 543nm jsme zmˇeˇrili mˇr´ıˇzkovou konstantu. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce 10. Poˇcet vryp˚ u na 1mm jsme urˇcili 693 oproti hodnotˇe na mˇr´ıˇzce 600. • Pozorovali jsme hlavn´ı spektra rtutov´e v´ ybojky a zaznamenali jejich barvu, u ´hel pod kter´ ym jsme je pozorovali. Z toho jsme vypoˇcetli vlnovnou d´elku a vˇse zaznamenali do tabulky 11. • Sestrojili jsme dle n´avodu Michelson˚ uv interferometr a posouv´an´ım jednoho ze zrcadel a pozorov´an´ım inteferenˇcn´ıch obrazc˚ u namˇeˇrili vlnovou d´elku dan´eho laseru 594nm.
5
Z´ avˇ er
Pˇri mˇeˇren´ı jsme si prakticky vyzkouˇseli z´akon odrazu, lomu, ohybu a interference koherentn´ıho svˇetla. Doˇsli jsme k z´avˇeru, ˇze ohybem se daj´ı velmi efektivnˇe mˇeˇrit mal´e otvory, ale ty velk´e je lepˇs´ı mˇeˇrit jinou metodou.
Reference [1] Petrˇz´ılka: Fyzik´aln´ı optika, Pˇr´ırodovˇedeck´e nakladatelstv´ı, Praha, 1952. ˇ [2] Friˇs, Timoreva: Kurs fyziky, d´ıl III, NCSAV, Praha, 1954. [3] Krauford:Volny, Nauka, 1974; rusk´ y pˇreklad 3. d´ılu Berkleysk´eho kurzu fyziky Crawford F. S.: Waves.
