ODRAZ A LOM SV TLA Odraz sv tla – lom sv tla – index lomu – úplný odraz sv tla – p íklady Každý z Vás se ur it n kdy díval do vody. Na klidné vodní hladin vid l krom svého obrazu také kameny nebo písek na dn . Na základní škole jste se dozv d li, že sv tlo se na rozhraní dvou prost edí jednak áste n odráží, ale také áste n prochází do druhého prost edí.
Obr. 1: Odraz a lom sv tla Také již víte, že sv tlo je elektromagnetické vln ní, a proto chování sv tla p i dopadu na p ekážku m žeme popsat pomocí Huygensova principu – p kn je to vid t na java apletech níže. P esto si pro názornost pom žeme paprskovou optikou. Nech p je paprsek, který dopadá na rozhraní dvou prost edí (nap . rozhraní sklo-vzduch) – nazýváme jej dopadající paprsek. Na tomto rozhraní dochází jednak k odrazu sv tla (odražený paprsek p’) a k lomu sv tla (lomený paprsek p’’)
Odraz sv tla
Obr. 2: Odraz a lom sv tla P ímku k, která je kolmá k rovin rozhraní a prochází bodem dopadu paprsku, nazýváme kolmice dopadu (jestliže rozhraní prost edí není rovinné, ale zak ivené, pak kolmicí dopadu rozumíme p ímku, která je kolmá k te né rovin rozhraní v míst dopadu paprsku). Tato kolmice spole n s dopadajícím paprskem p ur uje rovinu dopadu. Dopadající paprsek svírá s kolmicí dopadu úhel dopadu . Odražený paprsek p‘ svírá s kolmicí dopadu úhel odrazu ’. Paprsek, který prošel z prvního prost edí do druhého prost edí (p’’), ozna ujeme jako lomený paprsek a svírá s kolmicí dopadu úhel lomu . Zapamatujte si, že veškeré úhly dopadu, odrazu i lomu ode ítáme ve sm ru od kolmice dopadu. Pro velikost úhlu odrazu ’ platí zákon odrazu sv tla: Velikost úhlu odrazu je rovna velikosti úhlu dopadu. Odražený paprsek z stává v rovin dopadu. Matematicky lze tento poznatek zapsat velmi jednoduše:
Zákon odrazu platí stejn pro sv tla všech vlnových délek, protože úhel ’nezávisí na frekvenci (resp. vlnové délce) dopadajícího sv tla. Pozn.: 1. Ob as se stane, že studenti v zákonu lomu zam ní po adí úhlu odrazu a dopadu – z matematického hlediska je to v po ádku, ale z hlediska fyzika není zám na možná – hledáme totiž d sledek dopadu paprsku, proto je t eba zákon formulovat pro zákon odrazu. 2. Studenti ob as rovn ž zapomínají na druhou ást zákona odrazu, která íká, že paprsek nem že samovoln „vybo it“ z roviny dopadu, ale musí v této rovin pokra ovat dál (tzn. jestliže paprsek dopadá v rovin nákresny, pak také odražený paprsek musí z stat v této rovin ).
Lom sv tla
K lomu sv tla dochází p i pr chodu sv tla z jednoho prost edí do druhého prost edí. Aby k lomu sv tla v bec došlo, je nutné, aby ob prost edí byly pr hledné nebo pr svitné (nemá smysl uvažovat lom sv tla p i pr chodu sv tla nap . ze vzduchu do cihlové zdi nebo obrácen ). Pro zjednodušení op t zanedbejme vlnové vlastnosti sv tla. Nech na rozhraní dvou prost edí dopadá svazek rovnob žných paprsk (viz obr. 3). P edpokládejme, že se sv tlo v prvním prost edí (nap . sklo) ší í v tší rychlostí než ve druhém prost edí (nap . vzduch).
Obr. 3: Lom sv tla V okamžiku, kdy paprsek p1 dopadne na rozhraní obou prost edí, je paprsek p2 teprve v bod D a do bodu B dopadne za dobu t1. Než ale paprsek p2 dopadne na rozhraní obou prost edí, paprsek p1 se nem že v bod A samovoln zastavit a musí pokra ovat do druhého prost edí a za dobu t1 se rozší í do bodu C. V trojúhelníku ABD m žeme najít úhel dopadu u vrcholu A, v trojúhelníku ABC je úhel u vrcholu B stejný jako úhel lomu . Ozna me v1 rychlost sv tla v pevním prost edí, v2 rychlost sv tla ve druhém prost edí. Potom pro pom r vzdáleností DB a AC platí: DB AC
v1t1 v 2 t1
v1 v2
Stejný podíl vzdáleností m žeme vyjád it také pomocí úhl dopadu a lomu: DB
AB sin
AC
AB sin
sin sin
Jestliže se rovnají levé strany obou rovnic, pak se musí rovnat pravé strany rovnic, a proto platí: v1 sin (1) v 2 sin Rovnice (1) vyjad uje tzv. zákon lomu sv tla. Slovn jej m žeme vyjád it takto:
Podíl sinu úhlu dopadu a sinu úhlu lomu je roven podílu rychlostí, kterými se sv tlo ší í v prvním a druhém prost edí. Lomený paprsek z stává v rovin dopadu.
Index lomu
v1 je pro dané rozhraní prost edí v2 konstantní veli ina. Nazýváme ji index lomu, a ozna ujeme n. Protože možných dvojic prost edí je celá ada a pro každou takovou dvojici bychom museli tento index lomu vypo ítat, zavádí se absolutní index lomu, zna ka n, který udává pom r rychlosti sv tla ve vakuu k rychlosti sv tla v daném prost edí. Platí tedy: c n , v kde c je rychlost sv tla ve vakuu a v rychlost sv tla v daném prost edí. Absolutní index lomu tedy udává, kolikrát rychleji se sv tlo ší í ve vakuu rychleji než v daném látkovém prost edí. Je-li nap . absolutní index lomu skla 1,5, pak to znamená, že se sv tlo ve skle ší í 1,5krát pomaleji než ve vakuu. Z definice p ímo vyplývá, že absolutní index lomu vakua je roven 1. Absolutní index vzduchu je p ibližn roven 1 (p esn n = 1,000 271 8 za standardních podmínek – teplota 293 K, tlak 101 325 Pa, absolutní vlhkost 0,000 9 kg.m-3), pro všechna statní látková prost edí je v tší než 1. Podíl rychlostí sv tla v obou prost edích
Index lomu také závisí na vlnové délce sv tla – s rostoucí vlnovou délkou se jeho hodnota zmenšuje. Proto se sv tlo ervené barvy láme mén než sv tlo barvy fialové. Tento jev nazýváme disperze sv tla. Pomocí indexu lomu m žeme zákon lomu vyjád it také ve tvaru:
sin sin
n2 n1
n1 sin
n2 sin
Pozn.: 1) Zákon lomu odvodil za átkem 17. století na základ m ení holandský fyzik Willebrord Snell, po n mž je také zákon lomu pojmenován – íká se mu Snell v zákon lomu. P ibližn ve stejné dob ale ke stejným výsledk dosp li také René Descartes a Pierre de Fermat.
Obr. 4 Willebrord Snell
2) Zákon lomu si m žete také prohlédnout na java apletech: aplet 1, aplet 2, aplet 3.
Na rozdíl od odrazu sv tla mohou u lomu sv tla nastat obecn dva p ípady: a) sv tlo dopadá z opticky idšího prost edí do opticky hustšího prost edí (nap . ze vzduchu do vody, ze vzduchu do skla, z vody do skla, …) – tj. index lomu prvního prost edí je menší než index lomu druhého prost edí – pak podle zákona lomu sv tla musí být úhel lomu menší než úhel dopadu . íkáme, že nastává lom sv tla ke kolmici (viz obr. 5). b) sv tlo dopadá z opticky hustšího prost edí do opticky idšího prost edí (nap . ze skla do vody, ze skla do vakua, z vody do vzduchu, …) – tj. index lomu prvního prost edí je v tší než index lomu druhého prost edí – pak podle zákona lomu sv tla musí být úhel lomu v tší než úhel dopadu . íkáme, že nastává lom sv tla od kolmice (viz obr. 6)
Obr. 5 Lom ke kolmici
Obr. 6 Lom od kolmice
Z obou obrázk je patrné, že když zam níme sm r pr chodu paprsku, pak získáme vždy opa ný p ípad (z lomu ke kolmici „vyrobíme“ lom od kolmice a naopak).
Úplný odraz sv tla
Jestliže budeme p i pr chodu sv tla z opticky hustšího prost edí (o indexu lomu n1) do opticky idšího prost edí (o indexu lomu n2 < n1) zv tšovat úhel dopadu , bude se také zv tšovat úhel lomu - viz obr. 7 nebo java aplet.
Obr. 7 Úplný odraz sv tla P i ur ité velikosti úhlu dopadu pak bude velikost úhlu lomu rovna 90° lomený paprsek se ší í v rovin rozhraní obou prost edí ( ervený paprsek 4 na obr. 7. P íslušný úhel dopadu ozna ujeme indexem m a nazýváme jej mezní úhel. Jestliže budeme velikost úhlu dopadu dále zv tšovat, pak lomený paprsek neprochází do opticky idšího prost edí a nastává úplný odraz sv tla. Velikost mezního úhlu pro dané rozhraní m žeme ur it na základ Snellova zákona lomu, do n hož dosadíme = 90°. Potom platí: n1 sin
m
n2 sin 90
n2 ,
a proto
sin
m
n2 n1
Nap . pro velikost mezního úhlu pro rozhraní sklo (index lomu 1,5) a vzduch (index lomu p ibližn 1) platí:
sin
m
n2
1
n1
n1
0,66, a tedy
m
42 .
Na následujících obrázcích si m žete úplný odraz prohlédnout v praxi – vidíte, že se sv tlo neší í do druhého prost edí. Stejn tak si m žete prohlédnout java aplet.
Obr. 8
Obr. 9
Úplný odraz sv tla na vodní hladin
Úplný odraz sv tla na sklen ném hranolu
Úplný odraz sv tla se v sou asnosti používá p i výrob tzv. optických vláken (viz obr. 10). Každé vlákno se skládá ze dvou ástí – vnit ní (na obrázku šedá) a vn jší. Vnit ní ást má v tší index lomu než vn jší, proto p i dopadu paprsku pod vhodným úhlem dopadu nastává úplný odraz sv tla. Optická vlákna se používají nap . pro p enos informací.
Obr. 10: Optické vlákno (p evzato z [4]) ešené p íklady
1) Sv tlo dopadá ze vzduchu do vody pod úhlem 40°. Ur ete velikost úhlu lomu. Index lomu vzduchu je roven 1, index lomu vody je 1,33. = 40°, n1 = 1, n2 = 1,33,
=?
ešení: Ze Snellova zákona lomu vyjád íme sinus úhlu lomu :
sin sin
n2 n1
sin
n1 sin n2
Po dosazení íselných hodnot získáváme výsledek:
sin
0,483, a tedy
Sv tlo se láme pod úhlem 28 54 .
= 28,9°.
2) Ur ete index lomu diamantu, jestliže paprsek dopadající ze vzduchu pod úhlem 25° se láme pod úhlem 10°. Index lomu vzduchu je 1. = 25°,
= 10°, n1 = 1, n2 = ?
ešení: Ze Snellova zákona lomu vyjád íme index lomu diamantu n2:
sin sin
n2 n1
n2
n1
sin sin
Po dosazení íselných hodnot získáváme výsledek: n2 2,43. Index lomu diamantu je 2,43.
3) Žluté sv tlo o vlnové délce 590 nm dopadá z ledu na rozhraní ledu a vzduchu pod úhlem 40°. Ur ete, o jaký úhel se od p vodního sm ru odchýlí lomený paprsek. Index lomu ledu pro žluté sv tlo je 1,31. (viz obr. 11)
Obr. 11 = 590 nm,
= 40°, n1 = 1,31, n2 = 1, = ?
ešení: Ze Snellova zákona lomu vypo teme úhel lomu . Odchylku paprsku od p vodního sm ru vypo teme jako rozdíl velikostí úhlu lomu a úhlu dopadu. n2 n1 sin 1,31 sin sin sin 40 0,842, sin n1 n2 1 a tedy
= 57,35° = 57° 21’. Pro velikost odchylky potom platí:
17 21' Paprsek se od p vodního sm ru odchýlí o 17° 21’.
4) Podívejte se na obrázek . 12. Který z paprsk 1, 2, 3 nebo 4 je podle zákon paprskové optiky pokra ováním dopadajícího paprsku p1?
Obr. 12 ešení: Vzhledem k tomu, že sv tlo dopadá z opticky hustšího prost edí (sklo) do opticky idšího prost edí (voda), musí nastat lom ke kolmici. Tuto podmínku spl uje pouze jediný paprsek – paprsek íslo 2. 5)
ervené sv tlo o vlnové délce 760 nm dopadá z flintového skla na rozhraní flintového skla a etanolu pod úhlem 35°. Rozhodn te, zad nastane úplný odraz sv tla. Index lomu flintové skla pro ervené sv tlo je 1,735, index lomu etanolu je 1,358. = 35°, n1 = 1,735, n2 = 1,358,
m
=?
ešení: Jestliže máme rozhodnout, zda nastane úplný odraz sv tla, musíme vypo ítat velikost mezního úhlu m. Pro jeho velikost platí vztah:
sin
m
n2 n1
Dosazením íselných hodnot získáme: 1,358 0,783, a tedy sin m 1,735
m
51 30' .
Velikost úhlu dopadu je menší než velikost mezního úhlu, proto úplný odraz nenastane a sv tlo projde z flintového skla do etanolu (velikost úhlu lomu je 47 7').
Použitá literatura:
[1] BARTUŠKA, K. Sbírka ešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000 [2] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [3] JAVORSKIJ, B. M.; SELEZN V, J. A. P ehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha: SNTL, 1989 [4] LEPIL, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002 [5] VON LAUE, M. D jiny fyziky. 1. vyd. Praha: Orbis, 1958
