INTERFERENCE SV TLA
Každý z nás již jist vid l olejové skvrny na mokré vozovce nebo mýdlové bubliny. P í inou jejich duhového zbarvení je jev, který nazýváme interference sv tla a pat í mezi základní jevy tzv. vlnové optiky.
Obr. 1: Interference sv tla Troška historie
Optika pat í mezi nejstarší ásti fyziky – byla známu už ve starov kém ecku. V 17. století se za aly rozvíjet dv teorie o ší ení sv tla: korpuskulární (= ásticová – sv tlo je proud ástic – korpuskulí; jejím zastáncem byl nap . Isaac Newton) a vlnová (sv tlo je vln ní). První pozorování a popis jev interference, ohybu a polarizace sv tla provedl italský fyzik Francesco Maria Grimaldi (1618-1663), nicmén za po átek vlnové optiky je považováno vydání „Pojednání o sv tle“ („Traité de la lumière“) od holandského fyzika Christiaana Huygense (1629-1695), který toto pojednání nejprve roku 1678 podal pa ížské Akademii a v roce 1690 také vydal v tišt né podob . Na základ své konstrukce vlnoploch odvodil zákony p ímo arého ší ení sv tla, odrazu sv tla a lomu sv tla.
Young v pokus
Velký rozvoj zaznamenává vlnová optika až po roce 1801, v n mž anglický fyzik a léka Thomas Young (1773-1829) provedl sv j zásadní pokus, kterým dokázal platnost Huygensovy teorie. Pozn.: V dnešní dob se ukazuje, že pravdivé jsou ob teorie – jak ásticová, tak vlnová. Mluvíme proto o ásticov -vlnovém dualismu.
Uspo ádání Youngova pokusu (n kdy nazývaného dvojšt rbinový experiment – p kný java aplet najdete zde) je relativn jednoduché (viz obr. . 2).
Obr. 2: Young v pokus (p evzato z [5]) Jako zdroj sv tla slouží osv tlená št rbina Z. Tato št rbina se bude chovat jako bodový zdroj sv tla, takže se sv tlo bude ší it také do prostoru za p ekážkou a bude osv tlovat další dv št rbiny Z1 a Z2. Tyto št rbiny se budou op t chovat jako bodové zdroje sv tla a budou osv tlovat stínítko S. Podle zákon paprskové optiky (konkrétn podle zákona p ímo arého ší ení sv tla) sv tlo nem že projít p es druhou dvojici št rbin a nem že dopadnout na stínítko. Ve skute nosti se na stínítku objeví soustava sv tlých a tmavých proužk – interferen ní obrazec (= interferogram, viz obr. 3), což je d kazem vlnových vlastností sv tla. Aby tento interferen ní obrazec v bec mohl vzniknout, musí zá ení spl ovat ur ité podmínky: všechna zá ení dopadající do jednoho bodu na stínítku musí mít stejnou vlnovou délku; v daném bod na stínítku musí mít všechna zá ení stálý, s asem nem nný dráhový rozdíl (tzn. také stálý fázový rozdíl). Zá ení, které spl ují ob podmínky, ozna ujeme jako koherentní zá ení. Za koherentní m žeme považovat zá ení, které prochází št rbinami Z1 a Z2 v p ípad , že je jejich vzdálenost velmi malá. Dnes už m žeme využít dalšího zdroje koherentního zá ení, kterým je laserové zá ení.
Obr. 3: Interferen ní obrazec Na stínítku tedy dochází k interferenci (= skládání) sv tla. Do každého bodu na stínítku dopadá sv tlo z obou št rbin. O tom, jestli na stínítku vznikne sv tlý proužek nebo tmavý proužek, rozhoduje dráhový rozdíl l drah l1 a l2 paprsk dopadajících do téhož bodu – viz obr. 4.
Obr. 4: Young v pokus Je-li dráhový rozdíl l roven sudému násobku poloviny vlnové délky, pak na stínítku vzniká sv tlý proužek a íkáme, že nastává interferen ní maximum. Pokud je dráhový rozdíl roven lichému násobku poloviny vlnové délky, pak na stínítku vzniká tmavý proužek a íkáme, že nastává interferen ní minimum. Ob podmínky m žeme zapsat matematickými rovnicemi: Podmínka pro vznik interferen ního maxima: l
2k
2
k ,
kde k je ád interferen ního maxima a nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, atd. Podmínka pro vznik interferen ního minima: l
2k 1
2
,
kde k je ád interferen ního minima a nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, atd.
Interference sv tla na P i dopadu sv tla na tenkou vrstvu materiálu (tenké sklo, mýdlová bublina, …) nastává odraz sv tla na horním a dolním rozhraní vrstvy s okolním prost edím tenké vrstv a m že dojít ke skládání sv tla – tedy k interferenci (viz obr. 1). Nás nyní bude zajímat matematický popis tohoto jevu. P edpokládejme, že sv tlo dopadá na tenkou vrstvu pod úhlem dopadu . Tenká vrstva má tlouš ku d a je vyrobena z materiálu o indexu lomu n, který je v tší než index lomu okolního prost edí. Navíc budeme p edpokládat, že je z obou stran tenké vrstvy stejné prost edí. P i dopadu paprsku 1 na horní rozhraní se tento paprsek áste n odráží (1l) a áste n prochází do druhého prost edí, kde se po dopadu na spodní rozhraní op t áste n odráží a áste n láme do dalšího prost edí (1ll). Odražený paprsek od spodního rozhraní dopadá na horní rozhraní a op t dochází k áste nému odrazu a lomu sv tla (paprsky 1lll a 1lV). Proto m žeme interferenci na tenké vrstv pozorovat bu v odraženém sv tle (interference paprsk 1l a 1lll) nebo v propušt ném sv tle (paprsky 1ll a 1lV ).
Obr. 5: Interference na tenké vrstv Jestliže se tlouš ka tenké vrstvy blíží k nule, pak m žeme všechny paprsky považovat za koherentní a budou spolu navzájem interferovat. P i matematické popisu interference na tenké vrstv musíme vzít do úvahy dva velmi d ležité efekty (oba jsou nazna eny na obr. 5): a) p i odrazu sv tla na opticky hustším prost edí dochází ke zm n fáze vlny na opa nou (analogie odrazu mechanického vln ní na pevném konci), p i odrazu na opticky idším prost edí se fáze nem ní p i odrazu na opticky hustším prost edí vzniká dráhový rozdíl o velikosti poloviny vlnové délky: l1
2
vlnová délka b) tenká vrstva je vyrobena z materiálu o indexu lomu n dopadajícího sv tla je v tomto prost edí n-krát menší musíme p epo ítat geometrickou dráhu s sv tla na dráhu optickou l: Platí, že optická dráha je rovna sou inu indexu lomu prost edí a geometrické dráhy: l ns. Pro zjednodušení situace (a výpo t ) budeme p edpokládat, že sv tlo dopadá kolmo na rozhraní, tj. 0°. Nejprve popíšeme interferenci na tenké vrstv v odraženém sv tle: geometrická dráha: s 2d optická dráha: l ns 2nd dráhový rozdíl zp sobený zm nou fáze p i odrazu na horním rozhraní:
l1
2
celkový dráhový rozdíl (= sou et optické dráhy a
l1 ):
l
2nd
2
podmínka pro interferen ní maximum: celkový dráhový rozdíl musí být roven sudému násobku poloviny vlnové délky použitého sv tla: l
2nd
2k ´ k . 2
2
Jednoduchou úpravou této rovnice zjistíme, že interferen ní maximum nastane v p ípad , že je spln na podmínka: 2nd
2k 1
, 2 tzn. že optická dráha sv tla musí být rovna lichému násobku poloviny vlnové délky sv tla. Podmínku pro interferen ní minimum odvodíme podobným zp sobem: celkový dráhový rozdíl musí být roven lichému násobku poloviny vlnové délky, tedy: l
2nd
2
(2k 1)
2
Úpravou této podmínky získáme vztah mezi tlouš kou tenké vrstvy a vlnovou délkou zá ení, pro niž nastává interferen ní minimum: 2nd
2k
( 2k 2) 2k k 2 2 2 2 Aby nastalo interferen ní minimum, musí být optická dráha rovna celo íselnému násobku vlnové délky. V propušt ném sv tle je situace mírn odlišná: geometrická dráha: s 2d optická dráha: l ns 2nd dráhový rozdíl zp sobený zm nou fáze p i odrazu na opticky idším prost edí: l1 0 celkový dráhový rozdíl (= sou et optické dráhy a l1 ): l 2nd podmínka pro interferen ní maximum: celkový dráhový rozdíl musí být op t roven sudému násobku poloviny vlnové délky použitého sv tla: l
2nd
2k
2
k
Z této rovnice vyplývá podmínka pro tlouš ku tenké vrstvy: 2nd
k .
íslo k op t nazýváme ád interferen ního maxima.
Interferen ní minimum v propušt ném sv tle nastává, je-li celkový dráhový rozdíl roven lichému násobku poloviny vlnové délky, tedy l
2nd
(2k 1) . 2
Všimn te si, že nastává-li v propušt ném sv tle interferen ní maximum, pak sou asn nastává v odraženém sv tle interferen ní minimum a obrácen . Vzhled interferen ního obrazce závisí také na vlnové délce použitého sv tla. Použijeme-li monochromatické sv tlo (nap . ervené), pak všechna maxima mají stejnou barvu (jsou op t ervená), interferen ní minima jsou erná. Jestliže použijeme sv tlo složené (nap . bílé sv tlo), pak jsou interferen ní maxima duhov zbarvená, minima jsou op t erná. (viz obr. 1) Obrázky interference sv tla na tenké vrstv : obrázek1 – obrázek2 – obrázek3 Interference na tenké vrstv se využívá nap . ke kontrole opracování rovinných a kulových ploch nebo k m ení vlnové délky sv tla. V obou p ípadech se používají tzv. Newtonova skla, což je planparalelní sklen ná deska a ploskovypuklá o ka s velkým polom rem k ivosti. V okolí místa o ky a sklen né desky se nachází vzduchová vrstva prom nné tlouš ky. Pokud na tuto soustavu skel necháme dopadat monochromatické sv tlo, vznikne charakteristický interferen ní obrazec – Newtonovy kroužky (obr. 7, 8). Uplat uje se také p i výrob antireflexních vrstev na povrch o ek ur ených nap . pro fotoaparáty, kamery, …
Obr. 6: Newtonova skla (p evzato z [6])
Obr. 7: Newtonovy interferen ní kroužky Obr. 8: Newtonovy interferen ní kroužky v bílém sv tle
ešené p íklady
1) Do ur itého bodu na stínítku dopadají dva paprsky s dráhovým rozdílem 3 m. Rozhodn te, zda nastane interferen ní maximum nebo minimum, je-li sv tlo: a) ervené ( 1 = 750 nm); b) fialové ( 2 = 400 nm). l = 3 m, 1 = 750 nm, 2 = 400 nm, N1,2 = ? ešení: P i ešení budeme vycházet z podmínky pro interferen ní maximum. ád interferen ního maxima k nahradíme po tem p lvln. Bude-li tento po et sudý, nastává interferen ní maximum, bude-li lichý, nastane interferen ní minimum, bude-li výsledek íslo desetinné, nenastává ani maximum ani minimum. Po et p lvln nejprve vyjád íme obecn : l
N
2 l
N
2
.
Po dosazení íselných hodnot získáme následující výsledky:
l
N
N1 N2
2 l
N
2 2.3.10 6 750.10 9 2.3.10 6 400.10 9
8 15
P i použití erveného sv tla je násobek poloviny vlnové délky sudý, proto nastává interferen ní maximum, p i použití fialového sv tla je násobek lichý, a proto nastává interferen ní minimum. Pozn.: U tohoto typu p íkladu nesta í pouze vypo ítat velikost násobku poloviny vlnové délky. Je t eba ješt íct, který z d j v daném p ípad nastává.
2) Na vrstvu oleje tlouš ky 0,2 m, která je na vod , dopadá kolmo slune ní sv tlo. Ur ete vlnovou délku sv tla, která se bude v odraženém sv tle nejvíce a která nejmén zesilovat, je-li rychlost sv tla v oleji 2.108 m.s-1 a ve vod 2,2.108 m.s-1. d = 0,2 m, v1 = 2.108 m.s-1, v2 = 2,2.108 m.s-1, 1 = ?, 2 = ? ešení: Pro interferen ní maximum na tenké vrstv v odraženém sv tle platí podmínka: l
2nd
kterou m žeme dále upravit na tvar 2nd
2
2k
(2k 1)
Z této rovnice vyjád íme vlnovou délku sv tle nejvíce zesiluje:
2
,
2
1 sv
tla, které se v odraženém
4nd . (2k 1)
1
Ješt zbývá ur it index lomu oleje. Již víme, že index lomu prost edí je definován jako podíl rychlosti sv tla ve vakuu a rychlosti sv tla v daném prost edí: c n . v1 Po dosazení do rovnice pro vlnovou délku získáme vztah: 1
4cd . (2k 1)v1
Nejvíce se bude zesilovat takové sv tlo, jehož ád interferen ního maximu je roven 1. Proto 4.3.10 8.0,2.10 6 m 1, 2.10 (2.1 1).2.10 8
4.cd (2k 1)v1
1
6
m 1 200 nm.
Tato vlnová délka se bude zesilovat nejvíce, ale nevyhovuje zadání úlohy, protože neleží ve viditelné oblasti – pat í do infra erveného zá ení. Musíme tedy do rovnice dosadit jiný ád interferen ního maxima tak, aby výsledná vlnová délka ležela v oblasti viditelného zá ení. Pro k = 2 platí:
1
4.3.10 8.0,2.10 6 m (2.2 1).2.10 8
4.cd (2k 1)v1
a pro k = 3 platí: 4.cd 1 (2k 1)v1
4.3.10 8.0,2.10 6 m (2.3 1).2.10 8
4.10
2,4.10
7
m
7
400 nm,
m
240 nm,
což op t nepat í do viditelné oblasti. Z viditelného zá ení se tedy zesiluje nejvíce fialové sv tlo o vlnové délce 400 nm. Nyní ješt musíme ur it, které sv tlo se zesiluje nejmén . Vyjdeme z podmínky pro interferen ní minimum na tenké vrstv a podobn jako v p edešlém p ípad z této podmínky vyjád íme vlnovou délku sv tla: 2nd a tedy:
2k
2
2
2
2
( 2k
2
2)
2nd k
2
2
2k
2cd . kv1
2
2
k
2
,
Dosazením k = 1 získáme vlnovou délku 2.3.10 8 .0,2.10 6 m 6.10 - 7 m 2 8 1.2.10
600 nm.
V daném p ípad se nejmén zesiluje žluté sv tlo o vlnové délce 600 nm.
Použitá literatura:
[1] BARTUŠKA, K. Sbírka ešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000 [2] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [3] HORÁK, Z., KRUPKA, F.: Fyzika. 2. vyd. Praha: SNTL, 1976 [4] JAVORSKIJ, B. M., SELEZN V, J. A. P ehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha: SNTL, 1989 [5] LEPIL, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002 [6] PIŠÚT, J. a kol. Fyzika pro IV. ro ník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1987 [7] VON LAUE, M. D jiny fyziky. 1. vyd. Praha: Orbis, 1958
