Difrakce elektronů v polykrystalické mřížce (Debye-Scherrerova difrakce)
Teorie V roce 1924 Louis de Broglie navrhl představu, že by částice mohly mít kromě předpokládaných částicových vlastností i vlnové vlastnosti. Předpokládal, že vlnová délka částice je nepřímo úměrná její hybnosti:
λ=
h p
(I) kde λ je vlnová délka, h Planckova konstanta a p hybnost částice. Jeho domněnka byla roku 1927 experimentálně potvrzena C. Davissonem a L. Germerem při difrakci (ohybu) elektronů na krystalické niklové struktuře. V současném experimentu, který provedeme v našem experimentu, je vlnový charakter elektronů demonstrován jejich difrakcí na polykrystalické grafitové mřížce (Debye – Scherrerova difrakce). Na rozdíl od experimentu Davissona a Germera, kde difrakce je pozorována při odrazu elektronů na mřížce, toto uspořádání používá uspořádání experimentu podobného typu, jako použil G. P. Thomson roku 1928. Z elektronů emitovaných ze žhavené katody je vybrán úzký paprsek elektronů clonou. Po průchodu skrz zaostřovací optický systém jsou elektrony ostře omezeny na monochromatický paprsek (elektrony mají tedy definovanou kinetickou energii a tedy vlnovou délku), který dopadá na polykrystalickou uhlíkovou fólii. Atomy uhlíku mohou být považovány za prostorovou mřížku, která se chová jako difrakční mřížka pro elektrony. Po průchodu svazku elektronů difrakční uhlíkovou mřížkou se na fluorescenčním stínítku objeví difrakční obrazce soustředných kroužků, jejichž středem je svazek elektronů jdoucích přímo bez ohybu na mřížce (Obr. 1).
Obrázek 1 Schematické znázornění difrakčních kroužků pozorovaných při ohybu elektronů na polykrystalické uhlíkové mřížce. Dva kroužky s průměry D1 a D2 jsou pozorovány odpovídající ke vzdálenostem rovin d1 a d2. Průměr soustředných kroužků se mění s vlnovou délkou λ elektronů, tedy s urychlujícím napětím U, kterým dodáváme elektronovému svazku energii. Pro kinetickou energii elektronů E získanou v elektrostatickém poli, při urychlujícím napětí U platí následující vztah:
1 p2 E = e.U = mv 2 = 2 2m
(II)
kde U je urychlující napětí, e náboj elektronu, m je klidová hmotnost elektronu a v je rychlost elektronů. Hybnost p může být pak vypočítána jako p = m.v = 2emU
(III)
Dosazením rovnice (III) do rovnice (I) dostáváme pro vlnovou délku vztah: h λ= 2emU
(IV)
V roce 1913 si H.W. a W. L. Braggovi uvědomili, že pravidelné uspořádání atomů v monokrystalu může být chápáno jako prostorová mřížka, jejíž parametry jsou dány uspořádáním atomů v mřížce, tedy mřížková konstanta krystalu udává vzdálenosti mezi řadami atomů v rovinách. Když vystavíme takovou krystalickou síť monochromatickým rentgenovým paprskům nebo elektronům s definovanou energií, pak můžeme předpokládat platnost Huygensova principu pro oba druhy vlnění, můžeme každý prvek v prostorové mřížce považovat za „rozptylový bod“, na kterém se vytváří elementární kulová vlna se stejnou vlnovou délkou, jako má dopadající záření. Superpozici těchto elementárních vln pak vzniká výsledné rozptýlené vlnění. V případě pozorovaných maxim, musí dojít k tzv. konstruktivní interferenci vln odražených v jednotlivých rovinách mřížky, kdy dráhový rozdíl těchto dvou vln ∆ , který je definován jako ∆ = ∆1 + ∆ 2 = 2.d .sin θ viz Obr. 2, nabývá hodnot celočíselného násobku vlnové délky dopadajícího vlnění λ 2.d . sin θ = nλ , n = 1,2,3...
(V)
kde d je vzdálenost krystalických rovin. Tato rovnice bývá nazývána Braggovou podmínkou a θ úhel dopadu záření.
Obrázek 2 Schematické znázornění Braggovy podmínky. Jako objekt, na kterém dochází k ohybu, je v tomto experimentu použit polykrystalický materiál. Polykrystalický materiál představuje velké množství malých monokrystalů, které jsou nepravidelně uspořádány v prostoru. Následkem toho je pro část krystalů splněná Braggova podmínka. Na fluorescenčním stínítku, které je kolmé k ose průchodu elektronového svazku, se objeví soustředné kroužky. Roviny polykrystalické mřížky, na kterých dochází k difrakci, jsou vzdáleny o parametry d1 a d2. Na obrázku 3 vidíme vyznačené
vzdálenosti krystalických rovin mezi uspořádanými atomy grafitu (označení použité specifické struktury (alotropu) uhlíku, uhlík má několik alotropů – způsobů jak se uspořádává do mřížky, které mají významně rozdílné mechanické, optické a další vlastnosti).
Obrázek 3 Krystalové roviny grafitu se vzdálenostmi d1 a d2: Na obrázku 4 vidíme uspořádání experimentu – vakuovou trubici a připojení žhavení katody.
Obrázek 4 Vlevo vidíme schéma experimentálního zařízení, L = 13,5 cm (vzdálenost mezi mřížkou a stínítkem), D je průměr difrakčního kroužku pozorovaného na stínítku Vpravo vidíme schéma zapojení pro pozorování elektronové difrakce na mřížce. F1,F2: zásuvka pro záporný pól žhavení, C: záporný pól, X: zaostřující elektroda, A: anoda. Z obr. 4 můžeme odvodit vztah mezi rozptylovým úhlem θ a vzdáleností stínítka a mřížky L a průměrem difrakčních kruhů D. D (VI) tan 2θ = 2 .L Pro malé rozptylové úhly můžeme použít aproximaci tan 2θ = sin 2θ = 2 sin θ získáme ze vztahu (VI) následující vztah:
2 sin θ =
D 2 .L
(VII)
Dosazením rovnice (VII) do (V) vede v prvním řádu difrakce (n = 1) k D (VIII) 2 .L kde D je průměr kruhu, L vzdálenost mezi mřížkou a stínítkem a d je vzdálenost rovin uhlíkových atomů v grafitové mřížce. Rovnice (IV) popisuje vztah vlnové délky elektronů λ a urychlujícího napětí U. Kombinací rovnice (IV) a rovnice (VIII) lze ukázat, že průměry D1 a D2 soustředných kroužků se mění s urychlujícím napětím U podle následujícího vztahu: 1 D = k. (IX) U
λ = d.
kde k je dáno vztahem k=
2.L.h d . 2.m.e
(X)
Měření průměrů difrakčních kroužků D1 a D2 jako funkce urychlujícího napětí U tak dovoluje určit vzdálenosti d1 a d2 mezi rovinami uhlíkových atomů v grafitové mřížce. Úkoly: 1) Měňte urychlující napětí U v rozsahu 3 – 5kV, pro dané urychlující napětí změřte několikrát poloměry difrakčních kroužků. Vyneste do grafu závislost poloměru difrakčních kroužků D1 a D2 na urychlujícím napětí U a určete konstantu k vyrovnáním funkční závislosti dle vztahu (IX). Dle vztahu (X) pak určete parametry grafitové mřížky d1 a d2. 2) Určete vlnové délky elektronů λ pro jednotlivá urychlující napětí U s použitím vypočtených parametrů grafitové mřížky z úkolu 1. a ze vztahu (VIII), uveďte ve formě tabulky. 3) Vyneste do grafu závislost vlnových délek elektronů λ z úkolu 2. na urychlujícím napětí U. Ověřte platnost de Broglieho rovnice (I) a využitím vztahu (III) pro hybnost elektronů a vyrovnáním funkční závislosti λ~f(U). Experimentální uspořádání: Experimentální nastavení (schéma zapojení) je ukázané na obrázku 4. 1. Připojte zásuvky katodového žhavení F1 a F2 na stojanu trubice k vývodům napájení na zadní straně vysokonapěťového zdroje 10 kV. 2. Připojte zásuvku C a X (zaostřovací elektroda) na stojanu trubice k zápornému pólu. 3. Připojte zásuvku A (anoda) ke kladnému pólu 5kV/2 mA zdroje vysokého napětí 10 kV. 4. Uzemni kladný pól na vysokonapěťovém napájení 10 kV. Zásady bezpečnosti: Při urychlovacím napětí nad 5 kV se generuje rentgenové záření. - Neobsluhujte elektronovou difrakční trubici při vysokém napětí nad 5 keV.
Nebezpečí imploze: elektronová difrakční trubice je vakuovaná trubice, která je zhotovená z tenkého skla. - Nevystavujte elektronovou difrakční trubici mechanickému tlaku a připoj ji, pouze pokud je namontovaná do stojanu. - Nakládejte s kontakty v patici a kontaktními kolíky opatrně, neohýbejte je a provádějte opatrně manipulaci vkládání trubice do stojanu. Elektronová difrakční trubice může být zničena napětím nebo příliš vysokými proudy: - Dodržuj provozní parametry udané v části o technických údajích.
