Ohyb - smyková napětí
ohýbaný nosník - My → σx
- Vz → τxz
x
Vp
V
+
-
+
-
Vl
τ=
Mezní stav únosnosti – posouzení:
τ napětí smykové
I y .b
[ ]
S y = A části ⋅ z T m průr
Vmax = VEd
V .Sy
Průřezové charakteristiky pro smyková napětí za ohybu jsou statický moment plochy Sy a moment setrvačnosti Iy. 3
ocel : τ dov =
f yd 3
=
f yk γM 3
≥
obecně : τdov zadáno průběh τxz po výšce průřezu pro obdélník
τ=0
τ max =
VEd ⋅ S y , max I y .b
posouzení napětí
únosnost prutu ve smyku:
parabola 2°
τmax
VRd =
τ dov .I y .b Sy
x
τ=0
VRd ≥ VEd
posouzení únosností
z
Příklad 1 1) Určete největší smykové napětí τxz = τzx v průřezu daného nosníku. Proveďte posouzení smykové únosnosti. Hodnotu smykového napětí stanovte v horní čtvrtině výšky průřezu. Fe360 / S235 γM=1,15 z (proměnné zat., γQ=1,4 ) qk = 25 kNm-1
l=4m
h = 0,06
2)
y
z VEd = 70,0 kN Iy = 2,7*10-7 m4
b = 0,015
Příklad 1
VEd = 70,0 kN Iy = 2,7*10-7 m4
1) Určete největší smykové napětí τxz = τzx v průřezu daného nosníku. Proveďte posouzení smykové únosnosti.
τ max = τ zx (1/2 ) = τ xz (1/2 )
S y = Ačásti zT prů
VEd S y (1/2 ) = = 116,67MPa Iy b
= 6,75 * 10 -6 m3
Ačásti
Fe360 / S235 γM=1,15 z
½h zT
τ dov =
S y(1/ 2) fyk γM 3
= 70,8 kN > VEd
h = 0,06
VRd =
τdov b I y
y
b = 0,015
τmax
Příklad 1- obecné vyjádření 1) Určete největší smykové napětí τxz = τzx v průřezu daného nosníku. Proveďte posouzení smykové únosnosti, odvoďte obecně vzorec pro výpočet napětí a použijte ho i pro posouzení.
S y = Ačásti zT = b.h/2.h/4
Fe360 / S235
Ačásti
z
prů
½h
= 116,67MPa
τ dov =
3 fyk γM 3
y =70,8 kN > VEd
0,06
VRd =
2.τdovA
τmax
zT
h=
τ max
VEd S y (1/2 ) 3.VEd = τ xz (1/2 ) = = = Iy b 2. A
b = 0,015 z
Příklad 1 2) Hodnotu smykového napětí stanovte v horní čtvrtině výšky průřezu.
S y = Ačásti zT
Fe360 / S235 γM=1,15
= 5,06 * 10-6 m3
Ačásti
prů
z
Číselné dosazení:
τ zx (1/4 ) = τ xz (1/4 )
VEd S y (1/4 ) = 87,5 MPa = Iy b
h = 0,06
¼h zT
y
z b = 0,015
Příklad 1- obecné vyjádření 2) Hodnotu smykového napětí stanovte v horní čtvrtině výšky průřezu, napětí vyjádřete obecně.
S y = Ačásti zT
Fe360 / S235
Ačásti
=b.h/4.3h/8
z
prů
¼h
VEd S y (1/4 ) τ zx (1/4 ) = τ xz (1/4 ) = = Iy b
zT
Obecné dosazení:
VEd 3bh 2 / 32 9VEd τ zx (1/4 ) = τ xz (1/4 ) = = = 3 1/12 bh ⋅ b 8A = 87,5 MPa
h = 0,06
y
b = 0,015
z
Příklad 2 Navrhněte a posuďte na smyk nosník obdélníkového průřezu. Veškeré zatížení je nahodilé, γQ=1,4. F1k= 20 kN
Fe360 / S235 γM=1,15 z
F1k= 20 kN
h = 0,03
qk = 25 kNm-1
F2k= 63 kN 1,05
6m
y
1,05
z b
Příklad 2
Zkuste řešit pomocí obecného vyjádření.
Navrhněte a posuďte na smyk nosník obdélníkového průřezu. Veškeré zatížení je nahodilé, γQ=1,4.
VEd = 60,9 kN τdov b nut = 0,0258 m bskut = 0,026 m VRd = 61,35 kN τmax = 117,12 MPa
τ dov =
3
I y ,nut =
VEd S y ,max
1 bnut h 3 12
S y ,max = A.zT =
h h bnut 2 4
VRd > VEd τ max =
I y ,nut bnut
⇒ bnut
h = 0,03
τ dov =
fyd
Fe360 / S235 γM=1,15 z
τmax
y
z
VEd S y ,max Iy b
b
Příklad 3 - dřevěný lepený nosník - úkol a) Navrhněte z hlediska smyku dřevěný lepený nosník obdélníkového průřezu na napětí v lepené spáře , je-li τdov,lep pro lepidlo 0,5 MPa. Zatížení je nahodilé γQ=1,4. b) Navrhněte průřez také z hlediska maximálního napětí (na ose y), je-li návrhová pevnost dřeva ve smyku τdov,dř =1,5 MPa. c) Navrhněte nosník z hlediska maximálního normálového napětí za ohybu, je-li
fd,dřeva = σdov,dřeva = 13,7 MPa. d) Vyberte rozhodující hodnotu šířky průřezu a posuďte všechny tři únosnosti (VRd,lep, VRd,dřeva, MRd,dřeva)
Vykreslit průběh V +M
n
/VEd / = /MEd /= 41,5kNm
V
Průběh smykového a normálového napětí po výšce průřezu b a n
n M2 M
n
M1
τvb
σvn
Průběh smykového napětí po výšce průřezu
a) Smykové napětí v lepené spáře v bodě b V = 33,5kN Ed VEd VEd VEd
τdov,lepidla
b) Maximální smykové napětí (v těžišti průřezu) v bodě b VEd = 33,5kN VEd
⇒ bnut
VEd
3.VEd = = 112mm 2.h.τ dov ,dř
VEd
c) maximální normálové napětí v nebezpečném průřezu n
MEd = 41,5kNm n
σvn
V
M2 M M1
M Ed M Ed 6.M Ed σx = = ⇒ bnut = 2 = 202mm 1 2 Wy h .σ dov ,dř bh 6
Návrh průřezu b = 300mm
Posouzení únosností: VRd ,lep = VRd ,dř =
M Rd ,dř =
3.b.h.τ dov ,lep 4 2.b.h.τ dov ,dř 3 b.h 2 .σ dov ,dř 6
= 33,75kN ≥ VEd = 33,5kN ⇒ vyhovuje = 90,0kN ≥ VEd = 33,5kN ⇒ vyhovuje
= 61,65kNm ≥ M Ed = 41,55kNm ⇒ vyhovuje
Příklad 4 Posuďte smykovou únosnost nosníku tvořeného masivním T průřezem. Určete smykové napětí v řezu A – B. Fe360 / S235 Fk = 80 kN (stálé zat.)
z bf = 0,14
0,5 l
0,5 l
VEd = 48,0 kN A Těžiště y Moment setrvačnosti Iy = 5,32 * 10-6 m4 z T Symax = 8,823 * 10-5 m3 VRd = 426,8 kN z -5 3 Sy v řezu A-B = 8,7234 * 10 m Výpočet smykových napětí tw = 0,06 τmax= 13,27 MPa , τAB , f = 5,62 MPa , τAB , w = 13,12 MPa
B
tf = 0,03 hw = 0,06
Příklad 4 Posuďte smykovou únosnost nosníku tvořeného masivním T průřezem. Určete smykové napětí v řezu A – B.
VRd =
τ dov b I y S y max
VRd ≥ VEd ?
y
Ačásti – (pod řezem)
Příklad 4 Posuďte smykovou únosnost nosníku tvořeného masivním T průřezem. Určete smykové napětí v řezu A – B. z
τ AB,f =
VEd Sy,AB Iy
bf
τAB,f τAB,w τ AB,w =
VEd Sy,AB Iy
tw
τmax τ max =
VEd Sy,max Iy
tw
Příklad 5
úkol – určete všechna napětí v a, b, c v zadaných místech (v bodě c je V=0 → τ =0) a1 , c1 -horní hrana x a
F1
b2 , c2 -horní čtvrtina
y
a3 , c3 -osa prutu b4 , c4 -dolní čtvrtina
b
F2 1m
100
q
1m
c5
z 50
U daného nosníku vyřešte:
-dolní hrana
gd = 10 kNm-1 F1d = 7,5 kN F2d = 10 kN místo c je v nebezpečném průřezu n, kde V =0
•Statický rozbor •Průběhy N, V, M •Hodnoty napětí v daných bodech (včetně názvu a jednotek) od všech vnitřních sil, které jsme dosud probírali •Pokud jdou napětí sečíst, sečtěte •Průběhy napětí vykreslete a vyznačte počítanou hodnotu •Vyznačte polohu neutrálné osy ve všech třech místech a, b, c •Zadané body: a1, a3, b2, b4, v místě c (Mn) ve všech úrovních 1-5
