Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 10 : Interference a ohyb světla Jméno: Ondřej Ticháček
Datum měření: 25.3.2013 Klasifikace:
Pracovní skupina: 7 Kruh: ZS 7
Interference a ohyb světla 1
Zadání 1. Bonus: spočítejte hodnotu konstanty C u kruhového otvoru pro 4. a 5. tmavý kroužek. 2. Rozšiřte svazek laseru pomocí dvou spojných čoček (+50 a +200). 3. Změřte průměr tří kruhových otvorů pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne laseru vlnové délku 594 nm a pomocí měřícího mikroskopu. Odhadněte, s jakou chybou jste schopni měřit šířku štěrbiny mikroskopem. Poznamenejte si odhad chyby měření délky optické dráhy a průměru tmavých proužků. Proveďte řádné statistické zpracování (tj. včetně propagace chyb) a výsledky z mikroskopu a interference srovnejte. Pro jaký průměr kruhového otvoru je přesnější měření interferencí a pro jaký přímo mikroskopem? 4. Změřte 10 šířek štěrbiny (šířka nastavitelná šroubem) pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne laseru vlnové délky 594 nm a pomocí indikátorových hodinek, které se dotýkají šroubu. Proveďte řádné statistické zpracování (tj. včetně propagace chyb) a výsledky z indikátorových hodinek a interference srovnejte. Pro jaké šířky štěrbiny je výhodnější měření interferencí a pro jaké indikátorovými hodinkami? 5. Změřte pomocí He-Ne laseru 543 nm (zelený laser) mřížkovou konstantu optické mřížky a srovnejte s hodnotou uvedenou na mřížce. 6. Pomocí He-Ne laseru 597 nm, dvou rovinných zrcadel a děliče svazku (Abbeho kostka) sestavte „Michelsonův interferometr“ a změřte vlnovou délku světla laseru.
2 2.1
Vypracování Použité přístroje
Železná deska s magnetickými stojánky, He-Ne laser 633 nm, 2 velká zrcadla, 2 jemně nastavitelná zrcadla (jedno s mikrometrickým šroubem), dělič svazku (Abbeho kostka), laboratorní zvedák, optická lavice s jezdci, spojné čočky (+50 a +200), rozptylka (-50), sada kruhových otvorů, štěrbina s nastavitelnou šířkou a indikátorovými hodinkami, optická mřížka (600 vrypů na mm), stínítko s posuvným měřítkem a noniem, pásmo, měřící mikroskop, ochranné brýle
2.2
Teoretický úvod
Světlo je elektromagnetické záření o vlnové délce přibližně 400 – 700 nm. Díky jeho vlnovým vlastnostem u něj můžeme pozorovat jevy jako jsou interference a difrakce. Tyto jevy popisujeme s použitím principů jako např. Babinetův doplňkový princip nebo Huyghensovův princip. Experimentální uspořádání se bude vždy blížit tzv. Fraunhoferově difrakci, tj. případu, kdy zdroj světla i stínítko je velmi vzdálen od difrakčního předmětu. Protože zdroj světla (laser) neumisťujeme do příliš velké vzdálenosti od difrakčního předmětu, musíme rozbíhavé světlo usměrnit pomocí Keplerova dalekohledu.
1
Obr. 1: Difrakce na mřížce [1] 2.2.1
Difrakce na mřížce
Optická mřížka je obvykle představena skleněnou destičkou s nanesenými rovnoběžnými vrypy, které jsou stejně široké a jsou od sebe vždy ve stejné vzdálenosti. Vzdálenost středů sousedních vrypů se nazývá mřížková konstanta d Dopadá-li světlo na mřížku, můžeme jednotlivé vrypy považovat za zdroje (viz obr. 1), ze kterých se šíří cylindrické vlny. Ty spolu interferují a na stínítku vznikají interferenční maxima a minima. Intenzita pole I na stínítku je dána vztahem sin2 ( 12 N ϕ) I = I0 , (1) sin2 ( 12 ϕ) kde N je počet vrypů na mřížce, ϕ je fázový rozdíl mezi sousedními zdroji a I0 je intenzita centrálního maxima (viz dále). Díky Fraunhoferově principu můžeme považovat úhel ϑ (obr. 2) od všech zdrojů stejný a platí ϕ = kd sin ϑ,
(2)
kde k = 2π/λ je vlnové číslo, d mřížková konstanta a ϑ úhel, pod kterým ve vidět mřížka z konkrétního místa na stínítku. Pro intenzitu v tomto bodě pak platí I = I0
sin2 ( 12 N kd sin ϑ) . sin2 ( 21 kd sin ϑ)
(3)
Tato funkce nabývá hlavní maxima lim
sin ϑ→ mλ d
minima
I = 0, I0
I = N 2, I0
v bodech
v bodech
a sekundární maxima I π(m00 + 1/2) = csc2 , I0 N
sin ϑ
v bodech
sin ϑm =
m0 =± m+ N
mm0
2πm mλ = , kd d
λ , d
kde m = 0, 1, 2, . . . ,
(4)
kde m0 = 1, 2, . . . , N − 1
(5)
m00 + 1/2 λ sin ϑmm00 = ± m + , N d
kde m00 = 1, 2, . . . , N −2.
(6) Protože budeme pracovat s mřížkou s velkým počtem N , tak budou výrazná pouze hlavní maxima. Z jejich poloh lze určit vlnovou délku. 2.2.2
Difrakce na štěrbině konečné šířky
Štěrbinu konečné šířky D můžeme díky Huyghensově principu rozdělit na nekonečně mnoho malých bodů. Při dopadu rovinné monochromatické vlny na štěrbinu můžeme každý z těchto bodů považovat za elementární zdroj. 2
Dop. rovinna vlna P
E0
1 2
D
ds
1 2
D
ds
s=a
a
s=0
a
s= a
l
Obr. 2: Fraunhoferův ohyb světla na štěrbině konečné šířky [1] Paprsky pozorované v určitém bodu stínítka jsou od sebe fázově posunuté (viz obrázek 2). Tento fázový rozdíl způsobí interferenci a výsledná intenzita v pozorovaném bodě stínítka bude I = I0 Pro minima platí
mλ , D
sin θ = 2.2.3
sin2 (kD sin θ) ( 12 kD sin θ)2
(7)
kde m = 1, 2, . . . .
(8)
Ohyb na kruhovém otvoru
Stejně jako jsme štěrbinu rozdělili na nekonečně mnoho bodů, rozdělíme kruhový otvor na nekonečně mnoho štěrbin, které se rozšiřují a zužují (viz obr. 3). Opět sečteme příspěvky intenzity od jednotlivých štěrbin a po poměrně složitých úpravách a aproximaci eliptického integrálu dostáváme vztahy pro tmavé kroužky (minima) sin θ1 u 0.610
λ , R
sin θ2 u 1.116
λ , R
sin θ3 u 1.619
λ , R
R
2
s
2
kde λ je vlnová délka světla a R je poloměr kruhového otvoru.
2
s R
Obr. 3: Fraunhoferův ohyb světla na kruhovém otvoru [1]
3
(9)
2.2.4
Michelsonův interferometr
Michelsonův interferometr je zařízení sestavené ze dvou zrcadel, děliče svazku, rozptylné čočky a laserového světelného zdroje. Schéma je na obrázku 4. Laserový paprsek dopadá na polopropustné rozhraní pod úhlem 45°. Část paprsku se odrazí a část projde, oba se poté odrazí zpět od zrcadel a jejich část znovu prochází resp. odráží se přes rozptylnou čočku na stínítko. Tyto paprsky spolu interferují a proto na stínítku pozorujeme tmavé a světlé proužky. Protože je jedno ze zrcadel upevněno přes páku na mikrometrický šroub, je možné ho pomalu a velmi jemně posouvat a měnit tím interferenční obrazec na stínítku. Posun zrcadla o ∆x = λ/4 změní dráhu příslušného paprsku o λ/2 a celý obraz se posune o šířku jednoho proužku. Pro vlnovou délku světla tedy platí 2∆x , (10) λ= N kde N je počet proužků přešlých přes nějaký referenční bod na stínítku.
Obr. 4: Michelsonův interferometr [1]
2.3 2.3.1
Postup měření Vypočtení konstanty C pro 4. a 5. tmavý proužek
Konstantu C pro tmavé proužky jsme spočítali numerickým řešením rovnice
kde J(C) =
Z
1
J(C) = 0,
(11)
p
(12)
1 − u2 cos(2πCu)du
−1
v programu Maple. 2.3.2
Rozšíření svazku laseru
Svazek laseru jsme rozšířili a snížili jeho rozbíhavost pomocí Keplerova dalekohledu. Do vzdálenosti (24.8 ± 0.1) cm od laseru jsme umístili spojnou čočku +50, o dalších (25.6 ± 0.1) cm dále jsme zařadili čočku +200. Tyto vzdálenosti jsme samozřejmě získali až jemnou korekcí – pohybovali jsme čočkami tak, aby se svazek rozbíhal co nejméně. Na stůl blíže zdi jsme umístili první velké zrcadlo a k laseru druhé. Tím jsme podstatně prodloužili vzdálenost mezi difrakčním prvkem (štěrbinou, otvorem) a stínítkem. Vzdálenost mezi štěrbinou/kruhovým otvorem a stínítkem byla v obou případech (517 ± 1) cm.
4
2.3.3
Průměr kruhových otvorů
Za čočku +200 jsme umístili otočnou destičku s kruhovými otvory. Nastavili jsme ji tak, aby svazek laseru dopadal na celou plochu otvoru. Na stínítku jsme posuvným měřítkem s noniem odečítali polohy jednotlivých tmavých kroužků a jejich šířek, bylo-li to možné. V opačném případě jsme šířku určili pro všechny kroužky určitým horním odhadem. Poté jsme průměry jednotlivých otvorů změřili mikroskopem, poznamenali jsme si rovněž odhad chyby tohoto měření. Celkově jsme proměřili tři nejmenší otvory. 2.3.4
Šířka štěrbiny
Experimentální sestava zůstala shodná s ohybem na kruhovém otvoru, pouze jsme na místo destičky s otvory umístili štěrbinu s nastavitelnou šířkou. Tato šířka šla odečíst z indikátorových hodinek, které byly k štěrbině připojené. Na stínítku jsme dále odečítali polohy (a šířky) minim. Celkově jsme proměřili pět štěrbin o různých šířkách. 2.3.5
Difrakce na mřížce
Aparaturu jsme přemístili blíže ke zdi (stínítku), laser jsme umístili 14.5 cm od soustavy čoček, jejichž vzdálenost zůstala stejná. Za druhou spojnou čočkou jsme umístili optickou mřížku s mřížkovou konstantou 600 vrypů na milimetr. Vzdálenost mezi stěnou a mřížkou jsme měnili (pohybem mřížky) a odečítali jsme polohy interferenčních maxim. Celkově jsme proměřili difrakci na mřížce pro tři různé vzdálenosti mřížky od stěny. 2.3.6
Michelsonův interferometr
Michelsonův interferometr jsme sestavili podle schématu na obrázku 4. Nejdříve jsme prvky nastavili tak, abychom na stínítku pozorovali dvě tečky. Poté jsme jemnou korekcí natočení a naklopení zrcadel tečky zobrazili přes sebe a pozorovali interferenci. Měření pak spočívalo v otáčení mikrometrického šroubu (a tím k posouvání jednoho ze zrcadel) a počítání minim (maxim) prošlých přes určitých bod na stínítku.
2.4
Naměřené hodnoty
Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 1 až 7. Tab. 1: Tabulka hodnot potřebných pro další výpočty; L je vzdálenost optického prvku a stínítka, Ci jsou konstanty pro i-tý tmavý proužek při ohybu na kruhovém otvoru, λ je vlnová délka použitého laseru L [cm]
C1
C2
C3
C4
C5
λ [nm]
517 ± 1
0.610
1.116
1.619
2.121
2.622
633
Tab. 2: Tabulka naměřených hodnot při určování průměru kruhových otvorů; xj je poloha tmavého kroužku (daného řádu) u j-tého otvoru, ∆xj je šířka tohoto kroužku (tmavého pásu) odpovídající dvojnásobku chyby určení polohy daného minima řád minima
x1 [mm]
∆x1 [mm]
-2 -1 1 2 3 4 5
-15.8 -8.85 8.35 16.05
2.5 2.4 1.4 2.4
x2 [mm]
∆x2 [mm]
x3 [mm]
∆x3 [mm]
4.20 7.65 10.50
1 0.7 1.4
2.4 3.7 5.0 6.5 8.4
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
5
Tab. 3: Tabulka určených průměrů otvorů mikroskopem Dm a pomocí difrakce Dd ; chybu měření mikroskopem jsme z časových důvodů pouze odhadli na ±2.5 dílku stupnice mikrometrického šroubu, chybu měření pomocí difrakce dělíme na tři části – chybu vzdálenosti otvoru od stínítka (kterou pro její malou hodnotu oproti ostatním chybám zanedbáváme), chybu způsobenou různými vypočtenými hodnotami pro různé řády minim (uvedena jako 1.) a chybu způsobenou šířkou jednotlivých tmavých kroužků (minim) (uvedena jako 2.) č. otvoru 1 2 3
Dm [mm]
Dd [mm]
0.468 ± 0.007 0.998 ± 0.007 1.996 ± 0.007
0.47 ± 0.02 ± 0.05 1.00 ± 0.05 ± 0.08 2.00 ± 0.20 ± 0.10
Tab. 4: Tabulka naměřených hodnot při určování šířky štěrbiny; xj je poloha minima (daného řádu) u j-té štěrbiny, ∆x je šířka minima (pro minima všech řádů stejná) odpovídající dvojnásobku chyby určení polohy daného minima řád minima 0 1 2 3 4 5 6 7 ∆x [mm]
x1 [mm]
x2 [mm]
x3 [mm]
x4 [mm]
x5 [mm]
-1.85 1.85 4.05 6.55 8.75 10.95 13.35 15.55
-2.9 2.9 6.4 10.2 12.0 14.9
-3.8 3.8 7.6 11.3 15.3 18.8
-4.75 4.75 9.75 14.45 19.05 23.65
-6.6 6.6 13.3 19.8 26.4 32.6
0.5
0.7
1
1
2
Tab. 5: Tabulka šířek štěrbin určených indikátorovými hodinami Dh a pomocí difrakce Dd ; chybu měření indikátorovými hodinami nejsme schopni určit, můžeme však říci, že hodiny byly již staré a opotřebované, takže chyba tohoto měření bude pravděpodobně značná č. štěrbiny 1 2 3 4 5
Dh [mm]
Dd [mm]
1.24 1.09 0.97 0.79 0.59
1.60 ± 0.20 1.10 ± 0.10 0.87 ± 0.09 0.69 ± 0.06 0.50 ± 0.06
Tab. 6: Tabulka naměřených hodnot při určování mřížkové konstanty d; L je vzdálenost difrakční mřížky od stínítka, x je poloha daného maxima, 1/d udává počet vrypů na jednotce délky řád maxima
1
2
L
x [cm]
x [cm]
58.0 ± 0.2 69.4 ± 0.2 81.8 ± 0.2
24.2 ± 0.1 28.9 ± 0.1 34.0 ± 0.1
69.8 ± 0.1 83.6 ± 0.1 98.0 ± 0.1
L
1/d [mm−1 ]
1/d [mm−1 ]
58.0 ± 0.2 69.4 ± 0.2 81.8 ± 0.2
608 ± 4 607 ± 3 606 ± 3
607 ± 1 607 ± 1 606 ± 1
1/d
(607 ± 2) mm−1
6
Tab. 7: Tabulka naměřených hodnot při Michelsonově experimentu; N je počet minim (maxim) přešlých přes určitý bod stínítka při posunutí jednoho ze zrcadel o ∆x, λ je vlnová délka spočtená podle vztahu λ = 2∆x N N
∆x [µm]
λ [nm]
35 30 24 40 30
9.2 7.8 8.8 11.8 9.0
526 520 733 590 600
¯ λ
2.5 2.5.1
(590 ± 90) nm
Diskuze Průměr kruhových otvorů
Změřili jsme průměry tří kruhových otvorů dvěma metodami, jednak mikroskopem, jednak pomocí difrakce. Naměřené hodnoty jsou v tabulkách 2 a 3. Z časových důvodů jsme neměřili jednotlivé otvory mikroskopem vícekrát a musíme tedy chybu tohoto měření odhadnout. Při určování průměru otvoru pomocí difrakce jsme do výsledku započetli jak chybu dráhy L (tj. vzdálenost od mřížky ke stínítku), tak chybu vzniklou nenulovou šířkou tmavých kroužků (tj. nepřesné změření polohy jednotlivých minim) a tak i chybu způsobenou různými vypočtenými hodnotami pro minima různých řádů. Nutno poznamenat, že do celkové chyby se chyba určení dráhy promítla jen nepatrně. I kdybychom tuto chybu nadsadili (i např. pětkrát) výsledná chyba by se nezměnila. Naopak chyba určení jednotlivých minim způsobená nenulovou šířkou jednotlivých tmavých kroužků převažuje (u dvou nejmenších otvorů). Chyba způsobená různými vypočtenými hodnotami pro minima různých řádů je s touto chybou srovnatelná a převažuje u největšího otvoru. To se dá vysvětlit tak, že u širších otvorů byla jednotlivá minima užší a zřetelnější, ale bylo jich pozorováno více a byly více u sebe. Relativní chyba určení polohy způsobená např. nepřesným měřením proto s šířkou otvorů rostla, naopak relativní chyba určení polohy způsobená neostrostí minim s šířkou otvorů klesala. Celkově můžeme říci, že měření průměru otvorů difrakcí je (v našich podmínkách) méně přesné než měření mikroskopem. Celková chyba měření u difrakce klesá s šířkou otvoru, u mikroskopu by naopak (pokud bychom provedli víceré měření) dokonce pravděpodobně stoupala. Velmi úzké otvory je tedy výhodné měřit pomocí difrakce, širší pomocí mikroskopu. 2.5.2
Šířka štěrbiny
Jak je patrné z tabulky 5, měření šířek štěrbin bylo méně přesné, než úloha předchozí. Relativní chyba byla sice řádově stejná, ale každá ze dvou metod, které jsme použili, dávala podstatně jiné výsledky. Protože neznáme chybu měření indikátorovými hodinami, nemůžeme přesně stanovit, jestli výsledky obou metod odpovídají. Pokud by relativní chyba měření indikátorovými hodinami byla mezi 10 a 20 %, pak by se rozdíl jednotlivých metod vešel do chyby měření. Taková chyba by byla ovšem poměrně velká. Měření pomocí difrakce by v takovém případě bylo přesnější. Celkově by se měření dalo zpřesnit méně opotřebovanými indikátorovými hodinami a přesnějším měřením polohy jednotlivých minim. Tato by musela být výraznější, tedy tmavé proužky by musely být užší. Stejně jako v předchozím úkolu platí, že chyba způsobená nepřesným určením vzdálenosti od štěrbiny ke stínítku je oproti ostatním chybám zanedbatelná. 2.5.3
Difrakce na mřížce
Naměřená data i výsledky jsou v tabulce 6, kde je zjevné, že měření bylo poměrně dost přesné, relativní chyba měření byla asi 0.3 %, ve srovnání s očekávanou hodnotou (600 mm−1 ) pak přibližně 1.1 %. Bylo to způsobeno tím, že pozorovaná maxima byla velmi ostrá a všechny vzdálenosti byly měřeny poměrně přesně. Určitá chyba měření mohla nastat tím, že paprsek nedopadal na stínítko přesně kolmo, což jsme předpokládali pro další výpočty (pro goniometrické vztahy).
7
2.5.4
Michelsonův interferometr
Přestože se nám Michelsonův interferometr podařilo sestavit velmi dobře (interference byla dobře pozorovatelná), bylo velmi obtížné naměřit smysluplná data. Přispívaly k tomu nejvíce dva faktory. Prvním byly projíždějící tramvaje hned vedle budovy a druhým to, že jsem měřil sám. Tramvaje a občas i dupající studenti způsobovali chvění takové, že se obraz na stínítku na chvíli úplně rozostřil a interferenční proužky „zběsile utíkaly všemy směry“ a nebylo možné sledovat jejich průchod přes pozorované místo. V takovou chvíli šlo samozřejmě zastavit otáčení zrcadlem, ale to nic nezměnilo na faktu, že vibrace měření znepřesňovaly. Protože jsem musel sám jak otáčet mikrometrickým šroubem (tedy posunovat zrcadlo), tak počítat průchozí interferenční minima, často se stávalo, že jsem ztratil, které z minim vlastně právě sleduji. To jsem se pokusil vyřešit tak, že jsem místo stěny jako stínítko použil list papíru, na který jsem si nakreslil čáru, jako referenční bod, přes který při posunování zrcadla prochází jednotlivá maxima a minima. I tak to ovšem mělo špatný vliv na přesnost měření. Předpokládaná hodnota vlnové délky 633 nm je ovšem ve výsledném intervalu 590 ± 90 nm.
2.6
Závěr
Oproti zadání jsme ve všech úkolech používali laser o vlnové délce 633 nm. 1. Spočítali jsme hodnoty konstanty C pro 1. až 5. tmavý kroužek. Výsledné hodnoty jsou v tabulce 1. 2. Svazek laseru jsme úspěšně rozšířili pomocí dvou spojek +50 a +200. 3. Naměřili jsme průměry otvorů mikroskopem a pomocí difrakce. Výsledky jsou v tabulce 3. 4. Změřili jsme šířky pěti štěrbin indikátorovými hodinami a pomocí difrakce. Výsledky jsou v tabulce 5. 5. Určili jsme hodnotu převrácené mřížkové konstanty na (607 ± 2) mm−1 . 6. Sestrojili jsme Michelsonnův interferometr a změřili vlnovou délku laserového světla na (590 ± 90) nm.
3
Použitá literatura
Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Interference a ohyb světla [Online], [cit. 6. dubna 2013] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/423/mod_resource/content/4/10interference-3-2012.pdf [2] J. Tolar, Vlnění, optika a atomová fyzika [Online], [cit. 6. dubna 2013] http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/files/skripta/voaf/VOAF2008.pdf
8
