Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že je výsledek pokusu závislý na dalších nám neznámých podmínkách, které můžeme označit jako náhodné činitele.
Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
S náhodnými jevy můžeme pracovat jako s množinami a využít množinových operací
Množinová symbolika Symbolem Ω označíme celý množinový prostor (ve statistice jev jistý). Symbolem A označíme množinu (část prostoru, jev A). a je prvkem množiny A, zapíšeme: a є A a1; a2; a3 jsou prvky množiny A zapíšeme jako A є {a1; a2; a3} Symbolem {ø} nebo ø označíme prázdnou množinu (jev nemožný) Pokud vždy, když nastane jev A, nastane i jev B, pak říkáme, že: jev A implikuje jev B, resp. jev A má za následek jev B: A => B znamená to také, že A je podmnožinou B: A ⊂ B Pokud nastane alespoň jeden z jevů A, B, jedná se o sjednocení jevů: A U B Pokud nastanou jevy A, B současně, mluvíme o průniku jevů: A ∩ B Jev A nazveme opačný (komlementární, doplňkový) k jevu B, když platí: A U B = Ω a současně A ∩ B = ø Doplněk k jevu A značíme A´ nebo Ā
Příklad O náhodných jevech A a B jsou známy následující skutečnosti: (a) Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden z jevů A a B, je 3/4. (b) Pravděpodobnost, že oba jevy A a B nastanou současně, je 1/4. (c) Pravděpodobnost, že nenastane jev A, je 2/3. Určete pravděpodobnosti obou jevů A a B. Jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A a přitom nenastane jev B? Zadání:
3 P( A ∪ B) = 4 1 P( A ∩ B) = 4 2 P( A´) = 3
¼ A 1/12
B
¼ 2/3
Řešení: P( A) = 1 −
2 1 = 3 3
1 1 1 P( A − ( A ∩ B)) = − = 3 4 12 3 1 8 2 P( B) = − = = 4 12 12 3
Definice pravděpodobnosti Elementární jevy jsou takové jevy, které už dále nemůžeme rozložit. Složené jevy se skládají alespoň ze dvou jevů elementárních.
KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI Mějme pokus, který může vykázat n-různých stejně možných výsledků. Mluvíme o nich jako o elementárních jevech. Pokud m z n výsledků má za následek jev A a zbylých n - m výsledků jev A vylučuje, pak pravděpodobnost jevu A je rovna: P(A) = m/n
STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI Při dostatečně velkém opakování téhož náhodného pokusu se podíl sledovaného jevu ustaluje kolem nějaké konstanty. Tuto konstantu nazveme pravděpodobností sledovaného jevu a výrok za jednu z mnoha formulací ZÁKONA VELKÝCH ČÍSEL.
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Jestliže jsou pokusné řady dosti dlouhé a dostatečně často se opakují, lze dosáhnout vypočítané pravděpodobnosti v průměru těchto pokusů s libovolnou přesností. Pravděpodobnost, že v ruletě padne červená je 0,5 a černá je také 0,5. Společně dávají jev jistý – není možné, aby padla jiná barva. V tomto případě pravděpodobnosti sčítáme: 0,5 + 0,5 = 1,0 Pokud padne 3x po sobě červená, pravděpodobnost tohoto jevu vypočteme násobením: 0,5*0,5*0,5 = 0,53 = 0,125 Pravděpodobnost, že opět hodíme v dalším hodu červenou, se s každým dalším hodem zmenšuje: pravděpodobnost, že hodíme 5x po sobě červenou je asi 0,03 , 10x po sobě červenou je už méně než 0,001 , ... Tento zákon přesto neříká nic o tom, že jestliže desetkrát po sobě padla červená, musí co nejdříve padnout černá, protože „je zralá“, ba dokonce „přezrálá“. Ani karty ani ruleta ani hrací automaty nemají „paměť“, každý pokus je nezávislý na předchozím.
Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi
PRAVDĚPODOBNOSTÍ nazveme reálnou funkci, která každému náhodnému jevu přiřadí nezáporné reálné číslo z intervalu < 0 , 1 > a platí pro ni:
pravděpodobnost jistého jevu je 1
pravděpodobnost nemožného jevu je 0
pravděpodobnost opačného jevu k jevu A je
jsou-li A a B neslučitelné jevy, pak
jsou-li A a B dva libovolné jevy, pak
je-li A ⊂ B , pak
P ( A) ≤ P ( B )
P( A´)=1 − P( A)
P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A ∩ B )
mluvíme v tomto případě také o implikaci: A implikuje B zapisujeme jako A => B a znamená to, že A musí být podmnožina B opačně: B => A by znamenalo, že B je podmnožina A
Podmíněná pravděpodobnost
Mějme dva jevy A a B takové, že P(B) > 0. Jev A nastává za podmínky, že nastane jev B.
Podmíněná pravděpodobnost, že nastane jev A se definuje jako
P( A ∩ B) P( A B) = P( B)
Nezávislost jevů
Mějme dva jevy A a B takové, že P(A) > 0 a P(B) > 0.
Nechť platí
P( A B) = P( A) a zároveň
P( B A) = P( B) ,
pak jevy A a B jsou na sobě nezávislé.
P( A ∩ B) = P( B) Jinak vyjádříme, když dosadíme např. za P(B│A) P( A) a vynásobíme P(A):
P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
Příklad: Nezávislost jevů V květinářství začali prodávat sezónní truhlíkové květiny a první den prodali 70 pelargonií a fuchsií 50. Červených pelargonií prodali 30 a červených fuchsií 20. Pokud náhodně vybereme jednu z prodaných květin, jaká je pravděpodobnost, že to bude červená fuchsie? Určete, zda jev A: náhodně vybraná květina je fuchsie a jev B: náhodně vybraná květina je červená, jsou nezávislé. Řešení 1: prodaných pelargónií: prodaných fuchsií: Celkem květin:
70 50 120
Jevy A a B jsou nezávislé, když platí:
P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
Jev A: p(A) = 50/120 = 5/12 ... pravděpod., že prodaná květina je fuchsie Jev B: p(B) = (30+20)/120 = 5/12 ... pravděp., že prodaná květina je červená pravděpodobnost vybrání červené fuchsie: p(A ∩ B) = 20/120 = 1/6 = 0,167 p(A) * p(B) = 5/12 * 5/12 = 25/144 = 0,174 Jevy A a B nejsou nezávislé
Příklad: Nezávislost jevů Řešení 2: prodaných pelargónií: 70 z toho 30 červených prodaných fuchsií: 50 z toho 20 červených Celkem květin: 120 jev A: náhodně vybraná květina je fuchsie jev B: náhodně vybraná květina je červená Jevy jsou nezávislé, když platí P ( A B) = P ( A) a zároveň P ( B A) = P( B) 20 P(A ∩ B) 120 2 P(A B) = = = = 0,4 50 P(B) 5 120
P ( A) =
50 5 = = 0,4166 120 12
Jevy A a B nejsou nezávislé
20 P(B ∩ A) 120 2 P(B A) = = = = 0,4 50 P(A) 5 120
P( B) =
5 = 0,4166 12
Násobení pravděpodobností
Uvažujme jevy A1, A2, …, An takové, že P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An-1) > 0. Pak lze vypočítat pravděpodobnost, se kterou nastanou všechny jevy současně jako P(A1∩ A2 ∩ … ∩ An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2∩ A1) … P(An|A1∩ A2 ∩… ∩ An-1 )
Příklad:
Paní Smithová se přepravuje za dcerou postupně třemi leteckými společnostmi. 1. letecká společnost garantuje riziko max. 1%, že ztratí její zavazadlo. 2. letecká společnost garantuje riziko max. 2%, a 3. letecká společnost maximálně 3%, že ztratí její zavazadlo. 1. Vypočtěte, jak velké je riziko, že se její kufr ztratí. 2. Vypočtěte s jakou pravděpodobností kufr ztratila 1. letecká společnost za předpokladu, že se kufr ztratil 3. Vypočtěte, s jakou pravděpodobností by jej ztratila 2. a 3. letecká spol. 4. Zkontrolujte bod 2 a 3 pomocí jevu jistého
ZÁKONY PRAVDĚPODOBNOSTI
Zákony pravděpodobnosti jsou zcela zvláštního druhu
snášenlivé pružné nezavrhující zcela pošetilé krajnosti dlouhodobě spolehlivé důvěryhodné
Příklad: házení mincí pravděpodobnost, že padne hlava nebo orel je stejná p = 0,5 jistotu, že padne jeden z těchto jevů vyjádříme p = 1 házíme-li víckrát, jedná se o nezávislé pokusy, pravděpodobnost výsledných kombinací se násobí: pravděpodobnost, že padne třikrát po sobě hlava: 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 celkem 8 kombinací: HHH, HHO, HOH, OHH, HOO, OHO, OOH, OOO 1 + 3 + 3 + 1 = 8 8 x 0,125 = 1
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI Pravděpodobnost, že nastane určitá kombinace, závisí na poměru četností dané kombinace a všech kombinací, které mohou nastat. Názorným zobrazením je model římské kašny, kde voda odtékající do další kašny je rovnoměrně rozdělena vpravo a vlevo Pravděpodobnost se dělí analogicky jako teče voda – na polovinu, na čtvrtiny, osminy, šestnáctiny, ... zlomek mocnin čísla 2
1 1/ 2 1/ 1/ 8 1/
16
1/
2
2/ 4
4 3/
4/ 16
1/
4 1/
3/ 8
8 6/ 16
8
4/ 16
1/
16
Je to dodnes princip hracích automatů: kuličky padají do prostředních přihrádek častěji než do krajních
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Podobně odvodíme Binomické KOEFICIENTY někdy neprávem nazývané Pascalův trojúhelník – jedničky po obvodu, uvnitř součet čísel vpravo a vlevo z horního řádku: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
Ze školní matematiky známe vzorec: (a+b)2= a2 +2ab + b2 analogicky pro
(a+b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Odpovídá kombinačním číslům
5 0
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Matematické vyjádření pravděpodobnosti, že při 5 tazích z karet s vracením vytáhneme srdcovou kartu (jev a) nebo naopak některou z ostatních karet (b)
(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Co představují jednotlivé části vzorce? Rozložíme na elementární jevy: a … pravděpodobnost, že táhneme srdcovou kartu b … jev doplňkový (opačný) - netáhneme srdcovou kartu (a+b) .. jev jistý (P=1) 5. mocnina … pokus provedeme v pěti tazích za rovnítkem = a5 … 5 srdcových karet (táhli jsme srdcovou při každém z pěti tahů) 5a4b … 5x může nastat kombinace, kdy srdcovou kartu táhneme ve čtyřech tazích (a4), v jednom tahu jsme táhli jinou než srdcovou kartu (b) 10x ... 10x dvě kombinace: 3 srdcové + 2 jiné nebo 2 srdcové a 3 jiné 5x ... 1 srdcová a 4 jiné 1x ... žádná vytažená karta nebude srdcová
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty pravděpodobnost jevu a = 0,25 (srdce) a jevu b = 0,75 (piky, kara, listy) Výpočet levé strany vzorce: a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 a5 = (0,25)5 = 5a4b = 5*(0,25)4 *0,75 = 10a3b2 = 10*(0,25)3 *(0,75)2 = 10a2b3 = 10*(0,25)2 *(0,75)3 = 5ab4 = 5*0,25*(0,75)4 = b5 = (0,75)5 =
0,00098 0,01465 0,08789 0,26367 0,39551 0,23731
0,000977 0,014648 0,087891 0,263672 0,395508 0,237305
0,001 0,015 0,088 0,264 0,396 0,237
-------------------
-----------------------
-------------
1,00001
1,000001
1,001
Součet všech možných jevů je jev jistý - nastane s pravděpodobností 1 Červeně - chyba zaokrouhlení. Podle zaokrouhlení rozvoje výsledků za desetinnou čárkou dostaneme také součet pravděpodobností všech možných jevů (jev jistý) s přesností na příslušný počet desetinných míst.
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Binomické koeficienty v podobě kombinačního čísla udávají počet kombinací, které mohou nastat:
n n! = k k! (n − k )! Podrobněji se s tímto vzorcem seznámíme v Kombinatorice
