DIFRAKCE SV TLA V paprskové optice jsme se zabývali optickým zobrazováním (zrcadly, o kami a jejich soustavami). P edpokládali jsme, že se sv tlo ší í p ímo a e podle zákona p ímo arého ší ení sv tla. Ve skute nosti je ale ší ení sv tla, podobn jako ší ení zvukového vln ní, ovlivn no jeho vlnovými vlastnostmi. To znamená, že na p ekážkách, které jsou srovnatelné s jeho vlnovou délkou, dochází k ohybu sv tla – difrakci. Tento je se projevuje tak, že se sv tlo ší í áste n i do prostoru za p ekážkou, kam by se podle paprskové optiky nikdy ší it nem lo, tzn. sv tlo se ší í i do oblasti geometrického stínu. Hranice mezi sv tlem a stínem potom není ostrá a na stínítku za p ekážkou se vytvá í ohybový (= difrak ní) obrazec. Podobn jako interferen ní obrazec jej tvo í soustava nestejn širokých sv tlých a tmavých proužk . Tento obrazec m žeme považovat za výsledek interference sv tla, které do uvažovaného místa na stínítku dopadají s r zným dráhovým rozdílem. Pozn.: Ohyb sv tla pozoroval a jako první také popsal kolem roku 1660 italský u itel matematiky Francesco Maria Grimaldi, který do zatemn né místnosti nechal dopadat malým kruhovým otvorem slune ní sv tlo a do dráhy tohoto sv tla umis oval r zné p edm ty a studoval vlastnosti jejich stínu. Zjistil, že stíny jsou neostré a že jsou navíc ohrani ené barevnými proužky. Ohyb sv tla nastává, pokud sv tlo prochází malou p ekážkou (št rbina, kruhový otvor, soustava št rbin nebo otvor ) nebo pokud prochází kolem velmi ostrých hran p edm t (tenkého vlákna, žiletky, kruhového ter íku). Rozd lení ohybových Ohybové jevy m žeme rozd lit na dv základní skupiny: jev 1. Fresnelovy ohybové jevy byly pojmenovány podle francouzského fyzika Augustina Jeana Fresnela, který jako první podal jejich úplné vysv tlení. Jejich popis vychází z Huygensova-Fresnelova principu, podle n hož se každý bod vlnoplochy stává zdrojem elementárního sv telného vln ní; tyto vln ní pak dopadají do každého bodu na stínítku s r znou fází, skládají se a vytvá ejí interferen ní obrazec. Tzn., že krom zdroje sv tla, p ekážky a stínítka se zde nevyskytuje žádný další optický prvek (nap . o ka). 2. Fraunhoferovy ohybové jevy jsou takové ohybové jevy, které vznikají p i zobrazení zdroj sv tla optickými soustavami. Pomocí o ek se na stínítku vytvo í obraz zdroje sv tla a do svazku paprsk , které vytvá ejí obraz zdroje, se vloží p ekážka. Elementární vln ní z okraj p ekážky nedopadají p ímo na stínítko, ale procházejí další spojnou o kou, která je soust edí do jednotlivých bod stínítka. jejich popisu se v noval Joseph von Fraunhofer. Interferen ní obrazec vznikne v obou p ípadech za p edpokladu, že interferující sv tla jsou koherentní, tj. mají stejnou vlnovou délku a v daném bod prostoru stálý, s asem nem nný dráhový ( také fázový) rozdíl.
Ohyb sv tla na hran
Jestliže sv tlo prochází kolem ostrého okraje n jakého p edm tu (nap . hrana žiletky, tenké nepr hledné vlákno, nepr hledný ter ík), odchýlí se vlevo i vpravo od p edm tu, na stínítku za p edm tem interferuje a vzniká na n m ohybový obrazec, jehož tvar kopíruje tvar p edm tu. íkáme, že na stínítku dochází k tzv. vícesvazkové interferenci. Difrak ní obrazec tvo í soustava sv tlých a tmavých proužk (sv tlý proužek = interferen ní maximum, tmavý proužek = interferen ní minimum). Je tím výrazn jší, ím se rozm ry p ekážky blíží k vlnové délce sv tla.
Obr. 1: Ohyb sv tla na hran (p evzato z http://dt.fme.vutbr.cz/~pavelek/labop.htm)
Obr. 2: Ohyb sv tla na hran žiletky (p evzato z [2]) Ohyb sv tla na št rbin
P edpokládejme, že rovinná sv telná vlnoplocha o vlnové délce dopadá na št rbinu ší ky a. Každý bod št rbiny se podle Huygensova principu stává zdrojem elementárního vln ní, které se z n ho ší í v elementárních vlnoplochách i do prostoru za p ekážkou. Do každého bodu na stínítku pak dopadá sv tlo z každého bodu št rbiny. Protože byla št rbina osv tlena rovinou monochromatickou vlnou, m žeme tato elementární vln ní považovat za koherentní a na stínítku vznikne ohybový obrazec.
Obr. 3: Ohyb sv tla na št rbin (p evzato z [2]) Matematický popis ohybu sv tla se zdá být velmi složitý – malá št rbina, na ní velké množství zdroj sv tla, které dopadají na stínítko. Matematický popis ovšem m žeme zjednodušit bez ztráty p esnosti výsledku. Zvolme na stínítku libovolný bod P. Sestrojíme dva paprsky, které dopadají do bodu P. První (r1) z nich prochází horním okrajem št rbiny, druhý (r2 ) prochází st edem št rbiny. Zárove sestrojíme optickou osu št rbiny, která prochází jejím st edem. Paprsek (r2) se od této osy odchyluje o úhel . O výsledku interference rozhoduje dráhový rozdíl obou paprsk , který pot ebujeme ur it. Pozn.: Obrázky 3 – 5 jsou p evzaty z p vodn anglické u ebnice fyziky. Proto je na obrázku úhel, o který se paprsek odchýlí, ozna en místo . P edpokládejme, že ší ka št rbiny a je malá ( ádov desetiny až setiny mm), to znamená, že je zanedbatelná ve srovnání se vzdáleností stínítka l od m ížky. Proto oba paprsky m žeme považovat za rovnob žné.
Obr. 4: Ohyb sv tla na št rbin (p evzato z [2]) Dráhový rozdíl obou paprsk vypo teme z pravoúhlého trojúhelníka NBS. Platí tedy: a l sin . 2 Má-li v bod P nastat difrak ní maximum, musí být dráhový rozdíl mezi paprsky
roven sudému násobku poloviny vlnové délky: l
a sin 2
2k
2
k .
íslo k nazýváme ád ohybového maxima a nabývá hodnot 0, 1, 2, 3, … Pro difrak ní minimum platí podobná podmínka: celkový dráhový rozdíl musí být roven lichému násobku poloviny vlnové délky: l
a sin 2
(2k 1) . 2
Rozložení intenzity sv tla (= množství sv tla), které dopadne do ur itého bodu na stínítku), je na obrázku . 5.
Obr. 5: Rozložení intenzity sv tla p i ohybu sv tla na št rbin (p evzato z http://sirrah.troja.mff.cuni.cz/~mira/famdifr/famdifr.html) ím je ší ka št rbiny menší, tím je užší je centrální maximum. Rozložení ohybových maxim a minim však závisí také na vlnové délce použitého sv tla. ím je vlnová délka sv tla v tší, tím více se projevují vlnové vlastnosti sv tla a difrak ní obrazec je výrazn jší. M žete se o tom p esv d it na následujícím java apletu. Na tomto java apletu si m žete vyzkoušet, jak závisí výsledek ohybu sv tla na dvou št rbinách na jejich vzdálenosti a na vzdálenosti stínítka od št rbin.
Ohyb sv tla na optické m ížce
Soustavu velkého po tu št rbin nazýváme optická m ížka. Jejími základními parametry jsou: ší ka št rbiny a a vzdálenost st ed sousedních št rbin – tzv. m ížková konstanta b. Optické m ížky se vyráb jí dv ma základními zp soby: rytím nebo holografickou metodou.
Op t nás bude zajímat, jak vypadá ohybový obrazec v p ípad , že optickou m ížku osv tlíme rovinnou vlnou o vlnové délce .
Obr. 6: Ohyb sv tla na optické m ížce (p evzato z [2]) Podobn jako p i popisu ohybového obrazce, který vzniká na stínítku za jedinou št rbinou, tak i zde použijeme ur ité zjednodušení. Vybereme si paprsky, které procházejí odpovídajícími body na št rbinách a dopadají do ur itého bodu P na stínítku. Protože m ížková konstanta i ší ka št rbiny jsou zanedbatelné ve srovnání se vzdáleností stínítka od m ížky, m žeme op t tyto paprsky považovat za rovnob žné.
Obr. 7: Ohyb sv tla na optické m ížce (p evzato z [2]) Dráhový rozdíl sousedních paprsk vypo teme op t z pravoúhlého trojúhelníka: Platí: l b sin . Aby v bod P nastalo ohybové maximum k-tého ádu, musí být tento dráhový rozdíl roven sudému násobku poloviny vlnové délky:
l
b sin
k
2k
2
k ,
kde k je ohybový úhel k maximu k-tého ádu, k je ád ohybového maxima (nabývá hodnot 0, 1, 2, …). Je-li sv tlo dopadající na optickou m ížku monochromatické, pak mají maxima stejnou barvu jako je barva sv tla.
Obr. 8: Ohybová maxima p i ohybu sv tla na m ížce Jestliže m ížku osv tlíme bílým sv tlem, bude maximum nultého ádu bílé a maxima vyšších ád jsou duhov zbarvená, p i emž nejvíce se ohýbá sv tlo barvy ervené a nejmén sv tlo fialové.
Obr. 9: Ohybová maxima p i ohybu bílého sv tla na m ížce (p evzato z sunra.lbl.gov) Podmínku pro difrak ní minimum odvodíme op t velmi snadno: celková dráhový rozdíl dvou sousedních paprsk musí být roven lichému násobku poloviny vlnové délky: l
b sin
(2k 1) , 2 kde k je v tomto p ípad ád ohybového minima. Barva ohybových minim nezávisí na vlnové délce použitého sv tla – všechna jsou tmavá. k
V závislosti na po tu št rbin optické m ížky nemusí být všechna interferen ní minima patrná – m ížková spektra n kterých vyšších ád se mohou p ekrývat. K ohybu sv tla m že docházet také na kruhovém otvoru, na obdélníkovém otvoru, atd. Jako ohybová m ížka m že sloužit také CD disk nebo DVD disk:
Obr. 10: Ohybová maxima p i ohybu bílého sv tla na CD disku Ohyb sv tla má op t využití ve spektrální analýze látek (ve spektroskopu nahradíme rozkladný hranol ohybovou m ížkou), v optické holografii (trojrozm rná metoda zaznamenání obrazu).
ešené p íklady
1) Vypo t te, pod jakým úhlem vzniká maximum 2. ádu p i osv tlení ohybové m ížky s periodou 2 m sv tlem o vlnové délce 750 nm. b = 2 m, = 750 nm, k = 2, = ? ešení: P i ešení budeme vyjdeme z podmínky pro ohybové maximum na optické m ížce: b sin k k . Z této podmínky vyjád íme sinus ohybového úhlu : k sin k . b
Po dosazení íselných hodnot získáme výsledek:
sin
k
2.750.10 2.10 6
9
0,75,
a tedy k 48,6 . Ohybové maximum 2. ádu vzniká pod ohybovým úhlem 48,6°.
2) Na ohybovou m ížku dopadá žluté sv tlo o vlnové délce 590 nm Ur ete, kolik vryp má m ížka na 1 mm délky, jestliže se sv tlo ve sm ru ke 3. maximu odchyluje od sm ru kolmého k rovin m ížky o úhel 60°. = 590 nm, k = 3, k = 60°, N = ? ešení: Z rovnice pro ohybové maximum na optické m ížce vyjád íme m ížkovou konstantu: b sin k k k b . sin k Po dosazení íselných hodnot: 3.590.10 b sin 60
9
m
2,044.10
6
m.
Po et vryp na 1 mm délky vypo teme tak, že 1 mm vyd líme m ížkovou konstantou. Je t eba mít na pam ti, že všechny veli iny musí být vyjád eny v hlavních jednotkách! 0,001 m 0,001 m N 489 b 2,044.10 6 m Ohybová m ížka má p ibližn 489 vryp na jeden mm délky.
Použitá literatura:
[1] BARTUŠKA, K. Sbírka ešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000 [2] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [3] HORÁK, Z., KRUPKA, F.: Fyzika. 2. vyd. Praha: SNTL, 1976 [4] JAVORSKIJ, B. M., SELEZN V, J. A. P ehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha: SNTL, 1989 [5] LEPIL, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002 [6] PIŠÚT, J. a kol. Fyzika pro IV. ro ník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1987 [7] ŠEDIVÝ, P. Ohyb sv tla. 1. vyd. Hradec Králové: MAFY, 1996 [8] VON LAUE, M. D jiny fyziky. 1. vyd. Praha: Orbis, 1958
